高一数学下学期期中测试卷（测试范围：沪教版2020必修二第6～7章）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

高一数学下学期期中测试卷 （范围：沪教版2020必修第二册第6章+第7章 综合卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．与终边相同的角组成的集合为 ．（用弧度制表示） 【答案】 【知识点】找出终边相同的角、角度化为弧度 【分析】根据角度与弧度的转化关系及终边相同的角的表示规则计算可得. 【详解】因为，又， 所以与的终边相同， 所以与的终边相同， 则与终边相同的角组成的集合为. 故答案为： 2．在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是 . 【答案】方案一 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据题意，由弦长公式以及扇形面积公式，分别求出两种方案对应的弧长和扇形面积，比较大小，即可得出结果. 【详解】是顶角为，腰长为2的等腰三角形， ，易解得 方案一中扇形的弧长，方案二中扇形的弧长， ，故方案一中扇形的弧长更短，切割时间短； 方案一中扇形的面积，方案二中扇形的面积， 故两个方案中扇形的面积相等. 两种方案利用废料面积相等，方案一所需切割时间更短，故选择方案一. 故答案为：方案一. 3．函数的值域为 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据角所在的象限讨论，即可去掉绝对值，得出值域. 【详解】当在第一象限时，， 当在第二象限时，， 当在第三象限时，， 当在第四象限时，， 当在坐标轴上时，函数无意义， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 4．已知函数，则函数在上的单调递增区间为： . 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】化简得，再根据正弦函数性质即可求出其增区间. 【详解】 ， 由，， 可得，，令，则， 又因为，则其在上单调增区间为. 故答案为：. 5．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】先由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在最小值， 所以，解得， 所以实数的最小值是. 故答案为：. 6．在中，角所对的边分别为，且，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边求解即得. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 由正弦定理得. 故答案为： 7．设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 8．在中，，，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先利用正、余弦定理求出，再利用同角三角函数的基本关系可推出各边之间的关系，最后利用余弦定理即可求得答案. 【详解】设的内角的对边分别为，根据以及正弦定理， 得，即． 根据以及正弦定理，得， 所以，． 又，所以，化简得， 所以，于是． 由余弦定理，得． 故答案为： 9．已知函数，.对任意，存在，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式能成立（有解）问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据和的值域以及恒成立、存在性等知识求得的取值范围. 【详解】由，则， 所以. 又的开口向下，对称轴为， 所以在区间上单调递增，， 所以， 由于任意，存在，使得， 所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 10．在中，角对应边为，其中.若，且，则边长为 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得. 【详解】依题意，， 由正弦定理得，即， ， 由于，所以，则， 由正弦定理得，. 故答案为：. 11．函数在一个周期内的图象如图所示，若，且，则 . 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据的图象确定的解析式，然后利用拆角的思想得到，最后利用两角差的余弦公式得到结果． 【详解】由题意可知：的图象经过点，则， 且点在单调递减区间内，则，， 可得， 又因为的图象经过点，则， 且点在单调递增区间内，则，，解得，. 因为的最小正周期，且， 解得，可得， 所以. 因为，则， 可得，则， 可得， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 12．记的内角，，，已知，求的取值范围为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、二倍角的余弦公式 【分析】由题意得，进一步，，由此即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，， ， 又因为，解得，所以， 而单调递减， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是首先得到，，由此即可顺利求解. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案. 【详解】 , 故选：D 14．交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在物理学中的应用 【分析】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以. 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 15．锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简可得，据此再化简所求，利用二次函数的性质得解. 【详解】由，正弦定理得，即， 又，得； 又， 所以； 因为，因此，即，得， 由于为锐角三角形，则， 所以，解得， 又， 因为，所以， 由二次函数性质得，若存在最大值，则，解得. 故选：D 16．设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【知识点】辅助角公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用 【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可. 【详解】由可得， 即，其中， 所以原方程化为，即， 不妨令，因为，所以， 易知时，成立，即满足题意； 又的周期为，且， 所以在区间上还有一个根，如图所示， 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正切函数的诱导公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由已知，根据诱导公式和商数关系得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，结合为第三象限的角，即可得出，即可求解． 【详解】（1） ． （2）∵， ，即， 又，∴，即， 为第三象限的角，， ． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，为第二象限角，求和的值； （2）在中，角的对边分别为、、，已知，，，求的面积和边. 【答案】（1），； （2）, 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】（1）利用同角三角函数之间的关系可得，再利用三角恒等变换代入计算可得结果； （2）根据三角形内角和可得，再根据面积公式以及余弦定理计算可得结果. 【详解】（1）由于，为第二象限角， 可得， 所以可得； 又易知； （2）由且，可得， 所以的面积为； 由余弦定理可得， 可得. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数，其中． (1)求在上的最大值； (2)若函数为奇函数，求θ的值． 【答案】(1)3； (2)或． 【知识点】三角恒等变换的化简问题、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的图象即得； （2）由化简得到的正弦型函数为奇函数，利用，得三角方程，借助于三角函数的图象及给定区间即可求得. 【详解】（1） 因为，所以， 故当时，即时，； （2）， 若函数为奇函数，则为奇函数， 由可得，则， 解得，又，故得或，经验证，满足题设. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数． (1)当时，求函数的单调增区间； (2)当时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式； (3)当时，若实数使得对任意实数恒成立，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】解正弦不等式、三角函数综合、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； （2）解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； （3）当，，时，则， 可得，则， 于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以，； 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为3；当，函数取得最小值为. (1)求出此函数的解析式； (2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【知识点】复合函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、解正弦不等式 【分析】（1）先利用三角函数最值与周期的性质求得，再由求得，从而得解； （2）先根据根号的性质求得的取值范围，再结合的单调性得到关于的不等式，由此得解； （3）先利用三角函数平移的性质求得与，再利用复合函数的单调性确定满足条件时与的取值，从而求得的范围，由此得解. 【详解】（1），， 又在内只取到一个最大值和一个最小值， ，， ，， 则，又，， . （2）假设存在实数，满足题设不等式， 则满足，解得， ，， 同理， 当时，，故在上单调递增， 若有， 只需要，即成立即可， 存在，使成立. （3）由题意得， 函数与函数均为单调增函数，且， 当且仅当与同时取得才有的最大值为, 由，得， 则由，得， ，则， 又，的最小值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用复合函数的单调性，结合三角函数的性质确定满足条件时与的取值，从而得解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学下学期期中测试卷 （范围：沪教版2020必修第二册第6章+第7章 综合卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．与终边相同的角组成的集合为 ．（用弧度制表示） 2．在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是 . 3．函数的值域为 4．已知函数，则函数在上的单调递增区间为： . 5．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 . 6．在中，角所对的边分别为，且，则 ． 7．设，若函数在区间上的最大值为，则 . 8．在中，，，则 ． 9．已知函数，.对任意，存在，，使得，则实数的取值范围是 . 10．在中，角对应边为，其中.若，且，则边长为 . 11．函数在一个周期内的图象如图所示，若，且，则 . 12．记的内角，，，已知，求的取值范围为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．（    ） A． B． C． D． 14．交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 15．锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，为第二象限角，求和的值； （2）在中，角的对边分别为、、，已知，，，求的面积和边. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数，其中． (1)求在上的最大值； (2)若函数为奇函数，求θ的值． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数． (1)当时，求函数的单调增区间； (2)当时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式； (3)当时，若实数使得对任意实数恒成立，求实数的值． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为3；当，函数取得最小值为. (1)求出此函数的解析式； (2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$