第01讲 9.1.1 简单随机抽样（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第01讲 9.1.1 简单随机抽样 课程标准 学习目标 ①了解随机抽样的必要性和重要性。 ②理解随机抽样的目的和基本要求。 ③理解简单随机抽样中的抽签法、随机数法。 ④掌握用样本平均数估计总体平均数的方法。 1.通过阅读课本在向量加法的基础上，理解向量减法与数量减法的异同，并学会有加法理解减法的运算与意义，提升数学运算能力； 2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在减法运算的题目中灵活的作两个向量的加法与减法两种运算； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法，减法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法与减法的运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广 知识点01：统计的相关概念 全面调查(普查)、抽样调查 ①全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 ②总体：调查对象的全体 ③个体：组成总体的每一个调查对象 ④抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法 ⑤样本：从总体中抽取的那部分个体 ⑥样本量：样本中包含的个体数 ⑦样本数据：调查样本获得的变量值 知识点02：简单随机抽样 （1）定义： 一般地，设一个总体含有(为正整数)个个体，从中逐个抽取()个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样，放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 从总体中，逐个不放回地随机抽取个个体作为样本，一次性批量随机抽取个个体作为样本，两 种方法是等价的. （2）特点： ①有限性：总体中个体数有限； ②逐一性：从总体中逐个抽取，这样便于在抽样试验中进行操作； ③等可能性：是一种等可能抽样，在整个抽样过程中各个个体被抽取到的可能性相等，从而保证了这种抽样方法的公平性理解. 知识点03：两种常用的简单随机抽样方法 （1）抽签法 ①把总体中的个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为的样本. ②：抽签法的抽样步骤 第一步：将总体中的所有个体编号（编号） 第二步：并把号码写在形状、大小相同的号签上；将号签放在一个不透明容器中，并搅拌均匀（制签） 第三步：每次从中不放回抽取一个号签，直到抽取到足够的样本量（抽取） ③优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性. ④缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大，因此，抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形. （2）随机数法 ①随机数法，即利用随机试验、信息技术（计算器、电子表格软件、R统计软件等)生成随机数进行抽样. ②随机数法的抽样步骤 第一步：编号:将总体中的每个个体编号. 第二步：选号:用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本，重复上述过程，直到抽足样本所需要的个体数.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个体数. 第三步：取样：把选定的号码所对应的个个体作为样本. （3）抽签法和随机数法的异同点 相同点：都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限. 不同点：①在总体容量较小的情况下，抽签法相对于随机数法来说更简单； ②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，而随机数法更适用于总体中的个体数较多的情况，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本. 【即学即练1】（24-25高一上·陕西·期末）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…，499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽取的第5袋牛奶的标号是 ． （下面摘取了某随机数表的第7行至第9行） 84421    75531    57245    50688    77047    44767    21763 35025    83921    20676    63016    47859    16955    56719 98301    07185    12867    35807    44395    23879    33211 【答案】286 【知识点】随机数表法 【分析】根据给定的随机数表，按指定方法依次读取符合要求的标号. 【详解】依题意，抽取的前5袋牛奶的标号依次为：206，301，169，071，286， 所以抽取的第5袋牛奶的标号是286. 故答案为：286. 知识点04：总体平均数与样本平均数 （1）总体平均数 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，…， 则称为总体均值，又称总体平均数. （2）加权平均数 如果总体的个变量值中,不同的值共有()个,不妨记为,,…,,其中出现的频数(),则总体均值还可以写成加权平均数的形式：. （3）样本平均数 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，…， 则称为样本均值，又称样本平均数. 题型01 总体与样本 【典例1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则（    ） A．该市场监管局的调查方法是普查 B．样本容量是该超市的20种冷冻饮品 C．总体是超市在售的40种冷冻饮品 D．样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量 【答案】D 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据随机抽样概念求解即可. 【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量， 样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量，样本容量是20． 故选：D 【典例2】（2024高二上·云南·学业考试）某大学学生管理处为了了解新入学的名大学生的生活情况，从中抽取了名大学生进行调查研究.在这个问题中，被抽取的名大学生是（    ） A．总体 B．个体 C．样本量 D．样本 【答案】D 【知识点】总体与样本 【分析】根据样本、样本容量、个体、总体的定义判断． 【详解】根据定义，被抽取的名大学生是样本． 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（    ） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，采用抽签法从中选出5个零件作为样本 C．从20件玩具中一次性抽取4件形成样本 D．从10个球（2个红球､8个白球）中依次取出2个红球 【答案】B 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样的概念直接判断即可. 【详解】简单随机抽样的总体个数是有限的，故A错误； 简单随机抽样是从总体中逐个抽取，故C错误； 简单随机抽样每次抽取时必须保证每个个体被抽到的概率相等，D选项中只抽取红球，个体被抽到的概率不相等，故D错误； 根据简单随机抽样的概念可知B正确. 故选：B 【变式2】（24-25高二·全国·单元测试）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20运动员的年龄进行统计分析．现有下列说法：①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的20名运动员是一个样本；④这个抽样方法可采用随机数表法抽样；⑤每个运动员被抽到的机会相等．其中，说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】随机数表法、简单随机抽样的概率、简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据题意，结合简单的随机抽样的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，2000名运动员的年龄是总体，所以①不正确； 对于②中，每个运动员的年龄为个体，所以②不正确； 对于③中，所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，所以③不正确； 对于④中，随机数表法常常哟用于总体的个体较少时，当总体中的个体数较多时，编号复杂，将总体“搅拌均匀”也比较困难，用随机数表法产生的代表性不合理，所以④不正确； 对于⑤中，在简单的随机抽样时，每个运动员被抽到的机会时相等的，所以⑤正确. 