清单02 空间向量与立体几何（考点清单，知识导图+14个考点清单+题型解读）高二数学下学期湘教版

清单02 空间向量与立体几何 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【清单02】向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。 【清单03】空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【清单04】利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【清单05】空间向量的长度 1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【清单06】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【清单07】空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【清单08】空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 【清单09】 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①;②;③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【清单10】平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【清单11】用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【清单12】用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【清单13】用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【清单14】用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【考点题型一】利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 技巧：传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算， 但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解， 无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【例1】给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 【变式1-1】已知点在棱长为2的正方体的表面上运动，是的中点，则取最大值时，与平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底法将转化为求的最大值，因此找到点的位置，再找到线面角即可. 【详解】连接，如图，则， 当点在正方体表面上运动时，运动到或处时，最大，最大值为， 故最大为8，此时与平面所成的角的正弦值为. 故选：C. 【变式1-2】已知空间向量，，的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为，点G为的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点G为的重心可得，再由向量的减法和模长结合数量积的运算可得. 【详解】∵点G为的重心，∴， ∴.. ∴，∴，∴. 故选：B 【变式1-3】如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 【变式1-4】若向量，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算律计算即得. 【详解】由，，得，而， 所以. 故选：B 【考点题型二】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 技巧：应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【例2】在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四点，，，共面可得存在实数，使，用同一组基底向量表示出，根据系数对应相等列方程组求解. 【详解】由平行六面体的特征可得，    则， 所以， 又，， 又由，，，四点共面，可得存在实数，使， 所以，解得. 故选：D. 【变式2-1】已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义，任意两个不共线且不为零向量，三个向量不共面，即可判断. 【详解】向量，得与是共面向量, 不能构成空间的一个基底，A错误； 同理，得与是共面向量，不能构成空间的一个基底，B错误； 又与和不共面，所以与可以构成空间的一个基底，C正确； 与是共面向量，不能构成空间的一个基底，D错误. 故选：C. 【变式2-2】已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 【变式2-3】已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 【变式2-4】已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及体积法求点到平面距离求解. 【详解】由，且，得点在平面内， 因此的最小值即为点到平面的距离，即三棱锥底面上的高， 长方体中，，， 等腰底边上的高，， 由，得，即，解得， 所以的最小值为. 故选：D 【考点题型三】空间向量及其运算的坐标表示 技巧：空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 向量数量积的坐标运算若，则 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则 . 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【例3】已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直列方程，解方程即可. 【详解】, 因为，所以，解得. 故选：B. 【变式3-1】已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数等于（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题意由解方程即可求得. 【详解】由题意可得：， 即， 解得. 故选：B 【变式3-2】设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 【变式3-3】已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义可得结果. 【详解】根根据空间中点的坐标确定方法知， 在空间中，点在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：. 故选：C. 【变式3-4】已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】应用向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值. 【详解】由题设，， 所以. 故选：D 【考点题型四】求平面的法向量 技巧：求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z）， 再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量）， 则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程， 再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个， 因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【例4】已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】由线面位置关系和空间直线方向向量与平面法向量的定义可解. 【详解】由题意，若，则，所以，即，解得. 故选：B. 