数列的概念及等差数列 零基础讲义-2025届高三体育单招数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 数列的概念及等差数列知识点·梳理 一、数列的概念 ①数列的概念：按照一定规律排列的一列数称为数列；记作. ②数列的分类 1）按照项数分类：有穷数列、无穷数列. 2）按照变化趋势分类：递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列. ③数列与函数的关系：数列可以看成是一个自变量为的函数. ④数列的通项公式与递推公式 1）递推公式：如果数列相邻两项(多项)的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做递推公式. 2）通项公式：如果数列第项与序号的关系可以用一个式子表示，这个公式叫做通项公式. ⑤数列的前项和 1）我们把数列从第一项到第项的和称为数列前项和，记为. 2）与的关系：. 二、等差数列 ①等差数列的有关概念 1）等差数列的定义：一个数列从第项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列，其中这个常数称为公差. 2）等差数列定义式：. 3）等差中项：若成等差数列，则. 4）等差数列的通项公式：或. 5）等差数列的前项和：或. ②等差数列的性质 已知数列是等差数列，是数列的前项和. 1）若,则有. 2）等差数列的单调性： 当时，是递增数列； 当时，是递减数列； 当时，是常数数列. 3）若数列是等差数列，公差为，则成等差数列. 4）数列成等差数列. 5）若数列是等差数列，则成等差数列. 6）当为奇数时，；当为偶数时，. 重点题型·归类精讲 题型一 数列的概念及其表示 【例1-1】（2024年真题）已知数列的前项和，则其通项____ 【答案】 【解析】 ，同样适合通项公式，故 【例1-2】已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由题知，， 则， ， 又，符合上式， 所以. 故答案为： 【变式1】已知是数列的前n项和，且满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 显然，故. 故答案为： 题型二 等差数列基本量计算 【例2-1】在等差数列中， (1)已知，，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）由，，，则． （2）由，，，则，解得． （3）由，，则． （4）由，，则． 【例2-2】（2023年真题）记为等差数列的前n项和.若，则（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】B 【解析】 提示:当算出，也可以把数列的每个数一个一个列出来，即， 方法二: ，上式乘以6，下式减上式得，代入上式，解得 同理算出和之后，也可以把数列每个数一个一个列出来。 【例2-3】（2022年真题节选）已知函数，是等差数列，且 (1)求的前项和； 解:(1) 为等差数列 ,即 解得 公差,首项16 前项和 【例2-4】（2017年真题）已知等差数列的公差为，则的前12项和为___ 【答案】90 【解析】 【例2-5】（2014年真题）已知是等差数列，则其第16项的值是___ 【答案】55 【解析】首项为-5，公差为4，通项公式； 【例2-6】（2012年真题）等差数列的前项和为，若，则 A、8 B、9 C、10 D、11 【答案】C 【解析】 【例2-7】（2011年真题）是等差数列的前项和，已知，则公差 A、-1 B、-2 C、1 D、2 【答案】D 【解析】 【变式1】在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求d； (3)已知，，，求n. (4)已知，，求，； (5)已知，，求； (6)已知，，求． (7)已知，，求首项与公差； (8)已知，，求通项． 【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)28；(6)17.(7)，；(8). 【解析】（1）由知：； （2）因为，，所以，所以，解得； （3）由知：，解得. （4）在等差数列中，由，得：，解得， 所以. （5）设等差数列的公差为，由，得：，解得， 所以. （6）设等差数列的公差为，由，得：，解得， 所以. （7）由已知可得，解得. （8）由已知可得，解得.所以，. 【变式2】（2010年真题）等差数列中，，公差，若数列前项和，则 A、5 B、9 C、13 D、17 【答案】B 【解析】列举等差数列，看前多少项的和为0， ，故前9项的和为0 【变式3】（2008年真题）已知是等差数列，，则的通项公式 【答案】 【解析】， 故 【变式4】（2005年真题）设等差数列的前项和为，已知，则 A、235 B、175 C、205 D、265 【答案】A 【解析】;解得 【变式5】已知等差数列的前n项和，且则（    ） A．10 B．15 C．30 D．3 【答案】B 【解析】因为是等差数列，， 所以，则， 所以. 故选：B 【变式6】已知等差数列，若，，则（    ） A．30 B．36 C．24 D．48 【答案】A 【解析】已知等差数列，①，②， 设数列的公差为d， ②－①得， 则． 故选：A. 【变式7】已知为等差数列的前项和，若，，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为数列是等差数列， 成等差数列， 而，， ， 故选：B. 题型三 等差数列的性质 【例3-1】（2021年真题）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】，数列首项为2;， 公差 【例3-2】（2020年真题）1，3的等差中项是 A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】 【解析】有一列有规律的数，差相等，1和3中间那个数就是2，2比1大1，3比2大1，故等差，也就是说2是1和3的等差中项。 【例3-3】（2019年真题）记等差数列的前项和为，若，则 A、110 B、80 C、55 D、30 【答案】C 【解析】是和的等差中项， 是和的等差中项， 同理也是和的等差中项， 【例3-4】（2013年真题）等差数列共有20项，其奇数项之和为130，偶数项之和为150，则该数列的公差为___ 【答案】2 【解析】10个奇数项，10个偶数项，差10个，即 【例3-5】（2004年真题）在等差数列中，若，则的值是 A、45 B、75 C、90 D、180 【答案】D 【解析】 【例3-6】（2003年真题）在数列中，若，且对任意，有，则数列的前10项和为 A、5 B、 C、 D、25 【答案】C 【解析】数列首项，公差，所以前10项分别是： ，首尾相加最后结果2、5 【变式1】已知数列是等差数列，，则（    ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 【答案】B 【解析】数列是等差数列又故选：B. 