第1章 1 等腰三角形 第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年八年级数学下册（北师大版）广东

1　等腰三角形 第4课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 数学 八年级下册 北师版 原创新课堂 1. 等边三角形的判定定理： (1)三个角都_______的三角形是等边三角形； (2)有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形． 几何语言：如图， (1)∵∠A＝_______＝______， ∴△ABC是等边三角形； (2)∵BC＝AC，∠B＝________°， ∴△ABC是等边三角形． 相等 60° ∠B ∠C 60 2. 下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是( ) A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C D 3. 含30°角的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_______________． 几何语言： 如图，△ABC是直角三角形， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝________，AC＝_________． 斜边的一半 2AC 证明：取AB的中点D，连接CD， ∵∠ACB＝90°， ∴AD＝CD＝BD， ∴∠DCA＝∠A＝30°， ∴∠BCD＝60°， ∵∠B＝90°－∠A＝60°， ∴△BCD是等边三角形， 知识点一：等边三角形的判定 5. 【例1】 (北师八下P12)已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB和AC于点D，E，求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形 6. 如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形． 证明：∵∠B＝∠C，AB∥DE， ∴∠DEC＝∠B＝∠C， ∵EC＝ED， ∴∠C＝∠EDC， ∴∠DEC＝∠C＝∠EDC＝60°， ∴△DEC为等边三角形 7. 【例2】 (北师八下P13)如图，△DEF是等边三角形，点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点，那么△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论. 解：是等边三角形． 证明：∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DF＝DE， ∵点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点， 8. (北师八下P13改编)如图，△ABC为等边三角形，又DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？说明你的理由． 解：是等边三角形． 理由：∵DE⊥BC，EF⊥AC，△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°， ∴∠AFD＝30°， ∴∠DFE＝60°. 同理可证∠FDE＝∠DEF＝60°， ∴△DEF是等边三角形 知识点二：含30°角的直角三角形的性质定理 9. 【例3】 (北师八下P12)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的长． 解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高， ∴∠BCD＝∠A＝30°， ∵BD＝1， ∴BC＝2， ∴AB＝4， ∴AD＝AB－BD＝3 10. (北师八下P13)房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝7.4 m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，求BC，DE的长. 解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝30°， ∵AB＝7.4 m， ∴BC＝3.7 m， ∵D为AB中点， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∵∠A＝30°， eq \f(1,2) AB 4. (北师八下P11)已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝ eq \f(1,2) AB. ∴BC＝BD＝CD，∴BC＝ eq \f(1,2) AB ∴AC＝ eq \f(1,2) DE，BC＝ eq \f(1,2) EF，AB＝ eq \f(1,2) DF， ∴AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形 ∴BC＝ eq \f(1,2) AB， ∴AD＝ eq \f(1,2) AB＝3.7 m， ∴DE＝ eq \f(1,2) AD＝1.85 m $$