高二数学下学期期中测试卷01（范围：人教A版选必三第6章～7章 综合卷）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

高二数学下学期期中测试卷01 （范围：人教A版2019选择性必修第三册（第六章+第七章）综合卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据排列与组合公式计算求解即可. 【详解】由，则， 则，即. 故选：D 2．在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0．9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 【答案】A 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】由正态分布的性质可得. 【详解】 因为服从正态分布（）， 所以正态分布曲线关于对称； 又因为在内取值的概率为0.8， 所以在内取值的概率为0.4， 所以在内取值的概率为． 故选：A 3．编号为，，，，的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求品种不能种在1，2试验田里，品种必须与品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为（    ） A．24 B．30 C．36 D．54 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】对A所种位置进行分类讨论即可. 【详解】当A种在4号田时，B只能种在3号，其余三种蔬菜在三个位置全排列，共有种结果， 当A种在5号田时，结果相同，也有6种； 当A种在3号田时，B有3种结果，余下的三种蔬菜在三个位置全排列，有种结果； 根据分类计数原理，共有种结果． 故选：B． 4．在的展开式中，的系数为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求指定项的系数 【分析】先找出每项中含有的项，利用组合数的性质即可得出结果. 【详解】在的展开式中，的系数为 . 故选：D. 5．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0．7，乙获胜的概率为0．3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 6．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、正态曲线的性质 【分析】利用正态曲线关于直线对称，得出，即，再利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】由题意知，随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 又， 所以，即， 所以， 因为，则， 所以 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B． 7．若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次．设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 8．已知的数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数.例如，则，，若，则的展开式中的系数是（    ） A．210 B．255 C．280 D．360 【答案】A 【知识点】导数的运算法则、求指定项的系数 【分析】利用二项式展开式定理来求十阶导函数的指定项即可. 【详解】由得：， 再继续求二阶导整理得：， 求三阶导整理得：， 此时可以把求函数的10阶导理解为十次方的二项式展开式， 则有的系数是， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的展开式中，下列结论正确的是（   ）. A．展开式共7项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 【答案】CD 【知识点】二项展开式的应用、二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解. 【详解】对于：由二项式的展开式共有8项；所以选项错误. 对于：由二项式，可得展开式的通项为：，. 令，可得，则项的系数为，所以选项错误. 对于：令，可得，所以无常数项，所以选项正确. 对于：二项式系数和为，所以选项正确. 故选：. 10．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（   ） A． B． C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 【答案】BD 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和事件的原则，逐项判断即可. 【详解】由题意：，. 对A：因为，，所以，故A错误； 对B：因为，，所以，故B正确； 对C：因为，，所以，所以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误； 对D：因为，，所以，所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确. 故选：BD 11．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 【答案】BC 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、二项分布的均值 【分析】由已知，确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D. 【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为， 则，则，， 故A错误，B正确； 对于C，由题意一天至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，则常数项为 .（用数字作答） 【答案】240 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】利用二项式系数和求得，进而利用二项式展开式的通项公式可求得常数项. 【详解】因为二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，所以，则， 二项式的通项为：，， 令，得，故常数项是. 故答案为：. 13．一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 【答案】3 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】设口袋中有白球个（），取得白球个数的可能取值为0，1，2，得到对应的概率，从而求出期望，得到方程，求出，得到答案. 【详解】设口袋中有白球个（），由已知可得， 取得白球个数的可能取值为0，1，2， ，，，， ，解得，则口袋中白球的个数为3． 故答案为：3 14．项数为的数列满足，当且仅当时（其中，规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】实际问题中的计数问题、计算古典概型问题的概率、数列新定义 【分析】根据分布乘法求出所有的个数，由0出现的次数讨论数列是“好数列”的个数，利用概率公式计算即可. 【详解】由题意，因为项数为6且， 所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理， 可构成的数列个数为个， 由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等， ①则若中没有0，则数列为，不符合题意， ②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意， ③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义； ④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为， 若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意， 综上，符合题意的“好数列”只有4个， 所以数列是“好数列”的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“好数列”的定义，根据题意能列出符合条件的数列. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作． (1)共有多少种不同的情况； (2)求甲做工作的概率． 【答案】(1)36 (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】（1）由题意可知有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，根据排列与组合的知识求解即可； （2）分甲只做工作和甲做工作及中的任意一项工作，求解即可. 【详解】（1）解：甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作， 故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作， 共有种情况． （2）解：甲做工作的情况有2种： ①甲只做工作，共有种情况； ②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况， 所以甲做工作的情况有种， 故所求概率为． 16．（15分） “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）应用全概率公式计算即可； （2）应用贝叶斯公式计算即可. 【详解】（1）设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； （2）设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 17．（15分） 已知. (1)若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，求的值，并求常数项; (2)若展开式中所有项的系数之和为81，求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)，60； (2). 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和、二项式系数的增减性和最值、求二项展开式的第k项 【分析】（1）分别表示出展开式的第3项和第5项的二项式系数，利用相等关系列出方程解出，通过展开式的通项，求出常数项即可； （2）令，结合已知条件，求出所有项的系数之和为，解出，根据二项式系数的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为展开式的第3项和第5项的二项式系数相等， 所以，即，， 整理得，解得或（舍）， 所以展开式的通项为， 令，得， 故常数项为. （2）令，得所有项的系数之和为，解得. 由于是偶数，所以展开式中共有5项，且第3项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为. 18．（17分） 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）不可信． 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【详解】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 19．（17分） 北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii）证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、写出简单离散型随机变量分布列、构造法求数列通项、利用全概率公式求概率 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，，而， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学下学期期中测试卷01 （范围：人教A版2019选择性必修第三册（第六章+第七章）综合卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0．9 B．0.8 C．0.3 D．0.1 3．编号为，，，，的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求品种不能种在1，2试验田里，品种必须与品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为（    ） A．24 B．30 C．36 D．54 4．在的展开式中，的系数为(    ) A． B． C． D． 5．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0．7，乙获胜的概率为0．3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次．设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知的数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数.例如，则，，若，则的展开式中的系数是（    ） A．210 B．255 C．280 D．360 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的展开式中，下列结论正确的是（   ）. A．展开式共7项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 10．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（   ） A． B． C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 11．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，则常数项为 .（用数字作答） 13．一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 14．项数为的数列满足，当且仅当时（其中，规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作． (1)共有多少种不同的情况； (2)求甲做工作的概率． 16．（15分） “茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 17．（15分） 已知. (1)若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，求的值，并求常数项; (2)若展开式中所有项的系数之和为81，求展开式中二项式系数最大的项. 18．（17分） 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 19．（17分） 北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$