专题02 实数（广西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题02 实数 题型概览 题型01 求数的平方根 题型02 根据平方根的性质求值 题型03 求数的算术平方根 题型04 算术平方根的非负性 题型05 求一个数的立方根 题型06 平方根、算术平方根及立方根综合 题型07 利用平方根和立方根解方程 题型08 无理数的认识 题型09 实数的性质 题型10 实数与数轴的关系 题型11 实数的大小比较 题型12 无理数的估算 题型13 实数的简单运算 求数的平方根题型01 1．（2024春•蒙阴县期末）9的平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±81 2．（2024春•上思县期中）的平方根是（　　） A．8 B．±8 C．4 D．±2 3．（2024春•田阳区期中）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5 根据平方根的性质求值题型02 1．（2024春•兴宁区期中）一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．9 2．（2024春•良庆区校级期中）已知正数x的两个不同的平方根是2a﹣3和5﹣a，则x的值为 　 　 ． 3．（2024春•青秀区校级期中）一个正数m的两个平方根分别为3﹣a和2a+1，求这个正数m． 4．（2024春•柳江区期中）一个正数x的两个平方根分别是3a﹣14与a﹣2，求a，x的值． 求数的算术平方根题型03 1．（2024春•西乡塘区校级期中）16的算术平方根是（　　） A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4 2．（2024春•扶绥县期中）（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 3．（2024春•岑溪市期中）若一个数的算术平方根等于它的本身，这个数是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．0或1 4．（2024春•上思县期中）化简　 　 ． 5．（2024春•上思县期中）小梅用两张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为900cm2的正方形，如图所示，按要求完成下列各小题． （1）求长方形硬纸片的宽； （2）小梅想用该正方形硬纸片制作一个体积512cm3的正方体的无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用，求缺少的硬纸片的面积． 6．（2024春•青秀区校级期中）某装修公司现有一块面积为64m2的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下方案： 沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料，且长宽比为4：3． （1）求正方形木板的边长； （2）王师傅设计的方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 算术平方根的非负性题型04 1．（2024春•田阳区期中）已知x，y为实数，且3（y﹣2）2＝0，则x﹣y的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 2．（2024春•岑溪市期中）若，则（x+y）2024的值为（　　） A．2024 B．1 C．﹣1 D．﹣2024 3．（2024春•岑溪市期中）若a，b，c为实数，且，则（abc）2024（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 4．（2024春•上思县期中）已知实数x，y满足． （1）求x，y的值； （2）求x﹣2y的平方根． 求一个数的立方根题型05 1．（2024春•苍梧县期中）﹣8的立方根为（　　） A．﹣2 B．±2 C．±4 D．不存在 2．（2024春•南宁期中）若一个数的立方根等于它本身，则这个数是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．0，±1 3．（2024春•河池期中）一个正数a的两个平方根是m+7和2m﹣1，则a﹣m的立方根为 　 　 ． 4．（2024春•青秀区校级期中）已知：，那么x+y的立方根等于 　 　 ． 5．（2024春•防城区期中）若实数a，b满足，则a2024+b2023的立方根为 　 ． 平方根、算术平方根及立方根综合题型06 1．（2024春•玉州区期中）已知4a+4的立方根是2，2a+4b+2的算术平方根是4，则a+b的平方根是 　 　 ． 2．（2024春•扶绥县期中）已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7． （1）求x的值； （2）若b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，求代数式c﹣b的值． 3．（2024春•防城区期中）已知一个正数x的两个平方根分别是a+2和2a﹣8． （1）求x的值； （2）若b为x+9的算术平方根，c为a+25的立方根，求代数式c﹣b的值． 4．（2024春•岑溪市期中）已知某正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3，c是最大的负整数． （1）求的值； （2）若A（a＞0）是a的算术平方根，B是b﹣5的立方根，求A+B的平方根． 