【变式4-1】已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 【变式4-2】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】与平面向量类比，得到空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为， 则该平面的方程为：， 化简得. 故选：A. 【变式4-3】已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量垂直，即可根据数量积的坐标运算求解. 【详解】由于，则，解得， 故选：C 【变式4-4】已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【详解】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 【考点题型五】利用向量研究平行问题 技巧：（1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量 能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【例5】已知在正三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，则（   ） A．平面 B．若，则 C．若，则直线与直线所成角的余弦值为 D．若，则平面与平面的夹角为 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用空间位置的向量证明判断B；利用几何法求出异面直线夹角余弦判断C；求出二面角大小判断D. 【详解】对于A，依题意，，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，，， ，则，B正确； 对于C，由选项A知，是直线与直线所成的角或其补角，令， 则，，C错误； 对于D，取的中点，连接，则是正三棱柱的中截面， 平面平面，平面与平面的夹角等于平面与平面的夹角， 取的中点，连接，由， 得，又，则是平面与平面的夹角， 在中，，，D正确. 故选：ABD    【变式5-1】如图，三棱柱的各棱长均相等，是棱的中点，平面． (1)求证：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）因为三棱柱的各棱长均相等， 所以不妨设棱长为，则， 得到是等边三角形，因为是的中点， 所以，且平面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为平面，所以， 因为是棱的中点， 所以，而，由勾股定理得， 同理可得，则，，，， ，，由中点坐标公式得，， 由题意得，则，设， 故，得到，，即， 由中点坐标公式得，则， ，，设面的法向量为， 得到，， 令，解得，，故， 则，而面，故平面. （2）由上问得，，， ，，则，， ，设面的法向量为， 则，， 令，解得，，得到， 设直线与平面所成角为， 则. 【变式5-2】已知正方体的棱长为2，且，，，则（   ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，面积的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】      如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，， 当时，， 所以，A正确. ，，当时，. 因为平面，平面，所以平面，B正确. 由， 当时，，，， 当时，的面积取得最小值，最小值为，C错误. 当时，，，， 可看作是平面内点到点，的距离之和， 点关于轴的对称点为， 则， 所以的最小值为，D正确. 故选：ABD 【变式5-3】如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）．    A．与不可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 【答案】AD 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1，    则，，，，， 则， 因为点在线段上，令，，则 由∥得. ∴且，故， 而，，， 所以，即，故D正确； 显然在由相交线和所成的平面上， 且与该平面有交点， 故在上移动过程中可能与相交，B错误； 若且，则，不存在这样的值，A正确； 若面，则，显然不存在这样的值，故C错误． 故选：AD 【变式5-4】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【考点题型六】利用向量研究垂直问题 技巧：（1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【例6】如图，在长方体 中，，，  .    (1)证明: 平面 ； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【详解】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； （2）设平面的法向量为， 由，，有， 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 则， 所以直线与平面所成的角为． 【变式6-1】在正方体中，下列四个选项中正确的有（    ） A．直线平面 B．每条棱所在直线与平面所成的角都相等 C．平面平面 D．直线平面 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，建立空间直角 坐标系，利用空间位置关系的向量证明及线面角的向量求法逐项判断. 【详解】在正方体中，令，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 对于A，，即，而点不在直线，则， 又平面，平面，因此直线平面，A正确； 对于B，设平面的法向量，，则， 取，得，棱的方向向量，与平面所成角为， ，棱与平面所成角为， 棱与平面所成角为，同理， 因此，即每条棱所在直线与平面所成的角都相等，B正确； 对于C，设平面的法向量，，则， 取，得，而，即不垂直，平面与平面不垂直，C错误； 对于D，，即，直线平面，D正确. 故选：ABD 【变式6-2】已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则直线平面 C．若，则点到平面的距离为 D．若，则平面与平面所成角的取值范围为 【答案】AB 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、、 、、， 对于A选项，当时，， 则，， 所以，，故，A正确； 对于B选项，当时，则， 所以，， 则，则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以，，即， 因为平面，所以直线平面，B正确； 对于C选项，，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， 则点到平面的距离为，C错误； 对于D选项，若，其中， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，所以，， 当时， 当时，则， ， 综上，，与矛盾，D错误. 故选：AB. 【变式6-3】如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 【变式6-4】如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取得最大值时的正切值； (3)若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)，2 (3)位于的延长线上，且到的距离为1 【分析】（1）由已知，以为原点，建立空间直角坐标系，可得，，得，证得； （2）取平面的法向量，由则，即可得到当时，直线与平面所成的角最大，此时的正切值为2； （3）由平面与平面所成的锐二面角为，利用坐标运算求出，即可确定点的位置． 【详解】（1）因为三棱柱的侧棱与底面垂直， 底面，则， 由， 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 又， 是的中点，是的中点， 点在直线上，且满足， 则，，， ，， ，． （2）取平面的法向量，， 则， 当时，，此时，． （3）设平面的一个法向量，，， 则，， 令，则， ， 解得， 位于的延长线上，且到的距离为1． 