3.3 垂径定理（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

1 D 2 B 3 C 4 400π 5 6 D 7 10 8 9 10 D 12 (3，2) 13 26 14 15 16 17 知识点1：垂径定理 1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且半径OB＝5，OE＝3，则AB的长为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 2．(2022·云南)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为( ) A． eq \f(7,13) B． eq \f(12,13) C． eq \f(7,12) D． eq \f(13,12) 3．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是( ) A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE C．OE＝BE D． eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(BC) 4．(2022·上海)如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 __________．(结果保留π) 5．如图，在⊙O中，AB交⊙O于点C，D，且OA＝OB.求证：AC＝BD. 解：作OE⊥CD于点E，OA＝OB， ∴AE＝EB，由垂径定理可知EC＝ED， ∴AC＝BD 知识点2：垂径定理的应用 6．绍兴是著名的桥乡．如图，圆拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为( ) A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m 7．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6 dm，如果往里注入一些油后，油面上升1 dm，油面宽度为8 dm，则圆柱形油槽直径为________dm. 8．某居民区一处圆形下水道破裂，如图所示，修理人员准备更换一段新管道，已知污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道？ 解：如图所示，作OM⊥AB于点M，交⊙O于点N，连接OA.由题意知MN＝10 cm，AB＝60 cm.∵OM⊥AB，∴AM＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×60＝30(cm).设OA＝R cm，则OM＝(R－10)cm.在Rt△AOM中，OA2＝OM2＋AM2，即R2＝(R－10)2＋302，∴R＝50，∴2R＝50×2＝100(cm).答：修理人员应准备内径为100 cm的管道 9．(衢州中考)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长度是( ) A．3 cm B． eq \r(6) cm C．2.5 cm D． eq \r(5) cm 10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为 eq \r(13) ，则点P的坐标为__________． 11．(2022·自贡)一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为________厘米． 12．(枣庄中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，求CD的长． 解：过O点作OE⊥CD，垂足为E，连接OD，∵AP＝2，BP＝6，∴OA＝OB＝OD＝4，OP＝OA－AP＝2，∵∠OPE＝∠APC＝30°， ∴OE＝ eq \f(1,2) OP＝1.在△ODE中，DE＝ eq \r(OD2－OE2) ＝ eq \r(42－12) ＝ eq \r(15) ，由垂径定理知：CD＝2DE＝2 eq \r(15) 13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，已知CD＝8 cm，∠B＝30°. (1)求⊙O的半径； (2)求点O到弦BC的距离． 解：(1)如图，连接OC.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B.∵∠B＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°.∵AB是⊙O的直径， CD⊥AB于点P，CD＝8 cm，∴CP＝ eq \f(1,2) CD＝4 cm.在Rt△COP中，sin 60°＝ eq \f(CP,OC) ，即 eq \f(4,OC) ＝ eq \f(\r(3),2) ，∴OC＝ eq \f(8,3) eq \r(3) ，∴⊙O的半径为 eq \f(8\r(3),3) cm (2)如图，作OE⊥BC于点E，∵∠B＝30°，∴OE＝ eq \f(1,2) OB＝ eq \f(4,3) eq \r(3) cm 14．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为正方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由． 解：能顺利通过，理由：由题意知AB＝7.2 m，CD＝2.4 m，设⊙O的半径为R，在Rt△AOD中，OD＝(R－2.4)m，AD＝ eq \f(1,2) AB＝3.6 m，∴R2＝(R－2.4)2＋3.62，∴R＝3.9，在Rt△OHN中，若HN＝1.5 m，则OH＝ eq \r(ON2－HN2) ＝ eq \r(3.92－1.52) ＝3.6 m，∵OD＝OC－DC＝3.9－2.4＝1.5，∴DH＝OH－OD＝3.6－1.5＝2.1(m)，NF＝ME＝HD＝2.1 m>2 m，∴此货船能顺利通过 $$