利用平方根和立方根解方程题型07 1．（2024春•兴宁区期中）求下列各式中x的值： （1）（x﹣2）2＝4； （2）27x3＝512． 2．（2024春•西乡塘区校级期中）求下面各式中的x： （1）2x2＝50； （2）（x+1）3＝﹣8． 3．（2024春•兴宁区校级期中）求下列各式x的值． （1）x2﹣9＝0； （2）（x+1）3＝﹣27． 无理数的认识题型08 1．（2024春•博白县期中）下列实数是无理数的是（　　） A． B．3.14 C． D． 2．（2024春•宜州区期中）在实数：3.1415926，，1.010010001，4.，π，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•扶绥县期中）有下列实数：3.14，，，0，，，，0.01001001⋯（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），其中无理数的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 实数的性质题型09 1．（2024春•西乡塘区校级期中）的相反数是（　　） A． B．± C．﹣5 D．5 2．（2024春•江南区校级期中）已知一个数的绝对值是，则这个数是（　　） A． B． C．3 D． 3．（2024春•岑溪市期中）|2|＝　 ． 4．（2024春•兴业县期中）1的相反数是　 　 ． 实数与数轴的关系题型10 1．（2024秋•上思县期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　） A．|b|＜|a| B．b＜a C．ab＞0 D．a+b＝0 2．（2024春•苍梧县期中）如图，在数轴上，﹣1和对应的点分别为A、B，点A是线段BC的中点，则点C所对应的实数为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•玉林期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b| 4．（2024春•邕宁区校级期中）直径为2个单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则点A表示的数是（　　） A．2 B． C．π D．2π 实数的大小比较题型11 1．（2024秋•宜州区期中）在实数2，﹣3，0，这四个数中，最小的数是（　　） A．2 B．﹣3 C．0 D． 2．（2024秋•覃塘区期中）下列各组有理数的大小比较中，正确的是（　　） A．﹣（﹣1）＜﹣（+2） B．﹣|﹣3|＞﹣（﹣2） C．﹣π＜﹣3.14 D．﹣（﹣0.3）＜﹣|| 3．（2024春•防城区期中）比较大小： 　 　 （填“＞”或“＜”或“＝”）． 4．（2024春•岑溪市期中）比较大小： 　 　 （填“＞、＜、或＝”）． 无理数的估算题型12 1．（2024春•宜州区期中）估算的值是在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 2．（2024春•宁明县期中）如图．A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（2024春•良庆区校级期中）已知ab，a，b为相邻整数，则a+b的值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（2024春•岑溪市期中）满足x 的整数x有 　 　 ． 实数的简单运算题型13 1．（2024春•苍梧县期中）计算的结果是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024春•富川县校级期中）计算：． 3．（2024春•岑溪市期中）计算：． 4．（2024春•防城区期中）计算：． 5．（2024春•广西期中）计算：． 1．（2024春•河池期中）若3.5﹣x，则x的值不能是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024春•博白县期中）在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值　 　 ． 3．（2024春•田阳区期中）已知正实数x的平方根是m和m+b． （1）当b＝8时，求m； （2）若m2x+（m+b）2x＝4，求x的值． 4．（2024春•富川县校级期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0． 运用上述知识，解决下列问题： （1）如果（a﹣2）b+3＝0，其中a，b为有理数，那么a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）如果a﹣（1）b＝5，其中a，b为有理数，求a+2b的值． 5．（2024春•田阳区期中）阅读理解： ∵，即， ∴， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为． 解决问题： 已知a是的整数部分，b是的小数部分． （1）求a，b的值； （2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：． （3）若c的立方根等于本身的数，且c＜0，d的倒数是2，求a+b﹣2cd的值． 6．