专题01 相交线与平行线（广西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01 对顶角与邻补角的认识与计算 题型02 垂线的画法及与垂直有关的计算 题型03 垂线段最短及点到直线的距离 题型04 同位角、内错角、同旁内角的认识 题型05 平行线的性质 题型06 平行线的判定 题型07 平行线的性质与判断 题型08 命题的认识与改写 题型09 生活中的平移现象及其计算 题型10 平移的性质 题型11 平移变换与作图 对顶角与邻补角的认识与计算题型01 1．（2024春•青秀区校级期中）下列图中∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•宜州区期中）下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•青秀区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝55°，∠BOE＝40°，则∠DOE的度数为（　　） A．55° B．40° C．20° D．15° 4．（2024春•广西期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOC，若∠EOC＝70°，求∠AOD和∠AOE的度数． 5．（2024春•青秀区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分． （1）∠AOC的对顶角为 　 　 ，∠BOE的邻补角为 　 　 ； （2）若∠AOC＝70°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，求∠DOE的度数． 垂线的画法及与垂直有关的计算题型02 1．（2024春•南宁期中）下列选项中，过点M作直线l的垂线，三角板放置正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•江南区校级期中）如图，直线AB经过点O，若OC⊥OD，∠AOC＝40°，则∠BOD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．90° 3．（2024春•广西期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE＝60°，则∠BOD＝　 　 °． 4．（2024春•兴宁区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，若∠BOC＝3∠DOE．求∠AOD和∠EOF的度数． 5．（2024春•良庆区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数． 垂线段最短及点到直线的距离题型03 1．（2024春•横州市期中）如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•南宁期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　） A．经过两点有且只有一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间的所有连线中线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．（2024春•玉州区期中）小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•博白县期中）如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：　 　 ． 5．（2024春•上思县期中）如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝4m，AC＝6m，则点A到DE的距离可能为（　　） A．6m B．5m C．4m D．3m 同位角、内错角、同旁内角的认识题型04 1．（2024春•邕宁区校级期中）下列图中∠1，∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•柳州期中）如图所示，∠1和∠2是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 3．（2024春•西乡塘区校级期中）如图，以下说法错误的是（　　） A．∠1，∠2是内错角 B．∠2，∠3是同位角 C．∠1，∠3是内错角 D．∠2，∠4是同旁内角 4．（2024春•青秀区校级期中）如图，∠1与∠2是直线a和直线b被直线c所截的 　 　 角． 平行线的性质题型05 1．（2024春•良庆区校级期中）如图，AB∥CD，BC平分∠ACD，∠CAB＝126°，则∠B的度数为（　　） A．30° B．27° C．20° D．17° 2．（2024秋•融水县期中）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠1＝63°，则∠2＝（　　） A．143° B．147° C．153° D．157° 3．（2024春•南丹县期中）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（　　） A．104° B．128° C．138° D．156° 4．（2024春•邕宁区校级期中）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为（　　） A．先右转50°，后右转40° B．先右转50°，后左转40° C．先右转50°，后左转130° D．先右转50°，后左转50° 5．（2024春•江南区校级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，一水平放置的水杯，一束水中平行的光线射向空气时，若∠1＝45°，∠2＝122°，则∠3+∠4的度数是（　　） A．77° B．93° C．103° D．167° 6．（2024春•横州市期中）如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠2＝2∠1，则∠BEF＝ 　 °． 平行线的判定题型06 1．（2024春•防城区期中）如图，下列条件中，能判断直线AD∥BC的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠BAD＝∠BCD D．∠1+∠2＝180° 2．（2024春•博白县期中）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•宜州区期中）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　） ①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2024春•柳江区期中）如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，测得∠ABC＝145°，则∠BCD＝145°，就可以知道AB∥CD，其依据的定理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 平行线的性质与判断题型07 1．（2024春•浦北县期中）完成下面的证明． 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°． 求证：∠GDC＝∠B． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ 　 　 ）． ∴EF∥AD（ 　 　 ）． ∴　 　 +∠2＝180°（ 　 　 ）． 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3（ 　 　 ）． ∴AB∥　 　 （ 　 　 ）． ∴∠GDC＝∠B（ 　 　 ）． 2．（2024春•宜州区期中）完成下列证明： 已知：如图∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B， 求证：∠ACB＝∠4． 证明：∵∠1+∠DFE＝180°（邻补角的定义）， 又∠1+∠2＝180°，（已知）． ∴∠2＝　 　 （同角的补角相等） ∴AB∥　 　 （ 　 　 ）， ∴∠3＝　 　 （ 　 　 ）． ∵∠3＝∠B（已知）， ∴∠B＝　 　 （ 　 　 ）， ∴DE∥BC（ 　 　 ）， ∴∠ACB＝　 　 （ 　 　 ）． 3．（2024春•防城区期中）已知：如图，AE∥GF，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝66°． （1）求证：AB∥CD； （2）求∠C的度数． 4．（2024春•河池期中）如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠B＝78°，∠BDE＝2∠3，求∠DEA的度数． 命题的认识与改写题型08 1．（2024秋•广西期中）下列命题是真命题的是（　　） A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若（a﹣1）2+（b+2）2＝0，则a＝1且b＝﹣2 2．（2024春•江南区校级期中）下列命题中，假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．等角的补角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等 3．