【考点题型七】异面直线所成的角 技巧：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【例7】在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】在正方体中构造出正四面体，建立空间直角坐标系.设正方体边长为，求出向量和的坐标，根据向量法即可求解. 【详解】如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体边长为.因为， ∴，，，， ∴，， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式7-1】如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）. (1)求图2中的长度； (2)求图2中直线与所成角的余弦值； (3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由正弦定理得到，再由面积公式得到，进而可求解； （2）建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）求得四面体表面积，设四面体内切球的半径为，结合则四面体的体积，求解即可. 【详解】（1）图中，因为，，所以， 设，则， 在中，由正弦定理，得， 即，所以. 所以， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值， 此时，所以的长度为. （2）如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设直线与所成的角为， 则， 所以直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）知，， ，， 所以，， ， 所以四面体的表面积为 设四面体内切球的半径为， 则四面体的体积， 解得，因为，所以， 所以在线段上不存在点，使得四面体内切球的半径为. 【变式7-2】如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，点到的距离可能为 D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 【答案】B 【分析】先建系计算线线角判断A，根据面面平行判定定理计算判断B，根据向量垂直计算求解判断C，应用截面及导数计算求解最值即可判断D. 【详解】因为四边形为正方形，连接，相交于点，连接，则两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，为的中点， 则，当为的中点时，，从而， 设异面直线与所成的角为，则， 因为，故，A正确； 取为的中点，连接，则，又平面平面，故平面， 又平面平面，故平面平面， 设，平面平面，平面平面，则，则为的中点， 点在四边形内（包含边界）运动，则，点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，B不正确； 当时，设，则，， 得，即，即点的轨迹是以中点为圆心，半径为的圆在四边形内（包含边界）的一段弧， 到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为，最大值为4，因为， 所以存在点到的距离为，C正确； 由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积， 设圆柱底面半径为，高为为的中点，为的中点，， 如图，为圆柱上底面圆的圆心，，根据，得， 即，则圆柱体积， 设，求导得， 令得，或，因为，所以舍去， 即，当时，单调递增，当时，单调递减， 即时有极大值也是最大值，的最大值为，故． 所以存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，D正确． 故选：B. 【变式7-3】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是（    ）    A．∠AGC的角度不会发生变化 B．二面角的大小不可能为 C．AC与平面ABFG所成的角变小 D．AC与EF所成的角先变小后变大 【答案】ACD 【分析】以为原点，，，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，利用空间向量的数量积可判断A，D；求出平面的一个法向量，设与平面所成的角为，利用向量的数量积可求线面角，进而判断C；求出平面的法向量以及平面的法向量，利用空间向量数量积即可求解B. 【详解】以为原点，，，所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，    设正方形ABCD的边长为，， ，，，，，， 对于A，，， 则， 故的角度不会发生变化，所以A正确； 对于B，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 要使二面角的大小为， 则，即， 所以二面角的大小可能为，故B错误； 对于C，平面的一个法向量为，， 设与平面所成的角为， ， ，则单调递减，单调递减， 所以与平面所成的角变小，故C正确； 对于D，设与所成的角为， ，， ， 对称轴为，且，所以先减小后增加， 所以先增加再减小，即与所成的角先变小后变大，故D正确. 故选：ACD. 【变式7-4】如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】D 【分析】以向量为基底，通过空间向量的加减及数乘运算，分别写出，结合数量积运算公式、空间向量的模长计算公式、异面直线所成角的向量计算公式，分别计算求解，进而判断各选项. 【详解】对于A，由题意， ，故A错误； 对于B，记， 所以，， 所以，，故B错误； 对于C，， 所以 ，故C错误； 对于D，因为，, 所以，， ， 又因为 ， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 故D正确. 故选：D. 【考点题型八】利用空间向量解决线面角 技巧：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为， 与的角为，则有． 【例7】在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】在正方体中构造出正四面体，建立空间直角坐标系.设正方体边长为，求出向量和的坐标，根据向量法即可求解. 【详解】如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体边长为.因为， ∴，，，， ∴，， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式7-1】如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）. (1)求图2中的长度； (2)求图2中直线与所成角的余弦值； (3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由正弦定理得到，再由面积公式得到，进而可求解； （2）建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）求得四面体表面积，设四面体内切球的半径为，结合则四面体的体积，求解即可. 【详解】（1）图中，因为，，所以， 设，则， 在中，由正弦定理，得， 即，所以. 所以， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值， 此时，所以的长度为. （2）如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设直线与所成的角为， 则， 所以直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）知，， ，， 所以，， ， 所以四面体的表面积为 设四面体内切球的半径为， 则四面体的体积， 解得，因为，所以， 所以在线段上不存在点，使得四面体内切球的半径为. 【变式7-2】如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，点到的距离可能为 D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 【答案】B 【分析】先建系计算线线角判断A，根据面面平行判定定理计算判断B，根据向量垂直计算求解判断C，应用截面及导数计算求解最值即可判断D. 