（2024春•岑溪市期中）综合与实践 【问题情境】无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确； 于是小刚用1来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？ 【猜想证明】事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即23，所以，的整数部分为2，小数部分为2，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间． 【问题解决】 （1）试着写出的整数部分和小数部分； （2）10也是夹在两个整数之间的，可以表示为a＜10b，则a+b的值是多少？ （3）若3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1．求：x﹣y的值． 7．（2024春•江南区校级期中）情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想； 提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？ 实践操作：小明按计算器，发现计算器显示，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下： 材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，如图的A，B两点： 材料二： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 学以致用：的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ； 拓展应用：小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题： ①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？ ②若，求x的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数 题型概览 题型01 求数的平方根 题型02 根据平方根的性质求值 题型03 求数的算术平方根 题型04 算术平方根的非负性 题型05 求一个数的立方根 题型06 平方根、算术平方根及立方根综合 题型07 利用平方根和立方根解方程 题型08 无理数的认识 题型09 实数的性质 题型10 实数与数轴的关系 题型11 实数的大小比较 题型12 无理数的估算 题型13 实数的简单运算 求数的平方根题型01 1．（2024春•蒙阴县期末）9的平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±81 【分析】根据平方根的意义求解． 【解答】解：9的平方根为：±3， 故选：C． 2．（2024春•上思县期中）的平方根是（　　） A．8 B．±8 C．4 D．±2 【分析】先计算出，再根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：的平方根是±2， 故选：D． 3．（2024春•田阳区期中）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5 【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值． 【解答】解：∵a2＝4，b2＝9， ∴a＝±2，b＝±3， ∵ab＜0， ∴a＝2，则b＝﹣3， a＝﹣2，b＝3， 则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5． 故选：B． 根据平方根的性质求值题型02 1．（2024春•兴宁区期中）一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．9 【分析】根据平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 2a﹣5+（﹣a+1）＝0， 解得a＝4． 故选：C． 2．（2024春•良庆区校级期中）已知正数x的两个不同的平方根是2a﹣3和5﹣a，则x的值为 　49　 ． 【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数． 【解答】解：∵正数x的两个平方根是2a﹣3和5﹣a， ∴2a﹣3+（5﹣a）＝0， 解得：a＝﹣2， ∴这个正数的两个平方根是±7， ∴这个正数是49， 故答案为：49． 3．（2024春•青秀区校级期中）一个正数m的两个平方根分别为3﹣a和2a+1，求这个正数m． 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可． 【解答】解：依题意；3﹣a+2a+1＝0， 解得a＝﹣4， ∴m＝（3﹣a）2＝[3﹣（﹣4）]2＝72＝49． 4．（2024春•柳江区期中）一个正数x的两个平方根分别是3a﹣14与a﹣2，求a，x的值． 【分析】正数x有两个平方根，分别是3a﹣14和a﹣2，所以3a﹣14与a﹣2互为相反数；即3a﹣14+a﹣2＝0解答可求出a；根据x＝（a﹣2）2，代入可求出x的值． 【解答】解：∵正数x的两个平方根，分别是3a﹣14与a﹣2， ∴3a﹣14+a﹣2＝0， 解得：a＝4， ∴x＝（a﹣2）2＝（4﹣2）2＝4， ∴a＝4，x＝4． 求数的算术平方根题型03 1．