【变式3】（24-25高一上·河南焦作·期末）某次九省联考考试结束后，相关部门为了分析考生的数学成绩，采用随机抽样的方式从某地区抽取了3000名高三学生的数学成绩，则此次抽样的样本为 ． 【答案】某地区3000名高三学生的数学成绩 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据随机抽样样本的定义判断. 【详解】总体为所有参加此次考试考生的数学成绩；样本为某地区3000名高三学生的数学成绩. 故答案为：某地区3000名高三学生的数学成绩． 题型02简单随机抽样的应用 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件、抽签法 【分析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果. 【详解】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等， 然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的， 所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 【典例2】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的是（　　） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．箱子里共有100个零件，从中取出5个零件进行质量检验．在抽样操作过程中，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里，然后再抽取下一个零件进行质量检验 C．从30件玩具中，逐个抽取4件进行质量检验 D．某班有45名同学，指定身高最高的5名同学参加学校组织的排球赛 【答案】AD 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】由简单随机抽样的定义和特点逐项判断即可. 【详解】对于A项，不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的； 对于B项，是（放回）简单随机抽样，因为总体的个体数是有限的，这是有放回的抽样，且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的机会都相等； 对于C项，是简单随机抽样，符合简单随机抽样的定义； 对于D项，不是简单随机抽样，因为不是等可能的抽样. 故选：AD 【典例3】（24-25高一上·全国·课后作业）学校要从10名品学兼优的学生中，随机选出2人参加某活动，用简单随机抽样的方法选取，每个学生被选到的可能性为 ，如果老师在第一次抽取后无意透露了结果，结果是第一位同学已被抽取，那么对其他同学是 的（填“公平”或“不公平”）． 【答案】 /0.2 不公平 【知识点】简单随机抽样的概率、简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样的特征即可求解. 【详解】用简单随机抽样从10个同学中抽2个同学，每个同学被抽到的可能性均为，与抽取的次数无关， 但当第一次抽取结果透露后，相当于从9个同学中抽1个同学，每个同学被抽到的可能性均为，这样对其他同学是不公平的． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本． ②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． ③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． ④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】按照简单随机抽样的定义判断即可. 【详解】解：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个； ②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取； ③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取； ④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验， 在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，满足有放回简单随机抽样． 综上可得以上满足简单随机抽样的定义的仅有④. 故选：B． 【变式2】（23-24高一下·江西吉安）在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性是（    ） A．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等 B．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样 C．第1次抽中的可能性要大于第2次，第2次抽中的可能性要大于第3次，…，以此类推 D．第1次抽中的可能性要小于第2次，第2次抽中的可能性要小于第3次，…，以此类推 【答案】A 【分析】抽样过程中，考虑的主要原则为保证样本能够很好地代表总体，随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑. 【详解】解：不论先后，被抽取的概率都是， 故选：A． 【点睛】考查简单随机抽样的公平性，基础题. 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取个个体作为样本； (2)仓库中有万支奥运火炬，从中一次抽取支火炬进行质量检查； (3)某连队从名党员官兵中，挑选出名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 (3)不是，理由见解析 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样的概念逐题分析即可. 【详解】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的． （2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”． （3）不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求． 题型03 抽签法的应用 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）某单位拟从40名员工中选5人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将35个白球与5个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】抽签法 【详解】（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法，选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的35个白球，5个红球均无法相互区分． （2）由于选法一中抽取每个号签和选法二中摸到每个球都是等可能的，因此这两种选法中每名员工被选中的可能性相等． 【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）某单位拟从40名员工中选1人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将39个白球与1个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选．试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能性是否相等？ 【答案】(1)选法一是抽签法，选法二不是抽签法；理由见解析 (2)相等 【知识点】抽签法、简单随机抽样的概率 【分析】（1）根据抽签法的特征，分析即得解 （2）由于选法一中抽取每个签和选法二中摸到每个球都是等可能的，分析即得解 【详解】（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法．选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的39个白球无法相互区分； （2）由于选法一中抽取每个签和选法二中摸到每个球都是等可能的， 因此选法一中抽取1个号签的概率和选法二中摸到红球的概率相等，均为 故这两种选法中每名员工被选中的可能性相等，均为． 