专题02 空间向量与立体几何（易错必刷40题8种题型专项训练）（期末复习专项训练）高二数学下学期湘教版

专题02 平面向量（易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　空间线面位置关系的判定 题型二　利用空间向量的数量积求值 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 题型四　求平面的法向量 题型五　异面直线所成的角 题型六　利用空间向量解决二面角 题型七　利用空间向量距离问题 题型八　利用空间向量解决线面角 题型一　空间线面位置关系的判定 1．（24-25高二下·四川广安·开学考试）如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（    ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可判断AB选项，采用换顶点的方法即可求出三棱锥的体积，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，进而可判断D选项. 【详解】因为长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 对于选项A：因为，， 可得，所以与不垂直，故A错误； 对于选项B：因为，，，， 设平面的法向量，则， 取，则，可得， 设平面的法向量， 则， 取，则，可得， 显然不共线，所以平面与平面相交，故B错误； 对于选项C：三棱锥的体积为：，故C错误； 对于选项D：三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 可知三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确． 故选：D． 2．（24-25高二上·广西钦州·期末）在长方体中，，，为的中点，动点在长方体内（含表面），且满足，记动点的轨迹为，则（    ） A．的面积为 B．的面积为 C．当时，存在点，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】根据中点以及线线平行可得的轨迹为四边形，即可利用梯形面积求解AB，建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解C，利用线面平行，结合体积公式即可求解D. 【详解】取的中点，连接则， 所以四点共面.因为， 所以四点共面，故点的轨迹为四边形，所以的面积即为梯形的面积. 因为，，，所以，故A正确，B错误. 对于C，如图，建立空间直角坐标系，则，， ，，，. 因为，所以，所以. 因为，所以， 得，所以存在点，使得，故C正确. 对于D，当时，，因为平面，故点到平面的距离为定值2，又三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以D正确. 故选:ACD 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）下列命题不正确的是（    ） A．设为实数，若直线平面，且的方向向量为，的法向量为，则 B．已知空间向量，，，若，，共面，则 C．已知两点，，若沿轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后、两点间的距离为 D．在空间四边形中，设，，，，分别为，的中点，则 【答案】D 【分析】利用空间向量共线判断A；利用共面向量定理计算判断B；利用空间两点间距离公式判断C；利用空间基底表示向量判断D 【详解】对于A，直线的方向向量与的法向量共线，则，解得，A正确； 对于B，由，，共面，得，则，解得，B正确； 对于C，令原轴正方向为折后的轴正方向，原轴负方向为折后的轴正方向， 则折后点，点，折叠后、两点间的距离为，C正确； 对于D，，D错误. 故选：D 4．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面满足，底面， 且，E为中点．求证：面 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，证明两者垂直，即可证明结论. 【详解】由题可知底面，，故两两垂直． 则以A为原点，分别为x、y、z轴正方向建系， ， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 所以， 而， 所以，又面， ∴面； 5．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及，利用向量法即可证明结果. 【详解】平面平面， 平面平面， 平面，所以平面， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 . ， 设平面的法向量为，则， 令，解得：，所以， 又，即， 又平面，所以平面. 题型二　利用空间向量的数量积求值 6．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由可得，利用数量积运算即可得出结果. 【详解】因为，即，所以， 因为平行六面体各条棱长均为，， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故选：D. 7．（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 8．（24-25高二上·山东潍坊·期中）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，即可判断得出结论. 【详解】因为M为的中点，所以， 可得， 所以，即， 可得是直角三角形. 故选：C 9．（23-24高二上·宁夏·阶段练习）如图，在四面体中，，，，设.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【答案】(1)36 (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解， （2）根据空间向量的线性，结合模长公式即可求解. 【详解】（1）由，，可得 , 所以 （2）由于是线段中点，点满足， 所以, 故, 所以, 所以 10．（23-24高二上·上海·课后作业）已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案； （2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，， 故 ； （2） . 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 11．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知，，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的向量坐标，再根据投影向量的公式来计算. 【详解】已知，，，. ； . 计算和, . 根据投影向量公式，则投影向量为. 故选：A. 12．（2025·四川成都·三模）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，再结合空间向量的线性运算将用三角函数表示，最后利用余弦函数的有界性求解即可． 【详解】三棱锥中，两两垂直，且．若为该三棱锥外接球上的一动点， 如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 球心为正方体对角线的交点，以为原点建立空间直角坐标系， 得到， 设三棱锥外接球的半径即正方体外接球半径为，则， 故， 故， 由向量模长公式得， 而， 设， 由数量积的定义得， 所以，由余弦函数性质得当时， 取得最小值． 故答案为：． 13．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，由向量共线定理可求得点坐标， 因为为钝角，而三点不共线，故，由此可解出的取值范围. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·上海·阶段练习），，则向量在向量上的投影向量是 ． 【答案】 【分析】由投影向量计算公式即可直接求解. 【详解】向量在向量上的投影向量是： ． 故答案为： 15．