（2024春•西乡塘区校级期中）16的算术平方根是（　　） A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4 【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出16的算术平方根是多少即可． 【解答】解：4， ∴16的算术平方根是4． 故选：C． 2．（2024春•扶绥县期中）（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 【分析】先计算根号下的平方，再求算术平方根即可． 【解答】解：． 故选：A． 3．（2024春•岑溪市期中）若一个数的算术平方根等于它的本身，这个数是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．0或1 【分析】根据开方运算，可得一个数的算术平方根． 【解答】解：0，1，故D正确； 故选：D． 4．（2024春•上思县期中）化简　5　 ． 【分析】先计算出被开方数的值，再求出其算术平方根即可． 【解答】解：原式5． 故答案为：5． 5．（2024春•上思县期中）小梅用两张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为900cm2的正方形，如图所示，按要求完成下列各小题． （1）求长方形硬纸片的宽； （2）小梅想用该正方形硬纸片制作一个体积512cm3的正方体的无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用，求缺少的硬纸片的面积． 【分析】（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，列出方程即可求出x与y的值． （2）求出该立方体的边长为8cm，然后求出5个边长为8cm的正方形的面积． 【解答】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm， ∴x＝2y，且x2＝900 ∴x＝30， ∴y＝15， （2）该正方体的棱长为：8cm， 共需要5个边长为8cm的面，总面积为：5×82＝320， ∴剩余的纸片面积为：900﹣320＝580cm2， 6．（2024春•青秀区校级期中）某装修公司现有一块面积为64m2的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下方案： 沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料，且长宽比为4：3． （1）求正方形木板的边长； （2）王师傅设计的方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解题即可； （2）先设长为4x m，宽为3x m，再列式进行计算即可． 【解答】解：（1）设正方形木板的边长为x m， x2＝64， 解得x＝8或x＝﹣8（舍去）． 答：正方形木板的边长为8m． （2）不可行，理由如下： 设长为4x m，宽为3x m， 4x×3x＝60， 解得x或x（舍去）， 4x＝48， 即所裁长方形的长大于正方形的边长． 故不可行． 算术平方根的非负性题型04 1．（2024春•田阳区期中）已知x，y为实数，且3（y﹣2）2＝0，则x﹣y的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【分析】本题可根据非负数的性质“几个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”来解题． 【解答】解：∵0，（y﹣2）2≥0，且3（y﹣2）2＝0， ∴0，（y﹣2）2＝0， ∴x﹣1＝0且y﹣2＝0， 故x＝1，y＝2， ∴x﹣y＝1﹣2＝﹣1． 故选：D． 2．（2024春•岑溪市期中）若，则（x+y）2024的值为（　　） A．2024 B．1 C．﹣1 D．﹣2024 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴2x﹣y+11＝0，y﹣3＝0， ∴x＝﹣4，y＝3， ∴（x+y）2024＝（﹣4+3）2024＝1． 故选：B． 3．（2024春•岑溪市期中）若a，b，c为实数，且，则（abc）2024（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【分析】先根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0求出a、b、c的值，再代值计算即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣1＝0，b+1＝0，c﹣1＝0， 解得：a＝1，b＝﹣1，c＝1， ∴（abc）2024＝（﹣1×1×1）2024＝1， 故选：C． 4．（2024春•上思县期中）已知实数x，y满足． （1）求x，y的值； （2）求x﹣2y的平方根． 【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可求出x、y的值，由平方根的定义即可求出x﹣2y的平方根． 【解答】解：（1）∵|x﹣5|0， ∴x﹣5＝0，y+3＝0， ∴x＝5，y＝﹣3， （2）x﹣2y ＝5﹣2×（﹣3） ＝11， ∴x﹣2y的平方根是±． 求一个数的立方根题型05 1．（2024春•苍梧县期中）﹣8的立方根为（　　） A．﹣2 B．±2 C．±4 D．不存在 【分析】根据立方根的定义，即可求解． 【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故选：A． 