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）某合资企业有150名职工，要从中随机抽出15名去参观学习．请用抽签法进行抽取，并写出过程． 【答案】答案见解析. 【知识点】抽签法 【分析】根据给定条件，利用抽签法的意义，按其处理步骤求解作答. 【详解】先把150名职工编号为1、2、3、…、150，把编号分别写在形状、大小完全相同的小纸片上，揉成小球， 放入一个不透明的袋子中，充分搅拌后，从中逐个不放回地抽取15个小球，并记录上面的编号． 这样就抽出了去参观学习的15名职工． 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）某校举办晚会，共邀请20名同学演出，其中从30名高一学生中随机挑选10人，从18名高二学生中随机挑选6人，从10名高三学生中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的同学，并确定他们的表演顺序． 【答案】答案见解析 【知识点】抽签法 【分析】第一步，确定参演学生，做号签，抽签，第二步，确定演出顺序，做号签，抽签. 【详解】第一步，确定参演学生． （1）将30名高一学生从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上分别写上编号，然后放入一个暗箱中搅匀，从中顺次不放回地抽出10个号签，相应编号的学生参加演出； （2）运用相同的办法分别从18名高二学生中抽取6人，从10名高三学生中抽取4人． 第二步，确定演出顺序． 确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面分别写上1~20这20个数字，代表演出顺序，不放回地让每名学生抽一张，各人抽到的号签上的数就是这位学生表演的顺序． 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样，请写出利用抽签法抽取该样本的过程． 【答案】答案见解析 【知识点】抽签法 【分析】根据已知条件，结合抽签法的基本步骤依次分析，可得答案. 【详解】总体中个体数较小，用抽签法． 第一步，将30个篮球，编号为1，2，…，30； 第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条上，揉成小球状，制成号签； 第三步，把号签放入一个不透明的盒子中，充分搅拌； 第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上面的号码； 第五步，找出和所得号码对应的篮球． 【变式4】（2024高一下·江苏·专题练习）某单位对口支援西部开发，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组到西藏工作3年，请用抽签法设计抽样方案. 【答案】答案见解析 【知识点】抽签法 【分析】利用抽签法的定义进行求解. 【详解】方案如下： 第一步：将18名志愿者编号，号码为：01，02，03，…，18. 第二步：将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签. 第三步：将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀. 第四步：从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号. 第五步：与所得号码对应的志愿者就是志愿小组成员. 题型04 随机数法的应用 【典例1】（24-25高二上·广东佛山·期末）甲乙两名同学参加羽毛球单打比赛，比赛规则是3局2胜制.现通过设计模拟实验估算概率，用1，3，5表示一局比赛甲获胜，用2，4表示一局比赛乙获胜.利用计算机产生20组随机数： 423    123    423    344    114    453    525    332    152    342 534    443    512    541    125    432    334    151    314    254 由此估计甲赢得比赛的概率为（   ） A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75 【答案】B 【知识点】随机数表法 【分析】先根据题中数据得甲获胜的场数为13场，进而可得甲赢得比赛的概率为. 【详解】由题中数据可知甲获胜的场数为13场， 故甲赢得比赛的概率为， 故选：B 【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）总体由编号为01， 02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为 7816     6527     0802    6314     0704     4369    9728     1198 3204     9234     4935    8200     3623     4869    6938     7481 【答案】11 【知识点】随机数表法 【分析】按照随机数表根据规则要求依次选取即可求解. 【详解】按照规则要求，所选编号依次为：08，02，14，07，04，11， 所以第6个个体编号为：11. 故答案为：11. 【变式1】（2024高三上·全国·专题练习）“夸父一号”的成功发射，实现了我国天基太阳探测卫星跨越式突破，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．若将报名的30位同学按01，02，…，30进行编号，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第3列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第5位同学的编号为（    ） 45 67 32 12 12 31 07 01 08 52 13 20 01 12 51 29 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A．23 B．20 C．13 D．12 【答案】C 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法的概念直接得解. 【详解】由题从随机数表第1行的第3列的数字开始， 依次从随机数表中选取的有效编号为12，07，01，08，13， 故选取的第5位同学的编号为13． 故选：C． 【变式2】（2024高一·全国·专题练习）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查．若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（　　） 随机数表如图：    A．13 B．24 C．33 D．36 【答案】D 【知识点】随机数表法 【分析】根据已知条件，依次写出满足题意的号码，即可求解． 【详解】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字， 第一个数字为32，作为第一个号码；第二个数字58，舍去；第三个数字65，舍去； 第四个数字74，舍去；第五个数字13，作为第二个号码；第六个数字36，作为第三个号码. 故选：D 【变式3】（23-24高三上·上海·期中）现利用随机数表发从编号为的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 ． 【答案】18 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法的读取规则，即可求解. 【详解】依次选出的编号为： 则选出来的第6支水笔的编号为18， 故答案为：. 【变式4】（23-24高一上·全国·课后作业）某总体共有60个个体，并且编号为00，01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第11，12列的18开始.依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止（大于59及与前面重复的数字跳过），则抽取样本的号码是 . 95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 60 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 76 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60 【答案】18，00，38，58，32，26，25，39 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法的读取规则，依次读取样本的号码即可. 【详解】由随机数法可得，从随机数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第11，12列的18开始，18，74（舍去），72（舍去），00,18（舍去），38，79（舍去），58，69（舍去），32，81（舍去），76（舍去），80（舍去），26，92（舍去），82（舍去），80（舍去），84（舍去），25，39共8个 所以抽取样本的号码是18，00，38，58，32，26，25，39. 