第03讲 9.2.1 总体取值规律的估计（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第03讲 9.2.1 总体取值规律的估计 课程标准 学习目标 ①掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法。 ②掌握用频率分布直方图估计总体。 收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息．因为实际问题中数据多而且杂乱，往往无法直接从原始数据中发现规律，所以需要根据问题的背景特点，选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述．在此基础上，通过数据分析，找出数据中蕴含的信息，就可以用这些信息来解决实际问题了． 知识点01：频率分布表与频率分布直方图 （1）频数与频率 将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数叫做该组的频数.每组数据的频数除以全体数据的个数的商叫做该组数据的频率.频率反映各个小组数据在样本量中所占比例的大小. （2）样本的频率分布及频率分布表 根据随机抽取的样本量的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况）就 叫做样本的频率分布. 为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常将样本量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中，这张表叫做频率分布表.分组、频数、频率是频率分布表中最基本也是必要的三列，在实际操作中，每组的频数是通过类似统计选票时的“唱票”的方式进行统计的，所以通常频率分布表中 还会有“频数累计”一列. 【即学即练1】（24-25高一·全国·随堂练习）某出租车公司随机调查该公司50辆出租车某天8:00—18:00的营业额（单位：元）情况，结果如下： 259   294   295   297   300   300   300   301   301   302 303   306   308   309   311   314   315   315   321   323 327   328   331   334   336   339   339   339   347   348 350   350   352   355   359   359   361   363   370   376 377   383   388   389   390   396   404   410   410   411 (1)试根据以上数据制作频率分布表； (2)绘制频数分布直方图和频率分布直方图，并比较两者的异同． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】确定极差、组数与组距、绘制频率分布表、绘制频率分布直方图、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）先求出极差，进而合理确定组数和组距，进而制作出频率分布表；（2）结合第一问的分布表，制作频数分布直方图和频率分布直方图，并比较两者的异同. 【详解】（1）根据已知数据，最大值为411，最小值是259，极差为411-259=152，可将其分为8组，组距为20，频率分布表如下： 分组 频数 频率 频率/组距 1 0.02 0.001 3 0.06 0.003 14 0.28 0.014 7 0.14 0.007 9 0.18 0.009 7 0.14 0.007 5 0.10 0.005 4 0.08 0.004 合计 50 1.00 0.05 （2）频数分布直方图如下： 频率分布直方图如下： 通过比较，两者的纵坐标不同，横坐标相同，数据分布情况相同. （3）用样本的频率分布估计总体的分布 在实际应用中，总体分布可以为合理决策提供依据（总体分布描述的是总体在各个范围内个体的百分比).总体分布一般不好直接获得，往往通过样本的频率分布估计总体分布.用样本估计总体，是研究统计问 题的一个基本思想方法误区. （4）样本的频率分布直方图 为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来，常画出频率分布直方图.画图时，应以横轴表示分组、纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，画成小长方形，这样得到的直方图就是频率分布直方图. （5）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质 ①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． ③将数据分组． ④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是. ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度． 知识点02：统计图表 （1）条形统计图 用单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来，这样的统计图称为条形统计图. 优点：条形统计图不但可以直观地反映数据分布的大致情况，还可以清晰地表示出各个区间的具体数目，易于比较数据间的差别. 缺点：会损失数据的部分信息且不能明确显示部分与整体的关系. （2）折线统计图 建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应点，然后用直线段顺次连接相邻点，得到一条折线，用这条折线表示样本数据情况，这种表达和分析数据的统计图称为折线统计图. 优点：折线统计图不但可以表示数量的多少，而且能够用折线的起伏清楚直观地表示数量的增减变化的情况. 缺点：不能直观反映数据的分布情况且不适合总体分布较多的情况. （3）扇形统计图 扇形统计图中，用整个圆面积代表总体，圆内的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形面积的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小. 优点：扇形统计图可以很清楚地表示各部分与总体之间的关系，即扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比. 缺点：会丢失部分数据信息且不适合总体中部分较多的情况. 【即学即练2】（24-25高一上·全国·课后作业）某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图. 根据以上信息解答下列问题： 回收的问卷数为 份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为 ． 【答案】 120 30° 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、补全扇形统计图 【分析】根据“从来不管”的问卷数及其所占的比例可求出回收的问卷数的总数，从而可求出“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数. 【详解】由统计图表可知“从来不管”的问卷数为30，所占的比例为， 所以回收的问卷数为份， 所以“严加干涉”所占的比例为， 所以“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为. 故答案为：120， 题型01 列频率分布表、绘制频率分布直方图和频率分布折线图 【典例1】（23-24高二·上海·课堂例题）某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性，给50名患者服用该药，一周后测得低密度脂蛋白的含量（单位：mmol/L）如下： 2.80  3.54  3.02  3.43  3.69  2.46  3.03  3.06  3.35  3.57 3.72  4.36  2.56  4.11  2.81  2.77  5.32  3.34  3.68  3.95 2.98  3.63  3.65  3.22  3.90  3.97  3.86  3.93  3.17  3.72 3.36  3.56  3.80  4.57  5.02  3.31  3.52  3.27  3.98  4.72 3.03  4.09  2.14  2.06  3.00  2.75  3.84  2.16  3.09  2.81 (1)制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图. 【典例2】（2024高一下·全国·专题练习）从高三参加数学竞赛的学生中抽取50名学生的成绩，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：，2；，3；，10；，15；，12；，8. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生比例； (4)估计成绩在80分以下的学生比例． 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm). 区间界限 人数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比． 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）对某校某年高中毕业生去向调查如下表： 上本科 上专科 上技校 参军 直接就业 其他 用适当的统计图表方式表示出上面的数据． 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 3 5 8 频率 0.12 0.20 0.32 (1)确定样本频率分布表中，，和的值； (2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图与折线图． 【变式4】（23-24高二·上海·课堂例题）某研究机构随机抽取了某市40个小区，得到每个小区居民平均每天运动1h以上的比例（%）如下： 18.7 16.2 24.9 24.2 22.8 18.5 23.0 26.1 18.1 23.2 21.7 23.5 26.3 17.8 22.1 16.3 21.5 21.9 21.5 26.8 21.2 22.6 24.0 22.1 20.6 24.5 21.8 26.8 29.4 24.1 20.1 22.8 24.3 25.7 19.9 25.8 26.3 18.8 26.4 21.5 (1)适当地分组，制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图，并估计该市有多少比例的小区其居民每天运动1h的比例超过25%． 题型02频率分布直方图的应用 【典例1】（多选）（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（   ） A． B．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人 C．第二次联考学生的成绩波动更小 D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加 【典例2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值.将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)若，求； (2)若，函数. ①求的最小值； ②结合调查实际，解释①中最小值的含义，并确定临界值. 【典例3】（2024·贵州贵阳·二模）某工生产某电子产品配件，关键接线环节需要焊接，焊接是否成功将直接导致产品“合格”与“不合格”，工厂经过大量后期出广检测发现“不合格”产品和“合格”产品的某性能指标有明显差异，统计得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值k，将该指标大于k的产品判定为“不合格”，小于或等于k的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏检率时，求临界值和错检率； (2)设函数，当时，求的解析式． 【变式1】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数. (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件. 方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元. 方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元. 请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案. 【变式2】（23-24高一下·江苏无锡）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元收费，第三阶梯为超过的部分按8元收费． (1)求直方图中的值； (2)已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数； (3)该市政府希望使至少有的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？ 【变式3】（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示： 若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数； (2)设且，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产： 方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元； 方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元； 请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案． 题型03 条形统计图的应用 【典例1】（2024·四川德阳·模拟预测）中国人口亿人口中肠胃病患者高达亿，慢性胃炎发病率高达，消化性溃疡病发率也高达，是全世界当之无愧的“胃病大国”.根据随机对名青少年随机抽查，的青少年表示自己患有胃病，的青少年不清楚自己是否患有胃病，只有明确自己没有胃病.肠胃病的严重程度，一般可体现在排便量、排便时长上. 某高中为了了解学生肠胃病占比和严重程度，对年高一高二学生单日单次的排便时长进行了统计(记排便分钟内为正常，排便分钟为轻度肠胃病，排便分钟以上为重度肠胃病)，并将结果制成统计图(如图所示)，若高一学生人，高二学生人，占比百分数均保留整数，下列说法正确的是（    ） A．高二学生的肠胃病人数比高一年级少 B．高一年级的各肠胃病区间人数占比都比高二年级少 C．高一年级重度肠胃病人数占比比高二年级少 D．高一肠胃质量参数比高二高(肠胃质量参数) 【典例2】（多选）（23-24高一下·广西南宁·期末）（多选）某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A一家人接送，B一乘坐地铁，C一乘坐公交，D一其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A．若该校高一年级有学生1300人，则高一年级约有780人乘坐公共交通工具上学 B．估计该校高一年级有的学生某天家人接送上学 C．扇形图中B的占比为40% D．估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半 【变式1】（23-24高一下·吉林通化·阶段练习）2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ） A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 【变式2】（2024·甘肃·一模）小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（    ）    A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出 B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的 C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高 D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）新中国成立以来，我国共进行了七次人口普查，这七次人口普查的城乡人口数据如下: 根据该图数据，下列说法中不正确的是（　　） A．城镇人口总数逐次增加 B．乡村人口数达到最高峰是第四次 C．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第七次 D．城镇人口数均少于乡村人口数 【变式4】（多选）（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类､科技创新类､体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（    ）    A．满意度调查中抽取的样本容量为5000 B．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250 C．该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875 D．若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则 题型04 折线统计图与扇形统计图的应用 【典例1】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）某同学将全班同学期中考试的成绩绘制成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率折线图（如下图所示）.    据此图，下列说法正确的是（　　） A．由频率折线图可以看出，在[75，115）区间内，随着成绩的增加，各分数对应的人数一直增加 B．由频率折线图可以看出，在[115，145）区间内各分数段的人数逐渐减少 C．据频率折线图可以估计此次考试成绩的众数是115 D．据频率折线图可以看出有50%以上的同学的分数在[95，135）区间内 【典例2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）今年受疫情影响，我市中小学生全体在家线上学习.为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间分钟的学生记为A类，20分钟分钟记为B类，40分钟分钟记为C类，分钟记为D类.收集的数据绘制如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次共抽取了______名学生进行调查统计，抽查的学生每天的运动时间的中位数落______类； （2）将条形统计图补充完整，并求扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角的度数； （3）学校要求学生在家主动锻炼身体的时间必须超过20分钟才能达标，若该校共有3000名学生，请你估计该校达标学生约有多少人？ 【变式1】（多选）（23-24高一上·全国·单元测试）CPI是居民消费价格指数的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图是根据国家统计局发布的2018年6月—2019年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比 ），根据该折线图，则下列结论错误的是（　　）    A．2019年1月至6月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌 B．2019年2月至6月CPI只跌不涨 C．2019年3月以来，CPI在缓慢增长 D．2018年8月与同年12月相比较，8月环比更大 【变式2】（多选）（23-24高一下·广东佛山·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（    ）        A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【变式3】（2024高一·全国·专题练习）如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温（单位：℃）的扇形统计图和条形统计图． 【变式4】（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）共享单车入驻某城区5年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此5周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放10000份调查问卷，回收到有效问卷6300份，现从中随机抽取160份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格： 表（一） 使用者年龄段 25岁以下 26岁～35岁 36岁～45岁 45岁以上 人数 40 80 20 20 表（二） 使用频率 0～6次/月 7～14次/月 15～22次/月 23～31次/月 人数 10 20 40 10 表（三） 满意度 非常满意（10） 满意（9） 一般（8） 不满意（7） 人数 30 20 20 10 (1)依据上述表格完成下列三个统计图形： 　　   　 (2)某城区现有常住人口80万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 2．（2024高二上·贵州·学业考试）某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（   ） A．500 B．300 C．200 D．100 3．（24-25高二上·贵州·阶段练习）某校高一年级1000名学生参加数学考试，从中随机抽取部分学生的成绩（单位：分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（     ）    A．100 B．200 C．300 D．400 4．（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 5．（24-25高一上·江西宜春·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：    则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为（    ） A．300 B．225 C．150 D．40 6．（24-25高三上·浙江台州·期末）下表为国家统计局统计的2014年～2023年我国各级各类学校教职工数的统计数据： 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 高等学校教职工数（万人） 234 237 240 244 249 257 267 275 284 292 高中阶段教职工数（万人） 365 365 368 375 381 391 403 395 407 418 初中阶段教职工数（万人） 396 398 400 408 420 435 450 469 475 482 小学阶段教职工数（万人） 549 549 554 565 573 585 597 622 625 626 则在这10年的时间里，教职工数的增长率（增长率×100%）最高的是（   ） A．高等学校 B．高中阶段 C．初中阶段 D．小学阶段 7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 8．（23-24高一下·贵州铜仁·期中）年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ）    A．成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人 B．成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D．成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 二、多选题 9．（2025·江西·一模）某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况，并将所得数据按，，…，分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A．该工业园区内年收入落在区间内的小型民营企业的频率为0.55 B．样本中年收入不低于500万元的小型民营企业的个数比年收入低于500万元的个数少 C．规定年收入在400万元以内（不含400万元）的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有70%的小型民营企业能享受到减免税政策 D．估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数 10．（2025高三·全国·专题练习）某校秋季运动会中两班的各个单项得分（满分5分，分值高者为优）的雷达图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在200米项目中，班的得分比班的得分高 B．在铅球项目中，班的得分比班的得分高 C．在跳高项目中，班的得分比班的得分高 D．班的总分比班的总分高 三、填空题 11．（2025高三·北京·专题练习）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次，数据为年末数据），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，则下列正确结论的序号是 ． ①2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加 ②2017年至2023年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多 ③2017年至2023年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 ④2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍 12．（23-24高一下·广西玉林·期中）某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委将统计结果绘制成如下两个不完整的统计图，则合唱社团的人数占全体学生人数的百分比为 . 四、解答题 13．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)求样本中在内的频数； (3)若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 14．（2024高三·全国·专题练习）某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的倍.    (1)求和的值； (2)若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？ 15．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）有900名学生参加“环保知识竞赛”，为考察竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩（得分均整数，满分为100分）进行统计，请你根据尚未完成并有局部污损的频率分面表和频率分布直方图（如图）解释下列问题. 分组 频数 频率 4 0.08 0.16 10 16 0.32 合计 50 (1)填满频率分布表； (2)补全频率分布直方图； (3)若成绩在的学生可以获得二等奖，求获得二等奖的学生人数. B能力提升 一、单选题 1．（22-23高二下·河南焦作·期末）某样本的频率分布直方图如图，从样本中随机抽取一个数据，若该数据落在内的概率之比为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海杨浦·开学考试）为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．64 二、多选题 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（    ） A．自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B．自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C．自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D．自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关 三、填空题 4．（23-24高一上·全国·课后作业）某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么?（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据.图1是根据这组数据绘制的条形统计图.由条形统计图可知本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的占被调查人数的百分比是 ，若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，则全校学生中最喜欢跳绳活动的人数估计为 .    5．（23-24高一上·全国·单元测试）节约用水是中华民族的传统美德，某市政府希望在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费．为此希望已经学习过统计的小明，来给出建议．为了了解全市居民用水量的分布情况，小明通过随机走访，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），如果你是小明，你觉得的估计值为 （精确到小数点后1位） 四、解答题 6．（23-24高一下·福建福州·期末）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 7．（23-24高一下·湖北武汉·期末）现随机抽取1000名A校学生和1000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的Y（）满足函数关系（n为组数序号，），关于B校学生成绩的频率分布直方图如图所示，假定每组组内数据都是均匀分布的． (1)求k的值； (2)若B校准备给前50名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？ (3)现在设置一个标准t来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于t的学生判为B校，大于t的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率．若，求总误判率的最小值，以及此时t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 9.2.1 总体取值规律的估计 课程标准 学习目标 ①掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法。 ②掌握用频率分布直方图估计总体。 收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息．因为实际问题中数据多而且杂乱，往往无法直接从原始数据中发现规律，所以需要根据问题的背景特点，选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述．在此基础上，通过数据分析，找出数据中蕴含的信息，就可以用这些信息来解决实际问题了． 知识点01：频率分布表与频率分布直方图 （1）频数与频率 将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数叫做该组的频数.每组数据的频数除以全体数据的个数的商叫做该组数据的频率.频率反映各个小组数据在样本量中所占比例的大小. （2）样本的频率分布及频率分布表 根据随机抽取的样本量的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况）就 叫做样本的频率分布. 为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常将样本量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中，这张表叫做频率分布表.分组、频数、频率是频率分布表中最基本也是必要的三列，在实际操作中，每组的频数是通过类似统计选票时的“唱票”的方式进行统计的，所以通常频率分布表中 还会有“频数累计”一列. 【即学即练1】（24-25高一·全国·随堂练习）某出租车公司随机调查该公司50辆出租车某天8:00—18:00的营业额（单位：元）情况，结果如下： 259   294   295   297   300   300   300   301   301   302 303   306   308   309   311   314   315   315   321   323 327   328   331   334   336   339   339   339   347   348 350   350   352   355   359   359   361   363   370   376 377   383   388   389   390   396   404   410   410   411 (1)试根据以上数据制作频率分布表； (2)绘制频数分布直方图和频率分布直方图，并比较两者的异同． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】确定极差、组数与组距、绘制频率分布表、绘制频率分布直方图、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）先求出极差，进而合理确定组数和组距，进而制作出频率分布表；（2）结合第一问的分布表，制作频数分布直方图和频率分布直方图，并比较两者的异同. 【详解】（1）根据已知数据，最大值为411，最小值是259，极差为411-259=152，可将其分为8组，组距为20，频率分布表如下： 分组 频数 频率 频率/组距 1 0.02 0.001 3 0.06 0.003 14 0.28 0.014 7 0.14 0.007 9 0.18 0.009 7 0.14 0.007 5 0.10 0.005 4 0.08 0.004 合计 50 1.00 0.05 （2）频数分布直方图如下： 频率分布直方图如下： 通过比较，两者的纵坐标不同，横坐标相同，数据分布情况相同. （3）用样本的频率分布估计总体的分布 在实际应用中，总体分布可以为合理决策提供依据（总体分布描述的是总体在各个范围内个体的百分比).总体分布一般不好直接获得，往往通过样本的频率分布估计总体分布.用样本估计总体，是研究统计问 题的一个基本思想方法误区. （4）样本的频率分布直方图 为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来，常画出频率分布直方图.画图时，应以横轴表示分组、纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，画成小长方形，这样得到的直方图就是频率分布直方图. （5）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质 ①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． ③将数据分组． ④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是. ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度． 知识点02：统计图表 （1）条形统计图 用单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来，这样的统计图称为条形统计图. 优点：条形统计图不但可以直观地反映数据分布的大致情况，还可以清晰地表示出各个区间的具体数目，易于比较数据间的差别. 缺点：会损失数据的部分信息且不能明确显示部分与整体的关系. （2）折线统计图 建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应点，然后用直线段顺次连接相邻点，得到一条折线，用这条折线表示样本数据情况，这种表达和分析数据的统计图称为折线统计图. 优点：折线统计图不但可以表示数量的多少，而且能够用折线的起伏清楚直观地表示数量的增减变化的情况. 缺点：不能直观反映数据的分布情况且不适合总体分布较多的情况. （3）扇形统计图 扇形统计图中，用整个圆面积代表总体，圆内的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形面积的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小. 优点：扇形统计图可以很清楚地表示各部分与总体之间的关系，即扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比. 缺点：会丢失部分数据信息且不适合总体中部分较多的情况. 【即学即练2】（24-25高一上·全国·课后作业）某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图. 根据以上信息解答下列问题： 回收的问卷数为 份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为 ． 【答案】 120 30° 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、补全扇形统计图 【分析】根据“从来不管”的问卷数及其所占的比例可求出回收的问卷数的总数，从而可求出“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数. 【详解】由统计图表可知“从来不管”的问卷数为30，所占的比例为， 所以回收的问卷数为份， 所以“严加干涉”所占的比例为， 所以“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为. 故答案为：120， 题型01 列频率分布表、绘制频率分布直方图和频率分布折线图 【典例1】（23-24高二·上海·课堂例题）某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性，给50名患者服用该药，一周后测得低密度脂蛋白的含量（单位：mmol/L）如下： 2.80  3.54  3.02  3.43  3.69  2.46  3.03  3.06  3.35  3.57 3.72  4.36  2.56  4.11  2.81  2.77  5.32  3.34  3.68  3.95 2.98  3.63  3.65  3.22  3.90  3.97  3.86  3.93  3.17  3.72 3.36  3.56  3.80  4.57  5.02  3.31  3.52  3.27  3.98  4.72 3.03  4.09  2.14  2.06  3.00  2.75  3.84  2.16  3.09  2.81 (1)制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图和频率分布折线图见解析 【知识点】绘制频率分布表、绘制频率分布直方图、绘制频率分布折线图 【分析】（1）根据所给数据求出极差，分组，求出各区间的频数及频率即可求出频率分布表； （2）根据（1）作出频率分布直方图，再由频率分布直方图得出折线图即可 【详解】（1）由题目数据可知极差为，组距为，所以分7组较好， ， 频率分布表如下： 分组 频数 频率 4 11 12 16 3 3 1 合计 50 1.00 （2）根据（1）的频率分布表可以画出频率分布直方图如图所示： 频率折线图如图： 【典例2】（2024高一下·全国·专题练习）从高三参加数学竞赛的学生中抽取50名学生的成绩，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：，2；，3；，10；，15；，12；，8. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生比例； (4)估计成绩在80分以下的学生比例． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) (4)60% 【知识点】绘制频率分布直方图、频率分布直方图的实际应用、绘制频率分布表、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）计算出频率，填写表格； （2）计算出频率/组距，画出频率分布直方图； （3）相加得成绩在分的学生比例； （4）利用，计算出答案. 【详解】（1）频率分布表如下： 分组 频数 频率 2 0.04 3 0.06 10 0.20 15 0.30 12 0.24 8 0.16 合计 50 1.00 （2）频率分布直方图如图所示． （3）样本中成绩在分的学生比例为. 由样本估计总体，成绩在[60,90)分的学生约占. （4）样本中成绩在80分以下的学生比例为. 由样本估计总体，成绩在80分以下的学生约占. 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm). 区间界限 人数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比． 【答案】(1)样本频率分布表见解析 (2)频率分布直方图见解析 (3) 【知识点】绘制频率分布表、绘制频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）借助所给表格计算即可得； （2）借助频率分布直方图的定义及所给表格即可得； （3）计算出相应频率之和即可得. 【详解】（1）样本频率分布表如下： 分组 频数 频率 [122，126) 5 0.04 [126，130) 8 0.07 [130，134) 10 0.08 [134，138) 22 0.18 [138，142) 33 0.28 [142，146) 20 0.17 [146，150) 11 0.09 [150，154) 6 0.05 [154，158] 5 0.04 合计 120 1.00 （2）其频率分布直方图如下：    （3），故可估计身高小于134 cm的人数占总人数的. 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）对某校某年高中毕业生去向调查如下表： 上本科 上专科 上技校 参军 直接就业 其他 用适当的统计图表方式表示出上面的数据． 【答案】答案见解析 【知识点】补全条形统计图、补全折线统计图、补全扇形统计图 【分析】根据条形图、折线图和扇形图的特点分别画出图形即可. 【详解】用条形图、折线图和扇形图分别表示如图所示： 由上可得，用条形图与扇形图来表示较为合适． 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 3 5 8 频率 0.12 0.20 0.32 (1)确定样本频率分布表中，，和的值； (2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图与折线图． 【答案】(1)，， ，； (2)答案见解析. 【知识点】补全频率分布表、绘制频率分布直方图、补全折线统计图 【分析】（1）利用给定的数据组求出，，和的值. （2）由（1）及已知画出样本频率分布直方图与折线图. 【详解】（1）依题意，，，所以，. （2）样本频率分布直方图与折线图如图， 【变式4】（23-24高二·上海·课堂例题）某研究机构随机抽取了某市40个小区，得到每个小区居民平均每天运动1h以上的比例（%）如下： 18.7 16.2 24.9 24.2 22.8 18.5 23.0 26.1 18.1 23.2 21.7 23.5 26.3 17.8 22.1 16.3 21.5 21.9 21.5 26.8 21.2 22.6 24.0 22.1 20.6 24.5 21.8 26.8 29.4 24.1 20.1 22.8 24.3 25.7 19.9 25.8 26.3 18.8 26.4 21.5 (1)适当地分组，制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图，并估计该市有多少比例的小区其居民每天运动1h的比例超过25%． 【答案】(1)答案见解析； (2)频率分布直方图和频率分布折线图见解析，. 【知识点】绘制频率分布直方图、绘制频率分布折线图、绘制频率分布表 【详解】（1）数据样本有40个，且极差，所以分成7组，组距为2较好， 频率分布表如下： 分组 频数 频率 频率/组距 3 0.075 0.0375 5 0.125 0.0625 9 0.225 0.1125 8 0.200 0.1000 8 0.200 0.1000 6 0.150 0.0750 1 0.025 0.0125 总计 40 1.000 0.5000 （2）频率分布直方图和频率分布折线图如图所示： 由图估计该市小区其居民每天运动的比例超过的比例为：. 题型02频率分布直方图的应用 【典例1】（多选）（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（   ） A． B．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人 C．第二次联考学生的成绩波动更小 D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加 【答案】BCD 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用 【分析】由频率和为1列方程求参数判断A；再根据两次联考对应的直方图分析B、C、D的正误. 【详解】因为，所以，A错误． 因为第一次联考成绩在130分以上的学生人数大约占， 第二次联考成绩在130分以上的学生人数大约占， 所以增加，则增加的学生人数为10，B正确． 第一次联考成绩集中于70～110分的学生人数占比为， 第二次联考成绩集中于90～130分的学生人数占比为， 第二次联考成绩数据更集中，所以方差更小，C正确． 第一次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为， 第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为，D正确． 故选：BCD 【典例2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值.将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)若，求； (2)若，函数. ①求的最小值； ②结合调查实际，解释①中最小值的含义，并确定临界值. 【答案】(1) (2)①②说明见解析；. 【知识点】频率分布直方图的实际应用、分段函数的值域或最值、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）用频率分布直方图，结合的意义列不等式可解； （2）①分情况讨论，得到分段函数，再求值域即可; ②结合调查实际取最小值时说明检测标准效果最有效，确定检测标准临界值. 【详解】（1）依题可知，右边图形最后一个小矩形的面积为， 所以．当时，， 解得．此时． （2）①当时， ． 当时， ． 因为， 所以在区间，当时取最小值为0.02． ②函数表示漏诊率与误诊率的和，取最小值时说明检测标准效果最有效，检测标准临界值. 【典例3】（2024·贵州贵阳·二模）某工生产某电子产品配件，关键接线环节需要焊接，焊接是否成功将直接导致产品“合格”与“不合格”，工厂经过大量后期出广检测发现“不合格”产品和“合格”产品的某性能指标有明显差异，统计得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值k，将该指标大于k的产品判定为“不合格”，小于或等于k的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏检率时，求临界值和错检率； (2)设函数，当时，求的解析式． 【答案】(1)，错检率； (2) 【知识点】频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）由求出临界值的值，进而求出错检率； （2）分和两种情况讨论，结合频率分布直方图求出． 【详解】（1）依题可知，第一个图形中第一个小矩形面积为， 所以， 所以，解得临界值， 于是错检率； （2）当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 故． 【变式1】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数. (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件. 方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元. 方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元. 请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案. 【答案】(1)420；200 (2)，选择方案二. 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）计算出两个生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，进而求出两个生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件数； （2）计算出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率和二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率，从而得到，结合，求出，与35比较后得到结论. 【详解】（1）一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为， 则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为； 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为， 则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为. （2）一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为 . 二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为 . 故. 因为，所以. 又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元， 所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二. 【变式2】（23-24高一下·江苏无锡）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元收费，第三阶梯为超过的部分按8元收费． (1)求直方图中的值； (2)已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数； (3)该市政府希望使至少有的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？ 【答案】(1) (2)万户居民 (3)不符合要求，上调到 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1，即可列式求解； （2）由题意可知用户月均用水费用不超过60元，即用户月均用水不超过，算出频率，得出全市不超过60元的用户数； （3）首先计算抽取的100户居民月均用水量不超过的频率和不超过的频率，从而判断是否符合要求，以及根据比例确定上调到的数量. 【详解】（1）由直方图可知， , 解得：； （2）居民用水量为时，收费为元， 所以用水费用不超过60元，则用水量小于等于， 由频率分布直方图可知，用水量小于等于的频率为； 万户， 所以全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数为万户. （3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ，所以现行收费标准不符合要求， 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ， 现行收费标准不符合要求，需将第二阶段用水量的上限至少上调到. 【变式3】（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示： 若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数； (2)设且，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产： 方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元； 方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元； 请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案． 【答案】(1) (2)，应选择方案二 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）根据频率分布直方图，即可求解频率，进而可求解， （2）分别计算两种方案的费用，即可比较作答. 【详解】（1）临界值时，I级品中该指标大于60的频率为， II级品中该指标大于60的频率为0.1 故该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个II级品中应用于型手机的芯片个数估计为： （2）当临界值时，若采用方案一： I级品中该指标小于或等于临界值的概率为， 可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误； II级品中该指标大于临界值的概率为， 可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误； 故可以估计芯片生产商的损失费用 又采用方案二需要检测费用共130万元 故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二 题型03 条形统计图的应用 【典例1】（2024·四川德阳·模拟预测）中国人口亿人口中肠胃病患者高达亿，慢性胃炎发病率高达，消化性溃疡病发率也高达，是全世界当之无愧的“胃病大国”.根据随机对名青少年随机抽查，的青少年表示自己患有胃病，的青少年不清楚自己是否患有胃病，只有明确自己没有胃病.肠胃病的严重程度，一般可体现在排便量、排便时长上. 某高中为了了解学生肠胃病占比和严重程度，对年高一高二学生单日单次的排便时长进行了统计(记排便分钟内为正常，排便分钟为轻度肠胃病，排便分钟以上为重度肠胃病)，并将结果制成统计图(如图所示)，若高一学生人，高二学生人，占比百分数均保留整数，下列说法正确的是（    ） A．高二学生的肠胃病人数比高一年级少 B．高一年级的各肠胃病区间人数占比都比高二年级少 C．高一年级重度肠胃病人数占比比高二年级少 D．高一肠胃质量参数比高二高(肠胃质量参数) 【答案】C 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题 【分析】根据扇形统计图计算高一的肠胃病人数，各肠胃病区间人数占比，肠胃质量参数，再利用条形统计图确定高二学生的肠胃病人数，各肠胃病区间人数占比，肠胃质量常数，由此确定正确结论. 【详解】由扇形统计图可得高一年级肠胃病人数为， 高一年级的轻度肠胃病人数占比， 高一年级重度肠胃病人数占比为， 高一肠胃质量参数为， 由条形统计图可得高二年级肠胃病人数为， 高二年级的轻度肠胃病人数占比为， 高二年级重度肠胃病人数占比为， 高二肠胃质量参数为， 所以高二学生的肠胃病人数比高一年级多，A错误； 高一年级轻度肠胃病区间人数占比比高二年级高，B错误； 高一年级重度肠胃病人数占比比高二年级少，C正确； 高一肠胃质量参数比高二低，D错误； 故选：C. 【典例2】（多选）（23-24高一下·广西南宁·期末）（多选）某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A一家人接送，B一乘坐地铁，C一乘坐公交，D一其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是（    ） A．若该校高一年级有学生1300人，则高一年级约有780人乘坐公共交通工具上学 B．估计该校高一年级有的学生某天家人接送上学 C．扇形图中B的占比为40% D．估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半 【答案】AD 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】根据柱形图和扇形图，可求得总人数，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】因为C一乘坐公交的调查人数为，所占比例为， 所以调查的总人数为， 对于A选项：，所以A选项正确， 对于B选项：，所以B选项错误， 对于C选项：，所以C选项错误， 对于D选项：，所以D选项正确． 故选：AD． 【变式1】（23-24高一下·吉林通化·阶段练习）2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ） A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题 【分析】由饼状图可计算出高一年级共90人，高二年级共60人，高三年级共50人，再由高一学生排名分布的频率条形图可计算出各排名段中高一年级学生的人数，由此即可判断出答案. 【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多，A正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为，因此高三最多有32人，B正确； 由条形图知高一学生的成绩在第名的人数为， 而高三的学生成绩在第名的人数最多为人， 故高一学生的成绩在第名的人数一定比高三的学生成绩在第名的人数多，C正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为， 高二成绩在第名的人数最多为， 即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，D错误. 