2．（2024春•南宁期中）若一个数的立方根等于它本身，则这个数是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．0，±1 【分析】根据立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：立方根等于它本身的数是0和±1， 故选：D． 3．（2024春•河池期中）一个正数a的两个平方根是m+7和2m﹣1，则a﹣m的立方根为 　3　 ． 【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系，列出方程求得m的值，进而求得a的值，代入代数式即可求解． 【解答】解：m+7+2m﹣1＝0， 解得m＝﹣2， ∴a＝52＝25， ∴a﹣m＝25﹣（﹣2）＝27， 即a﹣m的立方根为3 故答案为：3． 4．（2024春•青秀区校级期中）已知：，那么x+y的立方根等于 　﹣1　 ． 【分析】根据算术平方根及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后求得x+y的值，再利用立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：由题意可得x﹣1＝0，y+2＝0， 则x＝1，y＝﹣2， 那么x+y＝1﹣2＝﹣1， x+y的立方根为﹣1， 故答案为：﹣1． 5．（2024春•防城区期中）若实数a，b满足，则a2024+b2023的立方根为 　　 ． 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算求立方根即可． 【解答】解：∵，而， ∴a+1＝0，b﹣1＝0， 即a＝﹣1，b＝1， ∴a2024+b2023＝1+1＝2， ∴a2024+b2023的立方根为， 故答案为：． 平方根、算术平方根及立方根综合题型06 1．（2024春•玉州区期中）已知4a+4的立方根是2，2a+4b+2的算术平方根是4，则a+b的平方根是 　±2　 ． 【分析】先根据题意得出4a+4＝23＝8，2a+4b+2＝42＝16，求出a、b的值，再计算a+b的值，最后求其平方根即可． 【解答】解：∵4a+4的立方根是2，2a+4b+2的算术平方根是4， ∴4a+4＝23＝8，2a+4b+2＝42＝16， 解得a＝1，b＝3， ∴a+b＝1+3＝4， ∴a+b的平方根是±2， 故答案为：±2． 2．（2024春•扶绥县期中）已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7． （1）求x的值； （2）若b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，求代数式c﹣b的值． 【分析】（1）根据平方根的形式求得a的值后代入a+1中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得b，c的值，然后将其代入c﹣b中计算即可． 【解答】解：（1）∵一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a﹣7， ∴a+1+2a﹣7＝0， 解得：a＝2， 则a+1＝2+1＝3， 那么x＝32＝9； （2）∵b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，x+7＝9+7＝16，a+25＝2+25＝27， ∴b＝4，c＝3， 则c﹣b＝3﹣4＝﹣1． 3．（2024春•防城区期中）已知一个正数x的两个平方根分别是a+2和2a﹣8． （1）求x的值； （2）若b为x+9的算术平方根，c为a+25的立方根，求代数式c﹣b的值． 【分析】（1）根据平方根的性质求得a的值后代入a+2中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得b，c的值，然后将其代入c﹣b中计算即可． 【解答】解：（1）由题意得：a+2+2a﹣8＝0， 解得：a＝2， 则a+2＝2+2＝4， 那么x＝42＝16， 即x的值为16； （2）∵x+9＝16+9＝25，a+25＝2+25＝27， 又∵b为x+9的算术平方根，c为a+25的立方根， ∴b＝5，c＝3， ∴c﹣b＝3﹣5＝﹣2， 即c﹣b的值为﹣2． 4．（2024春•岑溪市期中）已知某正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3，c是最大的负整数． （1）求的值； （2）若A（a＞0）是a的算术平方根，B是b﹣5的立方根，求A+B的平方根． 【分析】（1）由正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，可求得a的值，由4a+2b﹣1的立方根是3，可以求得b的值，由c是最大的负整数，可求得c的值，即可求得的值； （2）根据算术平方根的概念即可求得a的值，从而求得A的值，根据立方根的概念可求得b的值，从而求得B的值，即可求得结果． 【解答】解：（1）∵某正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4， ∴（1﹣2a）+（a+4）＝0， ∴a＝5， 又∵4a+2b﹣1的立方根是3， ∴4a+2b﹣1＝33＝27， ∴b＝4， 又∵c是最大的负整数， ∴c＝﹣1， ； （2）根据题意，得， 解得， ∴，， ∴A+B＝2+2＝4， ∴4的平方根是±2． 利用平方根和立方根解方程题型07 1．（2024春•兴宁区期中）求下列各式中x的值： （1）（x﹣2）2＝4； （2）27x3＝512． 