（2024秋•灌阳县期中）把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成如果…那么的形式 　 　 ． 4．（2024秋•苍梧县期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式，应为 　 　 ． 生活中的平移现象及其计算题型09 1．（2024春•青秀区校级期中）下列现象是平移的是（　　） A．闹钟的钟摆的运动 B．电梯从底楼上升到顶楼 C．碟片在光驱中运行 D．卫星绕地球运动 2．（2024春•柳州期中）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•青秀区校级期中）如图，这是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB＝am，宽BC＝bm，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），若小路的宽均为1m，则小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中P虚线）长为（　　） A．（a+2b）m B．（a+2b﹣1）m C．（a+2b﹣2）m D．（a+2b﹣4）m 4．（2024春•柳江区期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价140元，主楼梯道宽2.5m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 　 　 元． 5．（2024春•西乡塘区校级期中）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，长为18m，宽为12m．想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 　 　 m2． 平移的性质题型10 1．（2024春•西乡塘区校级期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移1cm得到对应的三角形A′B′C′．若B′C＝2cm，则BC′的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 2．（2024春•柳江区期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移6cm到△DEF的位置，若AB＝12cm，DH＝5cm，则阴影面积等于（　　） A．90cm2 B．57cm2 C．51cm2 D．45cm2 3．（2024春•青秀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是 　 　 cm． 4．（2024春•江南区校级期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，连接AD，若三角形ABC的周长是14cm，则四边形ABFD的周长是 　 　 cm． 5．（2024春•浦北县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，将AB，DC分别平移到EF和EG的位置． （1）求∠FEG的度数； （2）若AD＝4，BC＝10，求FG的长． 平移变换与作图题型11 1．（2024秋•苍梧县期中）已知A（﹣1，﹣1），B（3，2），C（1，4）． （1）画出△ABC向上平移2个单位，向左平移3个位置后的△A′B′C′； （2）写出A、C的对应点A′、C′的坐标． 2．（2024春•容县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上． （1）平移△ABC，使点B与坐标原点O是对应点，请画出平移后的△A1C1O，并写出A、C两点的对应点A1、C1的坐标． （2）求△ABC的面积． 3．（2024春•青秀区校级期中）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立了平面直角坐标系xOy，按要求解答下列问题： （1）写出△ABC顶点A，B的坐标：A 　 　 ，B 　 　 ； （2）画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1； （3）请求出△A1B1C1的面积． 1．（2024春•南宁期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为（　　） A．126° B．136° C．144° D．154° 2．（2024春•横州市期中）如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BC平分∠ABG，下列结论：①BD⊥BC；②AC∥BG；③与∠DBG互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝180°，其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 3．（2024秋•兴宁区校级期中）将矩形纸片ABCD（如图1）按如下步骤操作：（1）沿过点A的直线折叠，使点B的对应点B'；恰好落在AD边上，折痕与边BC交于点E（如图2）；（2）沿过点E的直线折叠纸片，使EC与折痕EA重合，新的折痕交边AD于点F（如图3）．则∠AFE的度数为 　 　 ． 4．（2024春•河池期中）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D． 【学以致用】 （1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝　 　 °． （2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． ②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 5．（2024春•北流市期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作DE∥BC， ∴∠B＝　 　 ，∠C＝　 ． 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180， ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知AB∥ED，试说明∠B，∠BCD，∠D之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝68°，点B在点A的左侧，∠ABC＝52°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数． 6．（2024春•浦北县期中）【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 7．（2024春•南宁期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且i＝r，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明∠1＝∠2； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，EF是射入潜望镜的光线，GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠4＝∠5． （2）请问∠3和∠6有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜AB，CD的位置，并给出建议（合理即可）． 8．（2024春•兴宁区校级期中）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． （1）如图2，已知镜子MN与镜子PQ互相平行，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为40°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线OB正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线OC的夹角∠COM） （3）如图4，直线EF上有A、C两点，分别引两条射线AB、CD，∠BAF＝120°，∠DCF＝30°，射线AB、CD分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，直接写出所有满足条件的时间t． 9．（2024春•青秀区校级期中）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°． （1）∠AEP＝ °； （2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒45°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒20°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当∠MEP＝10°时，求∠EPN的度数； ②当EM∥PN时，求t的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01 对顶角与邻补角的认识与计算 题型02 垂线的画法及与垂直有关的计算 题型03 垂线段最短及点到直线的距离 题型04 同位角、内错角、同旁内角的认识 题型05 平行线的性质 题型06 平行线的判定 题型07 平行线的性质与判断 题型08 命题的认识与改写 题型09 生活中的平移现象及其计算 题型10 平移的性质 题型11 平移变换与作图 对顶角与邻补角的认识与计算题型01 1．