高二数学下学期期中测试卷02（范围：人教A版2019选择性必修第二册～第三册 综合卷）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

高二数学下学期期中测试卷02 （范围：人教A版2019选择性必修第二册（第四章+第五章）+选择性必修第三册（第六章+第七章）综合卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：A 2．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（    ） A．11 B．12 C．30 D．36 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据乘法原理，即可得出结论． 【详解】由题意，共有种选法. 故选：C． 3．已知数列的前项和，则（    ） A．191 B．192 C．193 D．194 【答案】C 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得. 【详解】因为，则， 故选：C 4．已知随机变量服从二项分布若，则（    ） A．144 B．48 C．24 D．16 【答案】D 【知识点】方差的性质、二项分布的方差 【分析】根据二项分布方差公式，结合方差的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， ， ， 故选：D 5．已知等比数列的前项和为，若公比，，则（   ） A．49 B．56 C．63 D．112 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的通项公式推导出与公比的关系，再结合已知条件求出的值. 【详解】∵，∴. 故选：B. 6．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 【答案】B 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】解：令，得 ，即 ， 令，得 ， 即 ， 所以 . 故选：B. 7．如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据已知条件，结合条件概率与独立事件的乘法公式，即可求解． 【详解】质点移动4次，共有种情况， 设质点第一秒位于1的位置为事件为，则， 记质点两次经过质点2为事件，若第一步位于1，则还有3步，想要经过质点2两次， 则有，两种情况， 所以， 则． 故选：A． 8．已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【详解】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．离散型随机变量X的分布列如表所示，则（   ） X 0 1 2 4 P a A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据概率和为1，可求a的值，判断A；由互斥事件的概率加法公式判断B；根据期望，方差的公式进行计算，判断C，D. 【详解】根据题意，，所以，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确. 故选：ACD 10．的展开式中的有理项有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】求有理项或其系数 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为整数，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 由可得， 所以，展开式中的有理项有：，， ， 故选：ABD. 11．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，则 B．若不是递增数列，则 C．若，则 D．若的最小值为3，则 【答案】ABD 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数 【分析】A选项，根据等差数列前项和公式判断；B选项，利用得到，然后根据增减性列不等式即可；C选项，列不等式，然后解不等式即可；D选项，将的最小值为3转化为恒成立，然后分和两种情况分析即可. 【详解】若为等差数列，则， 所以，解得，，故A正确； ，则，， 当时，， 所以， 因为不是递增数列，所以或，则，故B正确； 若，则， 整理得，又，所以，故C错； 因为的最小值为3，所以恒成立， 即，当时，成立， 当时，，则，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】由组合数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得或， 解得或， 又，解得，且， 所以的值为或. 故答案为：或 13．曲线在点的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 又过点， 所以切线方程为，即. 故答案为： 14．甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为 ． 【答案】/3.25 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得的所有可能取值为，分别求出对应概率，得出分布列，再求得期望，根据基本不等式及二次函数求解即可． 【详解】设“甲获胜”为事件，“乙获胜”为事件， 每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得的所有可能取值为，则， ， ， 所以的分布列为 2 4 5 所以的期望 ， 因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. (1)求值及二项式系数最大项； (2)求的值（用数值作答）. 【答案】(1) (2)3281 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）根据题意知最大得出的值，再计算即可； （2）利用赋值法，分别令和，得出两式，相加即可得出的值. 【详解】（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 即仅有最大，所以，故. 即，二项式系数最大项为第5项：； （2）令，得， 令，得. 两式相加可得. 16．（15分） 中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： (1)从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； (2)据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 【答案】(1)， . (2). 【知识点】利用二项分布求分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）记“未选择‘常见普速列车’出行”为事件A，估计，则，根据二项分布即可求解； （2）记“参加调查的旅客今后将不会改变出行方式”为事件B，则即可求解. 【详解】（1）记“未选择‘常见普速列车’出行”为事件A，估计. 则， ，. （2）由（1）知，则有，记“参加调查的旅客今后将不会改变出行方式”为事件B， 由题意， 所以. 答：参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率为. 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数求函数的单调性； （2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得. 【详解】（1）当时，函数的定义域是，， 令，得，解得，故的单调递减区间是， 令，得，解得，故的单调递增区间是， 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）由任意，知恒成立. 因，故，在上恒成立. 