【分析】（1）根据平方根的定义可得x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，进而求出答案； （2）根据等式的性质以及立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝4， ∴x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2， 即x＝4或x＝0； （2）∵27x3＝512， ∴x3， ∴x， 即x． 2．（2024春•西乡塘区校级期中）求下面各式中的x： （1）2x2＝50； （2）（x+1）3＝﹣8． 【分析】（1）将系数化为1，然后根据平方根的定义即可求出x的值． （2）将x+1看成整体，然后根据立方根的定义即可求出x的值． 【解答】解：（1）原方程可化为：x2＝25 开方得：x＝5或x＝﹣5； （2）开立方得：x+1＝﹣2， 解得：x＝﹣3． 3．（2024春•兴宁区校级期中）求下列各式x的值． （1）x2﹣9＝0； （2）（x+1）3＝﹣27． 【分析】（1）先移项，再根据平方根的定义求出即可； （2）先根据立方根的定义进行计算，再求出x即可． 【解答】解：（1）x2﹣9＝0， x2＝9， x＝±3； （2）（x+1）3＝﹣27， x+1＝﹣3， x＝﹣4． 无理数的认识题型08 1．（2024春•博白县期中）下列实数是无理数的是（　　） A． B．3.14 C． D． 【分析】无限不循环小数是无理数．根据无理数的概念、立方根及算术平方根可进行排除选项． 【解答】解：A．是无理数，故本选项符合题意； B．3.14是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（2024春•宜州区期中）在实数：3.1415926，，1.010010001，4.，π，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数的三种形式求解． 【解答】解：4， 无理数为：π，共1个． 故选：A． 3．（2024春•扶绥县期中）有下列实数：3.14，，，0，，，，0.01001001⋯（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），其中无理数的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 【解答】解：，3.14，，0，都是有理数， ，，0.01001001⋯是无理数，共3个． 故选：A． 实数的性质题型09 1．（2024春•西乡塘区校级期中）的相反数是（　　） A． B．± C．﹣5 D．5 【分析】根据相反数的意义求解即可． 【解答】解：的相反数是， 故选：A． 2．（2024春•江南区校级期中）已知一个数的绝对值是，则这个数是（　　） A． B． C．3 D． 【分析】直接利用绝对值的性质得出答案． 【解答】解：∵一个数的绝对值是， ∴这个数是． 故选：D． 3．（2024春•岑溪市期中）|2|＝　2　 ． 【分析】先判断2的正负值，在根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求出答案． 【解答】解：∵20， ∴|2|2． 故本题的答案是2． 4．（2024春•兴业县期中）1的相反数是　　 ． 【分析】如果两数互为相反数，那么它们和为0，由此即可求出1的相反数． 【解答】解：1的相反数是1． 故答案为：1． 实数与数轴的关系题型10 1．（2024秋•上思县期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　） A．|b|＜|a| B．b＜a C．ab＞0 D．a+b＝0 【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出a、b的符号，进而可得出结论． 【解答】解：由数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|， b＞a，ab＜0，a+b＜0， 正确的是A选项， 故选：A． 2．（2024春•苍梧县期中）如图，在数轴上，﹣1和对应的点分别为A、B，点A是线段BC的中点，则点C所对应的实数为（　　） A． B． C． D． 【分析】由点A是线段BC的中点，得到AC＝AB，即可得到答案． 【解答】解：设点C所对应的实数为x， ∵点A是线段BC的中点， ∴AC＝AB， ∵﹣1和对应的点分别为A、B， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 3．（2024秋•玉林期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b| 【分析】根据数轴上的点表示的数以及大小关系、绝对值解决此题． 【解答】解：由题得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1． ∴a+b＜0，a﹣b＜0，ab＜0，|a|＞|b|． ∴D正确． 故选：D． 4．（2024春•邕宁区校级期中）直径为2个单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则点A表示的数是（　　） A．2 B． C．π D．2π 【分析】根据数轴上两点间的距离即可解答． 【解答】解：根据题意得：圆的周长为πd＝2π， 故选：D． 实数的大小比较题型11 1．（2024秋•宜州区期中）在实数2，﹣3，0，这四个数中，最小的数是（　　） A．