27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 由两角判定三角形相似（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（人教版）河南

知识点❶：两角对应相等的两个三角形相似 1．在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝68°，∠B＝40°，∠A′＝68°，∠C′＝72°，则这两个三角形( ) A．全等 B．相似 C．不相似 D．无法确定 2．下列各组图形中有可能不相似的是( ) A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是60°的两个等腰三角形 C．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 B A 3．如图，已知△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，AC和BD相交于点E，则与△ADE相似的三角形是( ) A．△BCE B．△ABC C．△ABD D．△ABE A 4．(南京中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为____． 5．(通辽中考)如图，⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且PC2＝PB·PA，求证：AB⊥CD. 证明：连接AC，BD，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△DPB，∴PC∶PB＝PA∶PD，∴PC·PD＝PA·PB，∵PC2＝PB·PA，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD 知识点❷：直角三角形相似的判定 6．(教材P36练习2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 C D B 10．(乐山中考)如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1.求DF的长度． B eq \r(10) 7．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，若添加一个条件，使得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则下列条件中不符合要求的是( ) A．∠A＝∠A′ B．∠B＝∠B′ C． eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(AC,A′C′) D． eq \f(AB,A′C′) ＝ eq \f(AC,B′C′) 8．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为( ) A． eq \f(3,4) B． eq \f(4,3) C．2 D．3 9．(宜宾中考)如图，已知在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝____． eq \f(16,5) 解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°.∵CE＝1，∴DE＝ eq \r(DC2＋CE2) ＝ eq \r(10) .∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF＋∠DAF＝90°.又∵∠ADF＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠DAF，∴△EDC∽△DAF，∴ eq \f(DE,AD) ＝ eq \f(CE,FD) ，即 eq \f(\r(10),2) ＝ eq \f(1,FD) ，∴FD＝ eq \f(\r(10),5) ，即DF的长度为 eq \f(\r(10),5) 11．(牡丹江中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 12．(威海中考)如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝____． eq \r(3) 13．(2022·甘肃)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____cm. eq \r(13) 14．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P. (1)求证：AF＝BE，并求∠APB的度数； (2)若AE＝2，试求AP·AF的值． 解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，在△ABE和△CAF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CA，,∠C＝∠CAB，,AE＝CF，)) ∴△ABE≌△CAF，∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF.又∵∠APE＝∠ABP＋∠BAP＝∠CAF＋∠BAP＝∠CAB＝60°，∴∠APB＝180°－∠APE＝120° (2)∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴ eq \f(AP,AC) ＝ eq \f(AE,AF) ，即 eq \f(AP,6) ＝ eq \f(2,AF) ，∴AP·AF＝12 15．(2022·聊城)如图，点O是△ABC的边AC上一点．以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD. (1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线； (2)若FC＝10，AC＝6，求FD的长． 解：(1)在△AOF和△EOF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OE，,∠AOD＝∠EOD，,OF＝OF，)) ∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF＝∠OEF，∵BC与⊙O相切，∴OE⊥FC，即∠OEF＝90°，∴∠OAF＝90°，即OA⊥AF，又∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线 (2)在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝10，AC＝6，∴AF＝ eq \r(FC2－AC2) ＝8，∵∠OCE＝∠FCA，∴∠OEC＝∠FAC＝90°，∴△OEC∽△FAC，∴ eq \f(EO,AF) ＝ eq \f(CO,CF) ，设⊙O的半径为r，则 eq \f(r,8) ＝ eq \f(6－r,10) ，解得r＝ eq \f(8,3) ，在Rt△FAO中，OF＝ eq \r(AF2＋AO2) ＝ eq \f(8,3) eq \r(10) ，∴FD＝OF－OD＝ eq \f(8,3) eq \r(10) － eq \f(8,3) ，即FD的长为 eq \f(8,3) eq \r(10) － eq \f(8,3) $$