【变式2】在等差数列中，，则（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【解析】由题设，，则，所以.故选：C 【变式3】等差数列中，，，则该数列的公差为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为， 则②-①可得：， 所以. 故选：A. 【变式4】已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数. 【答案】见解析 【解析】根据题意设这5个数分别为, 则,即, 解得. 当时,这5个数分别为 ； 当时,这5个数分别为. 课后模拟·巩固练习 1、已知数列的前项和为，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】当时，； 当时，； 显然时也符合上式，所以. 故答案为： 2、（多选）已知数列，则下列说法正确的是（     ） A．此数列的通项公式是 B．是它的第项 C．此数列的通项公式是 D．是它的第项 【答案】AB 【解析】数列，即， 则此数列的通项公式为，A正确，C错，令，解得，故B正确，D错. 故选：AB 3、已知数列的前n项和，则 . 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 不满足上式.故. 故答案为： 4、等差数列中，，求（    ） A．45 B．15 C．18 D．36 【答案】D 【解析】因为是等差数列，所以，解得， 所以， 故选：D 5、在等差数列中， (1)已知，，求和公差d； (2)已知，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． (5)已知，，，求； (6)已知，，，求； (7)已知，，，求d； (8)已知，，，求． 【答案】(1)，；(2)(3)28 (4)17.(5)13(6)8(7)(8) 【解析】（1），，； （2），，； （3），，； （4），，上两式联立：，，； 故答案为：，，-12，28，17. （5）解：因为数列为等差数列，，，， 所以，所以； （6）解：因为数列为等差数列，，，， 所以，解得； （7）解：因为数列为等差数列，，，， 所以，解得； （8）解：因为数列为等差数列，，，， 所以，解得 6、已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【答案】B 【解析】因为，所以．故选：B． 7、已知等差数列的公差，，那么（    ） A．80 B．120 C．135 D．160 【答案】C 【解析】在等差数列中，公差，， 所以, 所以， 故选：C 8、已知等差数列的公差，，那么（    ） A．80 B．120 C．135 D．160 【答案】C 【解析】在等差数列中，公差，， 所以, 所以， 故选：C 9、一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为 . 【答案】3 【解析】题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为, 故有 , 两式相减, 因为, 故, 故. 故答案为:3 10、已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】、的等差中项为.故选：B 11、在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列为等差数列，因为，得，所以， 所以，故A项正确.故选:A. 12、已知是等差数列的前n项和，，则（    ） A．22 B．33 C．40 D．44 【答案】B 【解析】解法一： 因为是等差数列， 所以， 则，所以. 解法二： 设等差数列的公差为d， 则由得，，得， 所以. 故选：B 13、设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 【答案】C 【解析】由题意得成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：C 14、已知为等差数列，若，则=（    ） A．73 B．120 C．121 D．122 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为， 则， 所以.故选：B 15、一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D 16、数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为数列满足，， 所以，数列是公差为的等差数列，故. 故选：C 17、已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．45 B．60 C．160 D．80 【答案】A 【解析】因为等差数列中，又， 所以，即，又， 所以. 故选：A 18、在等差数列中，，则（    ） A． B． C．1345 D．2345 【答案】A 【解析】因为，得， 又因为，得， 可得数列的公差，则， 所以． 故选：A． 19、已知等差数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】 【解析】因为是等差数列，所以是等差数列， 则，即，解得． 故答案为：． 20、已知等差数列的前项和为，且，，则 . 【答案】16 【解析】因为等差数列的前项和为,所以,,,成等差数列, 所以，即 解得，所以，所以，解得，故答案为：16 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 数列的概念及等差数列知识点·梳理 一、数列的概念 ①数列的概念：按照一定规律排列的一列数称为数列；记作. ②数列的分类 1）按照项数分类：有穷数列、无穷数列. 2）按照变化趋势分类：递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列. ③数列与函数的关系：数列可以看成是一个自变量为的函数. ④数列的通项公式与递推公式 1）递推公式：如果数列相邻两项(多项)的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做递推公式. 2）通项公式：如果数列第项与序号的关系可以用一个式子表示，这个公式叫做通项公式. ⑤数列的前项和 1）我们把数列从第一项到第项的和称为数列前项和，记为. 2）与的关系：. 