（2024春•青秀区校级期中）下列图中∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断． 【解答】解：A、B、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故A、B不符合题意； C、∠1与∠2的两边不互为反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故C不符合题意； D、∠1与∠2是对顶角，故D符合题意． 故选：D． 2．（2024春•宜州区期中）下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案． 【解答】解：根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角． 故选：D． 3．（2024春•青秀区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝55°，∠BOE＝40°，则∠DOE的度数为（　　） A．55° B．40° C．20° D．15° 【分析】根据对顶角的性质得∠BOD＝55°，然后根据∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE求解即可． 【解答】解：∵∠AOC＝55°，∠AOC与∠BOD是对顶角， ∴∠BOD＝∠AOC＝55°． ∵∠BOE＝40°， ∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝55°﹣40°＝15°． 故选：D． 4．（2024春•广西期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOC，若∠EOC＝70°，求∠AOD和∠AOE的度数． 【分析】根据角平分线的定义求出∠EOB＝∠BOC＝35°，再根据对顶角相等和邻补角的定义解答即可． 【解答】解：∵OB平分∠EOC，∠EOC＝70°， ∴∠EOB＝∠COB＝35°， ∴∠AOD＝∠BOC＝35°，∠AOE＝180°﹣35°＝145°． 5．（2024春•青秀区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分． （1）∠AOC的对顶角为 　∠BOD　 ，∠BOE的邻补角为 　∠AOE　 ； （2）若∠AOC＝70°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，求∠DOE的度数． 【分析】（1）根据对顶角，邻补角的定义求解即可； （2）根据对顶角相等，邻补角互补求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：∠AOC的对顶角为∠BOD；∠BOE的邻补角为∠AOE， 故答案为：∠BOD，∠AOE； （2）设∠BOE＝2x， ∵∠BOE：∠EOD＝2：3， ∴∠EOD＝3x， ∵∠AOC＝70°， ∴∠BOD＝∠EOD+BOE＝∠AOC＝70°， ∴2x+3x＝70°， ∴x＝14°， ∴∠DOE＝3x＝42°． 垂线的画法及与垂直有关的计算题型02 1．（2024春•南宁期中）下列选项中，过点M作直线l的垂线，三角板放置正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据画垂线的方法进行判断即可． 【解答】解：∵三角板有一个角是直角， ∴三角板的一条直角边与直线l重合， ∵过点M作直线l的垂线， ∴三角板的另一条直角边过点M， ∴符合上述条件的图形只有选项B． 故选：B． 2．（2024春•江南区校级期中）如图，直线AB经过点O，若OC⊥OD，∠AOC＝40°，则∠BOD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．90° 【分析】根据垂直定义得∠COD＝90°，则∠AOD＝∠AOC+∠COD＝130°，再根据邻补角定义的∠AOD+∠BOD＝180°，由此可得∠BOD的度数． 【解答】解：∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∵∠AOC＝40°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝130°， ∵直线AB经过点O， ∴∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝180°+∠AOD＝180°﹣130°＝50°， 故选：B． 3．（2024春•广西期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE＝60°，则∠BOD＝　150　 °． 【分析】首先根据直角定义可得∠COE＝90°，再根据角的和差关系可得∠AOC＝∠COE+∠AOE＝90°+60°＝150°，根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝150°． 【解答】解：∵∠COE为直角， ∴∠COE＝90°， ∵∠AOE＝60°， ∴∠AOC＝∠COE+∠AOE＝90°+60°＝150°， ∴∠BOD＝∠AOC＝150°． 故答案为：150． 4．（2024春•兴宁区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，若∠BOC＝3∠DOE．求∠AOD和∠EOF的度数． 【分析】由角平分线的定义可得出，设∠DOE＝∠BOE＝α，∠BOD＝2α，由已知条件可得出∠BOC＝3α，由平角的定义可得出∠BOC+∠BOD＝180°，即可求出α＝36°，再根据平角得定义即可得出∠AOD，由垂线的定义可得出∠COF＝90°，利用角的和差关系可得出∠FOB，进一步即可求出∠EOF． 【解答】解：∵OE平分∠BOD， ∴， 设∠DOE＝∠BOE＝α，∠BOD＝2α， ∵∠BOC＝3∠DOE， ∴∠BOC＝3α， ∵∠BOC+∠BOD＝180°，即3α+2α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠BOD＝2α＝72°，∠BOC＝3α＝108° ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝108°， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∵∠BOC＝∠COF+∠FOB ∴∠FOB＝108°＝90°＝18°， ∴∠EOF＝∠FOB+∠BOE＝18°+36°＝54°． 5．（2024春•良庆区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数． 【分析】（1）根据垂直定义可得，∠AOC+∠1＝90°，结合已知∠1＝∠2可得∠CON＝90°，再根据∠CON与∠NOD互补，即可解答； （2）根据∠AOM＝90°，可得∠AOC＝90°﹣∠1，再根据∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝4∠1，从而求出∠1的度数，即可求出∠AOC和∠MOD的度数． 【解答】（1）证明：∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠AOC+∠1＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°， ∴∠NOD＝180°﹣∠NOC＝90°． ∴∠NOD的度数为90°； ∴ON⊥CD （2）解：∵OM⊥AB， ∴∠BOM＝90°， ∵∠BOC＝4∠1， ∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1， 解得∠1＝30°， ∴∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°． 垂线段最短及点到直线的距离题型03 1．（2024春•横州市期中）如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（　　） A． B． C． D． 【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：D． 2．（2024春•南宁期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　） A．经过两点有且只有一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间的所有连线中线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据垂线段最短即可得出答案． 【解答】解：∵PN⊥QM， ∴要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是垂线段最短． 故选：B． 3．（2024春•玉州区期中）小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（　　） A． B． C． D． 【分析】由于C点到踏板最近，则C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩． 【解答】解：跳远成绩应该为身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值．由于C点到踏板最近，所以C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩． 