精品解析：云南省楚雄彝族自治州民族中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷

楚雄州民族中学2024-2025学年高三上学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据条件判断的奇偶性与单调性，进而比较的大小关系. 【详解】根据题意，设， 因为为奇函数，则，即函数为偶函数. 当时，， 则函数在上为减函数. ，，， 且，则有. 故选：B． 2. 已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ） A. 第28项 B. 第29项 C. 第30项 D. 第32项 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差，再求出，进而根据通项公式可得项数. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 令， 得，即是中的第30项. 故选：C. 3. 按从小到大排列的一组数据的分位数为（ ） A. 96 B. 96.5 C. 97 D. 97.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的计算原理计算即可. 【详解】共10个数，，所以分位数为第8个，第9个数据的平均数，即 故选：D 4. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的模及复数代数形式的除法运算化简复数，再得到其共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A 5. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性结合零点存在定理法计算各区间端点值即可判断得解. 【详解】因为与均为上单调递增且连续的函数， 所以在上单调递增且连续. 又，，， 且当时，，所以. 故选：B. 6. 为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体仿伪能力，保持人民币系列化，中国人民银行发行了2019年版第五套人民币元、元、元、元纸币和元、角、角硬币，同时升级了原有的验钞机现从混有张假钞的张元钞票中任取两张，在其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件A表示“两张都是假钞”，事件B表示“两张中至少有一张是假钞”，所求的概率即为，先求出，再利用条件概率的公式求解 【详解】解：设事件A表示“两张都是假钞”，事件B表示“两张中至少有一张是假钞”，则 ，， 所以， 所以所求概率为， 故选：B 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 135 B. C. 2295 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理计算得到答案. 【详解】因为的展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 8. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，且其图象是一条连续不断的曲线，，记为的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 若，则 D. 若在上单调递减，则恰有三个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可得，，可判断ABC；利用单调性以及，结合函数是奇函数，可得恰有三个零点，判断D. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，得， 令，得， 所以，即为奇函数，故B正确； 对于C，令，得， 令，得，所以，故C错误； 对于D，因为在上单调递减，又， 所以存在，满足在上单调递增，在上单调递减， 因此在上只有一个零点1，又是奇函数， 所以恰有三个零点，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点晴：解有关抽象函数的有关命题，赋值法是常用的方法. 10. 若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 由题意可知，命题“，成立”，利用参变量分离法结合基本不等式可求得的取值范围，由此可得结果. 【详解】由题意可知，命题“，成立”， 所以，，可得， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以，. 故选：AB. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 为定值 D. 为钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意得到抛物线方程为，对于A，设过点的动直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理有，，结合弦长公式判断即可；对于BC，由已知得的值，结合抛物线定义、韦达定理即可判断；对于D，只需判断是否成立即可. 【详解】由题意可知，，所以，则，其准线方程为. 对于A，设过点的动直线的方程为，代入得，，， 设，，则，， 则 ，当且仅当时等号成立，A错误； 对于B，由得，，解得， 所以，B正确； 对于C，为定值，C正确； 对于D，，所以为钝角，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断BCD选项的关键在于利用韦达定理、抛物线定义进行适当转换，从而得到想要的结果. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案. 【详解】由题意，，， 则； ，， 则； 故答案为：. 13. 已知二面角为60º，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线与所成的角,利用解直角三角形,可求出问题的答案. 【详解】如图所示: 过作于,于,再过作的平行线与过作的垂线交于,连接,则为二面角的平面角,易知四边形为矩形. 由知,所以为与所成的角, 设,因为,则,又由条件知,且, 所以在△中,, 所以在△中,. 故答案为: . 【点睛】本题主要考查异面直线所成角,二面角,直线与平面间的垂直关系,属于中档题. 14. 已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律计算即可得，再根据夹角公式计算即可. 【详解】因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 则. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 有人收集了春节期间平均气温与某取暖商品销售额的有关数据，如下表所示． 平均气温 -3 -4 -5 -6 -7 销售额/万元 20 23 27 30 50 （1）根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程； （2）预测平均气温为时，该商品的销售额为多少万元． 【答案】（1） （2）56.8万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的特征，即可求解； （2）利用（1）的线性回归方程，即可对销售额进行估计． 【小问1详解】 由表中数据可知，， ， ， 故 故 【小问2详解】 当时，万元． 故预测平均气温为时，该商品的销售额为56.8万元. 16. 已知幂函数（）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解. （2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解. 【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且， 所以在区间为单调递增函数， 所以，解得， 由，。 又函数的图像关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 所以. （2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数， 所以不等式，等价于， 解得或， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17. 