二、等差数列 ①等差数列的有关概念 1）等差数列的定义：一个数列从第项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列，其中这个常数称为公差. 2）等差数列定义式：. 3）等差中项：若成等差数列，则. 4）等差数列的通项公式：或. 5）等差数列的前项和：或. ②等差数列的性质 已知数列是等差数列，是数列的前项和. 1）若,则有. 2）等差数列的单调性： 当时，是递增数列； 当时，是递减数列； 当时，是常数数列. 3）若数列是等差数列，公差为，则成等差数列. 4）数列成等差数列. 5）若数列是等差数列，则成等差数列. 6）当为奇数时，；当为偶数时，. 重点题型·归类精讲 题型一 数列的概念及其表示 【例1-1】（2024年真题）已知数列的前项和，则其通项____ 【例1-2】已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 ． 【变式1】已知是数列的前n项和，且满足，则数列的通项公式 . 题型二 等差数列基本量计算 【例2-1】在等差数列中， (1)已知，，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 【例2-2】（2023年真题）记为等差数列的前n项和.若，则（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 【例2-3】（2022年真题节选）已知函数，是等差数列，且 (1)求的前项和； 【例2-4】（2017年真题）已知等差数列的公差为，则的前12项和为___ 【例2-5】（2014年真题）已知是等差数列，则其第16项的值是___ 【例2-6】（2012年真题）等差数列的前项和为，若，则 A、8 B、9 C、10 D、11 【例2-7】（2011年真题）是等差数列的前项和，已知，则公差 A、-1 B、-2 C、1 D、2 【变式1】在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求d； (3)已知，，，求n. (4)已知，，求，； (5)已知，，求； (6)已知，，求． (7)已知，，求首项与公差； (8)已知，，求通项． 【变式2】（2010年真题）等差数列中，，公差，若数列前项和，则 A、5 B、9 C、13 D、17 【变式3】（2008年真题）已知是等差数列，，则的通项公式 【变式4】（2005年真题）设等差数列的前项和为，已知，则 A、235 B、175 C、205 D、265 【变式5】已知等差数列的前n项和，且则（    ） A．10 B．15 C．30 D．3 【变式6】已知等差数列，若，，则（    ） A．30 B．36 C．24 D．48 【变式7】已知为等差数列的前项和，若，，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 题型三 等差数列的性质 【例3-1】（2021年真题）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2020年真题）1，3的等差中项是 A、1 B、2 C、3 D、4 【例3-3】（2019年真题）记等差数列的前项和为，若，则 A、110 B、80 C、55 D、30 【例3-4】（2013年真题）等差数列共有20项，其奇数项之和为130，偶数项之和为150，则该数列的公差为___ 【例3-5】（2004年真题）在等差数列中，若，则的值是 A、45 B、75 C、90 D、180 【例3-6】（2003年真题）在数列中，若，且对任意，有，则数列的前10项和为 A、5 B、 C、 D、25 【变式1】已知数列是等差数列，，则（    ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 【变式2】在等差数列中，，则（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【变式3】等差数列中，，，则该数列的公差为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式4】已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数. 课后模拟·巩固练习 1、已知数列的前项和为，则数列的通项公式 . 2、（多选）已知数列，则下列说法正确的是（     ） A．此数列的通项公式是 B．是它的第项 C．此数列的通项公式是 D．是它的第项 3、已知数列的前n项和，则 . 4、等差数列中，，求（    ） A．45 B．15 C．18 D．36 5、在等差数列中， (1)已知，，求和公差d； (2)已知，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． (5)已知，，，求； (6)已知，，，求； (7)已知，，，求d； (8)已知，，，求． 6、已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 7、已知等差数列的公差，，那么（    ） A．80 B．120 C．135 D．160 8、已知等差数列的公差，，那么（    ） A．80 B．120 C．135 D．160 9、一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为 . 10、已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 11、在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 12、已知是等差数列的前n项和，，则（    ） A．22 B．33 C．40 D．44 13、设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 14、已知为等差数列，若，则=（    ） A．73 B．120 C．121 D．122 15、一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 16、数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 17、已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．45 B．60 C．160 D．80 18、在等差数列中，，则（    ） A． B． C．1345 D．2345 19、已知等差数列的前项和为，若，，则 ． 20、已知等差数列的前项和为，且，，则 . 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$