故选：C． 4．（2024春•博白县期中）如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：　垂线段最短　 ． 【分析】根据垂线段的性质，可得答案． 【解答】解：要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 5．（2024春•上思县期中）如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝4m，AC＝6m，则点A到DE的距离可能为（　　） A．6m B．5m C．4m D．3m 【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短即可得到结论． 【解答】解：根据垂线段最短得，点A到DE的距离＜AB， 故选：D． 同位角、内错角、同旁内角的认识题型04 1．（2024春•邕宁区校级期中）下列图中∠1，∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题． 【解答】解：A．由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意． B．由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意． C．由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意． D．由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意． 故选：D． 2．（2024春•柳州期中）如图所示，∠1和∠2是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【分析】根据同旁内角的定义和图形，可以判断∠1和∠2的关系，本题得以解决． 【解答】解：由图可知， ∠1和∠2是同旁内角， 故选：C． 3．（2024春•西乡塘区校级期中）如图，以下说法错误的是（　　） A．∠1，∠2是内错角 B．∠2，∠3是同位角 C．∠1，∠3是内错角 D．∠2，∠4是同旁内角 【分析】本题要根据内错角、同位角以及同旁内角的定义来判断． 【解答】解：A、内错角是在截线的两侧，并且在两条被截线之间，图中∠1与∠2是在截线的两侧，但不在两条被截线之间，所以不是内错角，错误； B、图中∠2与∠3是在截线的同侧，在两条被截线同方向上，是同位角，正确； C、图中∠1与∠3是在截线的两侧，在两条被截线之间，是内错角，正确； D、图中∠2与∠4是在截线的同侧，在两条被截线之间，是同旁内角．故选A． 4．（2024春•青秀区校级期中）如图，∠1与∠2是直线a和直线b被直线c所截的 　内错　 角． 【分析】根据内错角的特征：“Z”型，即可解答． 【解答】解：∠1与∠2是直线a和直线b被直线c所截的内错角， 故答案为：内错． 平行线的性质题型05 1．（2024春•良庆区校级期中）如图，AB∥CD，BC平分∠ACD，∠CAB＝126°，则∠B的度数为（　　） A．30° B．27° C．20° D．17° 【分析】根据平行线的性质得∠CAB+∠ACD＝180°，∠B＝∠BCD，求出∠ACD，利用角平分线的定义求出∠BCD，即可得出答案． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠CAB+∠ACD＝180°，∠B＝∠BCD， ∵∠CAB＝126°， ∴∠ACD＝180°﹣126°＝54°， ∵BC平分∠ACD， ∴∠BCD∠ACD54°＝27°， ∴∠B＝∠BCD＝27°． 故选：B． 2．（2024秋•融水县期中）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠1＝63°，则∠2＝（　　） A．143° B．147° C．153° D．157° 【分析】根据平行线的性质结合对顶角得∠4＝∠3＝63°，再根据三角形外角定理即可求解． 【解答】解：如图，两条平行线记为a，b， ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝63°， ∴∠4＝∠3＝63°， ∴∠2＝90°+∠4＝153°， 故选：C． 3．（2024春•南丹县期中）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（　　） A．104° B．128° C．138° D．156° 【分析】先根据平行线性质求出∠A，再根据邻补角的定义求出∠4，最后根据三角形外角性质得出∠3＝∠4+∠A． 【解答】解：如图： ∵AB∥CD，∠1＝24°， ∴∠A＝∠1＝24°， ∵∠2＝76°，∠2+∠4＝180°， ∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣76°＝104°， ∴∠3＝∠4+∠A＝104°+24°＝128°． 故选：B． 4．（2024春•邕宁区校级期中）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为（　　） A．先右转50°，后右转40° B．先右转50°，后左转40° C．先右转50°，后左转130° D．先右转50°，后左转50° 【分析】利用平行的性质来选择． 【解答】解：两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶， 即转弯前与转弯后的道路是平行的，因而右转的角与左转的角应相等， 理由是两直线平行，同位角相等． 故选：D． 5．（2024春•江南区校级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，一水平放置的水杯，一束水中平行的光线射向空气时，若∠1＝45°，∠2＝122°，则∠3+∠4的度数是（　　） A．77° B．93° C．103° D．167° 【分析】根据平行可得∠1＝∠3＝45°，∠2+∠5＝180°，∠5＝∠4最后代入∠3+∠4计算即可． 【解答】解：如下图， ∵平行光线， ∴∠1＝∠3＝45°，∠2+∠5＝180°，∠5＝∠4， ∴∠5＝180°﹣∠2＝58°， ∴∠4＝58°， ∴∠3+∠4＝45°+58°＝103°， 故选：C． 6．（2024春•横州市期中）如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠2＝2∠1，则∠BEF＝　108　 °． 【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD，得到∠2＝∠AEF，再根据翻折的性质可得∠AEF＝∠FEA′，由平角的性质可得∠AEF+∠FEA′+∠2＝180°，即可得出答案． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠AEF， 又∵∠AEF＝∠FEA′，∠2＝2∠1， ∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠1 又∵∠AEF+∠FEA′+∠1＝180°， ∴2∠1+2∠1+∠1＝180°， ∴∠1＝36°， ∴∠BEF＝∠FEA′+∠1＝2∠1+∠1＝3∠1＝108°． 故答案为：108． 平行线的判定题型06 1．（2024春•防城区期中）如图，下列条件中，能判断直线AD∥BC的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠BAD＝∠BCD D．∠1+∠2＝180° 【分析】根据平行线的判定定理，逐个进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠2＝∠3， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），符合题意； B、∵∠1＝∠4， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），不能判定AD∥BC，不符合题意； C、∠BAD＝∠BCD，不能判定AD∥BC，不符合题意； D、∠1+∠2＝180°，不能判定AD∥BC，不符合题意， 故选：A． 2．（2024春•博白县期中）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可． 【解答】解：A、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意； B、∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，不符合题意； C、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意； D、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，符合题意， 故选：D． 3．（2024春•宜州区期中）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　） ①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题． 【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD，故①符合题意； ②∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC，故②不符合题意； ③∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD，故③符合题意； ④∵∠B＝∠5， ∴AB∥CD，故④符合题意； ∴有①③④3个符合． 