精品解析：河南省许平汝名校2025届高三下学期二模数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，是方程的根，求出的值，可求出集合，再利用并集的运算可求得集合. 【详解】因为，，， 所以是方程的根，则，解得， 故，合乎题意，故. 故选：C 2. 已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数对应的点，再得出复数对应的点，得到复数和，再进行减法运算. 【详解】在复平面内，对应的点为， 而关于直线对称的点为，则，所以. 故选：D 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必聚条件 【答案】A 【解析】 【分析】令可判断必要性，设取绝对值可判断充分性. 【详解】当时，成立，但不成立， 所以是不必要条件； 若，则，所以是充分条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知是减函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，当时根据函数解析式可得函数的图象，即可求解. 【详解】因为是减函数，且是增函数， 所以， 因为， 又当时，， 所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意. 故选：B. 5. 若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法1：确定函数单调性，进而可求解，法2：分参，得到，确定的单调性，进而可求解. 【详解】法1：因为， 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增， 要满足函数在区间内仅有一个零点， 则，，解得. 故选：C. 法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解， 而，， 令，解得或； 即在上单调递增，原问题等价于. 故选：C 6. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时， 平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 7. 张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据全概率公式得到数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式，可求. 【详解】设表示第个月去公司，则，， 根据题意，得，， 由全概率公式，得 ， 即，整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. 故选：A 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的半焦距为，结合双曲线的渐近线方程为，可得，设，结合双曲线定义，余弦定理列关系式可得，结合角平分线性质求结论. 【详解】设的半焦距为， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，故，. 设，，， 由余弦定理有， 化简得，则， 因为为的角平分线， 所以，又， 所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由指数函数单调性可判断A项，由幂函数单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项. 【详解】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确； 对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确； 对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误； 对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确. 故选：ABD. 10. 已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件得到的图象关于直线对称，关于点对称，对于A，利用，结合条件，即可求解；对于B，利用的周期为，即可求解；对于C，数形结合，即可求解；对于D，利用及的周期，即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以，则的图象关于直线对称， 又因为为奇函数，所以， 等价于，所以的图象关于点对称， 由，得到，又， 所以，则，所以的周期为， 又当时，，则时，，时，， 时，，的部分图象如图所示. 对于选项A，因为，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，又， 所以，则， 所以的周期为，，又，所以， 则，故选项B正确， 对于选项C，由图象知，当时，由得到， 又的周期为，则时，，，故选项C正确， 对于选项D，因为，所以，故选项D正确， 故选：BCD. 11. 已知函数，，则（ ） A. 是一个周期函数 B. ， C. 方程在区间上有4个不同的解 D. ，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】由是偶函数，不是周期函数可判断A项，计算可判断B项，解方程，分别研究、、时方程的解的个数可判断C项，由可得且，研究两个方程的公共解的个数可判断D项. 【详解】对于A项，因为是偶函数，不是周期函数，是偶函数，也是周期函数，故不是周期函数，故A项错误； 对于B项，因为，，，故B项正确； 对于C项，当时，方程可化为. 当时，，此时满足方程； 当时，此时或满足方程； 当时，，此时满足方程，故C项正确； 对于D项，令，则，；令，则，，因为等号不能同时取得，故D项错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的常数项为，则________________. 【答案】1 【解析】 【分析】法1：根据二项式定理的定义，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案；法2：根据多项式乘法，结合组合的计数原理，结合题意，可得答案. 【详解】法1：因为的展开式的通项， 令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取， 其余3个取，即常数项为，由，解得. 故答案为：. 13. 已知是第三象限角，，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件求出，的值.法1：根据求值； 法2：根据求出的值，再求的值. 【详解】法1：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则. 法2：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则，所以 14. 已知为抛物线上的动点，，为圆上的两个不同点，若恰为圆的一条直径，则的最小值为________________；若，均与圆相切，则的最小值为________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求圆的圆心坐标和半径，设，利用表示并求其最小值，再结合向量运算法则求的最小值，设，根据数量积的定义及二倍角公式利用表示，结合对勾函数性质求最小值即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 设，则，， （时取等号）. 所以， 当为圆的一条直径时，，， 所以， 当且仅当点的坐标为时等号成立， 所以的最小值为. 当，均与圆相切时，则， 设，则， 所以， 因为函数在上单调递增，， 所以当时，即点的坐标为时，取最小值，最小值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校开设校本课程“剪纸”，为了解学生参加该课程与性别是否有关，用简单随机抽样的方法分别从男生和女生中各抽取了50名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 课程 合计 参加“剪纸”课程 不参加“剪纸”课程 男生 10 女生 30 50 合计 （1）补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析参加“剪纸”课程是否与性别有关联； （2）以样本估计总体，且以频率估计概率，若从该校女生中随机抽取3人，记其中参加“剪纸”课程的人数为，求的期望. 附：，其中. 