第16章 专题课堂(一) 分式的化简求值（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年八年级数学下册（华东师大版）河南

专题课堂(一)　分式的化简求值 数学 八年级下册 华师版 原创新课堂 一、化简后直接代入 类型：(1)化简后直接代入已知字母的值； (2)通过不等式、方程(组)等知识求出字母的值，化简后再直接代入． 【例1】先化简，再求值：( eq \f(a＋b,a－b) )2· eq \f(2a－2b,3a＋3b) － eq \f(4a2,a2－b2) ÷ eq \f(3a,b) ，其中a＝3，b＝ eq \f(1,2) . 分析：根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a，b的值代入即可解答本题． 解：原式＝ eq \f(2（a＋b）,3（a－b）) － eq \f(4ab,3（a＋b）（a－b）) ＝ eq \f(2（a＋b）2－4ab,3（a＋b）（a－b）) ＝ eq \f(2（a2＋b2）,3（a2－b2）) ，当a＝3，b＝ eq \f(1,2) 时，原式＝ eq \f(2（9＋\f(1,4)）,3（9－\f(1,4)）) ＝ eq \f(74,105) [对应训练] 1．(南阳十三中期中)先化简，再求值： eq \f(a2－a,（a－1）2) － eq \f(a＋1,a) ，其中a＝ eq \f(1,2) . 解：原式＝ eq \f(a（a－1）,（a－1）2) － eq \f(a＋1,a) ＝ eq \f(a,a－1) － eq \f(a＋1,a) ＝ eq \f(a2－（a－1）（a＋1）,a（a－1）) ＝ eq \f(a2－a2＋1,a（a－1）) ＝ eq \f(1,a（a－1）) ，当a＝ eq \f(1,2) 时，原式＝ eq \f(1,\f(1,2)×（\f(1,2)－1）) ＝－4 2．(2023·深圳)先化简，再求值：( eq \f(1,x－1) ＋1)÷ eq \f(x2－1,x2－2x＋1) ，其中x＝3. 解：原式＝ eq \f(1＋x－1,x－1) · eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）) ＝ eq \f(x,x－1) · eq \f(x－1,x＋1) ＝ eq \f(x,x＋1) ，当x＝3时，原式＝ eq \f(3,3＋1) ＝ eq \f(3,4) 二、化简后整体代入 类型：(1)先化简，再通过分式变形整体代入； (2)先化简，将已知方程变形后整体代入． 【例2】已知 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \r(5) (a≠b)，求 eq \f(a,b（a－b）) － eq \f(b,a（a－b）) 的值． 分析：将 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \r(5) 变形得 eq \f(a＋b,ab) ＝ eq \r(5) ，再将原式化简后，整体代入求出即可． 解：∵ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \r(5) ，∴ eq \f(a＋b,ab) ＝ eq \r(5) ，原式＝ eq \f(a2－b2,ab（a－b）) ＝ eq \f(a＋b,ab) ＝ eq \r(5) [对应训练] 3．(大庆中考)先化简，再求值：( eq \f(a2,b) －a)÷ eq \f(a2－b2,b) .其中a＝2b，b≠0. 解：原式＝ eq \f(a2－ab,b) · eq \f(b,（a＋b）（a－b）) ＝ eq \f(a（a－b）,b) · eq \f(b,（a＋b）（a－b）) ＝ eq \f(a,a＋b) ，当a＝2b时，原式＝ eq \f(2b,2b＋b) ＝ eq \f(2b,3b) ＝ eq \f(2,3) 4．(2023·菏泽)先化简，再求值：( eq \f(3x,x－y) ＋ eq \f(x,x＋y) )÷ eq \f(x,x2－y2) ，其中x，y满足2x＋y－3＝0. 解：原式＝ eq \f(3x2＋3xy＋x2－xy,（x－y）（x＋y）) · eq \f(（x－y）（x＋y）,x) ＝ eq \f(2x（2x＋y）,（x－y）（x＋y）) · eq \f(（x－y）（x＋y）,x) ＝2(2x＋y)，∵2x＋y－3＝0，∴2x＋y＝3，∴原式＝2×3＝6 三、化简后自选数字代入求值 【例3】(烟台中考)先化简，再求值：( eq \f(2x＋5,x2－1) － eq \f(3,x－1) )÷ eq \f(2－x,x2－2x＋1) ，从－2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值． 分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从－2＜x≤2中选出一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 解：原式＝[ eq \f(2x＋5,（x＋1）（x－1）) － eq \f(3（x＋1）,（x＋1）（x－1）) ]· eq \f(（x－1）2,2－x) ＝ eq \f(2x＋5－3x－3,（x＋1）（x－1）) · eq \f(（x－1）2,2－x) ＝ eq \f(2－x,x＋1) · eq \f(x－1,2－x) ＝ eq \f(x－1,x＋1) ，∵－2＜x≤2且(x＋1)(x－1)≠0，2－x≠0，∴x的整数值为－1，0，1，2且x≠±1，2，∴x＝0，当x＝0时，原式＝ eq \f(0－1,0＋1) ＝－1 [对应训练] 5．(2023·怀化)先化简(1＋ eq \f(3,a－1) )÷ eq \f(a2－4,a－1) ，再从－1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 解：原式＝ eq \f(a－1＋3,a－1) · eq \f(a－1,（a－2）（a＋2）) ＝ eq \f(a＋2,a－1) · eq \f(a－1,（a－2）（a＋2）) ＝ eq \f(1,a－2) ，当a＝1或2时，分式无意义，故a＝－1或0.当a＝－1时，原式＝－ eq \f(1,3) ，当a＝0时，原式＝－ eq \f(1,2) 6．(郑州外国语模拟)先化简，再求值： eq \f(1,1－x) ÷ eq \f(x2＋2x,x2－2x＋1) ＋ eq \f(1,x＋2) ，请从不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－2x≥1，,x＋3＞0)) 的整数解中选择一个你喜欢的代入求值． 解：原式＝ eq \f(1,1－x) · eq \f(（x－1）2,x（x＋2）) ＋ eq \f(1,x＋2) ＝ eq \f(1－x,x（x＋2）) ＋ eq \f(1,x＋2) ＝ eq \f(1－x＋x,x（x＋2）) ＝ eq \f(1,x（x＋2）) ，由不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－2x≥1，,x＋3＞0)) 得－3＜x≤2，∵x＝－2，0，1时，分式无意义，∴x＝－1或2.当x＝2时，原式＝ eq \f(1,2×（2＋2）) ＝ eq \f(1,8) ；当x＝－1时，原式＝ eq \f(1,－1×（－1＋2）) ＝－1 四、分式化简说理 【例4】有这样一道题：“计算 eq \f(x2－2x＋1,x2－1) ÷ eq \f(x－1,x2＋x) －x的值，其中x＝2024.”甲同学把“x＝2024”错抄成“x＝2004”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？于是甲同学认为无论x取何值代数式的值都不变，你说对吗？ 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据化简结果即可得出结论． 解：对．原式＝ eq \f(x－1,x＋1) · eq \f(x（x＋1）,x－1) －x ＝x－x＝0，∵结果等于0，∴无论x取何值代数式的值都不变，∴把x＝2024错抄成x＝2004，他的计算结果也正确 [对应训练] 7．小明在考试时看到一道这样的题目：“先化简( eq \f(a,a－1) － eq \f(2,a2－1) )÷(1－ eq \f(1,a＋1) )，再求其值．”小明代入某个数后求得其值为3.你能确定小明代入的是哪一个数吗？你认为他代入的这个数合适吗？为什么？ 解：原式＝ eq \f(a＋2,a) ，当 eq \f(a＋2,a) ＝3时，可得a＝1，∴小明代入的数是1，∵当a＝－1，0，1时，分式无意义，∴小明代入的这个数不合适 $$