故选：D． 4．（2024春•柳江区期中）如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，测得∠ABC＝145°，则∠BCD＝145°，就可以知道AB∥CD，其依据的定理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 【分析】根据“内错角相等，两直线平行”即可得解． 【解答】解：∵∠ABC＝145°，则∠BCD＝145°， ∴∠ABC＝∠BCD， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故选：C． 平行线的性质与判断题型07 1．（2024春•浦北县期中）完成下面的证明． 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°． 求证：∠GDC＝∠B． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ 　垂直的定义　 ）． ∴EF∥AD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴　∠1　 +∠2＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3（ 　同角的补角相等　 ）． ∴AB∥　DG　 （ 　内错角相等，两直线平行　 ）． ∴∠GDC＝∠B（ 　两直线平行，同位角相等　 ）． 【分析】根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可． 【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义）， ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3（同角的补角相等）， ∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）， ∴∠GDC＝∠B．（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：①垂直的定义；②同位角相等，两直线平行；③∠1；④两直线平行，同旁内角互补；⑤同角的补角相等；⑥DG；⑦内错角相等，两直线平行；⑧两直线平行，同位角相等． 2．（2024春•宜州区期中）完成下列证明： 已知：如图∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B， 求证：∠ACB＝∠4． 证明：∵∠1+∠DFE＝180°（邻补角的定义）， 又∠1+∠2＝180°，（已知）． ∴∠2＝　∠DFE　 （同角的补角相等） ∴AB∥　EF　 （ 　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠3＝　∠ADE　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵∠3＝∠B（已知）， ∴∠B＝　∠ADE　 （ 　等量代换　 ）， ∴DE∥BC（ 　两直线平行，同位角相等　 ）， ∴∠ACB＝　∠4　 （ 　两直线平行，同位角相等　 ）． 【分析】利用同角的补角相等得到∠2＝∠DFE，依据内错角相等，两直线平行得到AB∥EF，再利用平行线的性质得到∠ADE＝∠3，利用已知条件的和等量代换得到∠ADE＝∠B，依据同位角相等，两直线平行得到DE∥BC，最后利用两直线平行，同位角相等即可得出结论． 【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°（邻补角的定义）， 又∠1+∠2＝180°，（已知）． ∴∠2＝∠DFE（同角的补角相等） ∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）． ∵∠3＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠ADE（等量代换）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠ACB＝∠4（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：∠DFE；EF；内错角相等，两直线平行；∠ADE；两直线平行，内错角相等；∠ADE；等量代换；两直线平行，同位角相等；∠4；两直线平行，同位角相等． 3．（2024春•防城区期中）已知：如图，AE∥GF，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝66°． （1）求证：AB∥CD； （2）求∠C的度数． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证得结论； （2）根据平行线的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AE∥FG， ∴∠2＝∠A， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠A， ∴AB∥CD； （2）解：由（1）得AB∥CD， ∴∠ABD+∠D＝180°， 又∵∠ABD＝∠3+∠CBD， ∴∠3+∠CBD+∠D＝180°， 又∵∠CBD＝66°，∠D＝∠3+60°， ∴∠3+66°+∠3+60°＝180°， ∴∠3＝27°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠3＝27°． 4．（2024春•河池期中）如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠B＝78°，∠BDE＝2∠3，求∠DEA的度数． 【分析】（1）由∠1+∠2＝180°得到DE∥AC，即可得到∠A＝∠DEB，再根据等量代换得到∠3＝∠DEB即可证明； （2）由平行的性质得到∠BDC+∠B＝180°，求出∠3＝34°即可求出答案． 【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝180°， ∴DE∥AC， ∴∠A＝∠DEB， ∵∠A＝∠3， ∴∠3＝∠DEB， ∴AB∥CD； （2）∵AB∥CD， ∴∠BDC+∠B＝180°， ∵∠B＝78°，∠BDE＝2∠3， ∴2∠3+∠3+78°＝180°， ∴∠3＝34°， ∵AB∥CD， ∴∠3+∠DEA＝180°， ∴∠DEA＝146°． 命题的认识与改写题型08 1．（2024秋•广西期中）下列命题是真命题的是（　　） A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若（a﹣1）2+（b+2）2＝0，则a＝1且b＝﹣2 【分析】根据两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质逐一判断即可． 【解答】解：A、两点之间线段最短，两点之间直线最短是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，相等的角是对顶角是假命题，不符合题意； C、若|a|＝|b|，则a＝±b，若|a|＝|b|，则a＝b是假命题，不符合题意； D、若（a﹣1）2+（b+2）2＝0，则a＝1且b＝﹣2，原选项是真命题，符合题意； 故选：D． 2．（2024春•江南区校级期中）下列命题中，假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．等角的补角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等 【分析】根据两直线的位置关系，平行线的性质，补角的定义，逐一判断即可． 【解答】解：A、两直线平行，同旁内角才互补，是真命题； B、等角的补角相等，是真命题； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题； D、两直线平行，内错角相等，故是假命题． 故选：D． 3．（2024秋•灌阳县期中）把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改成如果…那么的形式 　如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行　 ． 【分析】每一个命题都一定能用“如果…那么…”的形式来叙述．“如果”后面的内容是“题设”，“那么”后面的内容是“结论”． 【解答】解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线平行， 改写成如果…那么…的形式为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 4．（2024秋•苍梧县期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式，应为 　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．　 ． 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【解答】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 生活中的平移现象及其计算题型09 1．（2024春•青秀区校级期中）下列现象是平移的是（　　） A．闹钟的钟摆的运动 B．电梯从底楼上升到顶楼 C．碟片在光驱中运行 D．