精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高二下学期3月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（是虚数单位），则z的虚部是（ ） A. B. 3 C. D. 3. 某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（    ） A B. C. D. 4. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A. 257 B. 336 C. 343 D. 384 5. 小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则=（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ） A. B. 二项式系数之和为64 C. 展开式中的常数项为15 D. 将展开式中的各项重新随机排列，有理项相邻的概率为 10. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线与双曲线C有相同的渐近线 B. 双曲线的离心率等于实轴长 C. 直线被双曲线C截得弦长为 D. 直线与双曲线公共点个数只可能是0，2 11. 设数列满足，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知向量，，且，则______． 13. 双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为_________. 14. 函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为__________． 四、解答题 15. 已知为数列前项和，且，数列满足． （1）求， （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，四边形ABCD中，． （1）若AB＝3，，求△ABC的面积； （2）若，，，记∠BAC为θ，求θ值． 17. 如图．在三棱锥中，，. （1）求证：； （2）若是边长为3的等边三角形．，D是边上的一点且．求直线与平面所成线面角的正弦值. 18. 已知函数，若，其中为偶函数，为奇函数. （1）当时，求出函数的表达式并讨论函数的单调性； （2）设是的导数. 当，时，记函数的最大值为，函数的最大值为.求证：. 19. 椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. （1）求椭圆C的方程； （2）设是椭圆C的左、右顶点，点P为直线上的动点，直线分别交椭圆于Q，R两点，求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高二下学期3月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据指数函数的性质求出集合，再根据并集的定义计算可得； 【详解】解：因为，， 所以； 故选：B 2. 若复数（是虚数单位），则z的虚部是（ ） A B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算计算作答. 【详解】，所以z的虚部是3. 故选：B 3. 某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆锥的高，设过圆锥顶点的截面为，设，表示的面积，再运用基本不等式求最值即可． 【详解】设圆锥顶点为，底面直径为，圆心，另有一任意弦，为的中点，连接、、， 如图，设为过圆锥顶点的截面， 因为底面，， 因为，为的中点，所以， 由题意可知：，， 设，，则，， 所以， ， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为． 故选：A． 4. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A. 257 B. 336 C. 343 D. 384 【答案】C 【解析】 【分析】共有三种情况， 3人各站一个台阶，或有一个台阶有2人另一个是1人，或3人站一个台阶，然后根据分类计数原理即得． 【详解】由题意知本题需要分组解共有三种情况： 第一种情况是3人各站一个台阶，有种； 第二种情况有一个台阶有2人，另一个台阶是1人，共有种， 第三种情况3人站一个台阶，有种 所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种． 故选：C． 5. 小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率公式求解即可 【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件， 则由题意可得， 则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下， 第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为． 故选：． 6. 设，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求的值. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，故，故， 故选：A. 7. 已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出圆锥底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，然后利用等面积法计算内切球半径，最后再计算球的表面积即可. 【详解】侧面展开图扇形的弧长为，圆锥底边的半径满足，解得， 所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为， 设内切球半径为，由等面积法可得，则． 所以内切球的表面积为． 故选：D． 8. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合的图象，通过求切线方程的方法来求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示， （1）设直线与的图象相切于点，如图， 当时，由解得， 即，即切点， 则，切线方程为. （2）设直线与的图象相切于点，如图， 当时，由解得， 即，即切点， 则，切线方程为. 综上所述，结合图象可知的取值范围是. 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数求解曲线的切线方程，情况有两种，一种是已知切点的，另一种是已知斜率的， 不管是哪种情况，关键点都是两个，一个是切点，一个是斜率，切点既在切线上，也在曲线上，斜率可由切线方程得到，也可以由导数得到. 二、多选题 9. 已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ） A. B. 二项式系数之和64 C. 展开式中的常数项为15 D. 将展开式中的各项重新随机排列，有理项相邻的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，利用二项式系数的性质求得，可得二项式系数之和，利用二项式展开式的通项公式，求出常数项和有理项，再根据排列组合与概率的知识，从而得出结论． 【详解】对A：的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，，故A错误； 对B：二项式系数之和为，故B正确； 对C：由于展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中的常数项为，故C正确； 对D：令为整数，可得，2，4，6， 故展开式中共有7项，其中，有理项共计4项， 将展开式中的各项重新随机排列，有理项相邻的概率为，故D错误， 故选：BC． 10. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线与双曲线C有相同的渐近线 B. 双曲线的离心率等于实轴长 C. 直线被双曲线C截得的弦长为 D. 直线与双曲线的公共点个数只可能是0，2 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用双曲线方程求解焦点坐标，离心率，渐近线方程，结合直线与双曲线的位置关系的判定和弦长，然后分析判断选项的正误，即可求解. 【详解】由双曲线的焦点在轴上，且，则， 其渐近线方程为， 对于A中，由双曲线的渐近线方程为，与双曲线C的渐近线不相同，故A错误； 对于B中，由双曲线C的离心率为，实轴长为，所以B正确； 对于C中，由代入双曲线中，可得， 即交点的坐标为和，所以截得的弦长为，所以C正确； 对于D中，由得， 当时，此时直线与渐近线重合，与双曲线没有公共点，，即交点的个数为0个； 当时，若，则无解，所以直线与双曲线没有公共点，即交点的个数为0个； 若即时，则由得有两解，所以直线与双曲线有两个公共点，即交点的个数为2个； 综上，直线与双曲线的公共点个数只可能是0，2，所以D正确. 故选：BCD. 11. 设数列满足，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推关系取，求出，当时，用替换，用原关系式减所得关系式得到，即可得到的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和即可； 【详解】由题意， 当时，得， 令， 则当时， 所以，即． 又时，也成立，∴， 故数列的通项公式为， ∴， 即有. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，， 则， 又，则，解得， 故答案为： 13. 双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为_________. 【答案】 （或） 【解析】 【分析】写出双曲线 的一条渐近线方程和一个焦点坐标，根据双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，求得b即可. 【详解】解：双曲线 的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为 ， 因为双曲线 的焦点到渐近线的距离为5， 所以， 解得 所以该双曲线的渐近线方程为y= 故答案为： （或） 14. 函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造，得到其在上为偶函数，且在上单调递增，变形得到，从而得到，求出答案. 【详解】令，则， 又，所以得， 即，所以为上的偶函数， 又时，，所以在上单调递增， 又为上的偶函数，所以在上单调递减， 由，得， 所以， 即，所以得，解得：， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 四、解答题 15. 已知为数列的前项和，且，数列满足． （1）求， （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据先求解出的通项公式，然后根据求解出的通项公式； （2）采用错位相减法对数列进行求和，注意分析的情况. 【详解】（1），， 当时，不满足的情况， 所以，； （2）， 当时，． 当时，① ② 两式相减得 ， 即．又当时也满足上式， 则数列的前项和为. 16. 如图，四边形ABCD中，． （1）若AB＝3，，求△ABC的面积； （2）若，，，记∠BAC为θ，求θ的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用余弦定理求出BC，再应用面积公式计算求解； （2）根据正弦定理结合诱导公式化简，再应用二倍角公式可得角. 【小问1详解】 在△ABC中由余弦定理得：， 即，解得（舍）或， 所以． 【小问2详解】 因为，，， 所以，，， 在△ABC中，由正弦定理得：，所以． 在△ACD中，由正弦定理得：，， 所以，即， 因为，所以，所以，即． 17. 如图．在三棱锥中，，. （1）求证：； （2）若是边长为3的等边三角形．，D是边上的一点且．求直线与平面所成线面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）作平面，垂足为，先证明是的垂心，然后得证线面垂直平面，从而证明线线垂直； （2）说明，以直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【小问1详解】 作平面，垂足为，连接，显然平面， 所以，，，同理， ，，平面，所以平面， 平面，所以，同理，所以是的垂心， 从而，，平面，所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 ，即， 是等边三角形，则是其中心，因此，三棱锥是正三棱锥， ，，则，，， 以直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则，， ， 设直线与平面所成线面角为， 则． 18. 已知函数，若，其中为偶函数，为奇函数. （1）当时，求出函数的表达式并讨论函数的单调性； （2）设是的导数. 当，时，记函数的最大值为，函数的最大值为.求证：. 【答案】（1），在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由奇偶性可得，再利用导数法研究单调性即可； （2）先用导数法研究的单调性，从而得到，进而结合单调性可求得，由得单调性可得，再用作差法即可求解 【小问1详解】 当时，， 由题，其中为偶函数，为奇函数， 则， 所以， 所以， 所以， 令，则， 当且仅当取等， 所以在上递增，即在上递增， 注意到， 则时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由的定义域是，， 设，则， 令得，， 因为在上递增， 所以当时，，时，， 所以上单调递减，在上单调递增； 又， 于，即， 所以在上递增， 注意到， 所以在上，在上， 所以函数， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，， ， 因此， 又， 所以， 即 【点睛】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧 19. 椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. （1）求椭圆C的方程； （2）设是椭圆C的左、右顶点，点P为直线上的动点，直线分别交椭圆于Q，R两点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由的值及，可得的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程； （2）由题意设P的坐标，进而求出直线，直线的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标. 【小问1详解】 由题得，，所以椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1， 故椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由对称性可设点，其中， 则直线的方程为，直线的方程为. 设， 由，消得， 由于，则. 由，消得， 由于，则. 所以四边形的面积为 . 由于，， 又在上是增函数，所以， 故. 当且仅当，即，四边形的面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$