2 B．﹣3 C．0 D． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣30＜2， ∴最小的数是：﹣3． 故选：B． 2．（2024秋•覃塘区期中）下列各组有理数的大小比较中，正确的是（　　） A．﹣（﹣1）＜﹣（+2） B．﹣|﹣3|＞﹣（﹣2） C．﹣π＜﹣3.14 D．﹣（﹣0.3）＜﹣|| 【分析】利用实数比较大小的法则进行比较即可． 【解答】解：A、﹣（﹣1）＝1，﹣（+2）＝﹣2， ∵1＞﹣2， ∴﹣（﹣1）＞﹣（+2），故原题错误； B、﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣2）＝2， ∵﹣3＜2， ∴﹣|﹣3|＜﹣（﹣2），故原题错误； C、∵|﹣π|＝π，|﹣3.14|＝3.14， ∴π＞3.14， ∴﹣π＜﹣3.14，故原题正确； D、﹣（﹣0.3）＝0.3，﹣||， ∵0.3， ∴﹣（﹣0.3）＞﹣||，故原题错误； 故选：C． 3．（2024春•防城区期中）比较大小： 　＞　 （填“＞”或“＜”或“＝”）． 【分析】利用平方法对所给实数进行大小比较即可． 【解答】解：∵，且17＞12， ∴． 故答案为：＞． 4．（2024春•岑溪市期中）比较大小： 　＜　 （填“＞、＜、或＝”）． 【分析】由，可得，可得． 【解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：＜． 无理数的估算题型12 1．（2024春•宜州区期中）估算的值是在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【分析】求出的范围，即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴23， ∴在2到3之间， 故选：B． 2．（2024春•宁明县期中）如图．A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】先估算出的范围，再根据点的位置得出即可． 【解答】解：∵32＝9，3.52＝12.25， ∴33.5， ∴四个点中最适合表示的是点D， 故选：D． 3．（2024春•良庆区校级期中）已知ab，a，b为相邻整数，则a+b的值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】根据算术平方根可进行求解． 【解答】解：∵25＜28＜36， ∴，即a＝5，b＝6， ∴a+b＝11． 故选：B． 4．（2024春•岑溪市期中）满足x 的整数x有 　﹣2，﹣1，0，1　 ． 【分析】利用以及的取值范围，然后列举出范围内的整数，然后统计即可． 【解答】解：∵，， ∴，， ∴﹣3＜x＜2， ∴﹣2，﹣1，0，1． 故答案为：﹣2，﹣1，0，1． 实数的简单运算题型13 1．（2024春•苍梧县期中）计算的结果是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】有理数的减法，先化简，再计算减法即可． 【解答】解：． 故选：A． 2．（2024春•富川县校级期中）计算：． 【分析】先计算乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减法即可． 【解答】解： ． 3．（2024春•岑溪市期中）计算：． 【分析】根据实数的运算法则进行计算． 【解答】解：原式 ＝﹣3+2 ＝﹣1． 4．（2024春•防城区期中）计算：． 【分析】先计算立方根和算术平方根及乘方，化简绝对值，再计算加减即可． 【解答】解：原式 ． 5．（2024春•广西期中）计算：． 【分析】按照混合运算法则，先算乘方和开方，再去掉绝对值符号，最后算加减即可． 【解答】解：原式 ． 1．（2024春•河池期中）若3.5﹣x，则x的值不能是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据算术平方根是非负数得出3.5﹣x≥0，即可求出x的取值范围，从而进行判断． 【解答】解：若3.5﹣x， 则3.5﹣x≥0， 解得x≤3.5， ∴x的值不能是4， 故选：A． 2．（2024春•博白县期中）在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值　406　 ． 【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律①＝1；②＝1+2；③＝1+2+3；④＝1+2+3+4．以此类推，1+2+3+4+…+28，由此即可求解． 【解答】解：∵①1； ②3＝1+2； ③6＝1+2+3； ④10＝1+2+3+4， ∴1+2+3+4+…+28＝406． 3．（2024春•田阳区期中）已知正实数x的平方根是m和m+b． （1）当b＝8时，求m； （2）若m2x+（m+b）2x＝4，求x的值． 【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值； （2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值． 【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b ∴m+m+b＝0， ∵b＝8， ∴2m+8＝0 ∴m＝﹣4； （2）∵正实数x的平方根是m和m+b， ∴（m+b）2＝x，m2＝x， ∵m2x+（m+b）2x＝4， ∴x2+x2＝4， ∴x2＝2， ∵x＞0， ∴x． 4．