专项训练04：长方体和正方体的体积应用题(学生版+教师版)-2024-2025学年五年级数学下册（冀教版）

第五单元：长方体和正方体的体积 专项训练04：长方体和正方体的体积应用题 1．浩浩用一根铁丝做了一个棱长是6厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做成长8厘米、宽5厘米的长方体框架，那么这个长方体的高是多少？体积是多少？ 【答案】5厘米；200立方厘米 【分析】正方体棱长总和＝棱长×12，据此求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】6×12＝72（厘米） 72÷4－8－5 ＝18－8－5 ＝5（厘米） 8×5×5＝200（立方厘米） 答：这个长方体的高是5厘米，体积是200立方厘米。 2．如图：A地的面积是24平方米，B地的面积是16平方米，A地比B地高5米。把A地的土运到B地上面，使A，B两地同样高，这样B地可升高多少米？ 【答案】3米 【分析】根据题意可知，面积为24平方米，高为5米的长方体土堆的土，铺到面积为（24＋16）平方米地方，铺土的厚度就是B地可升高的高度，据此即可解答。 【详解】24×5÷（24＋16） ＝120÷40 ＝3（米） 答：这样B地可升高3米。 3．在一个长3分米、宽26厘米、高22厘米的玻璃缸中，水深18厘米，水接触玻璃的面积有多大？将一个棱长15厘米的正方体铁块放入水中后（通过计算来说明），铁块投入后缸中的水会溢出吗？写出理由。 【答案】2796平方厘米；会溢出；理由是铁块的体积大于玻璃缸的剩余空间。 【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，由于鱼缸无盖，所以要求的玻璃的面积等于这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，注意高选择水的高度； 根据长方体的体积计算方法，求出玻璃缸中还有多少立方厘米的空间，计算出棱长15厘米的正方体铁块的体积，与玻璃缸的剩余空间进行比较即可。 【详解】3分米＝30厘米 30×26＋30×18×2＋26×18×2 ＝780＋540×2＋468×2 ＝780＋1080＋936 ＝1860＋936 ＝2796（平方厘米） 3分米＝30厘米 30×26×（22－18） ＝780×4 ＝3120（立方厘米） 15×15×15 ＝225×15 ＝3375（立方厘米） 3120立方厘米＜3375立方厘米 答：容器与水接触部分的面积是2796平方厘米，铁块投入后缸中的水会溢出，理由是铁块的体积大于玻璃缸的剩余空间。 4．把一块棱长是9分米的正方体钢材，锻造成横截面面积是9平方分米的长方体钢材（如图）。这个长方体钢材的体积有多大？有多长？ 【答案】729立方分米；81分米 【分析】由于把正方体钢材锻造成长方体钢材，那么体积不变，根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出钢材的体积，由于横截面的面积是9平方分米的长方体钢材，根据长方体的体积公式：底面积×高，把横截面的面积看作底面积，长方体的长看作高，据此即可求解。 【详解】9×9×9＝729（立方分米） 729÷9＝81（分米） 答：这个长方体的体积是729立方分米；长是81分米。 5．一个长方体形状的机油桶，从里面测量，长8分米，宽2分米，高6分米。如果每升机油重0.72千克，这个长方体机油桶可装机油多少千克？ 【答案】69.12千克 【分析】根据，代入数据计算长方体的体积，再根据1立方分米＝1升，转化单位为升，再用长方体的容积乘每升机油的重量，即可得解。 【详解】 （立方分米） （升） （千克） 答：这个长方体机油桶可装机油69.12千克。 6．用160厘米长的铁丝焊接成一个长20厘米，宽15厘米的长方体教具，这个长方体教具的高是多少厘米？体积是多少立方厘米？ 【答案】高5厘米；体积1500立方厘米 【分析】已知用一根铁丝焊接成一个长方体教具，那么这根据铁丝的长度等于长方体教具的棱长总和； 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4；再减去已知的长、宽，即是长方体的高。 根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出它的体积。 【详解】160÷4－20－15 ＝40－20－15 ＝5（厘米） 20×15×5＝1500（立方厘米） 答：这个长方体教具的高是5厘米，体积是1500立方厘米。 7．如图是一块长方体铸铁。