古典概型、积（和）事件与独立重复试验 零基础讲义-2025届高三体育单招数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 古典概型、积（和）事件与独立重复试验知识点·梳理 一．随机事件与事件之间的关系 ①事件的分类：随机事件、必然事件、不可能事件。 ②事件的关系与运算 （1）相等关系：若事件和事件相互包含，则称事件与事件相等。 （2）并事件(和事件)：若事件表示事件和事件至少发生一个，则事件为事件和的并事件。 （3）交事件(积事件)：若事件表示事件和事件两个都发生，则事件为事件和的交事件。 （4）互斥事件：事件和事件不同时发生（包含两个事件都不发生）。 （5）对立事件：事件和事件有且仅有一个发生。 二．古典概型 （1）概率的定义：对随机事件发生可能性大小的度量称为事件的概率。 （2）古典概型：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等； （3）古典概型的概率公式：。 三、相互独立事件的概率 1、概念：对任意两个事件与，如果，则称事件与事件相互独立，简称为独立。 2、性质：若事件与相互独立，那么与与与也都相互独立。 四、次重复独立试验的概率 做次独立重复试验中，事件每次发生的概率为，在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率为； 重点题型·归类精讲 题型一 古典概型 【例1-1】（2024年真题）从甲、乙、丙、丁4人中任选2人组成志愿小组，则甲被选中的概率为 A、1 B、 C、 D、 【例1-2】（2021年真题）从数字中随机取3个不同的数字，其和为偶数的概率为 ． 【例1-3】（2020年真题）从中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为__ 【例1-4】（2019年真题）从这5个数中，任取2个不同的数，其和为偶数的概率是 A、 B、 C、 D、 【例1-5】（2017年真题）在15件产品中，有10件是一级品，5件是二级品，从中一次任意抽取3件产品，求： (1)抽取的3件产品全部是一级品的概率 (2)抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率 【例1-6】（2014年真题）从5位男运动员和4位女运动员中任选3人接受记者采访，这3人中男、女运动员都有的概率是 A、 B、 C、 D、 【变式1】（2013年真题）有3男2女，随机挑选2人参加活动，其中恰好1男1女的概率为___ 【变式2】（2009年真题）将10名获奖运动员(其中男运动员6名，女运动员4名)，随机分成甲、乙两组赴各地作交流报告，每组各5人，则甲组至少一名女运动员的概率为___(用分数表示) 【变式3】有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4】从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二 积（和）事件的概率 【例2-1】（2023年真题）甲、乙、丙3人参加国防知识竞赛，设甲、乙、丙在竞赛中获得满分的概率分别为，且3人的竞赛成绩相互独立。 （1）求恰有2人获得满分的概率 （2）求至少有1人获得满分的概率 【例2-2】（2012年真题）某选拔测试包含三个不同科目，至少两个科目为优秀才能通过测试，设某学员三个科目获优秀的概率分别为，则该学员通过测试的概率是___ 【例2-3】（2010年真题）篮球运动员甲和乙的罚球命中率分别是0.5和0.6，假设两人罚球是否命中相互无影响，每人各次 罚球是否命中也相互无影响。若甲，乙两人各连续2次罚球都至少1次未命中的概率为，则 A、 B、 C、 D、 【例2-4】（2007年真题）甲、乙两人参加田径知识考核，共有有关田赛项目的4道题目和有关径赛项目的6道题目，由甲先抽1题(抽后不放回)，乙再抽1题作答 (1)求甲抽到田赛题目，且乙抽到径赛题目的概率 (2)求甲、乙两人至少有1人抽到田赛的概率 (3)求甲、乙两人同时抽到田赛题目或同时抽到径赛题目的概率 【变式1】两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A． B． C． D． 【变式2】已知一场长跑训练中，队员甲不及格的概率为0.3，队员乙及格的概率为0.6，这两名队员是否及格相互独立，则同一场训练中甲、乙两人至少有一人及格的概率为（   ） A．0.12 B．0.88 C．0.42 D．0.58 题型三 独立重复事件的概率 【例3-1】（2015年真题）某校组织跳远达标测验，已知甲同学每次达标的概率是。他测验时跳了4次，设各次是否达标相互独立。 (1)求甲恰好有3次达标的概率 (2)求甲至少有1次不达标的概率(用分数作答) 【例3-2】（2018年真题）某篮球运动员进行定点投篮测验，共投篮3次，至少命中2次为检测合格。若该运动员每次投篮的命中率均为0.7，且各次投篮结果互相独立，则该运动员测验合格的概率是___ 【例3-3】（2022年真题）某射击运动员各次射击成绩相互独立，已知该运动员每次射击成绩为10环的概率为0.8，9环的概率为0.1，小于9环的概率为0.1，该运动员共射击3次。 （1）求该运动员恰有2次成绩为9环的概率； （2）求该运动员3次成绩总和不小于29环的概率。 【例3-4】（2005年真题）甲、乙两支篮球队进行比赛时，甲队获胜的概率是0.6，若甲、乙两队比赛3场且各场比赛互相没有影响，求 (1)甲胜一场的概率 (2)甲胜三场的概率 【变式1】为了丰富同学们的业余生活，增强体质，培养团队意识，甲、乙两校举行乒乓球比赛．比赛采取5局3胜制．