故答案为：18，00，38，58，32，26，25，39 题型05简单随机抽样的概率 【典例1】（24-25高一上·江西宜春·期末）某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】根据条件，利用简单随机抽样的定义，即可求解. 【详解】总体有个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为， 故选：D. 【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是 ，“第二次被抽到”的可能性是 ． 【答案】 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】根据在抽样过程中，个体A每一次被抽到的可能性是相等的可得答案. 【详解】在抽样过程中，个体A每一次被抽到的可能性是相等的，因为总体容量为21，所以个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为． 故答案为：①②. 【变式1】（23-24高二上·北京丰台·期中）为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】根据每个个体被抽到可能性都是相同的，即可计算得答案. 【详解】由题意可知为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况， 从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的， 故可能为， 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·全国·课后作业）用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是 、 、 . 【答案】 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】根据简单随机抽样等可能抽取的特点计算即可. 【详解】从6个个体中抽1个个体，每个个体被抽到的概率均为，与抽取的次数无关，第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本，故个体a被抽到的概率为. 故答案为：；；. 【变式3】（22-23高一下·云南保山·期末）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为30的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 . 【答案】/ 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】由简单随机抽样的定义，每个个体被抽到的概率是一样的，结合容量，即可求得概率. 【详解】由题意得，每个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为30的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为. 故答案为： 【变式4】（22-23高一下·江西景德镇·期中）利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为 ． 【答案】 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案. 【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则， 即，则在整个抽样过程中， 每个个体被抽取到的概率为. 故答案为：. 题型06简单随机抽样估计总体 【典例1】（2024·北京·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．134石 B．169石 C．138石 D．1665石 【答案】A 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果 【详解】解，由抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒估计夹谷频率为， 所以这批米内夹谷约为石， 故选:A. 【典例2】（23-24高二上·广西南宁）为了解某校学生上学使用手机的情况，调查者对该校学生进行了如下的随机调查：调查者向被调查学生提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）你上学时是否经常带手机？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小，形状和质量完全一样的30个白球和30个红球的袋子，要求被调查学生背对着调查人员随机从袋子中摸取一个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生回答问题（1），摸到红球的学生回答问题（2），被调查学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查学生本人知道回答了哪一个问题，所以被调查学生都如实的做了回答.结果被调查的600名学生(学号从1至600)中有280人回答了“是”.由此可以估计这600名学生中经常带手机上学的人数是 . 【答案】260 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】推导出回答问题（1）的学生有300人，有300人回答了问题（2），回答问题（1）的300名学生中大约有150人回答“是”，故在回答问题（2）的300人中大约有130人回答了“是”， 由此可以估计这600名学生中经常带手机上学的人数. 【详解】因为被调查的每个学生从袋子中摸出一个白球或红球的概率都是，故被调查学生中大概有300人回答了问题（1），有300人回答了问题（2），又因为学号为奇数或偶数的概率也是，故在回答问题（1）的300名学生中大约有150人回答“是”，故在回答问题（2）的300人中大约有280-150=130人回答了“是”.则可以估计这600名学生中经常带手机上学的人数是， 故答案为：260 【变式1】（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为 kg. 【答案】6720 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】将样本均值视为总体均值，即可估计果园的苹果产量. 【详解】将样本均值视为总体均值，故预估该果园的苹果产量为kg. 故答案为： 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）某乡镇有居民20000户，从中随机抽取200户调查是否安装宽带网线，调查结果如表所示，则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有 户． 网线 动迁户 原住户 已安装 65 30 未安装 40 65 【答案】9500 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】根据图标提供的数据算出200户居民中安装宽带网线的频率，用总住户乘以频率即可. 【详解】（户）． 故答案为：9500. 【变式3】（23-24高二上·广东江门·阶段练习）广东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂的2500套座椅进行抽查，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产的2500套座椅中大约有 套次品. 【答案】125 【知识点】总体与样本、简单随机抽样估计总体 【分析】根据共抽检了100套，发现有5套次品，得到次品率，再求2500套座椅中的次品数. 【详解】因为共抽检了100套，发现有5套次品， 所以次品率为 ， 所以该厂所产的2500套座椅中大约有. 故答案为：125 【点睛】本题主要考查随机事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 【变式4】（23-24高一·全国·课后作业）张老师为了分析高一年级某次数学考试的情况，从全年级抽取了50名学生，将这些学生的分数分成5组，第1组到第3组的频数分别是10, 23, 11，第4组的频率是0.08，那么落在第5组的频数是多少？频率是多少？全校高一年级300名学生分数在第5组的大约有多少人？ 【答案】4；2；12人. 【知识点】简单随机抽样的概率、简单随机抽样估计总体 【分析】先求得第4组的频数，则由50－10－23－11－4可求得第5组的频数，从而可求得第5组的频率和估计全体人数在第5组的人数. 【详解】解：第4组的频数为50×0.08＝4， 则第5组的频数为50－10－23－11－4＝2， 第5组的频率为＝0.04， 全校高一年级300名学生分数在第5组的大约有300×0.04＝12人. A夯实基础 一、单选题 1．