（单位：厘米） （1）计算铸铁的体积。 （2）如果在这铸铁的上面正中间位置挖去一个棱长3厘米的小正方体，铸铁表面积增加多少平方厘米？ 【答案】（1）240立方厘米；（2）36平方厘米 【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝长×宽×高，把数据代入公式解答。 （2）根据表面积的意义可知，从这个长方体的上面的正中间挖去一个棱长是3厘米的小正方体，铸铁的表面积增加小正方体的4个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。 【详解】（1）10×4×6＝240（立方厘米） 答：铸铁的体积是240立方厘米。 （2）3×3×4 ＝9×4 ＝36（平方厘米） 答：铸铁的表面积增加36平方厘米。 8．一个长方体鱼缸里面放着几条观赏鱼、一些石子和植物。从内部测量，长8分米，宽5分米，整个水面高度为5分米。将鱼、石子和植物全部取出后，水面高度变为3分米。这些鱼、石子和植物占据了鱼缸多大的空间？ 【答案】80立方分米 【分析】水面下降的体积就是鱼、石子和植物的体积，根据长方体体积公式，长方体鱼缸的长×宽×水面下降的高度＝鱼、石子和植物的体积，据此列式解答。 【详解】8×5×（5－3） ＝40×2 ＝80（立方分米） 答：这些鱼、石子和植物占据了鱼缸80立方分米的空间。 9．学校有一个长5米，宽3.8米的长方形沙坑，需要在里面平铺上30厘米厚的沙土，购买7.6立方米沙土够吗？（用两种方法） 【答案】够 【分析】方法一：已知沙坑的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出沙坑的容积，再与7.6立方米进行比较即可。 方法二：如果购买沙土7.6立方米，根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出可以铺沙土的厚度，再与30厘米进行比较即可。 【详解】方法一： 30厘米＝0.3米 5×3.8×0.3 ＝19×0.3 ＝5.7（立方米） 7.6＞5.7 方法二： 7.6÷（5×3.8） ＝7.6÷19 ＝0.4（米） 0.4米＝40厘米 40＞30 答：购买7.6立方米沙土够。 10．一个长方体木箱长、宽都是6分米，把它放在墙角，露在外面的面积是144平方分米，这个木箱的体积是多少立方分米？ 【答案】324立方分米 【分析】根据题意，长方体木箱长、宽都是6分米，即这个长方体的上、下面都是“6×6”的正方形，露在外面的2个侧面都是以长方体的高为长、6分米为宽的长方形； 已知露在外面的面积是144平方分米，露在外面的面积包括长方体的上面和2个侧面，先用露在外面的面积减去上面的面积，求出2个侧面的面积，再除以2，求出一个长方形的面积，再除以6，即是这个长方体的高； 根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个木箱的体积。 【详解】2个侧面的面积： 144－6×6 ＝144－36 ＝108（平方分米） 1个侧面的面积：108÷2＝54（平方分米） 高：54÷6＝9（分米） 体积：6×6×9 ＝36×9 ＝324（立方分米） 答：这个木箱的体积是324立方分米。 11．一个正方体的玻璃容器，棱长3分米，里面盛有水，把一个红薯完全浸没在水中（水没有溢出），水面上升了0.5厘米，红薯的体积是多少立方分米？ 【答案】0.45立方分米 【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积就是红薯的体积，根据不规则物体的体积公式：体积＝容器的长×容器的宽×水面上升的高度，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】0.5厘米＝0.05分米 3×3×0.05 ＝9×0.05 ＝0.45（立方分米） 答：红薯的体积是0.45立方分米。 12．学习了有趣的测量后，张琦和李贝贝想尝试测量几个不规则物体的体积。他们进行了如下实验：（单位：厘米） 土豆与红薯哪个的体积大？大多少？ 【答案】红薯；96立方厘米 【分析】放入土豆后水面上升的体积就是土豆的体积，长方体容器的长×宽×放入土豆水面上升的高度＝土豆体积；放入红薯，水面又上升的体积是红薯的体积，长方体容器的长×宽×放入红薯水面又上升的高度＝红薯体积，据此分别计算出土豆和红薯体积，比较并求差即可。 【详解】12×8×（9.5－8） ＝96×1.5 ＝144（立方厘米） 12×8×（12－9.5） ＝96×2.5 ＝240（立方厘米） 144＜240 240－144＝96（立方厘米） 答：红薯的体积大，大96立方厘米。 