基本不等式 零基础讲义-2025届高三体育单招数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 基本不等式知识点·梳理 1、重要不等式 . 2、基本不等式 . 3、最值定理 已知.有下列命题： ①如果是定值，那么当且仅当时，有最小值； ②如果是定值，那么当且仅当时，有最大值； 口诀：积定和最小，和定积最大. 重点题型·归类精讲 题型一 基本不等式--直接法 【例1-1】（2011年真题）已知函数有最小值8，则 【答案】2 【解析】，最小值为 【例1-2】（2008年真题）已知函数有最小值1，则___ 【答案】 【解析】由基本不等式得，即 【例1-3】（2007年真题）函数的最大值是___ 【答案】 【解析】最小值8，故最大值 【例1-4】（2006年真题）设，则的最小值等于 A、81 B、162 C、49 D、98 【答案】B 【解析】由基本不等式得， 【变式1】已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式可求得结果. 【详解】，，（当且仅当，时取等号）， 的最大值为. 故选：B. 【变式2】若存在，使成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 故答案为： 题型二 基本不等式--配凑法 【例2-1】（2009年真题）函数的最小值是___ 【答案】21 【解析】 【变式1】若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立.故最小值为16 故选:C 【变式2】若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 【变式3】函数的最小值为（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【解析】因为，所以3x－1>0， 所以， 当且仅当，即x =1时等号成立， 故函数的最小值为5． 故选：D． 题型三 基本不等式--“1”的妙用 【例3-1】已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A．25 B．6 C．4 D．5 【答案】D 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5， 故选：D． 【变式1】已知，则取得最小值时，（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】∵，则， ∴， 当且仅当，即当时，等号成立. 故选：C. 课后模拟·巩固练习 1、已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由，，得：， （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 故选：C. 2、若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；故选：C 3．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 4．如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：C 5．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 6．设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】，等号成立当且仅当， 所以的最小值为4. 故选：B. 7．函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将函数解析式化为，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将式子整理为，进而结合基本不等式求得答案. 【详解】由题意，，所以，当且仅当时取“=”. 故选：D. 9．函数y＝3x2＋的最小值是(    ) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 【答案】D 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当时等号成立. 故选：. 10．已知都是正数，若，则的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】利用将化为积为定值的形式后，由基本不等式可求得结果. 【详解】∵， ∴， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 11．当时，函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【解析】根据题中条件，利用基本不等式，即可求出函数的最值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 即有最大值1. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由基本不等式求函数的最值，属于基础题型. 12．已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以该矩形周长的最小值为16. 故选：D. 13．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据条件整理，代入，利用基本不等式求解． 【详解】因为，， ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， 故答案为：8． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 基本不等式知识点·梳理 1、重要不等式 . 2、基本不等式 . 3、最值定理 已知.有下列命题： ①如果是定值，那么当且仅当时，有最小值； ②如果是定值，那么当且仅当时，有最大值； 口诀：积定和最小，和定积最大. 重点题型·归类精讲 题型一 基本不等式--直接法 【例1-1】（2011年真题）已知函数有最小值8，则 【例1-2】（2008年真题）已知函数有最小值1，则___ 【例1-3】（2007年真题）函数的最大值是___ 【例1-4】（2006年真题）设，则的最小值等于 A、81 B、162 C、49 D、98 【变式1】已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若存在，使成立，则的取值范围是___________. 题型二 基本不等式--配凑法 【例2-1】（2009年真题）函数的最小值是___ 【变式1】若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．16 D．17 【变式2】若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的最小值为（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型三 基本不等式--“1”的妙用 【例3-1】已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A．25 B．6 C．4 D．5 【变式1】已知，则取得最小值时，（    ） A． B． C．3 D． 课后模拟·巩固练习 1、已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 4．如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 6．设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．函数y＝3x2＋的最小值是(    ) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 10．已知都是正数，若，则的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 11．当时，函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 12．已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 13．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$