【详解】因为四边形为正方形，连接，相交于点，连接，则两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，为的中点， 则，当为的中点时，，从而， 设异面直线与所成的角为，则， 因为，故，A正确； 取为的中点，连接，则，又平面平面，故平面， 又平面平面，故平面平面， 设，平面平面，平面平面，则，则为的中点， 点在四边形内（包含边界）运动，则，点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，B不正确； 当时，设，则，， 得，即，即点的轨迹是以中点为圆心，半径为的圆在四边形内（包含边界）的一段弧， 到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为，最大值为4，因为， 所以存在点到的距离为，C正确； 由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积， 设圆柱底面半径为，高为为的中点，为的中点，， 如图，为圆柱上底面圆的圆心，，根据，得， 即，则圆柱体积， 设，求导得， 令得，或，因为，所以舍去， 即，当时，单调递增，当时，单调递减， 即时有极大值也是最大值，的最大值为，故． 所以存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，D正确． 故选：B. 【变式7-3】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是（    ）    A．∠AGC的角度不会发生变化 B．二面角的大小不可能为 C．AC与平面ABFG所成的角变小 D．AC与EF所成的角先变小后变大 【答案】ACD 【分析】以为原点，，，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，利用空间向量的数量积可判断A，D；求出平面的一个法向量，设与平面所成的角为，利用向量的数量积可求线面角，进而判断C；求出平面的法向量以及平面的法向量，利用空间向量数量积即可求解B. 【详解】以为原点，，，所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，    设正方形ABCD的边长为，， ，，，，，， 对于A，，， 则， 故的角度不会发生变化，所以A正确； 对于B，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 要使二面角的大小为， 则，即， 所以二面角的大小可能为，故B错误； 对于C，平面的一个法向量为，， 设与平面所成的角为， ， ，则单调递减，单调递减， 所以与平面所成的角变小，故C正确； 对于D，设与所成的角为， ，， ， 对称轴为，且，所以先减小后增加， 所以先增加再减小，即与所成的角先变小后变大，故D正确. 故选：ACD. 【变式7-4】如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】D 【分析】以向量为基底，通过空间向量的加减及数乘运算，分别写出，结合数量积运算公式、空间向量的模长计算公式、异面直线所成角的向量计算公式，分别计算求解，进而判断各选项. 【详解】对于A，由题意， ，故A错误； 对于B，记， 所以，， 所以，，故B错误； 对于C，， 所以 ，故C错误； 对于D，因为，, 所以，， ， 又因为 ， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 故D正确. 故选：D. 【考点题型九】利用空间向量解决二面角 技巧：如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角， . 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【例9】如图，在中，，点D在边上，．沿直线将翻折成，使平面平面，连接． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，先利用等腰三角形的性质得，再利用面面垂直的性质定理得平面，最后代入锥体体积公式求解即可. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面法向量，利用向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点为，连接， ∵是等腰直角三角形，∴． 又∵平面平面BCD，平面平面且平面， ∴平面，即是三棱锥的高． 在中，，，解得， ∴， ∴. （2）以为坐标原点，为轴，为轴，过点作出z轴，建立如图坐标系． ∴，，，， ∴，． 设平面的法向量为， 解得，令，则， ∴． 又∵平面BCD的法向量． 设二面角为，又由图可知二面角的平面角为锐二面角， ∴， ∴二面角的余弦值为. 【变式9-1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，通过构造平行四边形得到线线平行，进而得到结果； （2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求得相关的向量坐标，求出平面的法向量，根据向量的夹角公式求得答案. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面， 所以平面. （2）因为平面， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以. 设平面的法向量为， 则， 取，得， 所以. 因为平面， 所以平面， 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式9-2】在三棱锥中，平面平面平面.    (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，且，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过作于，利用面面垂直推出线面垂直，即得，再由平面推出，可得平面即可证得结论； （2）法1：过作于，连接，证明即为二面角的平面角，即得，再设，将分别用的三角函数表示，借助于直角，求得，即可求出；法2：依题建系，设，求出或用的三角函数表示出相关点的坐标，利用空间向量夹角公式求得，即可. 【详解】（1）    如图，过作于. 因为平面平面，平面平面平面 所以平面. 又平面，所以. 又平面平面，所以. 因为平面，且， 所以平面，又平面，所以. （2）法1：过作于，连接， 由（1）平面，平面，可得， 因平面，，故平面， 又平面，所以.    所以即为二面角的平面角， 所以则. 又由（1）平面，平面，则， 因平面，平面，则. 设，因为，，则， ， 所以， 解得，则，从而. 法2：由（1）可得.如图，以为原点，所在 直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，    记二面角为，设，因为， 所以， 则， 所以. 设平面的法向量为，则 即令，得， 易知平面的一个法向量为，又， 所以， 解得，则，所以. 【变式9-3】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为CD的中点，M在AB上，且.    (1)求证：； (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点D到平面PBC的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建系，由直线方向向量的共线即可求证； （2）求得平面法向量，代入夹角公式即可； （3）由点到面的向量公式即可求解； 【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 由，得， 解得，即， 所以，， 所以，又，所以. （2）解：由（1）得，则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）解：由题意知，由（2）得平面的一个法向量为 所以点到平面的距离为 【变式9-4】如图，等腰梯形的面积为，过点作于点.将沿翻折到的位置，使得平面平面. (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由平面平面得，利用勾股定理证，即可得平面，即得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，平面的法向量为，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）连接，如图. 由梯形的面积公式可得梯形的高. 因为平面平面，平面平面， 即，所以平面，所以. 