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）列联表： 性别 课程 合计 参加“剪纸”课程 不参加“剪纸”课程 男生 10 40 50 女生 20 30 50 合计 30 70 100 认为参加“剪纸”课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050. （2） 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算，再根据表格判断； （2）利用二项分布的期望公式. 【小问1详解】 列联表如下： 性别 课程 合计 参加“剪纸”课程 不参加“剪纸”课程 男生 10 40 50 女生 20 30 50 合计 30 70 100 零假设为：参加“剪纸”课程与性别无关联， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为参加“剪纸”课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050. 【小问2详解】 由表格中的数据知，从女生中抽取1人，其参加“剪纸”课程的概率为， 的可能取值为0，1，2，3，且， 所以. 16. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明：显然时，成立， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以， 所以. 综上，，得证. 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）验证当时，不等式成立；当时，推导出，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立. 【小问1详解】 由题设条件，可得若，则， 用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以. 因为，所以，，，所以，， 由得，所以， 又，所以是首项、公比均为的等比数列. 所以，则. 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，分别为的左、右顶点，为的上顶点，直线交于，（不同于，）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求到的距离的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题干条件列出关于的方程组，解出即得椭圆的方程； （2）易知直线不与轴垂直，故可设其方程为，与椭圆方程联立，表示出，又在上可得到为定值，从而得到为定值，进一步解出的值，即直线过定点，则当时，点到直线的距离取得最大值. 【详解】（1）由题意，得， 解得，， 所以的方程为； （2）由，不同于，，当直线垂直于轴时，与异号，不满足题意， 所以直线不与轴垂直，设其方程为，，， 联立，得， ，即， 则，. 又因为，，所以，，直线的斜率， 由在上，得，即， 因此， 因为，所以， 由 ，解得， 此时，对任意实数恒成立， 直线的方程为，所以直线过定点， 又因为，则当时，点到直线的距离取得最大值， 即点到直线的距离的最大值为. 18. 如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）. （1）求图2中的长度； （2）求图2中直线与所成角的余弦值； （3）探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由：由（2）知，， ，， 所以，， ， 所以四面体的表面积为 设四面体内切球的半径为， 则四面体的体积， 解得，因为，所以， 所以在线段上不存在点，使得四面体内切球的半径为. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由面积公式得到，进而可求解； （2）建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）求得四面体表面积，设四面体内切球的半径为，结合则四面体的体积，求解即可. 【小问1详解】 图中，因为，，所以， 设，则， 在中，由正弦定理，得， 即，所以. 所以， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值， 此时，所以的长度为. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设直线与所成的角为， 则， 所以直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 设，定义为的“函数”. （1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； （2）设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：由题， 设，抛物线的对称轴为直线， 因为方程有两个正根，，所以，解得， 由题意知，得. 因为，，所以， ， 令， 则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 由，，得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以，所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据新定义确定的解析式，求导利用导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）求导，并根据极值的定义判断求解；（ⅱ）根据题意得方程有两个正根，，由韦达定理可得，且，求出，构造函数，利用导数求出最大值得证. 【小问1详解】 由题意，得，则，所以切点为， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由题，可得，定义域为， 则， 因为是的极小值点，则， 则 ， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，则， 所以在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，的取值范围为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必聚条件 4. 已知是减函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 11. 已知函数，，则（ ） A. 是一个周期函数 B. ， C. 方程在区间上有4个不同的解 D. ，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的常数项为，则________________. 13. 已知是第三象限角，，则________________. 14. 已知为抛物线上的动点，，为圆上的两个不同点，若恰为圆的一条直径，则的最小值为________________；若，均与圆相切，则的最小值为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校开设校本课程“剪纸”，为了解学生参加该课程与性别是否有关，用简单随机抽样的方法分别从男生和女生中各抽取了50名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 课程 合计 参加“剪纸”课程 不参加“剪纸”课程 男生 10 女生 30 50 合计 （1）补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析参加“剪纸”课程是否与性别有关联； （2）以样本估计总体，且以频率估计概率，若从该校女生中随机抽取3人，记其中参加“剪纸”课程的人数为，求的期望. 附：，其中. 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 16. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求证：. 17. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，分别为的左、右顶点，为的上顶点，直线交于，（不同于，）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求到的距离的最大值. 18. 如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）. （1）求图2中的长度； （2）求图2中直线与所成角的余弦值； （3）探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由. 19. 设，定义为的“函数”. （1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； （2）设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $