19.2.1 菱形的性质 第1课时 菱形的性质（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年八年级数学下册（华东师大版）河南

数学 八年级下册 华师版 原创新课堂 第19章　矩形、菱形与正方形 19．2　菱形 19．2.1　菱形的性质 第1课时　菱形的性质 A 5 D B 52 B 轴对称 中心对称 B 6 知识点❶：菱形的性质定理1——菱形的四条边都相等 1．如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 3．已知菱形的周长为20 cm，两个邻角的比是1∶2，这个菱形较短的对角线的长是____cm. 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是(3，4)，则顶点A，B的坐标分别是( ) A．(4，0)，(7，4) B．(4，0)，(8，4) C．(5，0)，(7，4) D．(5，0)，(8，4) 4．(济南中考)已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连结DE，DF，∠ADF＝∠CDE.求证：AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠ADF＝∠CDE，∴∠ADF－∠EDF＝∠CDE－∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△DAE和△DCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠DCA，,DA＝DC，,∠ADE＝∠CDF，)) ∴△DAE≌△DCF(ASA)，∴AE＝CF 知识点❷：菱形的性质定理2——菱形的对角线互相垂直 5．(河南中考)关于菱形的性质，以下说法不正确的是( ) A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 6．(达州中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为________． 7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE. (1)求证：BD＝EC； (2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB綊CD，又∵BE＝AB，∴BE綊CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC (2)∠BAO＝40° 知识点❸：菱形的对称性 8．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是( ) A.(3，1) B．(3，－1) C．(1，－3) D．(1，3) 9．菱形既是____________图形，又是_____________图形． 10．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE＝ED，则∠EBF等于( ) A．75° B．60° C．50° D．45° 11．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)，若反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x>0)的图象经过点A，则k的值为____． 12．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD＝90°，DC＝BC，∴四边形OCED是矩形，∴DC＝OE，∴OE＝BC 13．(2023·浙江)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF. (1)求证：AE＝AF； (2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△ABE与△ADF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠D，,∠AEB＝∠AFD，,AB＝AD，)) ∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE＝AF　(2)∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°.∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.由(1)知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝30°.∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，∴△AEF是等边三角形．∴∠AEF＝60° 14．如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，四边形AECD为菱形，EF⊥CD于点F. (1)求证：AB⊥AC； (2)若AB＝6，BC＝10，求EF的长． 解：(1)∵四边形AECD为菱形，E为BC的中点，∴EA＝EB＝EC，∴∠B＝∠BAE，∠EAC＝∠ECA，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC　(2)过点A作AH⊥BC于点H，∵AB·AC＝BC·AH，∴AH＝ eq \f(24,5) ，又∵CE·AH＝CD·EF，CE＝CD，∴EF＝AH＝ eq \f(24,5) 15．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF； (2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形． 解：(1)连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°，∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°，∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF　(2)连结AC，由题意可知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ACF＝ eq \f(1,2) ∠BCD＝∠B＝60°，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形 $$