假设每局比赛甲校胜乙校的概率都为，没有平局，且各局比赛的结果互不影响，则甲校以3：0获胜或以3：1获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为0.7，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领取了此种盆栽植物4株，则成活的株数比未成活的株数多的概率为 . 题型四 概率综合运用 【例4-1】（2011年真题）甲、乙两名篮球运动员进行发球比赛，设甲罚球命中率为0.6，乙罚球命中率为0.5 (1)甲、乙各罚球3次，命中1次的1分，求甲、乙得分相等的概率 (2)命中1次得1分，若不中则停止罚球，且至多罚球3次，求甲得分比乙多的概率 【例4-2】（2008年真题）某射击运动员进行训练，每组射击3次，全部命中10环为成功，否则为失败，在每单元4组训练中至少3组成功为完成任务，设该运动员射击1次命中10环的概率为0.9 (1)求该运动员1组成功的概率 (2)求该运动员完成1单元任务的概率(精确到小数点后3位) 【例4-3】（2006年真题）假设运动员甲、乙、丙三人每次射击命中靶心的概率分别为，且各运动员是否命中靶心相互之间没有影响 (1)三名运动员各射击一次，求其中至少有一人命中靶心的概率 (2)三名运动员各射击一次，求其中恰有一人命中靶心的概率 (3)求运动员甲单独射击三次，恰有两次命中靶心的概率 【变式1】某档知识竞赛节目的规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人每道题答对的概率分别为，并且每道题两人答对与否相互独立. (1)求第一题结束时甲获得1分的概率； (2)求甲获得胜利的概率. 【变式2】溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 课后模拟·巩固练习 1、一个学习小组有5名同学，其中2名女生，3名男生.从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中女生人数不少于男生人数的概率为（    ） A． B． C． D． 2、某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 3、在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.5，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（    ） A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84 4、一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生.从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为 . 5、从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是 . 6、某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班．已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是（    ） A． B． C． D． 7、两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（    ） A． B． C． D． 8、甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 9、一个劳动小组有名同学，其中名女生，名男生．从这个小组中任意选出名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为 ． 10、已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求： (1)恰有1件次品的概率； (2)2件都是合格品的概率． 11、已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（    ） A．0.4096 B．0.8192 C．0.8464 D．0.9728 12、甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，两人都成功破译的概率为 . 13、三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 14、一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 15、为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 16、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，求下列事件的概率： (1)第一轮射击中恰好有一人中靶； (2)经过两轮射击，两人共中靶3次 17、操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立. (1)求其中恰好有4名同学投中的概率； (2)求其中至少有4名同学投中的概率. 18、甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为． (1)求甲恰好击中目标2次的概率； (2)求乙恰好比甲多击中目标2次的概率． 