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求解向量的模长即可； （2）根据空间向量垂直的坐标运算列方程即可得实数的值. 【详解】（1）因为空间向量， 所以， 所以； （2）由题得， 由向量与垂直，则， 则，解得：. 题型四　求平面的法向量 16．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量， 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：B 17．（24-25高二上·湖南·期末）给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面可以表示为集合，即在空间直角坐标系中，若，，设，则平面的方程为.根据以上信息，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求解平面法向量，利用待定系数法求解的方向向量为，即可利用向量的夹角公式求解. 【详解】由题意可知，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为. 又直线是平面与平面的交线，设直线的方向向量为， 则取，则. 设与平面所成的角为，则. 故选:D. 18．（21-22高二上·上海浦东新·期末）如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体的棱长，表达出，判断在是严格减函数，从而求出最值，得出取值范围. 【详解】设正方体的棱长为2，建立如图空间直角坐标系. 则，设， 得， 设平面的法向量为， 得，取，得， 所以 ， 因为，所以在上单调递减， 且， 由复合函数的单调性可知在单调递增， 所以的值在时是随着a的增大而减小， 故当时，取得最小值，为； 故当时，取得最大值，为； 所以的取值范围为. 故选：C 19．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 【答案】 【分析】求得平面的一个法向量为，再根据和向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，即， 点P到平面ABC的距离等于，所以，即得，且， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 20．（24-25高二上·广西南宁·期中）人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，且直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】根据已知定义可确定三个平面的法向量，利用直线的方向向量与两个平面的法向量垂直可求得方向向量，根据线面角的向量求法可求得正弦值. 【详解】由题意知：平面的一个法向量，平面的一个法向量，平面的一个法向量， 的方向向量为， ， 令，解得：，，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 题型五　异面直线所成的角 21．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于 ．    【答案】/ 【分析】取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】取的中点，连接，可得， 因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：.    22．（2025·重庆·模拟预测）在的二面角中，，，到棱的距离为，到棱的距离为，，则直线与棱夹角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，可知，，由空间向量的数量积的运算性质求出的长，再利用空间向量数量积的运算性质结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点， 由二面角的定义可知，，由题意可知，，， 因为， 则 ，解得， 因为， 所以，， 故， 即直线与棱夹角的正弦值为. 故答案为：. 23．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，若，则异面直线的夹角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用余弦定理可求得，，根据，利用向量数量积的定义和运算律求得，由向量夹角公式可得结果. 【详解】如图，连接， 在中，由余弦定理得：， ∴. 在中，由余弦定理得：. ∵ ， 故，即异面直线夹角的余弦值为. ∵异面直线夹角的取值范围为， ∴异面直线夹角的正弦值为. 故答案为：. 24．（24-25高二下·辽宁·开学考试）已知空间四边形.则对角线与所成角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过三角形算出线段长，作，求得长，然后建立空间直角坐标系，设出点的坐标并得到参数之间的关系，利用空间向量间求得异面直线的夹角的余弦值，并求出范围，从而得到夹角的正切值的范围. 【详解】在中，因为，所以， 过点在平面中作于点，则， 所以，所以，， 取中点，连接，在三角形中，因为，所以， 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过作直线垂直于平面，这条直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，所以， 设，且， 所以，， 设直线与直线的夹角为， 则 ， 因为，所以当时，， 所以当时，， 因为，所以. 故答案为：. 25．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图3，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，这个正多面体的表面积为 ；若点为线段上的动点，如图则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 ．    【答案】 【分析】根据正方形和等边三角形面积公式，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形，8个面为边长为的等边三角形， 故； 在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，， 则直线与直线所成角的余弦值 而， 故． 故答案为：；    题型六　利用空间向量解决二面角 26．（2025高三下·全国·专题练习）已知是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且．当共面时，平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】可以先建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，，平面夹角的余弦值即为两个法向量所成角的余弦值的绝对值，代入坐标公式计算即可. 【详解】解析：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 易知当取点和点分别为棱的中点时，，坐标为：，，四点共面．设平面的法向量为， 依题意得：，令，可取， 同理可得平面的一个法向量为． 故平面与平面夹角的余弦值为．    故答案为： 27．（24-25高二下·全国·开学考试）如图．在二面角中，，，，，，，且，，则二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据二面角定义得出二面角为，再结合空间向量的数量积公式计算得出余弦值即可求出二面角． 【详解】设二面角的平面角为， 由二面角的平面角的定义知． 因为，所以． 由，，得，． 因为， 所以， 所以，所以． 故答案为：. 28．（24-25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 29．（2025·江西景德镇·三模）如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点． (1)证明：平面平面； (2)如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证得两组线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角，再求其正弦值. 