高二数学下学期期中测试卷（测试范围：沪教版2020选必二第5～6章）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020）

高二数学下学期期中测试卷 （范围：沪教版2020选择性必修第二册第5章+第6章 综合卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知为正整数．若，则 ． 【答案】 【知识点】组合数的计算 【分析】利用排列数和组合数公式求解 【详解】由得,则, 故答案为： 2．若函数的导函数存在，且，则 . 【答案】4 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的概念可得答案. 【详解】函数的导函数存在，且. 即. 故答案为：4 3．食堂有大荤菜个、小荤菜个、素菜个、汤个，如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐，有 种不同的搭配方式． 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法原理即可得出结论. 【详解】依题意得，选择大荤菜有种方法，小荤菜有种方法，素菜有种方法，汤有种方法， 根据分步乘法原理可得，一共有种方法. 故答案为： 4．函数 的驻点为 ． 【答案】1 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即可. 【详解】函数，求导得， 由，得或（舍去），所以函数的驻点为1. 故答案为：1. 5．已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 . 【答案】 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】由二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】依题意可得，所以， 则展开式的通项为 ，， 令，解得，所以展开式中的系数为. 故答案为： 6．等比数列中，，为函数的导函数，则 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意求出公比，求出，然后求，最后求即可. 【详解】设公比为，则有，所以，所以， 设，则， 所以，所以， 故答案为：. 7．已知，若对一切成立，则 . 【答案】/0.5 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】依题意为函数最小值点，利用导数求解即可. 【详解】由，有，在R上单调递增， 令，得， 当 时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 若对一切成立，则.   故答案为： 8．若，则除以7的余数是 ． 【答案】0 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理求解即可. 【详解】， ， 故展开式中的每一项都能被7整除，故余数为0． 故答案为：0 9．甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票， 因此 他们决定自行安排这些座位． 高铁列车的座位安排如图， 甲希望坐在靠窗的座位上， 乙 不希望坐在 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上 (中间不能隔着过道)， 则满足要求的座位安排方式共有 种． 【答案】14 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据特殊位置要求分类讨论各种情况即可. 【详解】丙和丁希望坐在相邻的座位上,分类讨论： 丙和丁在DF位置上，甲在A座位上， 乙 坐在 C 座位上，戊 坐在 B座位上共有种排法； 丙和丁在AB位置上，甲在F座位上， 乙 戊 坐在 CD座位上,共有种排法； 丙和丁在BC位置上，甲在F或A座位上， 乙 戊 坐在剩下的座位上,共有种排法； 则满足要求的座位安排方式共有种排法. 故答案为：14. 10．如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为 . 【答案】3 【知识点】求空间向量的数量积、几何计数问题、棱柱的结构特征和分类、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据向量共面的推论易知在面内，且面，结合正方体的对称性及空间数量积运算确定不同取值的个数. 【详解】由，且，即在面内， 要使取最小值时，点位置记为点，即面，结合正方体的对称性， 知：，，三种情况， 所以数量积的不同取值的个数为3. 故答案为：3 11．定义在上的奇函数 ，满足 ，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】首先利用奇函数性质将不等式进行转化，再构造函数，通过求导判断函数单调性，最后根据单调性求解不等式. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则. 两边求导，得到.已知，可得. 令，. 由于，又，所以，这表明在上单调递增. 不等式可化为. 不等式即，即. 因为单调递增，所以，解得. 故不等式的解集为. 故答案为：. 12．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”.则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数新定义 【分析】依题意可得与函数至多只有一个交点，则最多只有一根，令，则在上单调，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，当时，即可得解. 【详解】依题意可得与函数至多只有一个交点， 由， 即关于的方程最多只有一根， 即与最多只有一个交点， 令，则在上单调， 又， 当时，则当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 当时，因为，又在上单调，所以恒成立， 所以，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．计算的值为（    ） A．2048 B．1024 C．1023 D．512 【答案】C 【知识点】二项式的系数和、奇次项与偶次项的系数和、组合数的性质及应用 【分析】根据二项式系数的性质计算即可. 【详解】由二项式系数的性质知， ， . 故选：C. 14．已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．函数在上严格增 B．函数在上严格减 C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】由导数符号与函数单调性、极值的关系逐一判断即可求解. 【详解】对于A，当时，，当时，， 所以函数在上先减后增，故A错误； 对于B，当时，，所以函数在上单调递减，故B正确； 对于C，因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负， 所以函数在处取得极大值，故C正确； 对于D，因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正， 所以函数在处取得极小值， 因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正， 所以函数在处取得极小值， 则函数共有两个极小值点，故D正确. 故选：A. 15．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 【答案】C 【知识点】二项式系数的增减性和最值、组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】A选项由及即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由及即可判断；D选项直接计算比值即可判断. 【详解】由可得 ，故A错误； 第2022行中第1011个数为，故B错误； ，故C正确； 第34行中第15个数与第16个数之比为，故D错误. 故选：C. 16．定义域均为的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”．已知函数，，是关于的“对称函数”，记的定义域为，若对任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】依据“对称函数”的定义，求出，利用导数可求出的值域；也可求出在上的值域；“对任意，都存在，使得成立”等价于“的值域包含于的值域”，解之即可. 