精品解析：辽宁省沈阳市部分学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024~2025学年度第二学期高二年级3月份月考试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册第六章~第七章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ） A. 56 B. 15 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】分为A大学和B大学两类专业来选，根据分类加法计算原理即可求解﹒ 【详解】不同的选择种数为. 故选：B. 2. 5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即可. 【详解】每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为. 故选：D 3. 已知是相互独立事件，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.18 D. 0.28 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件概率可得，再由相互独立事件乘法公式计算可得. 【详解】由可得， 又是相互独立事件，所以. 故选：C 4 若对恒成立，其中，则（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的特征，把等号右边表示为，与等号左边相等，可求出. 【详解】 ， ，即. 故选：D 5. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（ ） A. 2880种 B. 1440种 C. 720种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】先排4名青少年产生5个空位，再把甲､乙､丙插5个空位即可. 【详解】第一步先排4名青少年共有种排法，第二步把甲､乙､丙插在4名青少年中间有种排法， 所以根据分步乘法计数原理共有种排法， 故选：B. 6. 已知，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数、组合数公式计算可得. 【详解】对于A，因为，所以成立，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，所以，故D正确． 故选：B． 7. 某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 56种 D. 72种 【答案】A 【解析】 【分析】按照分组分配问题先将四个区分为三组，再分配到三组工作人员中去即可. 【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种， 再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法； 因此共种. 故选：A 8. 从如下6个函数中任取1个函数，记事件为“取到的函数是奇函数”，事件为“取到的函数是偶函数”，则下列结论中正确的是（ ） ①；②；③； ④；⑤；⑥. A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断各函数的奇偶性得到事件，再由互斥事件的加法公式得到A，C错误；由独立事件的乘法公式可得B正确；由条件概率可得D错误. 【详解】的定义域为关于原点对称，且，所以①为既是奇函数又是偶函数； ，定义域为，所以②为奇函数； ，定义域为，所以③为奇函数； ，定义域为，所以④为偶函数； ，所以⑤为非奇非偶函数； 定义域为，所以⑥为非奇非偶函数； 所以事件包含①②③，事件包含①④，， 对于A，，故A错误； 对于B，表示取到的函数不是奇函数，表示取到的函数不是偶函数，故故B正确； 对于C，，由于，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】AC 【解析】 【分析】由组合数性质求解即可. 【详解】由组合数性质知，或，所以，或， 都满足且． 故选：AC． 10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C不是互斥事件 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件和互斥事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D. 【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案， 甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言， 各有种方案，∴； 甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有种方案，∴； 甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC＋＋编程语言，有种方案，∴， 对于A，∵，∴事件A与B不相互独立，故A错误； 对于B，∵，∴事件A与C不互斥事件，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 精确到0.01的近似值为0.85 D. 除以15的余数为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析展开式项的系数的符号，赋值判断A，逆用二项式定理判断B，由展开判断C，展开判断D. 【详解】在中， 所以令，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B错误； ， 取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为，故C正确； ， 其中，所以能被15整除， 所以除以15的余数为1，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 小李同学准备从4本讲义类图书与5本试卷类图书中选3本购买，则讲义类图书与试卷类图书至少各选1本的选择方法种数为________． 【答案】70 【解析】 【分析】根据排列组合，结合分类加法计数原理即可求解. 【详解】讲义类图书与试卷类图书至少各选1本的选择方法种数为． 故答案为：70 13. 若，且，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】由二项式展开的通项结合组合数的计算可解. 【详解】由二项式展开式的通项可得， 又，即，解得， 又，所以， 所以. 故答案为：7 14. 甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列举出“甲与乙比赛负1场且最终甲获胜”的所有基本事件，利用独立事件的概率乘法公式计算出相应概率. 【详解】设甲乙比赛中甲胜乙负为事件，甲负乙胜为事件；甲丙比赛中甲胜丙负为事件，甲负丙胜为事件;乙丙比赛中乙胜丙负为事件，乙负丙胜为事件. 设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件， 则 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的二项式系数和为即可得，求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解； （2）根据二项式展开式的通项即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以该二项式为， 则通项公式为：． 令，解得， 所以该二项式的展开式中的常数项为． 【小问2详解】 因为， 易知：展开式第四项二项式系数最大， 即, 所以展开式中二项式系数最大的项. 16. 某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 （1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； （2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分布列性质求得，再由独立事件乘法公式及互斥事件加法公式即可求解； （2）求得的概率，再由条件概率公式即可求解； 【小问1详解】 由题意可得：， 所以， 甲所付停车费用小于乙所付停车费用有以下情况： 甲，乙或或，概率为：； 甲，乙或，概率为：； 甲，乙，概率为：； 所以甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率为： 【小问2详解】 有以下情况： 甲，乙；概率为：； 或甲，乙；概率为：； 或甲，乙；概率为：； 所以, 所以 17. “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. （1）从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； （2）若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式计算即可； （2）应用贝叶斯公式计算即可. 【小问1详解】 设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； 【小问2详解】 设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 18. （1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？ （3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？ 【答案】（1）420；（2）150；（3）37. 【解析】 【分析】（1）按个位数字是否为0分类，结合排列计数问题列式求解. （2）把5个不同颜色的小球按分成3组，再利用全排列列式求解. （3）根据给定的信息，按擅长两种书法的选与不选分类，结合组合计数问题求解. 【详解】（1）求没有重复数字的四位偶数的个数有两类： 个位数字为0，共有个；个位数字不是0，共有个， 所以没有重复数字的四位偶数的个数是. （2）把5个不同颜色的小球按分成3组的分法数为；按分成3组的分法数为， 将每种分法所得3组放入3个不同盒子，有种放法， 所以不同的放法种数为. （3）求不同选法种数，有三类办法： 擅长两种书法的不选，有种；擅长两种书法的选1人，有种； 擅长两种书法的选2人，有种， 所以不同选法种数是. 19. 图1是我国数学史上的一个伟大成就——杨辉三角，利用它我们可以将展开， 如：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为； ，它有四项，系数分别为； …… 将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角，如图2所示. （1）求的值； （2）记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为，求的值； （3）证明：莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 【答案】（1）219 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由组合数的性质可得； （2）由莱布尼茨三角的性质结合裂项相消法可求； （3）由莱布尼茨三角结合组合数的性质可证明； 【小问1详解】 【小问2详解】 . 【小问3详解】 即证明，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期高二年级3月份月考试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册第六章~第七章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ） A. 56 B. 15 C. 28 D. 30 2. 5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是相互独立事件，且，则（ ） A 0.1 B. 0.12 C. 0.18 D. 0.28 4. 若对恒成立，其中，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（ ） A. 2880种 B. 1440种 C. 720种 D. 360种 6. 已知，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 56种 D. 72种 8. 从如下6个函数中任取1个函数，记事件为“取到的函数是奇函数”，事件为“取到的函数是偶函数”，则下列结论中正确的是（ ） ①；②；③； ④；⑤；⑥. A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C不是互斥事件 C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 精确到0.01的近似值为0.85 D. 除以15的余数为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 小李同学准备从4本讲义类图书与5本试卷类图书中选3本购买，则讲义类图书与试卷类图书至少各选1本的选择方法种数为________． 13. 若，且，则__________. 14. 甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 16. 某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 （1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； （2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 17. “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. （1）从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； （2）若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 18. （1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？ （2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？ （3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？ 19. 图1是我国数学史上的一个伟大成就——杨辉三角，利用它我们可以将展开， 如：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为； ，它有四项，系数分别为； …… 将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角，如图2所示. （1）求的值； （2）记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为，求的值； （3）证明：莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$