19、已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击． (1)求恰有3次命中10环的概率； (2)求至多有3次命中10环的概率； 20、在一个盒子中有6个红球和2个黑球，这8个球除颜色外没有其他差异.现从中依次随机地取出2个球. (1)若采用放回方式抽取，求两次取到的球颜色不同的概率； (2)若采用不放回方式抽取，求两次取到的球颜色相同的概率. 21、根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率； (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率． 22、如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，求下面四个事件的概率： (1)2个球不都是红球； (2)2个球都是红球； (3)2个球至少有1个红球； (4)2个球中恰好有1个红球． 23、甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中. 24、甲、乙两名同学进行投篮比赛，若甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，求下列事件的概率. (1)两人都投中； (2)恰好有一人投中. 25、某校从3名男生和2名女生中随机选出3人参加植树活动．求下列事件的概率： (1)恰有1名女生； (2)至少1名女生； (3)选出的学生中男生比女生人数多． 26、在高中学生军训的射击表演中，学生甲的命中率为，学生乙的命中率为．甲、乙两人的射击互不影响．求： (1)两人同时击中目标的概率； (2)两人中至少有一人击中目标的概率； (3)两人都没击中目标的概率； (4)两人中至多有一人击中目标的概率． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 古典概型、积（和）事件与独立重复试验知识点·梳理 一．随机事件与事件之间的关系 ①事件的分类：随机事件、必然事件、不可能事件。 ②事件的关系与运算 （1）相等关系：若事件和事件相互包含，则称事件与事件相等。 （2）并事件(和事件)：若事件表示事件和事件至少发生一个，则事件为事件和的并事件。 （3）交事件(积事件)：若事件表示事件和事件两个都发生，则事件为事件和的交事件。 （4）互斥事件：事件和事件不同时发生（包含两个事件都不发生）。 （5）对立事件：事件和事件有且仅有一个发生。 二．古典概型 （1）概率的定义：对随机事件发生可能性大小的度量称为事件的概率。 （2）古典概型：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等； （3）古典概型的概率公式：。 三、相互独立事件的概率 1、概念：对任意两个事件与，如果，则称事件与事件相互独立，简称为独立。 2、性质：若事件与相互独立，那么与与与也都相互独立。 四、次重复独立试验的概率 做次独立重复试验中，事件每次发生的概率为，在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率为； 重点题型·归类精讲 题型一 古典概型 【例1-1】（2024年真题）从甲、乙、丙、丁4人中任选2人组成志愿小组，则甲被选中的概率为 A、1 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】4个人里选2人， 若甲被选中，再从剩下3人里选1人， 故甲被选中的概率 甲被选中的情况，要么甲乙，要么甲丙，要么甲丁 【例1-2】（2021年真题）从数字中随机取3个不同的数字，其和为偶数的概率为 ． 【答案】 【解析】这道题可用列举法，或者公式法求解 5个数里选3个不同的数，一共有10种情况，其中6种和为偶数，概率 【例1-3】（2020年真题）从中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为__ _ 【答案】 【解析】5个数里选3个共有种情况若3个数和为偶数，则2个奇数、1个偶数也就是说3个奇数里选2个奇数，2个偶数里选1个偶数3个奇数里选2个奇数共有种情况2个偶数里选1个偶数共有种情况奇数、偶数组合共有种情况 【例1-4】（2019年真题）从这5个数中，任取2个不同的数，其和为偶数的概率是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】本题可用列举法求解 共计10种情况，和为偶数的有4种情况，概率 【例1-5】（2017年真题）在15件产品中，有10件是一级品，5件是二级品，从中一次任意抽取3件产品，求： (1)抽取的3件产品全部是一级品的概率 (2)抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率 解：(1)15件产品抽3件，共有种情况 10件一级品中选3件，共有种情况 所以全是一级品的概率 (2)至多1件二级品的意思是要么0件二级品，要么1件二级品。