2024年10月1日是中华人民共和国建国75周年，为弘扬爱国主义精神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为（   ） 7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198 3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481 A．14 B．02 C．43 D．07 【答案】D 【知识点】随机数表法 【分析】利用随机数表法列举出前四名学生的编号，可得结果. 【详解】由随机数表法可知，前四名学生的编号依次为：、、、， 因此，选取的第四个编号为. 故选：D. 2．下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】由简单随机抽样的定义对各个抽取方式进行判断即可得到结论. 【详解】①不是逐个抽取，③不是等可能抽取，故不是简单随机抽样，②④是简单随机抽样. 故选：B. 3．从100个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数表法抽取样本，则应编号为（    ） A．1，2，3，，100 B．001，002，003，，100 C．0，1，2，3，，100 D．0，1，2，，99 【答案】B 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法的特征即可求解. 【详解】由于ACD的编号位数不相同，所以不能作为随机数表法的编号， B编号位数相同，可以作为随机数表法的编号. 故选：B. 4．下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（    ） A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 【答案】D 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样的特点逐项判断即可． 【详解】对于A项，人数较多，且图书馆的学生不能代表本校全体学生，故A项错误； 对于B项，按照相同间隔抽取的方法，是系统抽样，不是简单抽样，故B项错误； 对于C项，抽取的产品不具有代表性，故C项错误； 对于D项，符合简单随机抽样的定义，故D项正确． 5．总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第2个个体的编号为（    ） 50 44 66 44 21  66 06 58 05 62  61 65 54 35 02  42 35 48 96 32  14 52 41 52 48 22 66 22 15 86  26 63 75 41 99  58 42 36 72 24  58 37 52 18 51  03 37 18 39 11 A．23 B．26 C．35 D．32 【答案】B 【知识点】随机数表法 【分析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，于是将两个数字构成的编号依次写出，然后读取出在01，02，…，39，40编号内编号（重复的算一次），依次选取2个不重复的即可得到． 【详解】随机数表第1行的第6列和第7列数字为6,4， 所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下： 64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，… 其中落在编号01，02，…，39，40内且不重复的有：16，26，24，… 故第2个编号为26. 故选：B. 6．采用简单随机抽样进行抽样检测，必须做的步骤是（    ）． A．对每个个体进行编号 B．制作相应数量的号签 C．用随机数表产生随机数 D．用计算器的随机函数功能产生随机数 【答案】A 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样进行抽样检测的步骤，直接选出答案即可 【详解】简单随机抽样的步骤如下： 1.明确界定总体范围，并收集总体中全部抽样单位； 2.确定样本规模； 3.将总体的每个单位编号，采用随机的方法任意抽取号码，直达抽足样本； 故根据题意，可得A正确. 故选：A 7．高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】简单随机抽样估计总体、容斥原理的应用 【解析】计算选择物理的学生人数为，再计算比值得到答案. 【详解】选择物理的学生人数为， 即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为． 故选： 【点睛】本题考查了根据样本估计总体，意在考查学生的应用能力. 8．已知下列抽取样本的方式： ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本； ②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验； ④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． 其中，不是简单随机抽样的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样的特征：有限性，逐一性，不放回性，等可能性判断即可. 【详解】①不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样中总体的个数是有限的，而题中是无限的；②不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是不放回地抽取，而题中是放回地；③不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是逐个抽取，而题中是一次性抽取；④不是简单随机抽样，原因是个子最高的5名同学是56名同学中特定的，不存在随机性，不是等可能抽样． 故选择D． 【点睛】简单随机抽样的特征 要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：有限性、逐一性、不放回性、等可能性． ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平性． 二、多选题 9．一次期中考试后，某校高三年级选取了（1）班、（2）班、（3）班进行成绩分析，经统计得到这三个班每班学生的数学成绩的优秀率（成绩不低于120分的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 则下列结论正确的是（   ） A．（3）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．这三个班学生的数学成绩的优秀率为 C．（2）班学生的人数一定最多 D．若把（1）班和（3）班学生的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为，则（1）班人数比（3）班人数少 【答案】AD 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】结合表格，逐项判断即可； 【详解】对于A，显然（3）班学生的数学成绩的优秀率最高，A正确． 对于B，这三个班学生的数学成绩的优秀率为这三个班成绩优秀的学生人数与总人数之比，由于各班人数不确定， 所以不能计算这三个班学生的数学成绩的优秀率，B错误． 对于C，（2）班学生的数学成绩的优秀率最低，不能说是因为班级人数最多，C错误． 对于D，因为将（1）班和（3）班学生的数学成绩合并起来计算得到的优秀率更偏向（3）班学生的数学成绩的优秀率，所以（3）班学生的人数更多，D正确 故选：AD 10．总体由编号为01，02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为（    ） 50　44　66　44　29　67　06　58　03　69 80　34　27　18　83　61　46　42　23　91 67　43　25　74　58　83　11　03　30　20 83　53　12　28　47　73　63　05　35　99 A．42 B．36 C．22 D．14 【答案】AC 【知识点】随机数表法 【解析】根据指定位置开始按随机数表读取即可. 【详解】由随机数表可得：从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，选出的5个个体的编号为42，36，03，14，22，即选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为42，22． 故选：AC 三、填空题 11．用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有 石． 【答案】160 【知识点】总体与样本 【分析】利用米与米内夹谷的比例大致相同得到关于的方程，解之即可. 