高一数学下学期期中测试卷01（测试范围：人教A版2019必修6.1～8.3）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

高一数学下学期期中测试卷01 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量线性运算的坐标运算直接求解. 【详解】由题意得，， 所以． 故选：B 3．正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正棱锥及其有关计算 【分析】由题意设出底面边长，列出关于的不等式求解即可. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，正四棱锥的高为，侧棱长度为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 4．在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式 【分析】首先根据正弦定理，将边化为角，再结合二倍角的正弦公式，以及角的关系，即可判断. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 所以，可得或， 所以或，所以的形状为等腰或直角三角形. 故选：D． 5．如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱台的结构特征和分类、正棱锥及其有关计算 【分析】把棱台还原为棱锥，利用大小棱锥的相似比可求出棱台的高. 【详解】 如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6， 如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据三棱锥的棱长均为6，三棱锥的棱长均为12， 可知相似比为，通过相似关系可知，三棱台的高也为； 故选：C. 6．已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算 【分析】对式子两边同时平方，得到，再利用两个向量的数量积代入数值即可求得结果. 【详解】因为，所以， 又因为，， 即，解得， 解得.又因为，故向量与向量的夹角为. 故选：B 7．在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算 【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，球心到平面的距离，再利用球的截面圆性质计算即得. 【详解】令的外接圆圆心为，球心为，则平面，而平面， 于是，又球心在线段的中垂面上，此平面与平面平行，取中点 则，在中，，，则， 的外接圆半径，所以该棱锥的外接球半径. 故选：A    8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可； 【详解】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 【答案】ABD 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法将三角形还原，得其形状和性质. 【详解】因为直观图中，，， 所以原如图，，， 所以，既是等腰三角形也是等边三角形， 面积为. 故选：ABD. 10．已知则（    ） A．z有可能为实数 B．z不可能为纯虚数 C．的最小值为1 D．若z在复平面内所对应的点在第三象限，则 【答案】ABD 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算 【分析】化简得，，结合每个选项的条件逐项计算判断即可. 【详解】由题意知，，其中， 若z为实数，则符合题意，故A正确； 由于z实部为-2，故不可能纯虚数，故B正确； 当时取得最小值，且最小值为2，故C错误； 若z在复平面内所对应的点在第三象限，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 11．已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】AC 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】通过对向量新定义运算的理解，结合向量的数量积公式、三角函数关系以及向量模的计算公式来逐一分析各个选项. 【详解】对于A，由，得，而，因此， 又，则或，所以，A正确； 对于B，，当时，， 当时，，B错误； 对于C，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，C正确； 对于D，由，得，由，得， 两式平方相加得，则， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数是纯虚数，则实数 . 【答案】 【知识点】复数的除法运算、已知复数的类型求参数 【分析】利用复数的除法运算，结合纯虚数的意义求出. 【详解】依题意，， 而复数是纯虚数，则且，解得. 故答案为： 13．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为4m的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】利用圆锥的展开图，连接即为所求. 【详解】轴截面是边长为4米的正，则圆锥底面直径为4，底面半径为2，所以底面周长为，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为4，所以其展开图为一个半径为4的半圆. 由图可知，，，所以. 故答案为：. 14．在中，点是边上的动点（点异于，），且，若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意， 由于三点共线，所以， 而， 由于点是边上的动点（点异于，）， 所以，则，所以为正数， 所以 ，当且仅当时等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据相等条件求参数、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、复数的相等 【分析】（1）利用复数的四则运算化简得复数z； （2）利用复数的四则运算和复数的相等，列方程求实数a，b的值． 【详解】（1）； （2），则有， 解得. 16．（15分） 已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. （2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 17．（15分） 如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． (1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； (2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)作图见解析，4； (2)，． 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算、求组合多面体的表面积、求旋转体的体积 【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积. （2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解. 【详解】（1）在直观图中，，， 则在平面图形中，，，于是， 所以平面四边形的平面图形如下图所示： 由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为． （2）直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， 由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即； 圆锥的高为，母线长为， 所以体积； 所以表面积. 18．（17分） 在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小． (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式可得，由此可得结果. （2）根据面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形的周长. （3）根据，利用两角差的余弦公式及辅助角公式化简，结合的范围即可求出答案. 【详解】（1）∵，∴，即， ∵，∴， ∴，故. （2）由（1）得，， ∵的面积为，∴，即，解得， 由余弦定理得，， ∴，故的周长为. （3）由得，则， ∴ . ∵为锐角三角形，∴，故， ∴，故， ∴，即的取值范围是. 19.（17分） 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标． (1)若，求． (2)若，求在上的投影向量斜坐标． (3)若，，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】（1）由题可得，利用向量共线的条件即得； （2）由题可知，进而可得，，然后利用投影向量为的概念即得； （3）由题可得，然后利用向量夹角公式可得，再结合条件及函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， ∴， ∴，即； （2）∵， ∴， ∴， ， ， ∴在上的投影向量为， 即在上的投影向量斜坐标为； （3）∵， ∴，， ∴， 又，， ∴，，， ∴， 令，则，， 又，在上单调递增， ∴，即的最小值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学下学期期中测试卷01 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 5．如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为（    ）. A． B． C． D． 8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 10．已知则（    ） A．z有可能为实数 B．z不可能为纯虚数 C．的最小值为1 D．若z在复平面内所对应的点在第三象限，则 11．已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数是纯虚数，则实数 . 13．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为4m的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m． 14．在中，点是边上的动点（点异于，），且，若，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值． 16．（15分） 已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17．（15分） 如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． (1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； (2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 18．（17分） 在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小． (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 19.（17分） 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标． (1)若，求． (2)若，求在上的投影向量斜坐标． (3)若，，，求的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$