13．一个容器由一个内空棱长10厘米的正方体和一个内空长20厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体组合形成（如图）。正放时（长方体在下面）水深10厘米，倒放时（正方体在下面，放平）水最深处多少厘米？ 【答案】17.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝长×宽×高计算出水的容积，根据倒置后水的容积不变计算水深即可。先判断出水的容积大于正方体的体积，则水深超过正方体的棱长，在长方体还有一部分水深。用水的容积减去正方体的体积，求出在长方体里面的水的容积，再除以长方体的底面积，即可求出此时长方体中的水深。用正方体的棱长加上此时长方体中的水深，求出水的总深度。 【详解】20×20×10 ＝400×10 ＝4000（立方厘米） 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（立方厘米） 4000－1000＝3000（立方厘米） 3000÷（20×20） ＝3000÷400 ＝7.5（厘米） 10＋7.5＝17.5（厘米） 答：倒放时（正方体在下面，放平）水最深处17.5厘米。 14．家具厂订购1000根方木，每根方木横截面的面积是2.4平方分米，长是30分米。这些方木一共是多少立方米？ 【答案】72立方米 【分析】横截面的面积看成长方体的底面积，长看成是高，根据长方体的体积公式：，代入数的计算，得到每根方木的体积，再乘1000，最后根据1立方米＝1000立方分米，低级单位化为高级单位除以进率，即可得解。 【详解】 （立方分米） （立方米） 答：这些方木一共是72立方米。 15．在一个长8米、宽5米、高2米的水池中注满水，然后把两条棱长3米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 【答案】36立方米 【分析】根据题意，一个高2米的长方体水池中注满水，放入两条棱长3米的石柱，水会溢出，水溢出的体积等于两条石柱浸入水中的体积，石柱浸入水中的高度为2米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出一个石柱浸入水中的体积，再乘2即可。 【详解】3×3×2×2＝36（立方米） 答：水池溢出的水的体积是36立方米。 16．一个长方体无盖的玻璃鱼缸（如图）。从鱼缸里面量得长60厘米，宽45厘米，高40厘米。把水草和小鱼放入鱼缸后现在的水面高度是35厘米，如果再放入体积10立方分米的石块，水会溢出来吗？请说明理由。 【答案】不会；理由见详解 【分析】根据题意，长方体无盖的玻璃鱼缸高40厘米，放入水草和小鱼后水面高度是35厘米，则无水部分的高是（40－35）厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，求出鱼缸无水部分的体积，再根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位，最后与石块的体积进行比较，如果大于或等于石块的体积，水不会溢出；反之，水会溢出。 【详解】60×45×（40－35） ＝60×45×5 ＝13500（立方厘米） 13500立方厘米＝13.5立方分米 10＜13.5 答：水不会溢出来。理由是鱼缸内无水部分的体积大于石块的体积，所以水不会溢出。 17．如图，花花用一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸板，从四角各切掉一个边长6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。 （1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？ （2）这个盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）576平方厘米 （2）1296立方厘米 【分析】（1）贴彩纸的面积＝长方形纸板的面积－4个正方形的面积，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，据此列式解答； （2）长方体的长＝长方形的长－正方形边长×2，长方体的宽＝长方形的宽－正方形边长×2，长方体的高＝正方形的边长，根据长方体容积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】（1）30×24－6×6×4 ＝720－144 ＝576（平方厘米） 答：贴彩纸的面积是576平方厘米。 （2）30－6×2 ＝30－12 ＝18（厘米） 24－6×2 ＝24－12 ＝12（厘米） 18×12×6＝1296（立方厘米） 答：这个盒子的容积是1296立方厘米。 18．在学过排水法测量体积之后，红红想测量家中一个土豆的体积。她拿出一个可封闭的长方体玻璃缸，并注入水，如下左图所示。可这时水面高度只有3厘米，放入土豆后无法淹没土豆。红红灵机一动，扣好盖子把玻璃缸立了起来，如下右图。请求出这个土豆的体积。    【答案】600立方厘米 【分析】先分析左图情况：左图中玻璃缸长30厘米，宽10厘米，水面高度3厘米。根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，此时水的体积为30×10×3＝900（立方厘米）； 再分析右图情况：右图中玻璃缸长10厘米，宽10厘米，水面高度15厘米。此时水和土豆的总体积为10×10×15＝1500（立方厘米）； 最后求土豆体积：用右图中水和土豆的总体积减去左图中水的体积，即土豆的体积为1500－900＝600（立方厘米） 【详解】计算左图水的体积： V1＝30×10×3 ＝300×3 ＝900（立方厘米） 计算右图水和土豆总体积： V2＝10×10×15 ＝100×15 ＝1500（立方厘米） 土豆体积：V＝V1－V2＝1500－900＝600（立方厘米） 这个土豆的体积为600立方厘米。 19．一个长方体的容器，长8分米，宽6分米，高4分米。 （1）它的容积是多少？ （2）这个容器里原有一些水，再放入一个棱长3分米的正方体铁块，容器中的水溢出了3升。则原来容器中的水深多少分米？ 【答案】（1）192升； （2）3.5分米 【分析】（1）长方体容积＝长×宽×高，由此计算出容积是多少立方分米，再根据“1立方分米＝1升”进行单位换算； （2）正方体体积＝棱长×棱长×棱长，由此计算出正方体铁块的体积。将容器的容积减去铁块的体积，求出剩下水的体积，再将剩下水的体积加上溢出水的体积，求出原来水的体积。原来的水自成一个长方体，根据“长方体高＝体积÷底面积”求出原来的水深，计算时注意单位换算。 【详解】（1）8×6×4＝192（立方分米）＝192（升） 答：它的容积是192升。 （2）192升＝192立方分米 3升＝3立方分米 （192－3×3×3＋3）÷（8×6） ＝（192－27＋3）÷48 ＝168÷48 ＝3.5（分米） 答：原来容器中的水深3.5分米。 20．某个村庄需要建造一个长8米，宽4.5米，深3米的长方体蓄水池。 （1）如果在它的四周和底面都抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）如果每立方米的水重1吨，这个蓄水池最多能蓄水多少吨？ 【答案】（1）111平方米 （2）108吨 【分析】（1）蓄水池的深相当于长方体的高，抹水泥的面积＝长×宽＋长×深×2＋宽×深×2，据此列式解答； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，求出蓄水池的容积，蓄水池的容积×每立方米水的质量即可。 【详解】（1）8×4.5＋8×3×2＋4.5×3×2 ＝36＋48＋27 ＝111（平方米） 答：抹水泥的面积是111平方米。 （2）8×4.5×3×1 ＝108×1 ＝108（吨） 答：这个蓄水池最多能蓄水108吨。 21．明明要制作一个棱长30厘米的正方体抽奖箱，如图， （1）每条棱上都安装铝合金保护条，保护条的总长度是多少？ （2）抽奖箱四周是玻璃，玻璃的面积是多少？ （3）这个抽奖箱的容积是多少？（不考虑材料厚度） 【答案】（1）360厘米 （2）3600平方厘米 （3）27000立方厘米 【分析】（1）根据正方体的棱长和＝棱长×12，代入数据计算即可。 （2）根据正方形的面积：S＝a2，求出一个面的面积，再乘4即可。 （3）根据正方体体积计算公式：V＝a3，代入数据计算即可解答。 【详解】（1）30×12＝360（厘米） 答：保护条的总长度是360厘米。 （2）30×30×4 ＝900×4 ＝3600（平方厘米） 答：玻璃的面积是3600平方厘米。 （3）30×30×30 ＝900×30 ＝27000（立方厘米） 答：这个抽奖箱的容积27000立方厘米。 第14页，共14页 第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五单元：长方体和正方体的体积 专项训练04：长方体和正方体的体积应用题 1．