18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 菱形 第2课时 菱形的判定（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年八年级数学下册（人教版）河南

18．2　特殊的平行四边形 18．2.2　菱形 第2课时　菱形的判定 数学 八下 人教版 原创新课堂 B AB＝AD(答案不唯一) C AD∥BC(AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等) D C AB＝CD 知识点1：一组邻边相等的平行四边形是菱形 1．如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( ) A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD 2．(营口中考)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是______________________．(写出一个即可) 3．(淮安中考)已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形 知识点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4．能判定一个四边形是菱形的是( ) A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 5．(2023·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：____________________________________________________，使四边形ABCD成为菱形． 6．(2023·鞍山)如图，在▱ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC相交于点E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF，∵O是BD中点，∴BO＝DO，在△DEO和△BFO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EDO＝∠FBO，,DO＝BO，,∠EOD＝∠FOB，)) ∴△DEO≌△BFO (ASA)，∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形 知识点3：四条边相等的四边形是菱形 7．下列命题中，正确的是( ) A．有一个角是60°的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 8．(2023·沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE.求证：四边形BECF是菱形． 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，FB＝FC，∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD，∵DB＝CD，∴△EBD≌△FCD(AAS)，∴BE＝FC，∴EB＝BF＝FC＝EC，∴四边形EBFC是菱形 9．(宁夏中考)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( ) A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD 10．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足_____________时，四边形EFGH是菱形． 11．(凉山州中考)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长． 解：(1)∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE(AAS)，∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形ADBF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝ eq \f(1,2) BC，∴四边形ADBF是菱形　 (2)∵四边形ADBF是菱形，∴S菱形ADBF＝2S△ABD，∵点D是BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD，∴S菱形ADBF＝S△ABC＝40，∴ eq \f(1,2) AB·AC＝40，∵AB＝8，∴AC＝10 12．如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开； 第二步：再折叠一次，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①； 第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②. (1)求∠ABE的度数；(2)求证：四边形BFB′E为菱形． 解：(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，∴∠AEB＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°，∴∠ABE＝30° (2)∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，∴BE＝B′E，BF＝B′F.∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠FEB′＝60°，又∠FEB＝60°，∴∠FEB＝∠BFE，∴BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BFB′E为菱形 $$