高一数学下学期期中测试卷02（测试范围：人教A版2019必修6.1～8.3）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

高一数学下学期期中测试卷02 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 2．已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图的平面图，再求出相关线段长，即可求出平面图的面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 则，，， 所以. 故选：D 3．在梯形中，设，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法的法则 【分析】利用向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以， . 故选：A. 4．若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、复数的除法运算 【分析】由复数运算结合复数相等概念可得，然后结合可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以，解得，.因为，所以， 解得或. 故选：A. 5．已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知模求数量积、求投影向量 【分析】利用数量积的性质得到，然后求投影向量即可. 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. 6．已知四面体的4个面为全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题、棱锥的结构特征和分类 【分析】先将四面体补形为长方体模型，再应用长方体的外接球半径公式计算半径，最后应用球的表面积公式计算即可. 【详解】依题意可知，． 如图，将四面体ABCD放入长方体中，    设长方体的共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，将四面体补形为长方体模型 ， 则解得     四面体ABCD的外接球也就是该长方体的外接球，其半径为， 故所求表面积为， 故选:C． 7．美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（     ）cm. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长，求出弦长后由勾股定理求得 【详解】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长， 所以， 所以， 故选：C. 8．如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】首先在中，根据已知条件求出的长度.然后在中，利用余弦定理建立的关系，最后结合基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，已知，，，即. 所以，同时. 在中，，根据余弦定可得：，即. 由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到. 设，则.解得，即. 当且仅当取得最值. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【知识点】在各象限内点对应复数的特征 【分析】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可. 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 10．如果一个几何体仅有5个面，则这个几何体可能是（    ） A．三棱台 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】ABC 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】根据多面体的概念判断即可． 【详解】因为四棱柱有6个面，所以D项不正确，三棱台，四棱锥和三棱柱都有5个面， 故选：ABC． 11．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，下列结论正确的是（   ） A．一定是钝角三角形 B． C．角的最大值为 D． 【答案】ACD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据已知条件结合余弦定理即可判断A，利用余弦定理结合已知条件得，再利用以及同角三角函数关系化简即可判断B；由余弦定理有结合已知条件得：，利用基本不等式求最值，再根据的范围即可判断C；通过已知条件利用不等式的性质化为，结合正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，由，得，、、均为正数， 由余弦定理有：，又因为， 所以为钝角，且角为最大角，A正确； 对于B，因为， 由正弦定理有：， 所以， 即， 整理有：，因为， 等式两边同除以，得：，所以B错误； 对于C，由余弦定理有：，又因为， 所以， 因为、、均为正数，所以，， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以，因为，所以， 所以角的最大值为，所以C正确； 对于D，，所以， ，所以，， 所以，所以， 由正弦定理可得：，所以D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的乘除运算结合模长公式即可求解. 【详解】, 所以， 故答案为：. 13．如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据直棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设长方体的长宽分别为，则由左图可得水的体积， 设右图中长方体底面被水浸到的矩形的未知边为，显然此时水的形状为三棱柱， 底面为直角边分别为的直角三角形，高为，则水的体积为， 由题意可得，解得，由，解得. 故答案为：. 14．在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、已知向量共线（平行）求参数、用定义求向量的数量积 【分析】过作交于点，可知当与半圆相切时，最大，再利用三角函数求解即可. 【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得， 设，所以， 当与半圆相切时，取得最大值，此时最大， 过作交于点，连接， 当取得最大值时，且， 因为，正方形边长为4，则，， 所以， 所以， 则，所以， 得，所以的最大值为. 所以最大值为. 故答案为：24. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知复数. (1)若复数的实部与虚部之差为0，求m的值； (2)若复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数 【分析】（1）化简得，结合已知可得，求解即可； （2）由题意可得，求解即可. 【详解】（1）， 则，解得； （2）因为复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限， 所以复数在复平面内的对应点在第四象限 于是得， ， 所以实数m的取值范围是. 16．（15分） 如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.    (1)求三棱台的体积； (2)若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度. 【答案】(1)； (2)最小值为，且取最小值时. 【知识点】棱锥的展开图、台体体积的有关计算 【分析】（1）作点在平面内的射影，连接，根据题意可知，是等边三角形的中心，从而求出，利用勾股定理得到，求得结果； （2）将平面与展开到同一平面，可知，在中，利用余弦定理求得，利用求得，在中，由余弦定理得到，即可得出结论. 【详解】（1）作点在平面内的射影，连接.    根据题意可知，是等边三角形的中心，则， ，即四面体的高为. 所以， 所以. （2）如图所示，将平面与展开到同一平面，可知.    在中，， 由余弦定理得，即. 因为，所以 所以， 在中，设， 由余弦定理得，即， 解得或，结合图可知. 综上，的最小值为，且取最小值时. 17．（15分） 如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中.    (1)若，线段与交于点，求的值， (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点坐标，再根据向量数量积坐标表示求得结果；（2）先用表示出坐标，再用坐标表示出向量的模，最后利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则， 因为，所以 即， 因为，所以 从而， 联立方程组解得 因此    （2）因为是线段上一点，，所以， 又因为，所以，因此， 又,即, 由第一问知， 所以 令 因此 当且仅当时取等号， 因此的最小值为. 18．（17分） 在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若. （i）求； （ii）过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）对所给条件切化弦，结合三角形内角和以及正弦定理化简可求出，从而求出角的大小； （2）（i）由三角形内角和可求出，结合正弦定理可求出边；（ii）法一：根据直角三角形角的关系可设，则均可用表示，余弦定理计算，结合二次函数的性质可求出最小值；法二：由，可知四点共圆，从而表示，转化为求最小值，数形结合，当时，最小，在直角三角形中求出最小值即可求出最小；法三：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出点坐标，利用两点距离公式可求出最小值. 【详解】（1）在中，. 由及正弦定理得，， 整理得. 由于，则.又，故. （2）（i）如图1，在中，，且，由正弦定理得，，即，得. （ii）由于，则与互补，故. 方法1：单变量法 设，则， ，则 . 当时，取得最小值为. 方法2：四点共圆 如图1，由，故四点共圆，且为该圆直径. 由正弦定理得，故求的最小值等价于求的最小值.当时，最小，此时 ， 故取得最小值为. 方法3：建系坐标法 以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图2，则，，直线，直线.设，则，直线. 联立方程得，. 当时，取得最小值为. 19.（17分） 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.    (1)如图一所示，在一个半径为的半球体中，挖去一个半径为的球体，求剩余部分的体积. (2)如图二，由抛物线跟线段围成一个几何形，将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体，请运用祖暅原理求该旋转体的体积. (3)将两个底面半径为1，高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起，构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积，等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积，请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、求组合体的体积、求旋转体的体积 【分析】（1）根据球的体积公式计算可得； （2）利用祖暅原理求出图二中阴影部分旋转得到的几何体的体积，而抛物线旋转体是由圆柱减去刚刚的几何体的体积，从而得解； （3）首先证明“牟合方盖”的体积公式，利用公式计算可得. 【详解】（1）依题意该几何体的体积. （2）图1阴影部分是由长方形（长为，宽为）和抛物线围成， 图2阴影部分是由半径为3的半圆和直径为3的圆围成的，    将图1绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分的几何体记为， 将图2以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球的几何体记为， 将两个几何体放在同一水平面上，用与圆柱下底面或与半球大圆距离为的平面截两个几何体，可得截面都为圆环，纵截面图如下，    几何体的截面面积为， 几何体的截面面积为，又两几何体等高， 由祖暅原理可得两几何体的体积相等，结合（1）可知几何体的体积， 而由抛物线跟线段围成一个几何形， 将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体，是由一个圆柱（底面半径为，高为）减去几何体， 所以所求的体积. （3）首先证明“牟合方盖”的体积公式为（为圆柱的底面半径）： “牟合方盖”是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分， 计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图四）． 记正方形的边长为，设，过点作平面平行于平面． 又，由勾股定理有， 故此正方形面积是． 如果将图四的几何体放在棱长为的正方体内（如图五），不难证明图五中与图四等高处阴影部分的面积等于． （如图六）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为，不难发现对于任何高度，此截面面积必为，      由棱锥， 由祖暅原理图五中“牟合方盖”外部的体积等于棱锥 所以图四中几何体体积为， 所以“牟合方盖”的体积为． 又圆柱的底面半径为， 所以两个圆柱公共部分几何体的体积为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学下学期期中测试卷02 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在梯形中，设，若，则（   ） A． B． C． D． 4．若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．已知四面体的4个面为全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（   ） A． B． C． D． 7．美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（     ）cm. A． B． C． D． 8．如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 10．如果一个几何体仅有5个面，则这个几何体可能是（    ） A．三棱台 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 11．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，下列结论正确的是（   ） A．一定是钝角三角形 B． C．角的最大值为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，则 . 13．如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 14．在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知复数. (1)若复数的实部与虚部之差为0，求m的值； (2)若复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围． 16．（15分） 如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.    (1)求三棱台的体积； (2)若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度. 17．（15分） 如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中.    (1)若，线段与交于点，求的值， (2)若，求的最小值. 18．（17分） 在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若. （i）求； （ii）过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 19.（17分） 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.    (1)如图一所示，在一个半径为的半球体中，挖去一个半径为的球体，求剩余部分的体积. (2)如图二，由抛物线跟线段围成一个几何形，将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体，请运用祖暅原理求该旋转体的体积. (3)将两个底面半径为1，高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起，构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积，等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积，请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积. / 学科网（北京）股份有限公司 $$