故选：D. 【变式2】（2024·甘肃·一模）小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（    ）    A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出 B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的 C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高 D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高 【答案】D 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题 【分析】条形图各支出占食品支出的比例乘以即是条形图各支出占总支出的比例，由此关系即可逐一判断每一个选项. 【详解】对于A，肉蛋奶的支出占食品开支的， 从而小李这一周用于肉蛋奶的支出占比（总开支是单位1）与用于娱乐的支出占比（总开支是单位1）大小关系为，故A描述正确，不符合题意； 对于B，小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中占比为， 对比其他类型的支出占比可知，B描述正确，不符合题意； 对于C，小李这一周用于主食的支出占比（总开支是单位1）与通信的支出占比（总开支是单位1）的大小关系为， ，故C描述正确，不符合题意； 对于D，小李这一周用于主食和蔬菜的总支出占比（总开支是单位1）与日常支出占比（总开支是单位1）的大小关系为， ，故D描述错误，符合题意. 故选：D. 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）新中国成立以来，我国共进行了七次人口普查，这七次人口普查的城乡人口数据如下: 根据该图数据，下列说法中不正确的是（　　） A．城镇人口总数逐次增加 B．乡村人口数达到最高峰是第四次 C．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第七次 D．城镇人口数均少于乡村人口数 【答案】D 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题 【分析】利用条形图和折线统计图逐一分析即可. 【详解】对于A：城镇人口总数逐次增加，故A正确； 对于B：由表中数据易知，乡村人口数达到最高峰是第四次，故B正确； 对于C：由表中数据易知，第七次与前一次相比，城镇人口比重增量为，其余城镇人口比重增量都小于它，故C正确； 对于D：2020年城镇人口比重为，而乡村人口比重为，此时城镇人口数均多于乡村人口数，故D错误； 故选：D 【变式4】（多选）（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类､科技创新类､体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（    ）    A．满意度调查中抽取的样本容量为5000 B．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250 C．该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875 D．若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则 【答案】BC 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、根据扇形统计图解决实际问题、总体与样本 【分析】根据满意率调查图表即可判断A选项，根据扇形统计图计算即可判断B选项，根据题意计算即可判断C选项，列出方程即可判断D选项. 【详解】满意率调查中抽取的样本容量为错误； 由扇形统计图知， 则人，B正确； 该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为人，C正确； 抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30， 则，则，D错误. 故选：BC. 题型04 折线统计图与扇形统计图的应用 【典例1】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）某同学将全班同学期中考试的成绩绘制成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率折线图（如下图所示）.    据此图，下列说法正确的是（　　） A．由频率折线图可以看出，在[75，115）区间内，随着成绩的增加，各分数对应的人数一直增加 B．由频率折线图可以看出，在[115，145）区间内各分数段的人数逐渐减少 C．据频率折线图可以估计此次考试成绩的众数是115 D．据频率折线图可以看出有50%以上的同学的分数在[95，135）区间内 【答案】BCD 【知识点】频率分布折线图的实际应用 【分析】根据折线图分别判断各个选项即可. 【详解】由题图可知分数在[95，105）内的人数没有增加，故A错误； 由折线变化趋势可知B正确； 115对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数也最大，据此估计此次考试成绩的众数为115，故C正确； 由折线图的绘制过程及频率分布直方图中小矩形的面积意义可知D正确． 故选：BCD. 【典例2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）今年受疫情影响，我市中小学生全体在家线上学习.为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间分钟的学生记为A类，20分钟分钟记为B类，40分钟分钟记为C类，分钟记为D类.收集的数据绘制如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次共抽取了______名学生进行调查统计，抽查的学生每天的运动时间的中位数落______类； （2）将条形统计图补充完整，并求扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角的度数； （3）学校要求学生在家主动锻炼身体的时间必须超过20分钟才能达标，若该校共有3000名学生，请你估计该校达标学生约有多少人？ 【答案】（1）50，B；（2）条形统计图答案见解析，；（3）2100人. 【知识点】补全条形统计图、补全扇形统计图、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】（1）由A类的比例可得总数，根据中位数的定义可得第二个空； （2）根据总数可得D类的数据，从而可补全条形图，由比例可求圆心角； （3）先计算超过20分钟的比例，乘以总数即可得解. 【详解】这次共抽取了名学生进行调查统计， 抽查的学生每天的运动时间的中位数落B类， 故答案为：50，B； 类有学生：人， 补充完整的条形统计图如图所示， 扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角的度数是：； 人， 因此，该校达标学生约有2100人. 【点睛】本题主要考查了条形图和扇形图的应用，属于基础题. 【变式1】（多选）（23-24高一上·全国·单元测试）CPI是居民消费价格指数的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图是根据国家统计局发布的2018年6月—2019年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比 ），根据该折线图，则下列结论错误的是（　　）    A．2019年1月至6月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌 B．2019年2月至6月CPI只跌不涨 C．2019年3月以来，CPI在缓慢增长 D．2018年8月与同年12月相比较，8月环比更大 【答案】ABC 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【分析】结合折线图，理解环比和同比的意义，即可判断选项. 【详解】A选项，2019年1月至6月各月与去年同期比较，CPI均是上涨的，故A错误； B选项，2019年2月CPI是增长的，故B错误； C选项，2019年3月以来，CPI是下跌的，故C错误； D选项，2018年8月CPI环比增长0.4%，12月环比增长0.3%，故D正确． 故选：ABC. 【变式2】（多选）（23-24高一下·广东佛山·期末）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（    ）        A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】ACD 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题 【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可. 【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例，故A正确 由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的不到五成，B错误 由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为， 周岁以上参保人数最少比例为，周岁以上人群人均参保费用,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确． 由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D正确 故选：ACD． 【变式3】（2024高一·全国·专题练习）如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温（单位：℃）的扇形统计图和条形统计图． 【答案】答案见解析 【知识点】补全条形统计图、补全扇形统计图、根据折线统计图解决实际问题 【分析】根据给定的折线统计图，求出每月的最低气温，不同气温值所占的百分比，绘制扇形统计图和条形统计图作答. 【详解】该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最低气温(℃) 0 1 2 0 2 2 其中最低气温为℃的有1天，占10%；最低气温为℃的有1天，占10%； 最低气温为℃的有2天，占20%；最低气温为0 ℃的有2天，占20%； 最低气温为1 ℃的有1天，占10%；最低气温为2 ℃的有3天，占30%； 故绘制的扇形统计图如图所示： 条形统计图如图所示： 【变式4】（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）共享单车入驻某城区5年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此5周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放10000份调查问卷，回收到有效问卷6300份，现从中随机抽取160份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格： 表（一） 使用者年龄段 25岁以下 26岁～35岁 36岁～45岁 45岁以上 人数 40 80 20 20 表（二） 使用频率 0～6次/月 7～14次/月 15～22次/月 23～31次/月 人数 10 20 40 10 表（三） 满意度 非常满意（10） 满意（9） 一般（8） 不满意（7） 人数 30 20 20 10 (1)依据上述表格完成下列三个统计图形： 　　   　 (2)某城区现有常住人口80万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数. 