【详解】依题意，设这批米内所夹的谷有石， 则，解得， 所以估计这批米内所夹的谷有石. 故答案为：160. 12．利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为 . 【答案】 【知识点】简单随机抽样的概率 【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案. 【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则， 即，则在整个抽样过程中， 每个个体被抽取到的概率为. 故答案为：. 四、解答题 13．假设我们要考察某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时应如何操作？ 【答案】答案见解析 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数法的定义和步骤去操作即可得解. 【详解】第一步，将800袋牛奶编号为1，2，3，…，800， 第二步，用计算机生成在1～800范围内的60个不同的整数随机数， 第三步，按照生成的随机数号码选出对应编号的60袋牛奶，检验他们的质量，就得到一个容量为60的样本. 14．某市通过电话进行民意调查．该市的电话号码有7位，其中前两位为区域代码，只能为2，3，5，7的任意两位数组成（数字可重复），后5位取自0～9十个数字，现在任意选择3个区域，每个区域随机选取5个号码进行调查，请你设计一种抽取方案选出这15个电话号码． 【答案】答案见解析 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件、抽签法、随机数表法 【分析】根据抽签法可抽取前两位，进而利用随机数表法求解后五位，即可求解. 【详解】解  第一步：列出只能由含2，3，5，7的任意两位数组成的区域代码，共16个，用抽签法随机抽取3个． 第二步：制作一张00000～99999的随机数，方法是用抽签法或计算机生成法产生若干个0～9之间的随机整数，5个一组，构成00000～99999之间的随机数． 第三步：用随机数表产生随机数的方法选出15个5位数即为所选号码，分成3组． 第四步：一组前加上用抽签法选出的第一个区域代码，第2，3组前分别加上选出的第2，3个区域代码． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 9.1.1 简单随机抽样 课程标准 学习目标 ①了解随机抽样的必要性和重要性。 ②理解随机抽样的目的和基本要求。 ③理解简单随机抽样中的抽签法、随机数法。 ④掌握用样本平均数估计总体平均数的方法。 1.通过阅读课本在向量加法的基础上，理解向量减法与数量减法的异同，并学会有加法理解减法的运算与意义，提升数学运算能力； 2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在减法运算的题目中灵活的作两个向量的加法与减法两种运算； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法，减法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法与减法的运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广 知识点01：统计的相关概念 全面调查(普查)、抽样调查 ①全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 ②总体：调查对象的全体 ③个体：组成总体的每一个调查对象 ④抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法 ⑤样本：从总体中抽取的那部分个体 ⑥样本量：样本中包含的个体数 ⑦样本数据：调查样本获得的变量值 知识点02：简单随机抽样 （1）定义： 一般地，设一个总体含有(为正整数)个个体，从中逐个抽取()个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样，放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 从总体中，逐个不放回地随机抽取个个体作为样本，一次性批量随机抽取个个体作为样本，两 种方法是等价的. （2）特点： ①有限性：总体中个体数有限； ②逐一性：从总体中逐个抽取，这样便于在抽样试验中进行操作； ③等可能性：是一种等可能抽样，在整个抽样过程中各个个体被抽取到的可能性相等，从而保证了这种抽样方法的公平性理解. 知识点03：两种常用的简单随机抽样方法 （1）抽签法 ①把总体中的个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为的样本. ②：抽签法的抽样步骤 第一步：将总体中的所有个体编号（编号） 第二步：并把号码写在形状、大小相同的号签上；将号签放在一个不透明容器中，并搅拌均匀（制签） 第三步：每次从中不放回抽取一个号签，直到抽取到足够的样本量（抽取） ③优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性. ④缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大，因此，抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形. （2）随机数法 ①随机数法，即利用随机试验、信息技术（计算器、电子表格软件、R统计软件等)生成随机数进行抽样. ②随机数法的抽样步骤 第一步：编号:将总体中的每个个体编号. 第二步：选号:用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本，重复上述过程，直到抽足样本所需要的个体数.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个体数. 第三步：取样：把选定的号码所对应的个个体作为样本. （3）抽签法和随机数法的异同点 相同点：都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限. 不同点：①在总体容量较小的情况下，抽签法相对于随机数法来说更简单； ②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，而随机数法更适用于总体中的个体数较多的情况，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本. 【即学即练1】（24-25高一上·陕西·期末）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…，499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽取的第5袋牛奶的标号是 ． （下面摘取了某随机数表的第7行至第9行） 84421    75531    57245    50688    77047    44767    21763 35025    83921    20676    63016    47859    16955    56719 98301    07185    12867    35807    44395    23879    33211 【答案】286 【知识点】随机数表法 【分析】根据给定的随机数表，按指定方法依次读取符合要求的标号. 【详解】依题意，抽取的前5袋牛奶的标号依次为：206，301，169，071，286， 所以抽取的第5袋牛奶的标号是286. 故答案为：286. 知识点04：总体平均数与样本平均数 （1）总体平均数 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，…， 则称为总体均值，又称总体平均数. （2）加权平均数 如果总体的个变量值中,不同的值共有()个,不妨记为,,…,,其中出现的频数(),则总体均值还可以写成加权平均数的形式：. （3）样本平均数 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，…， 则称为样本均值，又称样本平均数. 题型01 总体与样本 【典例1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则（    ） A．该市场监管局的调查方法是普查 B．样本容量是该超市的20种冷冻饮品 C．总体是超市在售的40种冷冻饮品 D．样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量 【典例2】（2024高二上·云南·学业考试）某大学学生管理处为了了解新入学的名大学生的生活情况，从中抽取了名大学生进行调查研究.在这个问题中，被抽取的名大学生是（    ） A．总体 B．个体 C．样本量 D．样本 【变式1】（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（    ） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，采用抽签法从中选出5个零件作为样本 C．