精品解析：甘肃省岷县第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（4月）数学试题

2025年春季高一年级第一次月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：湘教版必修第二册第1章，第2章2.1． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 0 C. D. 2. 已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 4. 已知两地相距5 km，两地相距10，若测得，则两地间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是第二象限角且，，则的值为（ ） A 1 B. －1 C. －2 D. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A B. 2 C. D. 3 7. 已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A 2 B. 4 C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，的对边分别是，，，若有两个解，则的值可以为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 10. 已知，则正确的选项是（ ） A. 和都是单位向量 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两个单位向量与的夹角为600，则向量在向量方向上的投影为_______ 13. 在中，若，则的值为__________. 14. 已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为__． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知、均为第二象限角，且，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知向量，． （1）若与共线，求实数m的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数m的值． 17. 已知锐角的内角所对的边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，求的周长. 18. 如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P. （1）求的值； （2）试问：当为何值时，? （3）求证：. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点． （1）求； （2）求坐标； （3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季高一年级第一次月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：湘教版必修第二册第1章，第2章2.1． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案. 【详解】. 故选：C 2. 已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标运算可得和，由此可知所求向量为. 【详解】，， 与向量的方向相反的单位向量为. 故选：A. 3. 已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线定理逐一判断各选项即得. 【详解】因， 对于A，由 ，因与共点，故A，B，D三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 4. 已知两地相距5 km，两地相距10，若测得，则两地间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得，， 即，则. 故选：D. 5. 已知是第二象限角且，，则的值为（ ） A. 1 B. －1 C. －2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，求出，再根据求出，再利用两角差的正切公式求得答案. 【详解】因为是第二象限角且，所以 ， 则因为,所以， 所以， 故选：C. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，又，可得，可求. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 7. 已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据题意由边长比例关系可求得再由余弦定理可得，即可得出结论. 【详解】根据题意不妨设，；解得 所以可得此三角形的最大角与最小角分别为和； 由余弦定理可得，又， 可得； 所以. 故选：B 8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而求出最大值. 【详解】如图所示： 因为为的外接圆圆心，，所以， 且， 所以， 故当共线反向时，取到最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律得到. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，的对边分别是，，，若有两个解，则的值可以为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】法一：当时有两个解，即可求出的取值范围，即可判断；法二：由正弦定理得，然后利用正弦函数图象分析可得. 【详解】法一：因为，， 当时有两个解，即，解得， 故符合题意的有B、D. 法二：由正弦定理，所以且， 所以，即，作出正弦函数图象如图． 因为该三角形有两个解，所以，即，故符合题意的有B、D． 故选：BD 10. 已知，则正确的选项是（ ） A. 和都是单位向量 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平方关系求出，即可判断A，根据共线向量判断B，根据向量数量积的坐标表示及两角差的余弦公式判断C，根据数量积的运算律判断D. 【详解】对于A：，， 故和都是单位向量，故A正确； 对于B：若，则，所以，故B正确； 对于C：若，即， 所以，，即，，故C错误； 对于D：因为，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A、B，利用向量减法的几何意义，结合数量积的定义式，化简，根据角的取值范围，可得答案; 对于C、D，由题意作图，根据几何性质，求得边长，结合向量加法与数乘，可得答案. 【详解】对于A，， 因为．所以，所以， 即，A正确；B错误； 对于C，如图，当时，可判断为中点，， 则，，作，则四边形为平行四边形， 则，，所以，， 所以．所以，C错误，D正确． 故选：AD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两个单位向量与的夹角为600，则向量在向量方向上的投影为_______ 【答案】 【解析】 【分析】运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，向量的投影概念，计算即可得到所求值． 【详解】两个单位向量和夹角为60°， 可得•1×1， （）•2•1， 向量在向量方向上的投影为， 故答案为：． 【点睛】本题考查向量数量积的定义和性质，以及向量投影的求法，考查运算能力，属于基础题． 13. 在中，若，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用三角形内角和可求得，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解. 【详解】在三角形ABC中，因为， 所以 . 故答案为：. 14. 已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理得到，利用三角形面积公式得到，得到最大值. 【详解】四边形中，，， 设与面积分别，， 则，． 在中，利用余弦定理：， 即， 在中，利用余弦定理：， 即， 所以． 则 ， 当，即时，最大值，最大值为， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知、均为第二象限角，且，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）诱导公式计算得出的值； （2）分别计算，的值，通过公式求得. 【小问1详解】 由诱导公式可知，为第二象限角，所以； 【小问2详解】 由第一问可知，同理，，，， 所以. 16. 已知向量，． （1）若与共线，求实数m的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得关于的方程，即可得答案． （2）根据题意，由向量的坐标计算公式可得即可得答案； （3）利用向量坐标的线性运算求坐标，模长坐标公式列方程求参数值； 【小问1详解】 因为与共线， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 可得， 【小问3详解】 由题知：，， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得. 17. 已知锐角的内角所对的边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由平面向量的数量积运算可得，根据余弦定理求出，从而可求，继而可得的周长. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理可得. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 因为，， 由余弦定理可得， 所以, 所以， 所以， 所以的周长为. 18. 如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P. （1）求的值； （2）试问：当为何值时，? （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用平面向量基本定理，得到，两边平方后即可求得结果；（2）将向量表示为，进而由得到，数量积运算求解即可；（3）分别计算和的值，证明即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 得：， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， ， 因为，所以，即，解得， 故当时，； 【小问3详解】 ， ， ， ， 因为，所以， 所以. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点． （1）求； （2）求的坐标； （3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，即可得到是平行四边形，从而得到，即可得到，再根据计算可得； （3）设，，又三点共线，设，根据平面向量线性运算及基本定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 小问1详解】 依题意可得， ， - ； 【小问2详解】 ，，， ，，， ， 所以四边形是平行四边形，即， ， 是的中点， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 设，， 则，， 因为三点共线，则设， ， ， ， ，， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 或者：由，得， 所以，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是以平面向量基本定理得到，从而得到，再由基本不等式求出面积最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$