【答案】(1)答案见解析 (2)10（万人） 【知识点】补全条形统计图、补全折线统计图、补全扇形统计图 【分析】（1）依据表格完成三个统计图形即可； （2）由表（一）年龄在26岁～35岁之间的人数占总抽取人数的比估算80万人口中年龄在26岁～35岁之间的人数即可；由表（二）年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的人数占总抽取人数的比来估算年龄在26岁～35岁之间的40万人中每月使用共享单车在7～14次之间的人数可得答案. 【详解】（1） （2）由表（一）可知年龄在26岁～35岁之间的有80人，占总抽取人数的，所以80万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有（万人）． 由表（二）可知，年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有20人，占总抽取人数的，所以年龄在26岁～35岁之间的40万人中，每月使用共享单车在7～14次之间的约有（万人） A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】D 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题 【分析】根据演讲人数及所占比求出选取的总人数，再由条形图得演讲人数即可得解. 【详解】由条形图得合唱人数为70，由饼状图得合唱人数占比， 因此选取的总人数为， 由饼状图得演讲及舞蹈人数和占比为， 人数和为， 由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为40. 故选：D. 2．（2024高二上·贵州·学业考试）某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（   ） A．500 B．300 C．200 D．100 【答案】C 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据频率分布直方图求出不低于90分的频率，即可求得人数. 【详解】由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的频率为：， 所以成绩不低于90分的人数为. 故选：C 3．（24-25高二上·贵州·阶段练习）某校高一年级1000名学生参加数学考试，从中随机抽取部分学生的成绩（单位：分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（     ）    A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】D 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据频率分布直方图中数据求出成绩在区间的频率，再用频率乘以总人数1000求得结果． 【详解】根据题意，成绩在区间的频率为， 则估计成绩在区间的人数为：人， 故选：D. 4．（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 【答案】D 【知识点】根据频率分布表解决实际问题 【分析】对于A，根据数据百分比的和为可以计算出的值；对于B，计算出观看场次为、、、场的百分比和即可得出所求比例；对于C、D，分别计算出符合问题的百分比和，再乘以总人数，即可求得结果. 【详解】由表可知，， 解得，选项A错误； 观看场次不超过场的学生的比例为，选项B错误； 观看场次不超过场的学生的比例为， 则观看场次不超过场的学生约为人，选项C错误； 观看场次不低于场的学生的比例为， 则观看场次不低于场的学生约为人，选项D正确． 故选：D 5．（24-25高一上·江西宜春·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：    则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为（    ） A．300 B．225 C．150 D．40 【答案】A 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】结合两个统计图直接求解即可； 【详解】由条形图得合唱人数为70，演讲人数为30，由饼状图得合唱人数占比， 因此演讲人数占比为，舞蹈人数占比为， 用样本估计总体，估计该校参加舞蹈社团的人数为. 故选：A. 6．（24-25高三上·浙江台州·期末）下表为国家统计局统计的2014年～2023年我国各级各类学校教职工数的统计数据： 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 高等学校教职工数（万人） 234 237 240 244 249 257 267 275 284 292 高中阶段教职工数（万人） 365 365 368 375 381 391 403 395 407 418 初中阶段教职工数（万人） 396 398 400 408 420 435 450 469 475 482 小学阶段教职工数（万人） 549 549 554 565 573 585 597 622 625 626 则在这10年的时间里，教职工数的增长率（增长率×100%）最高的是（   ） A．高等学校 B．高中阶段 C．初中阶段 D．小学阶段 【答案】A 【知识点】根据频率分布表解决实际问题 【分析】计算出各类计算各选项中的增长率即可得． 【详解】由已知高等学校增长率为， 高中阶段增长率为， 初中阶段增长率为， 小学阶段增长率为， 故选：A． 7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 【答案】C 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【分析】根据折线图逐项判断. 【详解】A. 由折线图知：月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低，故正确； B. 由折线图知：月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为，故正确； C.根据图象，这一天时所对应的温度约为，故错误； D. 根据图象，这一天时所对应的温度为，故正确， 故选：C 8．（23-24高一下·贵州铜仁·期中）年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ）    A．成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人 B．成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D．成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 【答案】D 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】求得前名的人中，高一人数和高二人数判断选项A；求得成绩第1-名的人中，高一人数判断选项B；求得成绩第1-50名的50人中，高三最多有多少人判断选项C；求得成绩第51-名的50人中，高二人数与高一人数的关系判断选项D. 【详解】由饼状图，成绩前名的人中，高一人数比高二人数多 (人).故选项A判断正确； 由条形图知，成绩第1-100名的人中，前和后人数相等， 因此高一人数为，故选项B判断正确； 成绩第1-50名的50人中，高一人数为, 因此高三最多有32人. 故选项C判断正确； 成绩第51-名的50人中，高二人数无法确定，故选项D判断错误. 故选：D 二、多选题 9．（2025·江西·一模）某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况，并将所得数据按，，…，分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A．该工业园区内年收入落在区间内的小型民营企业的频率为0.55 B．样本中年收入不低于500万元的小型民营企业的个数比年收入低于500万元的个数少 C．规定年收入在400万元以内（不含400万元）的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有70%的小型民营企业能享受到减免税政策 D．估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数 【答案】BD 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】利用频率分布直方图的性质一一判定选项可得答案. 【详解】对于A，因为，所以， 则年收入落在区间内的小型民营企业的频率为， 故A错误； 对于B，样本中年收入低于500万元的小型民营企业的频率为 ，故B正确； 对于C，因为年收入在400万元以内的小型民营企业的频率为0.3， 所以该工业园区有30%的小型民营企业能享受到减免税政策，C错误． 对于D，因为，所以中位数应该在内，设为， 则，解得，所以中位数约为480， 平均数约为， 中位数等于平均数，D正确． 故选：BD. 10．（2025高三·全国·专题练习）某校秋季运动会中两班的各个单项得分（满分5分，分值高者为优）的雷达图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在200米项目中，班的得分比班的得分高 B．在铅球项目中，班的得分比班的得分高 C．在跳高项目中，班的得分比班的得分高 D．班的总分比班的总分高 【答案】ACD 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【分析】根据给定的雷达图，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，在200米项目中，班的得分为4分，班的得分为3分，A正确； 对于B，在铅球项目中，班的得分为3分，班的得分为4分，班得分比班低，B错误； 对于C，在跳高项目中，班的得分为4分，班的得分为3分，C正确； 对于D，班的总分为（分）， 班的总分为（分），即班的总分比班的总分高，D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．（2025高三·北京·专题练习）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次，数据为年末数据），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，则下列正确结论的序号是 ． ①2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加 ②2017年至2023年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多 ③2017年至2023年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 ④2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍 【答案】①② 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题 【分析】根据图的特征计算判断各个选项. 【详解】对于①，由图可知，2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加，故①正确． 