从20件玩具中一次性抽取4件形成样本 D．从10个球（2个红球､8个白球）中依次取出2个红球 【变式2】（24-25高二·全国·单元测试）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20运动员的年龄进行统计分析．现有下列说法：①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的20名运动员是一个样本；④这个抽样方法可采用随机数表法抽样；⑤每个运动员被抽到的机会相等．其中，说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25高一上·河南焦作·期末）某次九省联考考试结束后，相关部门为了分析考生的数学成绩，采用随机抽样的方式从某地区抽取了3000名高三学生的数学成绩，则此次抽样的样本为 ． 题型02简单随机抽样的应用 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（   ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【典例2】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的是（　　） A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．箱子里共有100个零件，从中取出5个零件进行质量检验．在抽样操作过程中，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里，然后再抽取下一个零件进行质量检验 C．从30件玩具中，逐个抽取4件进行质量检验 D．某班有45名同学，指定身高最高的5名同学参加学校组织的排球赛 【典例3】（24-25高一上·全国·课后作业）学校要从10名品学兼优的学生中，随机选出2人参加某活动，用简单随机抽样的方法选取，每个学生被选到的可能性为 ，如果老师在第一次抽取后无意透露了结果，结果是第一位同学已被抽取，那么对其他同学是 的（填“公平”或“不公平”）． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本． ②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． ③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． ④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（23-24高一下·江西吉安）在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性是（    ） A．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等 B．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样 C．第1次抽中的可能性要大于第2次，第2次抽中的可能性要大于第3次，…，以此类推 D．第1次抽中的可能性要小于第2次，第2次抽中的可能性要小于第3次，…，以此类推 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取个个体作为样本； (2)仓库中有万支奥运火炬，从中一次抽取支火炬进行质量检查； (3)某连队从名党员官兵中，挑选出名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作． 题型03 抽签法的应用 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）某单位拟从40名员工中选5人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取5个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将35个白球与5个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？ 【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）某单位拟从40名员工中选1人赠送电影票，可采用下面两种选法： 选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选； 选法二：将39个白球与1个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选．试问： (1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？ (2)这两种选法中每名员工被选中的可能性是否相等？ 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）某合资企业有150名职工，要从中随机抽出15名去参观学习．请用抽签法进行抽取，并写出过程． 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）某校举办晚会，共邀请20名同学演出，其中从30名高一学生中随机挑选10人，从18名高二学生中随机挑选6人，从10名高三学生中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的同学，并确定他们的表演顺序． 【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样，请写出利用抽签法抽取该样本的过程． 【变式4】（2024高一下·江苏·专题练习）某单位对口支援西部开发，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组到西藏工作3年，请用抽签法设计抽样方案. 题型04 随机数法的应用 【典例1】（24-25高二上·广东佛山·期末）甲乙两名同学参加羽毛球单打比赛，比赛规则是3局2胜制.现通过设计模拟实验估算概率，用1，3，5表示一局比赛甲获胜，用2，4表示一局比赛乙获胜.利用计算机产生20组随机数： 423    123    423    344    114    453    525    332    152    342 534    443    512    541    125    432    334    151    314    254 由此估计甲赢得比赛的概率为（   ） A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75 【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）总体由编号为01， 02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字（即65）开始由左到右依次选取两个数字（作为个体的编号）：如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第6个个体的编号为 7816     6527     0802    6314     0704     4369    9728     1198 3204     9234     4935    8200     3623     4869    6938     7481 【变式1】（2024高三上·全国·专题练习）“夸父一号”的成功发射，实现了我国天基太阳探测卫星跨越式突破，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．若将报名的30位同学按01，02，…，30进行编号，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第3列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第5位同学的编号为（    ） 45 67 32 12 12 31 07 01 08 52 13 20 01 12 51 29 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A．23 B．20 C．13 D．12 【变式2】（2024高一·全国·专题练习）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查．若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（　　） 随机数表如图：    A．13 B．24 C．33 D．36 【变式3】（23-24高三上·上海·期中）现利用随机数表发从编号为的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 ． 【变式4】（23-24高一上·全国·课后作业）某总体共有60个个体，并且编号为00，01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第11，12列的18开始.