1.4 解直角三角形（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

1 C D 2 20 45° 45° 3 知识点2：已知一锐角和一边解直角三角形 5．(2022·广西)如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是 ( ) A C 4 5 6 7 8 C 10 C 11 12 13 14 15 15．探究：已知如图①，在△ABC中，∠A＝α(0°＜α＜90°)，AB＝c，AC＝b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积； 应用：如图②，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α，若AC＝a，BD＝b，试用含a，b，α的式子表示▱ABCD的面积． 18 知识点1：已知两边解直角三角形 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ eq \r(5) ，AC＝ eq \r(15) ，则∠A的度数为( ) A．90° B．60° C．45° D．30° 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20 eq \r(2) ，则∠A＝_____，∠B＝_____，b＝_____． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝2 eq \r(6) ，AC＝6 eq \r(2) ，解此直角三角形． 解：∵tan A＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(2\r(6),6\r(2)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠A＝30°. ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，AB＝2BC＝4 eq \r(6) 12sin α米 B．12cos α米 C． eq \f(12,sin α) 米 D． eq \f(12,cos α) 米 6．在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，则a等于 ( ) A． eq \f(\r(3),3) B．6 C． eq \r(3) D． eq \f(3,2) 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝8，则a＝______，b＝____． 4 eq \r(3) 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件求出直角三角形的其他元素． (1)∠A＝30°，b＝ eq \r(3) ； 解：∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，∵tan A＝ eq \f(a,b) ，∴a＝b·tan A＝ eq \r(3) × eq \f(\r(3),3) ＝1，∴c＝2a＝2 a＝8 eq \r(5) ，b＝8 eq \r(15) . 解：∵tan A＝ eq \f(a,b) ＝ eq \f(8\r(5),8\r(15)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.∵sin B＝ eq \f(b,c) ，∴c＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(8\r(15),sin 60°) ＝ eq \f(8\r(15),\f(\r(3),2)) ＝16 eq \r(5) 9．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10 eq \r(2) ，AB＝20.求∠A的度数． 解：在Rt△BDC中，∵sin ∠BDC＝ eq \f(BC,BD) ， ∴BC＝BD·sin ∠BDC＝10 eq \r(2) ×sin 45°＝10. 在Rt△ABC中，∵sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(10,20) ＝ eq \f(1,2) ，∴∠A＝30° 9．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10 eq \r(2) ，AB＝20.求∠A的度数． 10．(2022·乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ eq \r(5) ，点D是AC上一点，连接BD.若tan ∠A＝ eq \f(1,2) ，tan ∠ABD＝ eq \f(1,3) ，则CD的长为 ( ) A．2 eq \r(5) B．3 C． eq \r(5) D．2 11．(2022·宜宾)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos ∠ADF的值为 ( ) A． eq \f(8,17) B． eq \f(7,15) C． eq \f(15,17) D． eq \f(8,15) 12．(2022·常州)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC.若AD＝1，CD＝3，则sin ∠ABD＝______． eq \f(\r(6),6) 解：过点C作CH⊥AB于点H.在Rt△BCH中， ∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝ eq \f(1,2) BC＝6， BH＝ eq \r(BC2－CH2) ＝6 eq \r(3) ，在Rt△ACH中， tan A＝ eq \f(3,4) ＝ eq \f(CH,AH) ，∴AH＝8，∴AC＝ eq \r(AH2＋CH2) ＝10，∴AB＝AH＋BH＝8＋6 eq \r(3) 13．(自贡中考)如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝ eq \f(3,4) ，∠B＝30°.求AC和AB的长． 14．(广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB. (1)若AE＝1，求△ABD的周长； (2)若AD＝ eq \f(1,3) BD，求tan ∠ABC的值． 解：(1)连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，C△ABD＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC，∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC＋CE＝AE＝1，故△ABD的周长为1 (2)设AD＝x，∵AD＝ eq \f(1,3) BD，∴BD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD＋CD＝4x，在Rt△ABD中，AB＝ eq \r(BD2－AD2) ＝ eq \r(（3x）2－x2) ＝2 eq \r(2) x，∴tan ∠ABC＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(4x,2\r(2)x) ＝ eq \r(2) 解：探究：过点B作BD⊥AC，垂足为D.∵AB＝c，∠A＝α，∴BD＝c sin α.∴S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BD＝ eq \f(1,2) bc sin α　应用：过点C作CE⊥DO于点E.∴sin α＝ eq \f(EC,CO) .∵在▱ABCD中，AC＝a，∴CO＝ eq \f(1,2) a，∴EC＝CO·sin α＝ eq \f(1,2) a sin α.∴S△BCD＝ eq \f(1,2) CE·BD＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) a sin α×b＝ eq \f(1,4) ab sin α.∴S▱ABCD＝2S△BCD＝ eq \f(1,2) ab sin α $$