在中，利用勾股定理可得， 同理可得， 在中，，所以， 又平面，，所以平面，平面， 所以. （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【考点题型十】利用空间向量距离问题 技巧：1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【例10】在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件，求平面的法向量，再求向量在法向量上的投影向量的大小即可得结论. 【详解】设平面的法向量为， 则，又，， 所以， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 又， 所以向量在法向量上的投影向量的大小为， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 【变式10-1】如图，正三棱柱中，是棱的中点，，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在直线，在平面内过作的垂线为轴所在直线， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，可知， 且平面，所以平面. （2）由（1）可知，，平面的法向量， 则点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 【变式10-2】如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，与平面交于点F． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）建系，求得平面法向量、直线方向向量，代入夹角公式即可求解； （2）由点到面距离的向量法公式即可求解； 【详解】（1）在正方体中，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，，， 设平面ACE的法向量为， 则 则有，令，得， 可得， 设直线DE与平面ACE所成角为， 则有， 即直线与平面所成角得正弦值为； （2）由（1）可，点到平面ACE的距离为． 【变式10-3】如图，在四棱锥中，，，，为边的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，由勾股定理证明，可证平面，得证； （2）延长至点，可得，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）因为，所以． 又因为，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，平面，，相交， 所以平面． 因为平面，所以． 在四边形中，，，， 所以，． 又因为为边的中点， 所以． 所以．所以． 因为，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2）如图，延长至点，使得，连接． 因为，，， 所以四边形为矩形．所以， 由（1）平面， 因为直线与平面所成角为， 所以． 因为，所以． 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． 设平面的法向量，则，即， 取，，，平面的一个法向量． 所以点到平面的距离． 【变式10-4】如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 1 / 1 份有限公 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 空间向量与立体几何 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【清单02】向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。 【清单03】空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【清单04】利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【清单05】空间向量的长度 1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【清单06】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【清单07】空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【清单08】空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 【清单09】 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①;②;③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【清单10】平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【清单11】用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【清单12】用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【清单13】用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【清单14】用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【考点题型一】利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 技巧：传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算， 但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解， 无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【例1】给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【变式1-1】已知点在棱长为2的正方体的表面上运动，是的中点，则取最大值时，与平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知空间向量，，的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为，点G为的重心，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【变式1-4】若向量，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点题型二】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 技巧：应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【例2】在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】空间向量及其运算的坐标表示 技巧：空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 向量数量积的坐标运算若，则 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则 . 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【例3】已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式3-1】已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数等于（    ） A． B． C．3 D． 