卫星绕地球运动 【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，根据平移的定义分析即可． 【解答】解：A、闹钟的钟摆的运动为旋转现象，故该选项不符合题意； B、电梯从底楼上升到顶楼为平移现象，故该选项符合题意； C、碟片在光驱中运行为旋转现象，故该选项不符合题意； D、卫星绕地球运动为旋转现象，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024春•柳州期中）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图形平移与翻折变换的性质解答即可． 【解答】解：由图可知，ABC利用图形的翻折变换得到，D利用图形的平移得到． 故选：D． 3．（2024春•青秀区校级期中）如图，这是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB＝am，宽BC＝bm，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），若小路的宽均为1m，则小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中P虚线）长为（　　） A．（a+2b）m B．（a+2b﹣1）m C．（a+2b﹣2）m D．（a+2b﹣4）m 【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于2（BC﹣1），求出即可． 【解答】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于2（BC﹣1）， ∵AB＝am，BC＝bm， ∴小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中P虚线）长为a+2（b﹣1）＝（a+2b﹣2）m． 故选：C． 4．（2024春•柳江区期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价140元，主楼梯道宽2.5m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 　2800　 元． 【分析】利用平移的性质求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长，然后求出面积进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得： 2.7+5.3＝8（m）， 8×2.5×140＝2800（元），购买地毯至少需要2800元， 故答案为：2800． 5．（2024春•西乡塘区校级期中）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，长为18m，宽为12m．想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 　160　 m2． 【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是一个长为（18﹣2）米，宽为（12﹣2）米的长方形，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： （18﹣2）×（12﹣2） ＝16×10 ＝160（平方米）， ∴绿化的面积为160平方米， 故答案为：160． 平移的性质题型10 1．（2024春•西乡塘区校级期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移1cm得到对应的三角形A′B′C′．若B′C＝2cm，则BC′的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】根据平移的性质可得BB′＝CC′＝1cm，列式计算即可得解． 【解答】解：∵将三角形ABC沿BC方向平移1cm得到对应的三角形A′B′C′， ∴BB′＝CC′＝1cm， ∵B′C＝2cm， ∴BC′＝BB′+B′C+CC′＝1+2+1＝4（cm）． 故选：C． 2．（2024春•柳江区期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移6cm到△DEF的位置，若AB＝12cm，DH＝5cm，则阴影面积等于（　　） A．90cm2 B．57cm2 C．51cm2 D．45cm2 【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝6，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：∵两个三角形大小一样， ∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积， 由平移的性质得，DE＝AB，BE＝6， ∵AB＝12，DH＝5， ∴HE＝DE﹣DH＝12﹣5＝7， ∴阴影部分的面积（7+12）×6＝57， 故选：B． 3．（2024春•青秀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是 　13　 cm． 【分析】直接利用平移的性质得出EF＝DC＝4cm，进而得出BE＝EF＝4cm，进而求出答案． 【解答】解：∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF， ∴EF＝DC＝4cm，FC＝7cm，CD∥EF， ∴∠C＝∠EFB， ∵AB＝AC，BC＝12cm， ∴∠B＝∠C，BF＝12﹣7＝5cm， ∴∠B＝∠EFB， ∴BE＝EF＝4cm， ∴△EBF的周长为：4+4+5＝13（cm）． 故答案为：13． 4．（2024春•江南区校级期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，连接AD，若三角形ABC的周长是14cm，则四边形ABFD的周长是 　20　 cm． 【分析】根据平移的性质可得DF＝AC，AD＝CF＝3cm，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD，CF的和，再代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF， ∴AD＝CF＝3cm， ∵三角形ABC的周长为14cm， ∴AB+BC+AC＝AB+BC+DF＝14cm， ∴四边形ABFD的周长为：14+3+3＝20cm． 故答案为：20． 5．（2024春•浦北县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，将AB，DC分别平移到EF和EG的位置． （1）求∠FEG的度数； （2）若AD＝4，BC＝10，求FG的长． 【分析】（1）首先根据平移的性质得到AB∥EF，DC∥EG，然后求出∠EFG＝∠B，∠EGF＝∠C，然后根据余角的性质求解即可； （2）首先根据平移的性质得到BF＝AE，CG＝DE，求出BF+CG＝4，进而利用线段的和差求解即可． 【解答】解：（1）∵AB，DC分别平移到EF和EG的位置， ∴AB∥EF，DC∥EG． ∴∠EFG＝∠B，∠EGF＝∠C． ∵∠B与∠C互余， ∴∠B+∠C＝90°． ∴∠EFG+∠EGF＝90°． ∵∠FEG+∠EFG+∠EGF＝180°， ∴∠FEG＝90°． （2）∵AB，DC分别平移到EF和EG的位置， ∴BF＝AE，CG＝DE． ∵AD＝AE+DE＝4， ∴BF+CG＝4． ∵BC＝BF+FG+CG＝10， ∴FG＝10﹣4＝6． 平移变换与作图题型11 1．（2024秋•苍梧县期中）已知A（﹣1，﹣1），B（3，2），C（1，4）． （1）画出△ABC向上平移2个单位，向左平移3个位置后的△A′B′C′； （2）写出A、C的对应点A′、C′的坐标． 【分析】（1）将△ABC的三个顶点分别向上平移2个单位，向左平移3个位置得到对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据所作图形即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）由作图可得：A、C的对应点A′、C′的坐标分别为A′（﹣4，1），C′（﹣2，6）； 2．（2024春•容县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上． （1）平移△ABC，使点B与坐标原点O是对应点，请画出平移后的△A1C1O，并写出A、C两点的对应点A1、C1的坐标． （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点A1，C1即可．再根据点的位置确定坐标即可； （2）利用分割法把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1C1O即为所求A1（﹣2，﹣4）C1（﹣3，﹣1） （2）． 3．（2024春•青秀区校级期中）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立了平面直角坐标系xOy，按要求解答下列问题： （1）写出△ABC顶点A，B的坐标：A 　（﹣2，4）　 ，B 　（﹣4，2）　 ； （2）画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1； （3）请求出△A1B1C1的面积． 【分析】（1）根据点的位置，写出坐标即可； （2）利用平移规则，画出△A1B1C1即可； （3）分割法求出△A1B1C1的面积即可． 