（2024春•富川县校级期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0． 运用上述知识，解决下列问题： （1）如果（a﹣2）b+3＝0，其中a，b为有理数，那么a＝　2　 ，b＝　﹣3　 ． （2）如果a﹣（1）b＝5，其中a，b为有理数，求a+2b的值． 【分析】（1）根据任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，可得a﹣2＝0，b+3＝0，进而得出答案． （2）根据任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，可得a+b＝0，﹣b＝5，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵如果（a﹣2）b+3＝0，其中a，b为有理数， ∴a﹣2＝0，b+3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3． 故答案为：2，﹣3． （2）∵， ∴， 解得． ∴a+2b＝5+2×（﹣5）＝﹣5． 5．（2024春•田阳区期中）阅读理解： ∵，即， ∴， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为． 解决问题： 已知a是的整数部分，b是的小数部分． （1）求a，b的值； （2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：． （3）若c的立方根等于本身的数，且c＜0，d的倒数是2，求a+b﹣2cd的值． 【分析】（1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）把a＝1，代入（﹣a）3+（b+4）2 即可； （3）根据题意求出c＝﹣1，，然后代入a+b﹣2 c d求解即可． 【解答】解：（1）∵，即， ∴， ∴， ∵a是的整数部分，b是的小数部分 ∴a＝1，； （2）把a＝1，代入（﹣a）3+（b+4）2， 得， ∵16的平方根为±4， 所以，（﹣a）3+（b+4）2的平方根为±4； （3）由题意，得c＝﹣1，， 所以，把a＝1，，c＝﹣1，代入 ， 所以，a+b﹣2 c d的值为． 6．（2024春•岑溪市期中）综合与实践 【问题情境】无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确； 于是小刚用1来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？ 【猜想证明】事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即23，所以，的整数部分为2，小数部分为2，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间． 【问题解决】 （1）试着写出的整数部分和小数部分； （2）10也是夹在两个整数之间的，可以表示为a＜10b，则a+b的值是多少？ （3）若3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1．求：x﹣y的值． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的大小，确定x、y的值，再代入计算即可求解． 【解答】解：（1）∵32＝9，42＝16，而9＜13＜16， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为； （2）∵22＝4，32＝9，而4＜7＜9， ∴， ∴， 又∵， ∴a＝12，b＝13， ∴a+b＝25； （3）∵， ∴， ∵，其中x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝1，， ∴． 7．（2024春•江南区校级期中）情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想； 提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？ 实践操作：小明按计算器，发现计算器显示，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下： 材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，如图的A，B两点： 材料二： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 学以致用：的整数部分是 　4　 ，小数部分是 　4　 ； 拓展应用：小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题： ①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？ ②若，求x的值． 【分析】学以致用：根据材料二的相关步骤进行计算即可； 扩展应用：①运用逼近法求出8和1的取值范围，再计算即可； ②求解即可． 【解答】解：学以致用：∵， ∴45， ∴的整数部分是4，小数部分是4， 故答案为：4；4． 扩展应用：①∵45， ∴﹣54， ∴38＜4； ∵12， ∴﹣21， ∴﹣10， ∴|1|1， ∴介于3和4两个相邻整数之间；去绝对值等于1． ②， 解得：x5或x5， ∴x5或5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$