由(1)可知，0件二级品、即3件均为1极品的情况共有120种，2件一级品、1件二极品共有种，，所以至多有1件是二级品的概率 【例1-6】（2014年真题）从5位男运动员和4位女运动员中任选3人接受记者采访，这3人中男、女运动员都有的概率是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】9个运动员里选3个运动员的事件个数，全是男运动员的情况，全是女运动员的情况，既有男生、又有女生的情况：70，概率 【变式1】（2013年真题）有3男2女，随机挑选2人参加活动，其中恰好1男1女的概率为___ 【答案】 【解析】5个人里选2个，，全是男生，全是女生1种情况，1男1女10-种情况，概率 【变式2】（2009年真题）将10名获奖运动员(其中男运动员6名，女运动员4名)，随机分成甲、乙两组赴各地作交流报告，每组各5人，则甲组至少一名女运动员的概率为___(用分数表示) 【答案】 【解析】10个里面选5人共，故甲共有252种情况;甲组全是男运动员的情况即6种，除此之外，至少有一个女运动员，种情况，概率为 【变式3】有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记3克的砝码为，，1克的砝码为，，2克的砝码为，从中随机选取两个砝码， 样本空间， 共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为． 故选：A. 【变式4】从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题从1，2，3，4，5这5个数中任取2个 共有，10种， 满足这2个数字之积大于5的有，共有6种， 则由古典型概率可知其所求概率为. 故选：C 题型二 积（和）事件的概率 【例2-1】（2023年真题）甲、乙、丙3人参加国防知识竞赛，设甲、乙、丙在竞赛中获得满分的概率分别为，且3人的竞赛成绩相互独立。 （1）求恰有2人获得满分的概率 （2）求至少有1人获得满分的概率 解:(1)恰有2人获得满分的概率 (2)全都不获得满分的概率 至少1人获得满分的概率 【例2-2】（2012年真题）某选拔测试包含三个不同科目，至少两个科目为优秀才能通过测试，设某学员三个科目获优秀的概率分别为，则该学员通过测试的概率是___ 【答案】 【解析】三科均优秀的概率为，两科优秀的概率，通过测试的概率 【例2-3】（2010年真题）篮球运动员甲和乙的罚球命中率分别是0.5和0.6，假设两人罚球是否命中相互无影响，每人各次 罚球是否命中也相互无影响。若甲，乙两人各连续2次罚球都至少1次未命中的概率为，则 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】两人两次都未命中，;两人都有一次未命中;甲两次未命中、乙有一次未命中，;甲有一次未命中、乙两次均未命中，。概率 【例2-4】（2007年真题）甲、乙两人参加田径知识考核，共有有关田赛项目的4道题目和有关径赛项目的6道题目，由甲先抽1题(抽后不放回)，乙再抽1题作答 (1)求甲抽到田赛题目，且乙抽到径赛题目的概率 (2)求甲、乙两人至少有1人抽到田赛的概率 (3)求甲、乙两人同时抽到田赛题目或同时抽到径赛题目的概率 (1)解：甲抽到田赛概率，不放回，乙抽到径赛的概率 故甲抽到田赛题目，且乙抽到径赛题目的概率为 (2)解：至少1人抽到田赛的对立事件为甲、乙两人抽到的都是径赛 甲、乙都抽到径赛的概率为 所以至少1人抽到田赛的概率为 (3)解：同时抽到径赛的概率;同时抽到田赛的概率， 所以同时抽到田赛或径赛的概率为 【变式1】两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×= 故选B 【变式2】已知一场长跑训练中，队员甲不及格的概率为0.3，队员乙及格的概率为0.6，这两名队员是否及格相互独立，则同一场训练中甲、乙两人至少有一人及格的概率为（   ） A．0.12 B．0.88 C．0.42 D．0.58 【答案】B 【解析】设甲、及格分别为事件，则， 所以，由于两名队员是否及格相互独立， 同一场训练中甲、乙两人至少有一人及格的概率为． 故选：B 题型三 独立重复事件的概率 【例3-1】（2015年真题）某校组织跳远达标测验，已知甲同学每次达标的概率是。他测验时跳了4次，设各次是否达标相互独立。 (1)求甲恰好有3次达标的概率 (2)求甲至少有1次不达标的概率(用分数作答) 解：(1)恰好三次达标的概率 (2)全部都达标的概率，所以至少1次不达标的概率 【例3-2】（2018年真题）某篮球运动员进行定点投篮测验，共投篮3次，至少命中2次为检测合格。若该运动员每次投篮的命中率均为0.7，且各次投篮结果互相独立，则该运动员测验合格的概率是___ 【答案】0.784 【解析】三次都合格的概率 两次合格一次不合格共3种情况 第一次不合格、其它两次合格 第二次不合格、其它两次合格 第三次不合格、其它两次合格 合格概率 【例3-3】（2022年真题）某射击运动员各次射击成绩相互独立，已知该运动员每次射击成绩为10环的概率为0.8，9环的概率为0.1，小于9环的概率为0.1，该运动员共射击3次。 （1）求该运动员恰有2次成绩为9环的概率； （2）求该运动员3次成绩总和不小于29环的概率。 解: (1)恰好2次成绩为9环的概率 (2)3次均为10环的概率 2次10环、1次9环的概率 不小于29环的概率 【例3-4】（2005年真题）甲、乙两支篮球队进行比赛时，甲队获胜的概率是0.6，若甲、乙两队比赛3场且各场比赛互相没有影响，求 (1)甲胜一场的概率 (2)甲胜三场的概率 (1)解：甲胜一场的概率 (2)解：甲胜三场的概率 【变式1】为了丰富同学们的业余生活，增强体质，培养团队意识，甲、乙两校举行乒乓球比赛．比赛采取5局3胜制．假设每局比赛甲校胜乙校的概率都为，没有平局，且各局比赛的结果互不影响，则甲校以3：0获胜或以3：1获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】甲校以3：0获胜表示比赛进行3局结束，甲校胜3局，概率为， 甲校以3：1获胜表示比赛进行4局结束，甲校胜3局，且第4局甲校胜，概率为， 所以所求概率为， 故选：C． 