【解答】解：（1）由图可知：A（﹣2，4），B（﹣4，2）； 故答案为：（﹣2，4），（﹣4，2）； （2）如图：△A1B1C1即为所求； （3） 由图可知：． 1．（2024春•南宁期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为（　　） A．126° B．136° C．144° D．154° 【分析】过点C作CF∥DE，利用平行线的性质可得∠DCF＝54°，再根据垂直定义可得∠B＝90°，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行可得CF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BCF＝90°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CF∥DE， ∴∠DCF＝180°﹣∠EDC＝54°， ∵BC⊥AB， ∴∠B＝90°， ∵ED∥AB， ∴CF∥AB， ∴∠BCF＝180°﹣∠B＝90°， ∴∠DCB＝∠DCF+∠BCF＝144°， 故选：C． 2．（2024春•横州市期中）如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BC平分∠ABG，下列结论：①BD⊥BC；②AC∥BG；③与∠DBG互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝180°，其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 【分析】根据角平分线的定义可得∠GBC∠ABG，∠DBG∠BGE，再结合平角的定义即可判断①；根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCG，求出∠ACB＝∠GBC，根据平行线的判定即可判断②；根据余角的定义即可判断③；根据平行线的性质得出∠EBG＝∠A＝α，求出∠EBD∠EBGα，根据平行线的性质得出∠EBD+∠BDF＝180°，即可判断④． 【解答】解：∵∠GBE的平分线交CF于点D，且BC平分∠ABG， ∴∠GBC∠ABG，∠DBG∠GBE， ∴∠GBC+∠DBG（∠ABG+∠GBE）， ∵∠ABG+∠GBE＝180°， ∴∠GBC+∠DBG＝90°， 即BD⊥BC，故①正确； ∵AE∥CF， ∴∠ABC＝∠BCG， ∵CB平分∠ACG， ∴∠ACB＝∠BCG， ∵∠ABC＝∠GBC， ∴∠ACB＝∠GBC， ∴AC∥BG，故②正确； 与∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4个，故③错误； ∵AC∥BG，∠A＝α， ∴∠EBG＝∠A＝α， ∵∠EBD＝∠DBG， ∴∠EBD∠EBGα， ∵AB∥CF， ∴∠EBD+∠BDF＝180°， ∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°，故④正确； 故选：D． 3．（2024秋•兴宁区校级期中）将矩形纸片ABCD（如图1）按如下步骤操作：（1）沿过点A的直线折叠，使点B的对应点B'；恰好落在AD边上，折痕与边BC交于点E（如图2）；（2）沿过点E的直线折叠纸片，使EC与折痕EA重合，新的折痕交边AD于点F（如图3）．则∠AFE的度数为 　67.5°　 ． 【分析】由折叠的性质得：第一次折叠后，图2中∠EAB'∠BAD＝45°，∠AB'E＝∠ABC＝90°，进而得∠AEC＝∠135°，第二次折叠后，图3中∠AEF∠AEC＝67.5°，再利用三角形的内角和定理可求出∠AFE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°， 由折叠的性质得：第一次折叠后，图2中∠EAB'∠BAD＝45°，∠AB'E＝∠ABC＝90°， ∴∠AEB'＝45°，∠AEC＝∠135°， 第二次折叠后，图3中∠AEF∠AEC＝67.5°， ∴∠AFE＝180°﹣∠EAB'﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°． 故答案为：67.5°． 4．（2024春•河池期中）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D． 【学以致用】 （1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝　65　 °． （2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． ②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 【分析】（1）因为∠BED＝∠B+∠D，所以当当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝65°； （2）①如图所示过点E作EF//AB，利用平行线的定理和推论可知∠AEC＝∠AEF+∠CEF，最后计算出∠AEC的度数； ②已知AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，所以可以推导出∠BAF和∠DCF的度数，利用（1）的结论可知∠AFC的度数． 【解答】解：（1）∵∠BED＝∠B+∠D， 又∵∠B＝30°，∠D＝35°， ∴∠BED＝65°， 故答案为：65°； （2）①过点E作EF//AB，如图： ∵EF//AB，AB//CD， ∴EF//AB//CD， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°， 又∵∠A＝135°，∠C＝130°， ∴∠AEF＝180°﹣135°＝45°，∠CEF＝180°﹣130°＝50°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝45°+50°＝95°， 答：∠AEC的度为95°； ②∵∠BAE＝135°，AF平分∠BAE， ∴， ∵∠DCE＝130°，CF平分∠DCE， ∴∠DCF＝65°， 由（1）问可知：∠AFC＝∠BAF+∠FCD＝67.5°+65°＝132.5°， 答：∠AFC的度数为：132.5°． 5．（2024春•北流市期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作DE∥BC， ∴∠B＝　∠EAB　 ，∠C＝　∠DAC　 ． 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180， ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知AB∥ED，试说明∠B，∠BCD，∠D之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝68°，点B在点A的左侧，∠ABC＝52°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D＝∠DCF，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论； （3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数． 【解答】解：（1）过点A作DE∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB，∠DAC； （2）如图，过点C作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥ED∥CF， ∴∠B＝∠BCF，∠D＝∠DCF， ∴∠B+∠BCD+∠D＝∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°， 即∠B+∠BCD+∠D＝360°； （3）如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝52°，∠ADC＝68°， ∴，， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝26°+34°＝60°． 6．（2024春•浦北县期中）【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 【分析】（1）根据平行线的判定得AB∥EF，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行； （2）根据平行线的判定和性质得∠FEA的度数，再运用角平分线定义计算求得∠GEC的度数，进一步求得∠FEC的度数，最后根据平行线的判定得EF∥CD，即可得出结论； （3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系． 