1.6 利用三角函数测高（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

1 知识点1：测量底部可以到达的物体的高度 1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小颖的眼睛与地面的距离)，那么树高是 ___________________． 3 4 A 24.1 6 7 8 6．如图，在高为60 m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，则这个建筑物的高度为 ( ) A. 20 m B．30 m C．40 m D．50 m C 11 8．(2022·湖北)如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6 m，则甲建筑物的高度AB为 _____ m．(sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，结果保留整数). 16 9．(2022·河池)如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36 m，求居民楼AB的高度(结果保留整数．参考数据：sin 33°≈0.55，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65). 解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意，得CD＝36 m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE＝CD＝36 m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36 m，∴AE＝CE·tan 33°≈23.4(m)，∴AB＝AE＋BE＝36＋23.4＝59.4≈59(m)，答：居民楼AB的高度约为59 m 10．(南京中考)如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2 m，在DB上选取观测点E，F，从E处测得标杆和建筑物的顶部C，A的仰角分别为58°，45°.从F测得C，A的仰角分别为22°，70°.求建筑物AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75) ①③④ 17 ( eq \f(5,3) eq \r(3) ＋ eq \f(3,2) )m 2．(2022·仙桃)小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据： eq \r(3) ≈1.732) 解：过点D作DG⊥EF于点G，则A，D，G三点共线，BC＝AD＝20米，AB＝CD＝FG＝1.58米，设DG＝x米，则AG＝(20＋x)米，在Rt△DEG中，∠EDG＝60°，tan 60°＝ eq \f(EG,DG) ＝ eq \f(EG,x) ＝ eq \r(3) ，∴EG＝ eq \r(3) x，在Rt△AEG中，∠EAG＝30°，tan 30°＝ eq \f(EG,AG) ＝ eq \f(\r(3)x,20＋x) ＝ eq \f(\r(3),3) ，解得x＝10，经检验，x＝10是所列分式方程的解，∴EG＝10 eq \r(3) 米，∴EF＝EG＋FG≈18.9米，∴旗杆EF的高度约为18.9米 知识点2：测量底部不可以到达的物体的高度 3．如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A处测得塔顶B处的仰角α＝60°，在塔底C处测得A点俯角β＝45°，已知塔高60米，则山高CD等于 ( ) A．30(1＋ eq \r(3) )米 B．30( eq \r(3) －1)米 C．30米 D．(30 eq \r(3) ＋1)米 4．某市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示)，那么a的值约为________米( eq \r(3) ≈1.73，结果精确到0.1米). 5．数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD.如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高．(结果保留整数．参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73) 解：在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，设CD为x m，∴BD＝CD＝x m，∴AD＝BD＋AB＝(60＋x)m，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan ∠CAD＝tan 30°＝ eq \f(CD,AD) ＝ eq \f(x,60＋x) ＝ eq \f(\r(3),3) ，解得x＝30 eq \r(3) ＋30≈82.答：此建筑物的高度约为82 m 7．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，BC＝60米，则点A到对岸岸边的距离是 _____________米． 30 ( eq \r(3) －1 ) 解：在Rt△CED中，∠CED＝58°，∵tan58°＝ eq \f(CD,DE) ，∴DE＝ eq \f(CD,tan 58°) ＝ eq \f(2,tan 58°) ，在Rt△CFD中，∠CFD＝22°，∵tan 22°＝ eq \f(CD,DF) ，∴DF＝ eq \f(CD,tan 22°) ＝ eq \f(2,tan 22°) ，∴EF＝DF－DE＝ eq \f(2,tan 22°) － eq \f(2,tan 58°) ，同理：EF＝BE－BF＝ eq \f(AB,tan 45°) － eq \f(AB,tan 70°) ，∴ eq \f(AB,tan 45°) － eq \f(AB,tan 70°) ＝ eq \f(2,tan 22°) － eq \f(2,tan 58°) ，解得AB≈5.9(米)，答：建筑物AB的高度约为5.9米 $$