四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高一下学期2月月考（火箭班）数学试题

球溪高级中学2024-2025学年高一下学期2月月考（火箭班） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 命题“对任意一个幂函数，它的图象经过点”的否定是（ ） A. 对任意一个幂函数，它的图象不经过点 B. 存在很多个幂函数，它们的图象都经过点 C. 存在一个幂函数，它的图象经过点 D. 存在一个幂函数，它的图象不经过点 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. （1，2） C. （0，1） D. 5. 如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间值域为 11. 已知函数和（且为常数），以下结论正确的是（ ） A. 当时，存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根 B. 存在，使得关于方程有三个不同的实数根 C. 当时，若函数恰有3个不同的零点，则 D. 当时，关于的方程有四个不同的实数根，且，若在上的最大值为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）图像过定点．则点的坐标是______． 13. 已知，且，则________． 14. 已知函数，则的大小关系是______.（注意：请用“”符号连接） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合，． （1）若集合是空集，求的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. （1）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值； （2）已知，且，求的值． 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 18. 某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． （1）求θ关于x的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”， （1）请证明：函数（）不存在“理想区间”； （2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”； （3）如果是函数（）一个“理想区间”，请求出的最大值. 球溪高级中学2024-2025学年高一下学期2月月考（火箭班） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）；（2） 【17题答案】 【答案】（1）1； （2）在R上单调递减，证明见解析； （3）. 【18题答案】 【答案】（1） （2），当时，y取得最大值，最大值为 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $球溪高级中学2024-2025学年高一下学期2月月考 (火箭班)数学答案 1.A 【分行】先得4=~修，根都对数型睡数们定义城可得分=司。 进而可得 【详解】A={yy=V2-3元={y少≥0以 因为v=g.0-2四的定义该为-o故=引 所以4ne》 故选：A 2.D 【分析】由否定的定义判断即可 【详解】命题“xeN,x2-2xEN”的否定为Vx∈N,x2-2xeN” 故选：D 3.D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以题目对任意一个幂函数，它的图象 经过点1,1)的否定应该是：存在一个幂函数，它的图象不经过1，).D选项正确 故选：D 4.C 【分析】令=-x2+2x,则y=n,求出函数的定义域，分别求出两个函数的单调区间， 根据复合函数的单调性符合“同增异减”的原则，即可得出答案 【详解】解：令u=-x2+2x,则y=hu, -x2+2x>0,则0<x<2,所以函数f(x)的定义域为(0,2)， 而-x2+2x=-(x-1)+1,以x=1为对称轴， 所以函数4在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减， 答案第1页，共12页 而函数y=n4为增函数， 根据复合函数的单调性可知，函数f(x)=h(-x2+2x)的单调递增区间是(0,1)， 故选：C 5.A 【分析】分0三≤1,1<x<2和2≤x≤了种格况，求出函数解折式，得到答案 【详解】当0≤x≤1时，P在AB上，过点M作MH⊥AB于点H, 则MH=1,故y=APMH=x,y随x的增大而增大， A H P B 当1<x<2时，P在BC上， t时y=11-sw-a-8m=1分-)-号-到 Γ2 =31 年，y随x的增大而减小， D B 当2s≤时，P在CM上 此时多，片MAD-小月，y随份塔大面减小， 答案第2页，共12页 M PC A B 函数图象分为三段，每一段均为一次函数图象，结合单调性可知A正确，其他错误 故选：A 6.D 【分析】把已知代入丰富度指数公式d-,然后两式消去态后，由对数运算可得结论。 -1 【详解】由己知 =2 S-1 InN IN =3,所以2lnN=3nN,即lnN=lnN,∴.N=N, 故选：D. 7.D 【分析】利用三角函数的图象与性质结合整体代换思想计算即可. 【详解】由思意可知r∈(0，T)时，ar-e元，om- 661 6 根据正弦函数的图象与性质知2π<om-兀s3π→0e 71319 6 6’6 故选：D 【点睛】难点点睛：注意整体的思想得出x- .O 6 利用三角函数的图象与性 质计算即可。 8.D 【分析】先作出函数f(x)的图像，结合图像可把问题转化为2+t+m+3=0在(0,2)上有两 个不同实根，t2,数形结合即可求得答案。 【详解】作出函数f(x)图像如图所示： 答案第3页，共12页 3 令t=f(x),则[fx)]+f(x)+m+3=0可化为 -2-1川 1 56末 -2 -3 t2+t+m+3=0, 若[f(x)'+mf(x)+m+3=0有6个根，结合图像可知方程t+t+m+3=0在(0,2)上有2个不相 等的实根， 不妨设0<t<t2<2,g)=+mt+m+3, m2-4(m+3)>0 0<-"<2 则 2 ,解得3 <m<-2, 8(0)=+3>0 8(2)=4+2m+m+3>0 故m的取值范围为 7 32 故选：D 9.ACD 【分析】对A,利用不等式的性质可以判断：对B,利用特殊值可以判断；对C、D通过作 差比较可以判断。 【详解】对A,因为a>b,根据不等式的基本性质可得a+c>b+c,故A正确； 对B,当c=0时，ac2=bc2,故B不正确： 对C,由a>b>0,得a-b>0,所以-6+6a+a:20,故C正确： a+l a (a+1h 对D,白a>6,得a-b>0,且a号6不同时为0， 0,故D正确 故选：ACD. 10.ACD 【分析】根据余弦函数周期公式直接计算可得A正确，利用整体代换可求出单调区间为 答案第4页，共12页 ku-kt+ 3 3」 亿∈Z),可得B错误，根据零点定义计算可得C正确，结合余弦函数图象 性质计算出对应值域可得D正确. 【详解】对于A:由周期公式可得7-受元，可得A正确： 对于B,令-+2m≤2x-≤π+2mkEZ,解得-T+km≤x≤+mk∈Z, 3 即函数∫(x)的单调递增区间为 3 k∈Z),可知B错误； 对于C,当xe0时，可得2x π4π 6 3(33月 只有当2x-时，即x=江为函数f()在区间0，四 上的唯一一个零点，即C正确； 32 12 6 对于D,由x∈ π5π 3’6 可得2[ 易知函数y=C0Sx在x∈ π4π 3'3 上先减后增，其最小值为-1，最大值为，： π5兀 因此函数∫(x)在区间 3'6 的值域为-1,2 可得D正确. 故选：ACD 11.AC 【分析】根据条件举例画出函数图象，数形结合判断A;作出函数f(x)的图象，利用数形 结合判断B;t=f(x)=x,根据h(x)有三个不同的零点，判断t的取值，然后根据对数 性质进行求解判断C；当m=-4时，作出函数∫(x)的图象，确定x,x2,5,x,根据二 3 次函数对称性及对数运算性质得3x+3:+5x+4,=一2再根据诱导公式求值判断D. 【详解】对A,当y=-x2+x的对称轴小于0即m<0,且最大值大于4时，如图①： y=f(x) ① 可知g(x)=4与函数f(x)有四个不同的交点，正确： 答案第5页，共12页 对B,若>0，则函数的对称轴">0，此时当x≤0时，函数f(x)为增函数，且f(x)≤0， 如图② y=f(x) ② 由图可知，∫(x)=g(x)不可能有三个实数根，错误： 对C,当x>0时，令t=f(x)=nx,如图③ y=f(x) ③ 已知函数h(x)=(x)+bf(x)+c恰有3个不同的零点x,x2,x, 则t2+bt+c=0有两个不等的实数根，其中t=0,t2>0, 当=0时对应的根x=1,当t2>0时，对应的根为x2,x, 当mx=血x时，有-nx2=n3,即满足x2x=1,则x2x,=1,故正确； 对D,当m=-4时函数f(x)图像如图， A 4 y=f(x) A -4x ④ 答案第6页，共12页 由C选现对数商数性质可知灯=1。则-与， 即f(x)在[，x]上的最大值为f(x)=imx=2x,=n4=2血2，则5=7，名=2， 由对称性可知x+x2=一4， 则sin(3x+3x2+5x,+4x4)π=sin-12+8+ 3 血1，故错误 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数与方程的应用，二次函数的对称性及对数函数运算性 质，结合不同条件先作出函数的图象，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点问 题是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大 12.