【解答】（1）解：EF∥CD，理由如下： ∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠AEF＝∠MAE， ∵∠MAE＝45°，∠FEG＝15° ∴∠AEG＝60°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝60°， ∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°， ∴∠NCE＝∠CEF， ∴EF∥CD． （2）解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°， ∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°， ∴∠AEG＝70°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝70°， ∴∠FEC＝100°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠NCE+∠FEC＝180°， ∴∠NCE＝80°． （3）证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠MAE+∠FEA＝180°， ∴∠FEA＝180°﹣∠MAE， ∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG， ∵EG平分∠AEC， ∴∠GEC＝∠AEG， ∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG， ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴EF∥CD， ∴∠FEC+∠NCE＝180°， ∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°， ∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE， 即∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 7．（2024春•南宁期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且i＝r，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明∠1＝∠2； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，EF是射入潜望镜的光线，GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠4＝∠5． （2）请问∠3和∠6有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜AB，CD的位置，并给出建议（合理即可）． 【分析】（1）由垂直的定义得到∠i+∠1＝∠r+∠2，而∠i＝∠r，即可证明∠1＝∠2； （2）由平行线的性质推出∠2＝∠5，由光的反射定律得到∠1＝∠2＝∠4＝∠5，由平角定义得到∠3＝∠6； （3）使AB∥CD，让平面镜与光线的夹角是45°． 【解答】（1）证明：∵ON⊥PQ， ∴∠PON＝∠POQ＝90°， ∴∠i+∠1＝∠r+∠2， ∵∠i＝∠r， ∴∠1＝∠2； （2）解：∠3＝∠6，理由如下： 由（1）知∠1＝∠2，∠4＝∠5， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠5， ∴∠1＝∠2＝∠4＝∠5， ∵∠3＝180°﹣（∠1+∠2），6＝180°﹣（∠4+∠5）， ∴∠3＝∠6； （3）解：调整平镜AB，CD的位置，使AB∥CD，让平面镜与光线的夹角是45°． 8．（2024春•兴宁区校级期中）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． （1）如图2，已知镜子MN与镜子PQ互相平行，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为40°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线OB正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线OC的夹角∠COM） （3）如图4，直线EF上有A、C两点，分别引两条射线AB、CD，∠BAF＝120°，∠DCF＝30°，射线AB、CD分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，直接写出所有满足条件的时间t． 【分析】（1）先根据题意得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再由平行线的性质得到∠2＝∠3，∠CBP＝∠BCN，据此求出∠ABC＝∠BCD，即可证明AB∥CD； （2）先计算∠AOB，进一步得∠AOM+∠BON的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等即可求解； （3）分当0＜t≤37.5时，当37.5＜t≤82.5时，当82.5＜t≤90时，三种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下： 由题意得，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵镜子MN与镜子PQ互相平行， ∴∠2＝∠3，∠CBP＝∠BCN， ∴∠1＝∠4， ∴∠ABC＝∠BCD， ∴AB∥CD； （2）∵∠AOC＝40°，∠BOC＝90°， ∴∠AOM+∠BON＝50°， ∴∠AOM＝∠BON＝25°， ∴∠COM＝25°+40°＝65°， ∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为65°时，可使反射光线OB正好垂直照射到井底； （3）当0＜t≤37.5时， ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠ACD， ∴120﹣t＝180﹣4t﹣30， 解得t＝10； 当37.5＜t≤82.5时， ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠DCF， ∴120﹣t＝360﹣4t﹣30， 解得t＝70； 当82.5＜t≤90时，不存在AB∥CD； 综上所述，存在t的值为10秒或70秒使得AB∥CD． 9．（2024春•青秀区校级期中）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°． （1）∠AEP＝　30　 °； （2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒45°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒20°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当∠MEP＝10°时，求∠EPN的度数； ②当EM∥PN时，求t的值． 【分析】（1）通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得到∠PGE＝90°，再根据外角的性质可计算得到结果； （2）①当∠MEP＝15°时，分两种情况，Ⅰ当ME在AE和EP之间，Ⅱ当ME在EP和EB之间，由∠MEP＝15°，计算出EM的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知∠FPE＝120°可计算出∠EPN的度数； ②根据题意可知，当EM∥PN时，分三种情况， Ⅰ射线PN由PF逆时针转动，EM∥PN，根据题意可知∠AEM＝20t°，∠FPN＝30t°，再平行线的性质可得∠AEM＝∠AHP，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论； Ⅱ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝15t°，ME∥PN，∠GHP＝15t°，可计算射线PN的转动度数180°+90°﹣20t°，再根据PN转动可列等量关系，即可求出答案； Ⅲ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝15t°，∠GPN＝40（t﹣6）°，根据（1）中结论，∠PEG＝30°，∠PGE＝60，可计算出∠PEM与∠EPN代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论． 【解答】解：（1）过点P作PG∥AB，则∠AEP＝∠EPG， ∵AB∥CD，PF⊥CD， ∴PG∥AB∥CD，∠PFC＝90°， ∴∠GPF＝∠PFC＝90°， ∵∠FPE＝120°， ∴∠AEP＝∠EPG＝30°； 故答案为：30°； （2）①当ME在AE和EP之间时，如图2， ∵∠AEP＝30°，∠MEP＝10°， ∴∠MEA＝20°， ∴射线ME运动的时间 秒， ∴射线PN旋转的角度，∠FPN＝1×45°＝45°， 又∵∠EPF＝120°， ∴∠EPN＝∠EPF﹣∠FPN＝120°﹣45°＝75°； 当ME在EP和EB之间时，如图3所示， …∠AEP＝30°，∠MEP＝10°， ∴∠MEA＝10°+30°＝40°， ∴射线ME运动的时间 ， ∴射线PN旋转的角度∠FPN＝2×45°＝90°， 又∵∠EPF＝120°， ∴∠EPN＝∠EPF﹣∠FPN＝120°﹣90°＝30°， ∴∠EPN的度数为75°或30°； ②当 ，即 时，若EM∥PN，如图，则∠MEP＝∠EPN，即 30﹣20t＝120﹣45t， 解得：，不合题意，舍去； 当 时，若EM∥PN，如图，则∠MEP＝∠EPN，即 20t﹣30＝45t﹣120，解得：， 当 时，若EM∥PN，如图， 则∠MEP＝∠EPN，即45t﹣180+20t﹣30+120＝180，解得：； 当 时，若EM∥PN，如图， 则∠MEP+∠EPN＝180°，即 20t﹣30+45（t﹣4）﹣60＝180， 解得：， 当8＜t≤9时，不存在EM，PN互相平行的情况； 综上，当EM∥PN时Nt的值值 、 或 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$