将圆上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的4倍，所得的曲线为.记曲线与轴负半轴和轴正半轴分别交于两点，为轴上一点. （1）求曲线的方程； （2）连接交曲线于点，过点作轴的垂线交曲线于另一点，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意首先设曲线上任一点的坐标为，由题意，其中为单位圆上点的坐标，由此即可得解. （2）首先联立直线方程与椭圆方程，表示出点坐标（含参数），结合椭圆对称性得E点坐标，得进一步可得直线与轴交点的坐标，结合三角形面积公式求得表达式，进一步即可求出范围即可. 【小问1详解】 设曲线上任一点的坐标为， 圆上对应点的坐标为， 由题意可得， 因为， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 连接交轴于点. 直线，联立， 消去并整理得， 解得， 所以点，因为关于轴对称，所以， 所以直线，所以， ， 因为 令， 在时，，则此时函数单调递增， 时，，则此时函数单调递减， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意求得点的坐标，应用导数正负得出函数的单调性从而得解. 18. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）所示，并配上花结. 图（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，. （1）若，记点关于平面的对称点为，点关于直线的对称点为. （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. （2）据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时、、、、、、、这8条线段可能长短不一） 【答案】（1）（ⅰ）（ⅰⅰ）. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为可求出点H到平面的距离，即可求出；（ⅱ）求出直线的方向向量与平面ABCD的法向量，由线面角的向量公式即可得出答案. （2）分别求出图(A)和图(B)中彩绳长度的最小值，比较它们的大小即可得出答案. 【小问1详解】 （ⅰ）如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的法向量为 则有，取得 点H到平面的距离 ，线段的长为 （ⅱ）设为的中点，则且 ， 由（ⅰ）知， 又为平面ABCD的法向量， 直线与平面ABCD所成角的正弦值为. 【小问2详解】 如图所示， 对于图(A)，沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值，如下图， 最小值为， 对于图(B)，彩绳长度的最小值为， 因为，所以店员的说法是正确的． （也可以不计算，由三角形两边之和大于第三边直观给出答案） 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 19. 设数列的前项和为，已知.令. （1）求的通项公式； （2）当时，，求正整数； （3）数列中是否存在相等的两项？若存在，求所有的正实数，使得中至少有两项等于；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）4 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）应用结合等差数列计算求解； （2）根据求解数列的最大值即可解题； （3）根据已知分析取等即可计算求解. 【小问1详解】 ，即.当时， ， 即. 将换成，有. 上述两式相减得，即， 故为等差数列.由， 所以. 【小问2详解】 由，易得.当时， 由. 得， 即，亦即从而可得4）， 故的最大项是第4项. 所以. 【小问3详解】 由（2）知，.又对， 故若中有两项相等，只可能是或， 且这样若存在，则必唯一.易得， 又，则仅有两项相等，故. 【点睛】方法点睛：应用放缩再结合等比数列的和证明数列的范围进而证明数列的单调性 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 楚雄州民族中学2024-2025学年高三上学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ） A. 第28项 B. 第29项 C. 第30项 D. 第32项 3. 按从小到大排列的一组数据的分位数为（ ） A 96 B. 96.5 C. 97 D. 97.5 4. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 6. 为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体仿伪能力，保持人民币系列化，中国人民银行发行了2019年版第五套人民币元、元、元、元纸币和元、角、角硬币，同时升级了原有的验钞机现从混有张假钞的张元钞票中任取两张，在其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 135 B. C. 2295 D. 8. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，且其图象是一条连续不断的曲线，，记为的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 若，则 D. 若在上单调递减，则恰有三个零点 10. 若“，使得成立”是假命题，则实数可能值是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 为定值 D. 为钝角三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________. 13. 已知二面角为60º，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______________. 14. 已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是_________. 四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 有人收集了春节期间平均气温与某取暖商品销售额有关数据，如下表所示． 平均气温 -3 -4 -5 -6 -7 销售额/万元 20 23 27 30 50 （1）根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程； （2）预测平均气温为时，该商品的销售额为多少万元． 16. 已知幂函数（）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 17. 将圆上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的4倍，所得的曲线为.记曲线与轴负半轴和轴正半轴分别交于两点，为轴上一点. （1）求曲线的方程； （2）连接交曲线于点，过点作轴的垂线交曲线于另一点，证明：. 18. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）所示，并配上花结. 图（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，. （1）若，记点关于平面对称点为，点关于直线的对称点为. （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求直线与平面所成角正弦值. （2）据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时、、、、、、、这8条线段可能长短不一） 19. 设数列的前项和为，已知.令. （1）求的通项公式； （2）当时，，求正整数； （3）数列中是否存在相等的两项？若存在，求所有的正实数，使得中至少有两项等于；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$