【详解】（1），，为的中点， ，， 平面，平面， 平面． 又平面， 平面平面． （2） 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系． 取中点，连接，，． 由（1）可知平面，平面，， 又平面，平面，故平面． ，，为的中点，． 又，为的中点，． 则，，，，，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以． 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. 设平面与平面的夹角为， 则，所以. 所以，平面与平面的夹角的正弦值是． 30．（2025·四川凉山·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，． (1)证明：； (2)若，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取CD的中点E，可证平面PBE，进而可得，即可证得结论； （2）取PC的中点F，连接BF，分析可知二面角的大小，建系标点，利用空间向量夹角公式求二面角即可. 【详解】（1）取CD的中点E，连接BE，PE， 由，得， 又因为，，平面PBE，则平面PBE， 且平面PBE，可得， 因为BE为的中线，所以 （2）在菱形ABCD中，，由， 则，， ，则， 在中，，， 则，即且， 在中，，即， 故可以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 取PC的中点F，连接BF， 则， 由，得， 可知二面角的大小， 可得，， 则， 所以二面角的余弦值是. 题型七　利用空间向量距离问题 31．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点的坐标，应用向量法求点线距离. 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，    所以， 则点到直线的距离. 故答案为： 32．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量的方法列方程得到，然后利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 设平面的一个法向量为， 则，则， 所以顶点到平面的距离为． 故答案为：. 33．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间点到直线距离公式进行计算. 【详解】 如图，以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以直线的方向向量为，而， 则，在上的投影长为. 所以点B到直线的距离. 故答案为：. 34．（2025·上海徐汇·二模）已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 【答案】 【分析】取中点为，连接，通过证明，从而证明点到的距离为，再结合已知条件求出即可. 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； 在△中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 35．（24-25高二下·湖南·期中）如图，在四棱锥中，满足，，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度和点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而可证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面，平面的法向量结合平面与平面的夹角的余弦值为，求得，法1，利用向量法求点面距，法2，利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，平面， ∴，又，，平面， ∴平面， 又平面，∴平面平面. （2）∵平面，平面，∴，， 又，∴以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，取，得，， ∴， 平面的法向量为， ∵平面与平面的夹角的余弦值为，∴， 解得，即， 所以，， 所以点到平面的距离为． 法（二）等体积法，∴，，， ∴， ∵，∴， ∴， 设点到平面的距离为， 由，得， 解得， ∴点到平面的距离为． 题型八　利用空间向量解决线面角 36．（24-25高二下·广东江门·期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】由线面夹角公式即可求解. 【详解】由条件可得：， 直线与平面所成角的正弦值为：， 故答案为： 37．（24-25高二上·四川·期末）空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】确定平面的一个法向量，求出直线l的方向向量，根据线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意可知平面的一个法向量为，平面一个法向量为， 平面一个法向量为， 设直线l的方向向量为，则， 故，取，则， 设直线l与平面所成角，则， 故答案为： 38．（2024·四川德阳·模拟预测）空间直角坐标系下，空间内任何平面都具有一般方程，这如平面中的直线方程形式相似，可得向量为平面的法向量.而空间中的直线，可以使用平面相交或两点确定.若已知过的直线方向向量，则就是该直线所对应的标准方程.若已知空间内两点和，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】由题意求得平面的一个法向量，求得直线的一个方向向量，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】平面的一个法向量为， 因为空间内两点和， 所以直线的一个方向向量为， 所以. 故答案为：. 39．（24-25高二下·广东佛山·期中）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，，在另外的半圆周上，． (1)若，求证：； (2)若，，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意得到平面，推出，再结合可求证； （2）以为坐标原点，，所在直线为，轴，过点作平面的垂线作为轴，建立空间直角坐标系，由直线与平面所成的角为，确定的坐标，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意知平面平面，平面平面， ，且平面，故平面， 又平面，故； 又，且，，平面， 故平面，而平面， 故； （2）以为坐标原点，，所在直线为，轴，过点作平面的垂线作为轴，建立空间直角坐标系，如图： 由于，，则，， 设，，则， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则可得， 由于直线与平面所成的角为， 故， 解得，结合，则， 所以，所以， 又平面， 所以． 40．（24-25高二下·广西·期中）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得平面，进而由线面锤子的性质定理得线线垂直. （2）取的中点E，先求得是正三角形，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，最后利用向量法求得线面角的正弦值即可. 【详解】（1）∵，是的中点，∴， 又∵平面平面且交于，平面， ∴平面， 又平面，∴. （2）取的中点E，∵， ∴，，且，， ∴四边形是矩形，∴， 因此是正三角形，∴，，. 如图所示，建立空间直角坐标系   ，，，，， ∴，，， 设平面的法向量， 则有， 令，则，， 故为平面的一个法向量. 由 所以直线与平面所成角的正弦值为. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量（易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　空间线面位置关系的判定 题型二　利用空间向量的数量积求值 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 题型四　求平面的法向量 题型五　异面直线所成的角 题型六　利用空间向量解决二面角 题型七　利用空间向量距离问题 题型八　利用空间向量解决线面角 题型一　空间线面位置关系的判定 1．（24-25高二下·四川广安·开学考试）如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（    ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 2．（24-25高二上·广西钦州·期末）在长方体中，，，为的中点，动点在长方体内（含表面），且满足，记动点的轨迹为，则（    ） A．的面积为 B．的面积为 C．当时，存在点，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）下列命题不正确的是（    ） A．设为实数，若直线平面，且的方向向量为，的法向量为，则 B．已知空间向量，，，若，，共面，则 C．已知两点，，若沿轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后、两点间的距离为 D．在空间四边形中，设，，，，分别为，的中点，则 4．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面满足，底面， 且，E为中点．求证：面 5．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.求证：平面. 题型二　利用空间向量的数量积求值 6．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 7．（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东潍坊·期中）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 9．（23-24高二上·宁夏·阶段练习）如图，在四面体中，，，，设.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 10．（23-24高二上·上海·课后作业）已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 11．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知，，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·四川成都·三模）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为 . 13．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 14．（24-25高二下·上海·阶段练习），，则向量在向量上的投影向量是 ． 15．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 题型四　求平面的法向量 16．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·湖南·期末）给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面可以表示为集合，即在空间直角坐标系中，若，，设，则平面的方程为.根据以上信息，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A．0 B． C． D． 18．（21-22高二上·上海浦东新·期末）如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 20．（24-25高二上·广西南宁·期中）人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，且直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 题型五　异面直线所成的角 21．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于 ．    22．（2025·重庆·模拟预测）在的二面角中，，，到棱的距离为，到棱的距离为，，则直线与棱夹角的正弦值为 . 23．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，若，则异面直线的夹角的正弦值为 ． 24．（24-25高二下·辽宁·开学考试）已知空间四边形.则对角线与所成角的正切值的取值范围是 . 25．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图3，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，这个正多面体的表面积为 ；若点为线段上的动点，如图则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 ．    题型六　利用空间向量解决二面角 26．（2025高三下·全国·专题练习）已知是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且．当共面时，平面与平面夹角的余弦值为 ． 27．（24-25高二下·全国·开学考试）如图．在二面角中，，，，，，，且，，则二面角的大小为 ． 28．（24-25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 29．（2025·江西景德镇·三模）如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点． (1)证明：平面平面； (2)如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值． 30．（2025·四川凉山·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，． (1)证明：； (2)若，，求二面角的余弦值． 题型七　利用空间向量距离问题 31．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 32．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 33．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 34．（2025·上海徐汇·二模）已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 35．（24-25高二下·湖南·期中）如图，在四棱锥中，满足，，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度和点到平面的距离． 题型八　利用空间向量解决线面角 36．（24-25高二下·广东江门·期中）若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 37．（24-25高二上·四川·期末）空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为 ． 38．（2024·四川德阳·模拟预测）空间直角坐标系下，空间内任何平面都具有一般方程，这如平面中的直线方程形式相似，可得向量为平面的法向量.而空间中的直线，可以使用平面相交或两点确定.若已知过的直线方向向量，则就是该直线所对应的标准方程.若已知空间内两点和，则直线与平面所成角的正弦值为 . 39．（24-25高二下·广东佛山·期中）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，，在另外的半圆周上，． (1)若，求证：； (2)若，，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 40．（24-25高二下·广西·期中）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$