【变式3-2】设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【考点题型四】求平面的法向量 技巧：求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z）， 再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量）， 则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程， 再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个， 因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【例4】已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（    ） A．7 B． C． D． 【变式4-1】已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式4-4】已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】利用向量研究平行问题 技巧：（1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量 能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【例5】已知在正三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，则（   ） A．平面 B．若，则 C．若，则直线与直线所成角的余弦值为 D．若，则平面与平面的夹角为 【变式5-1】如图，三棱柱的各棱长均相等，是棱的中点，平面． (1)求证：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式5-2】已知正方体的棱长为2，且，，，则（   ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，面积的最小值为 D．当时，的最小值为 【变式5-3】如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）．    A．与不可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 【变式5-4】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【考点题型六】利用向量研究垂直问题 技巧：（1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【例6】如图，在长方体 中，，，  .    (1)证明: 平面 ； (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式6-1】在正方体中，下列四个选项中正确的有（    ） A．直线平面 B．每条棱所在直线与平面所成的角都相等 C．平面平面 D．直线平面 【变式6-2】已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则直线平面 C．若，则点到平面的距离为 D．若，则平面与平面所成角的取值范围为 【变式6-3】如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【变式6-4】如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取得最大值时的正切值； (3)若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置． 【考点题型七】异面直线所成的角 技巧：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【例7】在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【变式7-1】如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）. (1)求图2中的长度； (2)求图2中直线与所成角的余弦值； (3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由. 【变式7-2】如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，点到的距离可能为 D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 【变式7-3】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是（    ）    A．∠AGC的角度不会发生变化 B．二面角的大小不可能为 C．AC与平面ABFG所成的角变小 D．AC与EF所成的角先变小后变大 【变式7-4】如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 【考点题型八】利用空间向量解决线面角 技巧：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为， 与的角为，则有． 【例7】在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【变式7-1】如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）. (1)求图2中的长度； (2)求图2中直线与所成角的余弦值； (3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由. 【变式7-2】如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，点到的距离可能为 D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 【变式7-3】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是（    ）    A．∠AGC的角度不会发生变化 B．二面角的大小不可能为 C．AC与平面ABFG所成的角变小 D．AC与EF所成的角先变小后变大 【变式7-4】如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 【考点题型九】利用空间向量解决二面角 技巧：如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角， . 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【例9】如图，在中，，点D在边上，．沿直线将翻折成，使平面平面，连接． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 【变式9-1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式9-2】在三棱锥中，平面平面平面.    (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，且，求. 【变式9-3】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为CD的中点，M在AB上，且.    (1)求证：； (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点D到平面PBC的距离. 【变式9-4】如图，等腰梯形的面积为，过点作于点.将沿翻折到的位置，使得平面平面. (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【考点题型十】利用空间向量距离问题 技巧：1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【例10】在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，正三棱柱中，是棱的中点，，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【变式10-2】如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，与平面交于点F． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【变式10-3】如图，在四棱锥中，，，，为边的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 【变式10-4】如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$