【详解】解：函数，，是关于的“对称函数”， 可得，，，， 可判断在单调递减，由可解得， 所以在上，在上, 所以在递增，递减， 又因为，，， 的最小值为，最大值为1， 所以的值域为， 而在递增，可得的值域为， 由题意可得， 即有，即为， 解得或， 则的范围是 故选：D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）若，求正整数n； （2）已知，求． 【答案】（1）8；（2）28． 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式、排列数的计算、组合数的计算 【分析】（1）由排列数公式得到方程，求出答案； （2）由组合数公式得到方程，求出答案 【详解】（1）由得，， 又，，所以，即，所以正整数n为8； （2）由得，， 所以，即，解得或， 又，所以，所以． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值. 【答案】(1) (2)21 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导可得，可求切线方程； （2）求导可得在上的单调性，从而可求结论. 【详解】（1）因为，所以. 所以切线方程为，即. （2）令， 因为，所以在单调递增，单调递减， 所以. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知m，n为正整数，的展开式中x项的系数为19． (1)求展开式中项的系数的最小值； (2)当展开式中项的系数取最小值时，求项的系数． 【答案】(1)81 (2)156 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】（1）根据x项的系数结合二项展开式可得，进而可得项的系数，结合组合数以及二次函数分析求解； （2）根据（1）中结果结合二项展开式可得项的系数为，运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：的展开式为， 的展开式为， 令，则， 由题意可得，即， 令，则， 可得项的系数， 且，则当或时，项的系数取到最小值81. （2）令，则， 由（1）可得：或， 所以项的系数为. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)增区间为；减区间为 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，判定导数的符号可得单调区间； （2）分离参数，求解新函数的最值即可； （3）先证明，再求和可得证结论. 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 令可得，增区间为；令可得，减区间为； （2）由恒成立，可得恒成立， 令，则，令得，的增区间为， 令得，的减区间为，所以的最大值为，所以，故的取值范围是. （3）证明：设，， ，当时，，为减函数， 所以，即， 令，则， 所以，，， ，； 以上各式相加可得. 【点睛】关键点点睛：本题第三问证明的关键是根据所证不等式的结构特征，构造不等式，利用导数证明不等式成立，求和即可. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. (1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； (2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围； (3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）直接根据定义即可验证； （2）先在函数是“逆构造函数”的条件下证明，再在的条件下证明函数是“逆构造函数”，即可得到的取值范围是； （3）分情况讨论，并证明对任意的都有，即可推出相应的结论. 【详解】（1）由于，故对有. 所以是否为“逆构造函数”. （2）由于，故. 一方面，若函数是“逆构造函数”，则，即. 所以对任意成立. 特别地，取，得，从而，故. 再取，得，从而. 此即，故，解得； 另一方面，若，则. 设，则，所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. 所以对，有 . 从而此时函数是“逆构造函数”. 综上，的取值范围是. （3）设，则. 所以在上单调递增. 一方面，对，有. 所以对任意，有； 另一方面，对，假设，则根据及零点存在定理，存在使得. 再由条件，知，矛盾. 所以对任意，有. 假设存在使得，则根据及零点存在定理，存在使得. 从而对任意，有. 但由，知，矛盾. 所以对任意，都有. 综合两方面可知，对任意的，都有. 所以对任意，关于的方程一定无解. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“逆构造函数”定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学下学期期中测试卷 （范围：沪教版2020选择性必修第二册第5章+第6章 综合卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知为正整数．若，则 ． 2．若函数的导函数存在，且，则 . 3．食堂有大荤菜个、小荤菜个、素菜个、汤个，如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐，有 种不同的搭配方式． 4．函数 的驻点为 ． 5．已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 . 6．等比数列中，，为函数的导函数，则 ． 7．已知，若对一切成立，则 . 8．若，则除以7的余数是 ． 9．甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票， 因此 他们决定自行安排这些座位． 高铁列车的座位安排如图， 甲希望坐在靠窗的座位上， 乙 不希望坐在 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上 (中间不能隔着过道)， 则满足要求的座位安排方式共有 种． 10．如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为 . 11．定义在上的奇函数 ，满足 ，则不等式 的解集为 ． 12．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”.则实数的取值范围是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．计算的值为（    ） A．2048 B．1024 C．1023 D．512 14．已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．函数在上严格增 B．函数在上严格减 C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点 15．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 16．定义域均为的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”．已知函数，，是关于的“对称函数”，记的定义域为，若对任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）若，求正整数n； （2）已知，求． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知m，n为正整数，的展开式中x项的系数为19． (1)求展开式中项的系数的最小值； (2)当展开式中项的系数取最小值时，求项的系数． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)求证：. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. (1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； (2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围； (3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$