依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止（大于59及与前面重复的数字跳过），则抽取样本的号码是 . 95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 60 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 76 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60 题型05简单随机抽样的概率 【典例1】（24-25高一上·江西宜春·期末）某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是 ，“第二次被抽到”的可能性是 ． 【变式1】（23-24高二上·北京丰台·期中）为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·全国·课后作业）用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是 、 、 . 【变式3】（22-23高一下·云南保山·期末）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为30的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 . 【变式4】（22-23高一下·江西景德镇·期中）利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为 ． 题型06简单随机抽样估计总体 【典例1】（2024·北京·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．134石 B．169石 C．138石 D．1665石 【典例2】（23-24高二上·广西南宁）为了解某校学生上学使用手机的情况，调查者对该校学生进行了如下的随机调查：调查者向被调查学生提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）你上学时是否经常带手机？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小，形状和质量完全一样的30个白球和30个红球的袋子，要求被调查学生背对着调查人员随机从袋子中摸取一个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生回答问题（1），摸到红球的学生回答问题（2），被调查学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查学生本人知道回答了哪一个问题，所以被调查学生都如实的做了回答.结果被调查的600名学生(学号从1至600)中有280人回答了“是”.由此可以估计这600名学生中经常带手机上学的人数是 . 【变式1】（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为 kg. 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）某乡镇有居民20000户，从中随机抽取200户调查是否安装宽带网线，调查结果如表所示，则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有 户． 网线 动迁户 原住户 已安装 65 30 未安装 40 65 【变式3】（23-24高二上·广东江门·阶段练习）广东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂的2500套座椅进行抽查，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产的2500套座椅中大约有 套次品. 【变式4】（23-24高一·全国·课后作业）张老师为了分析高一年级某次数学考试的情况，从全年级抽取了50名学生，将这些学生的分数分成5组，第1组到第3组的频数分别是10, 23, 11，第4组的频率是0.08，那么落在第5组的频数是多少？频率是多少？全校高一年级300名学生分数在第5组的大约有多少人？ A夯实基础 一、单选题 1．2024年10月1日是中华人民共和国建国75周年，为弘扬爱国主义精神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为（   ） 7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198 3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481 A．14 B．02 C．43 D．07 2．下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 3．从100个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数表法抽取样本，则应编号为（    ） A．1，2，3，，100 B．001，002，003，，100 C．0，1，2，3，，100 D．0，1，2，，99 4．下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（    ） A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 5．总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第2个个体的编号为（    ） 50 44 66 44 21  66 06 58 05 62  61 65 54 35 02  42 35 48 96 32  14 52 41 52 48 22 66 22 15 86  26 63 75 41 99  58 42 36 72 24  58 37 52 18 51  03 37 18 39 11 A．23 B．26 C．35 D．32 6．采用简单随机抽样进行抽样检测，必须做的步骤是（    ）． A．对每个个体进行编号 B．制作相应数量的号签 C．用随机数表产生随机数 D．用计算器的随机函数功能产生随机数 7．高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（    ） A． B． C． D． 8．已知下列抽取样本的方式： ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本； ②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验； ④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． 其中，不是简单随机抽样的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．一次期中考试后，某校高三年级选取了（1）班、（2）班、（3）班进行成绩分析，经统计得到这三个班每班学生的数学成绩的优秀率（成绩不低于120分的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 则下列结论正确的是（   ） A．（3）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．这三个班学生的数学成绩的优秀率为 C．（2）班学生的人数一定最多 D．若把（1）班和（3）班学生的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为，则（1）班人数比（3）班人数少 10．总体由编号为01，02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为（    ） 50　44　66　44　29　67　06　58　03　69 80　34　27　18　83　61　46　42　23　91 67　43　25　74　58　83　11　03　30　20 83　53　12　28　47　73　63　05　35　99 A．42 B．36 C．22 D．14 三、填空题 11．用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有 石． 12．利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为 . 四、解答题 13．假设我们要考察某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时应如何操作？ 14．某市通过电话进行民意调查．该市的电话号码有7位，其中前两位为区域代码，只能为2，3，5，7的任意两位数组成（数字可重复），后5位取自0～9十个数字，现在任意选择3个区域，每个区域随机选取5个号码进行调查，请你设计一种抽取方案选出这15个电话号码． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$