对于②和③，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2017年，； 2018年，；2019年，； 2020年，；2021年，； 2022年，；2023年：． 则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故②正确，③错误． 对于④，由，则2023年知识付费用户数量未超过2016年知识付费用户数量的10倍，故④错误． 故答案为：①②． 12．（23-24高一下·广西玉林·期中）某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委将统计结果绘制成如下两个不完整的统计图，则合唱社团的人数占全体学生人数的百分比为 . 【答案】 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题 【分析】根据直方图和饼图中数据求总人数，再由合唱社团人数求其百分比即可. 【详解】由统计图知，演讲社团共有50人，占比，则总人数为人， 又合唱社团共有200人，占比为． 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)求样本中在内的频数； (3)若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据频率分布直方图及直方图的性质得到方程组，解得即可； （2）首先求出，即可求出频数； （3）求出，从而估计人数. 【详解】（1）依题意，， 又，且，， 解得，，； （2）因为， 所以样本中在内的频数为； （3）因为， 所以根据样本数据估计全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数约为（人）. 14．（2024高三·全国·专题练习）某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的倍.    (1)求和的值； (2)若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？ 【答案】(1) (2)，人 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率之和为列方程，结合已知条件求得； （2）根据频率分布直方图计算出优秀率，并计算出全市优秀学生的人数. 【详解】（1）由题意得， 解得； （2）由图可知，超过分的组的频率分别为，，， 故优秀率为， 则全市优秀学生的人数约为（人）. 15．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）有900名学生参加“环保知识竞赛”，为考察竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩（得分均整数，满分为100分）进行统计，请你根据尚未完成并有局部污损的频率分面表和频率分布直方图（如图）解释下列问题. 分组 频数 频率 4 0.08 0.16 10 16 0.32 合计 50 (1)填满频率分布表； (2)补全频率分布直方图； (3)若成绩在的学生可以获得二等奖，求获得二等奖的学生人数. 【答案】(1)分布表见解析 (2)直方图见解析 (3)234 【知识点】绘制频率分布表、根据频率分布表解决实际问题、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据题中数据，结合频率、频数关系分析运算即可； （2）根据（1）中数据可得频率分布直方图； （3）先求成绩在的频率，进而估计人数. 【详解】（1）因为，，，，且所有频率和为1， 据此填满频率分布表，如下表所示： 分组 频数 频率 4 0.08 8 0.16 10 0.2 16 0.32 12 0.24 合计 50 1 （2）根据（1）中数据可得频率分布直方图，如图所示： （3）由题意可知：成绩在频率为， 估计获得二等奖的学生人数为. B能力提升 一、单选题 1．（22-23高二下·河南焦作·期末）某样本的频率分布直方图如图，从样本中随机抽取一个数据，若该数据落在内的概率之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】设四个小组的频率分别为，根据频率之和为，即可得到，从而利用频率列式求解. 【详解】根据数据落在内的概率之比为， 可设这四个小组的频率分别为，且频率之和为，即， 解得，则，解得. 故选：D 2．（23-24高三上·上海杨浦·开学考试）为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．64 【答案】C 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据题中信息计算出第三、第四组的频数，将第三组和第四组的频数相加可得出的值. 【详解】前两组的频数之和为，第四组的频数为， 后五组的频数之和为，所以，前三组的频数之和为， 故第三组的频数为，因此. 故选：C. 二、多选题 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（    ） A．自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B．自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C．自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D．自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关 【答案】ABD 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题 【分析】根据图中圆的大小以及高度，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图可知：这些圆的圆心所在的高度呈现上升趋势，故自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势，A正确， 由于这些圆的大小呈现变大的趋势，故半径呈现变大的趋势，因此城镇化率也呈现增长趋势，B正确， 由于我国人口总数大致呈增长趋势，且城镇化率也呈现增长趋势，因此自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关，D正确， 根据图，无法得知人口增长率的变化情况，故C错误， 故选：ABD 三、填空题 4．（23-24高一上·全国·课后作业）某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么?（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据.图1是根据这组数据绘制的条形统计图.由条形统计图可知本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的占被调查人数的百分比是 ，若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，则全校学生中最喜欢跳绳活动的人数估计为 .    【答案】 36% 160 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、根据条形统计图解决实际问题 【分析】由条形图得出最喜欢篮球活动的占被调查人数的百分比，再计算总人数，从而利用图表进行估计. 【详解】最喜欢篮球活动的占被调查人数的百分比是， 由图2可知，九年级学生人数占全校学生总人数的， 则全校总人数为人， 则全校学生中最喜欢跳绳活动的人数估计为人. 故答案为：36%；160 5．（23-24高一上·全国·单元测试）节约用水是中华民族的传统美德，某市政府希望在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费．为此希望已经学习过统计的小明，来给出建议．为了了解全市居民用水量的分布情况，小明通过随机走访，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），如果你是小明，你觉得的估计值为 （精确到小数点后1位） 【答案】2.9 【知识点】频率分布直方图的实际应用 【分析】由频率分布直方图解得值，估计的居民每月的用水量所在区间后可计算的. 【详解】由频率分布直方图知， ， 解得； 计算月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为， 即71%的居民月均用水量小于2.5吨； 计算月均用水量小于3吨的居民人数所占的百分比为， 即88%的居民月均用水量小于3吨； 故， 假设月均用水量平均分布，则（吨）， 即的居民每月用水量不超过标准为吨． 故答案为:2.9． 四、解答题 6．（23-24高一下·福建福州·期末）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 【答案】(1)一区有420个，二区有200个 (2) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，再乘以500，可求出500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； （2）根据频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率，二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率，从而可表示出，再根据可求出其范围. 【详解】（1）由频率分面上直方图可知，一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以一区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个， 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个； （2）频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为 ， 二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为 ， 所以 ， 因为，所以， 即. 7．（23-24高一下·湖北武汉·期末）现随机抽取1000名A校学生和1000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的Y（）满足函数关系（n为组数序号，），关于B校学生成绩的频率分布直方图如图所示，假定每组组内数据都是均匀分布的． (1)求k的值； (2)若B校准备给前50名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？ (3)现在设置一个标准t来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于t的学生判为B校，大于t的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率．若，求总误判率的最小值，以及此时t的值． 【答案】(1)； (2)奖励72分以上的学生； (3)总误判率最小为， 【知识点】频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）利用之和为0.1，列方程求参数即可； （2）根据频率分布直方图可知所求的分数应该在；列出方程求解即可. （3）讨论、分别写出对应总误判率为、 ，根据单调性确定最小值及其对应值. 【详解】（1）由频率之和为1，故之和为0.1，，解得； （2）根据B校学生成绩的频率分布直方图，设所求的分数为， 则，解得，所以应该奖励分以上的学生； （3）设总误判率为，又，则时，， 时，， 由的单调性知，当，最小，此时，所以总误判率最小为，此时. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$