【变式2】一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次取到红球，2次取到白球，由于每次取到红球的概率为．由二项分布知识可知，故选：D． 【变式3】某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为0.7，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领取了此种盆栽植物4株，则成活的株数比未成活的株数多的概率为 . 【答案】/ 【详解】设为成活的株数，则，由题意知的可能取值为3，4.，所以成活的株数比未成活的株数多的概率.故答案为： 题型四 概率综合运用 【例4-1】（2011年真题）甲、乙两名篮球运动员进行发球比赛，设甲罚球命中率为0.6，乙罚球命中率为0.5 (1)甲、乙各罚球3次，命中1次的1分，求甲、乙得分相等的概率 (2)命中1次得1分，若不中则停止罚球，且至多罚球3次，求甲得分比乙多的概率 解：均得0分的概率 均得1分的概率 均得2分的概率 均得3分的概率 所以甲、乙得分相等的概率 (2)甲得1分乙得0分的概率 甲得2分乙得1分的概率 甲得2分乙得0分的概率 甲得3分乙得2分的概率 甲得3分乙得1分的概率 甲得3分乙得0分的概率 所以甲得分比乙高的概率 【例4-2】（2008年真题）某射击运动员进行训练，每组射击3次，全部命中10环为成功，否则为失败，在每单元4组训练中至少3组成功为完成任务，设该运动员射击1次命中10环的概率为0.9 (1)求该运动员1组成功的概率 (2)求该运动员完成1单元任务的概率(精确到小数点后3位) (1)解：一组成功的概率 (2)解：一单元成功的概率0，702 解析：四次全中的概率 中三次的概率，不中可能出现在第4次、第3次、第2次或第1次，也就相当于乘以4，即 【例4-3】（2006年真题）假设运动员甲、乙、丙三人每次射击命中靶心的概率分别为，且各运动员是否命中靶心相互之间没有影响 (1)三名运动员各射击一次，求其中至少有一人命中靶心的概率 (2)三名运动员各射击一次，求其中恰有一人命中靶心的概率 (3)求运动员甲单独射击三次，恰有两次命中靶心的概率 (1)解：至少一人命中靶心的对立事件为：三名运动员全未中靶心 三名运动员全未命中的概率 至少一人命中靶心的概率 (2)解：甲命中、乙丙未命中概率 乙命中、甲丙未命中概率 丙命中、甲乙未命中概率 所以恰有一人命中的概率 (3)解：恰有两次命中概率 【变式1】某档知识竞赛节目的规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人每道题答对的概率分别为，并且每道题两人答对与否相互独立. (1)求第一题结束时甲获得1分的概率； (2)求甲获得胜利的概率. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）第一题结束时甲获得1分的概率为. （2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙获得1分的概率分别为， 两人共抢答了3道题，比赛结束且甲获胜的概率， 两人共抢答了4道题，比赛结束且甲获胜的概率， 两人共抢答了5道题，比赛结束且甲获胜的概率， 故甲获得胜利的概率 【变式2】溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）记“队总得分为3分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件. 乙队得3分，即三人都回答正确，其概率. 乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错， 其概率. （2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分， 记“甲队总得分为1分”为事件，“乙队总得分为2分”为事件. 事件即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错， 则， 事件即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错， 则，则甲队得分与乙队得分为的概率. 课后模拟·巩固练习 1、一个学习小组有5名同学，其中2名女生，3名男生.从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中女生人数不少于男生人数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】5人小组中，设2女生分别为a,b，3名男生分别为A,B,C， 则任意选出2名同学，共有:10个基本事件， 其中选出的同学中女生人数不少于男生人数有7个基本事件， 所以.故选：D 2、某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，即进入决赛的概率为.故选：B 3、在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.5，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（    ） A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84 【答案】C 【解析】依题意，在这段时间内，甲乙都不去参观博物馆的概率为， 所以在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是． 