(-2,4) 【分析】利用f(-2)=4,可得结论 【详解】因为f(-2)=a2+2+3=4,所以函数f(x)的图像过定点P(-2,4), 故答案为：(-2,4) 1.25-号6 5 【分析】设B=53-a,y=37°+a,则B+y=90°，y=90°-B,从而将所求式子转化成求c0sB 的值，利用a的范围确定cosB的符号： 【详解】设B=53°-a,=37+,那么B+y=90°，从而y=90°-B. 于是siny=sin(90-B)=cosB.因为-270°<u<-90, 所以143<B<323.由sin6=5>0,得143<B<180. 所以sin(37°+a)=siny=- 2V6 5 故答案为：-26 5 4.1》回>小同 【分析】先根据偶函数定义得∫(x)是偶函数，再根据余弦函数和指数函数的单调性得：函 答案第7页，共12页 数f(x)=c0x-2州在(0，)上单调递减，然后利用对数函数的单调性及中间值法求得 1og43<√2<，最后利用f(x)的单调性即可求解， 【详解】显然函数f(x)=cosx-2的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且f(-x)=cos(x)2=co3x-2=f6),所以f(x)是偶函数， 所以io3f-1o2,3)=fog,3)J)=f小回， 因为函数y=cosx,y=-2在(O,兀)上单调递减（根据余弦函数和指数函数的单调性）， 所以函数f(x)=cox-2州在(0，)上单调递减， 又0-Hlog41<log43<log,4=1<V2<3<元，(23<32→√2<3) 所以0e,到>5)>5).即/g>->水 故答案为：1e写>fV回列>) 15 (2)[5,+0) 【分析】(1)由空集构造不等式求解即可： (2)由条件确定集合A是集合B的真子集，再构造不等式求解即可： 【详解】(1)因为集合B是空集，所以2-a>1+2a, 解得a<兮所以a的取值范用为 1 (2)A={x≤3}=3≤x≤3}. 不是空集，则2-a1+2a,解 “x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件等价于集合A是集合B的真子集， 「2-a≤-3 则1+2a2≥3，等号不同时取到：解得a25, 故a的取值范围为[5，+o). 161:28 15 【分析】(1)根据三角函数的定义求出cosu,s血u的值，利用诱导公式化简可得结果 答案第8页，共12页 (2)根据条件计算sin8cos0,结合角的范围分析cos6,sin8的正负，求出cos8-sin8的值 即可得到结果 3 310 -1 10 【详解】(1)由题意得，cos= V32+(-1 10,sina= 32+(-1)2 10 3 sim3π+a+2 cos-2 3W10 10 +2x 2 cos a+2sin a 10 10) 5 sin(3π-z)+cos(←5π+ax) sina-cosa V103W10 4 1010 (2）sin0+c0s0=. =4' 0m0+co0j-合p1+2如6c0-6 1 故sin8c0s0=-1 2 ,0∈(0，π)，∴.sin0>0,故cos0<0, .'(cos0-sin0)2=1-2sin0cos0=1 1616,故cos0-sin0=-V3 1531 4 1-1=cos0-sim6_857 sin cosθsinθcos8 15 17.(1)1: (2)∫()在R上单调递减，证明见解析： (3)[2,+0). 【分析】(1)由f(0)=0求解a的值，再检验即可： (2)根据单调性的定义判断和证明即可； (3)将问题转化为k (L+,利用换元法及基本不等式求解即可。 1+e2x 【详解】(1)由函数fK)=a-c为奇函数，其定义域为R, 1+e 所以f(0)=0, -0,解a=1,时-上 即f(0)=a-e 满足f()七e-1-寸)， 1+e*1+e* 即f(x)为奇函数， 故a的值为l. 答案第9页，共12页 (2)解：(x)在R上单调递减，证明如下： 由0知)-出 2 =-1+ 1+e* x,x2∈R,且<x2, 22 2(e-e） 则f(s)-f()1+e1++e)0+两 因为x<x2,所以e:-e>0,1+e>0,1+e>0, 所以f(s)-f(x)>0,f(6)>f(x2), 即函数∫(x)在R上单调递减： l+ei+e0恒成立： (3)由题知：当x∈(0，+w),k.1-e1=e 则k、+e炉 1+e2x 令t=e,te(1,+oo), 所以、+ 八*1 2=1+2 t2+1 +1t+ : Ri+2 2 1 =2 t+ ,当且仅当t=1时等号成立， 2 而1>1，所以+<2，则k≥2. t+1 所以实数k的取值范围为[2，+0) 18.4)0=10+2(0<x<10) 10+x (②)y=x+5x+50(0<x<10),当x=1时，y取得最大值，最大值为 170+10x 【分析】(1)通过表示出扇环形花坛的周长即可得出关于x的函数关系式： (2)列出y关于x的函数关系式y=39+324 ,利用基本不等式求最大值即可. 1010t 【详解】(1)由题意得30=910+9+210-)，放0=10+2(0<x<10). 10+x (2)花坛的面积为10-x)=(5+x)10-x)=-x+5x+50. 装饰总费用为9×30-2(10-x)]+8(10-x)=170+10x, 答案第10页，共12页