设，则， 令，得，（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得极大值，也是最大值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 18．（17分） 如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码． (1)若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率； (2)记的数学期望为，记． ①设数列的前项和为，求证：； ②设与最接近的整数为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)①证明过程见解析；② 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、计算条件概率、二项分布的均值 【分析】（1）设出事件，接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右，从而得到概率； （2）①，由二项分布得到，故，所以，作差法得到，故； ②，分为奇数和偶数，得到的通项公式，进而分奇偶，分组求和，得到. 【详解】（1）设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A，“小球最后落入编号为5的格子”为事件B， 设向右下落次数为． 因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子， 所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右， 所以， 小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为； （2）①，则， 所以，所以． 因为，所以． 故数列的前项和． ②因为，所以． 当为奇数时，为整数，故，当为偶数时，为偶数，故． 所以， 当时，，所以， 由于，故， 当时，，所以， 由于，故， 所以. 【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 19．（17分） 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数 (1)当时，求； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、函数新定义 【分析】（1）按照题目所给信息，验证是否满足题意即可； （2）将问题转化为验证方程在范围内是否有解； （3）由（2）可得的极值差比为，后令，结合， 将问题转化为求函数值域即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，因此是极值可差比函数． 其中； （2）由题的定义域为，，即， 假设是极值可差比函数，且极值差比系数为， 设的极大值点为，极小值点为. 则，得，由（1）分析可得， 又，则. 由于 . 由题则有：， 从而， 结合，得（*）. 令，则， 所以在上单调递增，有， 因此（*）方程在时无解，即不存在使的极值差比系数为； （3）由（2）知极值差比系数为，又， 则极值差比系数为. 令，，则极值差比系数可化为， 注意到，又，可得， 令，则， 设， 所以在上单调递减， 当时，，从而， 所以在上单调递增，所以， 即． 故的极值差比系数的取值范围为 【点睛】关键点睛：本题首先需读懂题意，随后灵活运用代数式处理技巧，将需研究表达式化简为只含一个未知数；对于某些复杂函数的性质，我们也可通过多次求导来研究，但要注意书写格式. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学下学期期中测试卷02 （范围：人教A版2019选择性必修第二册（第四章+第五章）+选择性必修第三册（第六章+第七章）综合卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 2．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（    ） A．11 B．12 C．30 D．36 3．已知数列的前项和，则（    ） A．191 B．192 C．193 D．194 4．已知随机变量服从二项分布若，则（    ） A．144 B．48 C．24 D．16 5．已知等比数列的前项和为，若公比，，则（   ） A．49 B．56 C．63 D．112 6．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 7．如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．离散型随机变量X的分布列如表所示，则（   ） X 0 1 2 4 P a A． B． C． D． 10．的展开式中的有理项有（    ） A． B． C． D． 11．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，则 B．若不是递增数列，则 C．若，则 D．若的最小值为3，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的值为 ． 13．曲线在点的切线方程为 ． 14．甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. (1)求值及二项式系数最大项； (2)求的值（用数值作答）. 16．（15分） 中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破.时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车/普通旅客快车以数字编号（如1461次）；快速列车以K+数字编号（如K9521次）；特快列车以T+数字编号（如T236次）；直达特快列车以Z+数字编号（如Z27次）；城际列车以C+数字编号（如C2723次）；动车组列车以D+数字编号（如D9933次）；高铁列车以G+数字编号（如G3588次）；市郊旅客列车以S+数字编号（如S501次）；临时旅客列车以L+数字编号（如L7455次）；旅游列车以Y+数字编号（如Y965次）.为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了200名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格： 列车等级 CRH 普客 普快 快速 特快 直达特快 频数 54 27 38 42 18 21 说明：①CRH表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“C”“D”“G”“S”开头的旅客列车； ②受限于列车开行安排，车次编号以“L”“Y”开头的旅客列车未列入统计. 用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”. 回答下列问题： (1)从参加调查的所有旅客中随机抽取3人，这3人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为X，求和； (2)据另一项调查显示，80%未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，60%选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率. 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分） 如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码． (1)若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率； (2)记的数学期望为，记． ①设数列的前项和为，求证：； ②设与最接近的整数为，求数列的前项和． 19．（17分） 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数 (1)当时，求； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$