故选：C 4、一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生.从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为 . 【答案】 【解析】一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生,从这个小组中任意选出2名同学基本事件总数为,选出的同学中既有男生又有女生包含的基本事件个数为,则所求事件的概率为，故答案为： 5、从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是 . 【答案】 【解析】从这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，共6个，所取2个数之和为9的基本事件有，共2个，故所求概率.故答案为： 6、某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班．已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小明和小华参加兴趣班的方案有种，其中小明和小华参加的兴趣班都不同的情况有种，故所求概率．故选：D. 7、两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两名男生，一名女生记为两名男生，一名女生排成一排可能为：，故总可能数，女生站在中间的可能为：，故可能数，则女生站在中间的概率.故选：A. 8、甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两人选取科目的方法共有种，科目完全相同的方法共有种，科目不完全相同方法共有12种，故所求概率为.故选：D. 9、一个劳动小组有名同学，其中名女生，名男生．从这个小组中任意选出名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为 ． 【答案】 【详解】一个劳动小组有3名同学，其中2名女生，1名男生，所以从这个小组中任意选出2名同学基本事件总数为，选出的同学中既有男生又有女生包含的基本事件个数为，则所求事件的概率为，故答案为：． 10、已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求： (1)恰有1件次品的概率； (2)2件都是合格品的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）记2件次品、3件合格品依次为：，则样本空间为,恰有1件次品所对应的子集为，故所求概率为； （2）2件都是合格品所对应的子集为，故所求概率为. 11、已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（    ） A．0.4096 B．0.8192 C．0.8464 D．0.9728 【答案】B 【详解】设运动员射击4次，击中目标的次数为，则,于是，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为：．故选：B. 12、甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，两人都成功破译的概率为 . 【答案】 【详解】因为甲、乙两人独立破译一份密码，且能破译的概率分别为，，所以两人都成功破译的概率为.故答案为：. 13、三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 【答案】 【详解】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 则,所以.即击落直升机的概率为． 14、一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”，则， 则一小时内没有一台机床需要维护，即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即. 15、为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，则.因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件，则所求的概率为. （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，则.所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为，所以所求的概率为 16、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，求下列事件的概率： (1)第一轮射击中恰好有一人中靶； (2)经过两轮射击，两人共中靶3次 【答案】(1)(2) 【详解】（1）记每轮比赛中，“甲中靶”为事件，“乙中靶”为事件，则，记“第一轮射击中恰好有一人中靶”为事件，则包含事件甲中靶乙不中靶，或甲不中靶乙中靶，所以，所以第一轮射击中恰好有一人中靶的概率为 （2）记“经过两轮射击，两人共中靶3次”为事件，则 ，所以经过两轮射击，两人共中靶3次概率为 17、操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立. (1)求其中恰好有4名同学投中的概率； (2)求其中至少有4名同学投中的概率. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）恰好有4名同学投中的概率为 （2）至少有4名同学投中包括恰有4名同学投中和恰有5名同学投中两种情况， 所以至少有4名同学投中的概率为. 18、甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为． (1)求甲恰好击中目标2次的概率； (2)求乙恰好比甲多击中目标2次的概率． 【答案】(1)；(2)．. 【详解】（1）因为甲进行3次射击，每次击中目标的概率为，所以甲恰好击中目标2次的概率为；（2）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次甲击中目标0次为事件，乙恰好击中3次甲击中目标1次为事件，则，且，为互斥事件， 故 19、已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击． (1)求恰有3次命中10环的概率； (2)求至多有3次命中10环的概率； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设运动员每次射击命中10环为随机变量，则由题意可知，则恰有3次命中10环的概率即； （2）至多有3次命中10环的概率即； 20、在一个盒子中有6个红球和2个黑球，这8个球除颜色外没有其他差异.现从中依次随机地取出2个球. (1)若采用放回方式抽取，求两次取到的球颜色不同的概率； (2)若采用不放回方式抽取，求两次取到的球颜色相同的概率. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）采用放回方式抽取，两次取到的球颜色不同的概率为：； （2）采用不放回方式抽取，两次取到的球颜色相同的概率为：. 21、根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率； (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）记表示事件“购买甲种保险”，表示事件“购买乙种保险”， 则由题意得与，与，与，与都是相互独立事件， 且，． 记表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则， 所以． （2）记表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则， 所以． （3）记表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 方法一：则事件包括，，AB，且它们彼此为互斥事件． 所以． 方法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件． 所以． 22、如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，求下面四个事件的概率： (1)2个球不都是红球； (2)2个球都是红球； (3)2个球至少有1个红球； (4)2个球中恰好有1个红球． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）设事件表示“从甲口袋中摸出一个红球”，，事件表示“从乙口袋中摸出一个红球”，，且与相互独立， 则2个球不都是红球的概率． （2）由题得，2个球都是红球的概率． （3）由题得，2个球至少有1个红球的概率． （4）由题得，2个球中恰好有1个红球的概率． 23、甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中. 【答案】(1)0.56(2)0.94 【详解】（1）甲､乙两人都命中的概率为；（2）甲､乙两人均未命中的概率为，故甲､乙两人至少有一人命中的概率为. 24、甲、乙两名同学进行投篮比赛，若甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，求下列事件的概率. (1)两人都投中； (2)恰好有一人投中. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”， 由于两个人投篮的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立， 由已知可得，，则，；“两人都投中”，则. （2）“恰好有一人投中”，且与互斥，则 . 25、某校从3名男生和2名女生中随机选出3人参加植树活动．求下列事件的概率： (1)恰有1名女生； (2)至少1名女生； (3)选出的学生中男生比女生人数多． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）三名男生用表示，两名女生用表示，随机选出3人， 则有，共10种可能. 记事件为选出3人为1女2男，则有，共6种可能， 根据古典概型，； （2）记事件为至少1名女生，则有，共有9种可能. 根据古典概型，； （3）记事件为选出的学生中男生比女生人数多， 则有共有7种可能. 根据古典概型，. 26、在高中学生军训的射击表演中，学生甲的命中率为，学生乙的命中率为．甲、乙两人的射击互不影响．求： (1)两人同时击中目标的概率； (2)两人中至少有一人击中目标的概率； (3)两人都没击中目标的概率； (4)两人中至多有一人击中目标的概率． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）事件A：甲命中，事件B：乙命中；； （2）； （3）；（4）． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$