浩浩用一根铁丝做了一个棱长是6厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做成长8厘米、宽5厘米的长方体框架，那么这个长方体的高是多少？体积是多少？ 2．如图：A地的面积是24平方米，B地的面积是16平方米，A地比B地高5米。把A地的土运到B地上面，使A，B两地同样高，这样B地可升高多少米？ 3．在一个长3分米、宽26厘米、高22厘米的玻璃缸中，水深18厘米，水接触玻璃的面积有多大？将一个棱长15厘米的正方体铁块放入水中后（通过计算来说明），铁块投入后缸中的水会溢出吗？写出理由。 4．把一块棱长是9分米的正方体钢材，锻造成横截面面积是9平方分米的长方体钢材（如图）。这个长方体钢材的体积有多大？有多长？ 5．一个长方体形状的机油桶，从里面测量，长8分米，宽2分米，高6分米。如果每升机油重0.72千克，这个长方体机油桶可装机油多少千克？ 6．用160厘米长的铁丝焊接成一个长20厘米，宽15厘米的长方体教具，这个长方体教具的高是多少厘米？体积是多少立方厘米？ 7．如图是一块长方体铸铁。（单位：厘米） （1）计算铸铁的体积。 （2）如果在这铸铁的上面正中间位置挖去一个棱长3厘米的小正方体，铸铁表面积增加多少平方厘米？ 8．一个长方体鱼缸里面放着几条观赏鱼、一些石子和植物。从内部测量，长8分米，宽5分米，整个水面高度为5分米。将鱼、石子和植物全部取出后，水面高度变为3分米。这些鱼、石子和植物占据了鱼缸多大的空间？ 9．学校有一个长5米，宽3.8米的长方形沙坑，需要在里面平铺上30厘米厚的沙土，购买7.6立方米沙土够吗？（用两种方法） 10．一个长方体木箱长、宽都是6分米，把它放在墙角，露在外面的面积是144平方分米，这个木箱的体积是多少立方分米？ 11．一个正方体的玻璃容器，棱长3分米，里面盛有水，把一个红薯完全浸没在水中（水没有溢出），水面上升了0.5厘米，红薯的体积是多少立方分米？ 12．学习了有趣的测量后，张琦和李贝贝想尝试测量几个不规则物体的体积。他们进行了如下实验：（单位：厘米） 土豆与红薯哪个的体积大？大多少？ 13．一个容器由一个内空棱长10厘米的正方体和一个内空长20厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体组合形成（如图）。正放时（长方体在下面）水深10厘米，倒放时（正方体在下面，放平）水最深处多少厘米？ 14．家具厂订购1000根方木，每根方木横截面的面积是2.4平方分米，长是30分米。这些方木一共是多少立方米？ 15．在一个长8米、宽5米、高2米的水池中注满水，然后把两条棱长3米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 16．一个长方体无盖的玻璃鱼缸（如图）。从鱼缸里面量得长60厘米，宽45厘米，高40厘米。把水草和小鱼放入鱼缸后现在的水面高度是35厘米，如果再放入体积10立方分米的石块，水会溢出来吗？请说明理由。 17．如图，花花用一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸板，从四角各切掉一个边长6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。 （1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？ （2）这个盒子的容积是多少立方厘米？ 18．在学过排水法测量体积之后，红红想测量家中一个土豆的体积。她拿出一个可封闭的长方体玻璃缸，并注入水，如下左图所示。可这时水面高度只有3厘米，放入土豆后无法淹没土豆。红红灵机一动，扣好盖子把玻璃缸立了起来，如下右图。请求出这个土豆的体积。    19．一个长方体的容器，长8分米，宽6分米，高4分米。 （1）它的容积是多少？ （2）这个容器里原有一些水，再放入一个棱长3分米的正方体铁块，容器中的水溢出了3升。则原来容器中的水深多少分米？ 20．某个村庄需要建造一个长8米，宽4.5米，深3米的长方体蓄水池。 （1）如果在它的四周和底面都抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）如果每立方米的水重1吨，这个蓄水池最多能蓄水多少吨？ 21．明明要制作一个棱长30厘米的正方体抽奖箱，如图， （1）每条棱上都安装铝合金保护条，保护条的总长度是多少？ （2）抽奖箱四周是玻璃，玻璃的面积是多少？ （3）这个抽奖箱的容积是多少？（不考虑材料厚度） 第2页，共7页 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$