八年级数学期中模拟试卷03 考试范围：三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组、图形的平移与旋转-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

2024-2025学年度北师大版八年级数学期中模拟试卷03 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组、图形的平移与旋转； 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（本题3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找出到三角形的三个顶点距离相等的点的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（本题3分）若方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（本题3分）在平面直角坐标系中，线段平移得到线段，点的对应点，则点的对应点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 6．（本题3分）如图，在等腰中，，，以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转得到线段，连接、．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（本题3分）△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（　　） A．4 B．4或5 C．5或6 D．6 9．（本题3分）如图，∠AOB=8°，点P在OB上.以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2P3；…按照这样的方法一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求的点Pn+1，则n等于（  ） A．13 B．12 C．11 D．10 10．（本题3分）如图，在等腰直角三角形中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点，的运动过程中，给出下面三个结论：①；②；③，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移 个单位得到点B（4，1）． 12．（本题3分）不等式组的解集是 ． 13．（本题3分）二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为，．先作关于轴成轴对称的，再把平移后得到，若，则点坐标为 ． 15．（本题3分）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为 ． 16．（本题3分）如图，在中，，，，的平分线交于点C，点P，Q分别为线段，边上的动点． （1）的长为 （2）的最小值为 ． 17．（本题3分）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是40，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 18．（本题3分）如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）解不等式组：并将解集表示在数轴上． 20．（本题6分）解不等式组：． 21．（本题8分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得__________________； （Ⅱ）解不等式②，得__________________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为__________________． 22．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（0，1）． （1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°后的△A2B2C2； （3）尺规作图：连接A1A2，在C1A2边上求作一点P，使得点P到A1A2的距离等于PC1的长（保留作图痕迹，不写作法）； （4）请直接写出∠C1A1P的度数． 23．（本题8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 24．（本题8分）为了丰富学生课外活动，提高学生的综合素质，八年级某班购买了20套课外阅读书和10套体育运动器材，共花费了7200元，其中每套器材的价格比每套书多240元． (1)求每套阅读书和每套运动器材的价格； (2)一段时间后，发现阅读书和器材不够；若使用剩余班费1040元，并要求至少购买2套阅读书，则最多可购买多少套运动器材？ 25．（本题10分）某商场购进一批LED灯泡与普通白炽灯泡，其进价与标价如下表，该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡按标价打九折销售，销售完这批灯泡后可以获利3200元． （1）求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？ （2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡120个，并在不打折的情况下销售完，若销售完这批灯泡的获利不超过总进货价的28％，则最多购进LED灯泡多少个？ LED灯泡 普通白炽灯泡 进价（元） 45 25 标价（元） 60 30 26．（本题12分）对于三个数 ，表示这三个数的平均数，表示这三个数中最小的数，如： ， ； ，． 请根据材料解决下列问题： 【开胃小菜】 （1）填空： = ；若，则x的取值范围是 ； 【解决问题】 （2） ① 若 ，求x ； ② 根据①你发现了结论“若，则 ．”（填大小关系）； ③ 运用②填空：若 ，则 ； 【拓展延伸】 （3）在同一直角坐标系中作出函数的图象（不需列表，描点），通过图象，得出最大值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度北师大版八年级数学期中模拟试卷03 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组、图形的平移与旋转； 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2．（本题3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找出到三角形的三个顶点距离相等的点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【详解】解：到三角形的三个顶点距离相等的点为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到此点． 故选：C． 3．（本题3分）若方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组中两方程相减，表示出，代入中，即可求出的范围． 【详解】解：， 得：， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出是解本题的关键． 4．（本题3分）在平面直角坐标系中，线段平移得到线段，点的对应点，则点的对应点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ∴平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位， ∴的对应点D的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 5．（本题3分）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值 【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴2件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1即可； 故选：A 6．（本题3分）如图，在等腰中，，，以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转得到线段，连接、．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，由，，，可得，，由旋转可得：，，推出是等边三角形，，，进而得到，，推出，可得，设，则，，在中，由勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ，，， ，，即， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形，，， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 7．（本题3分）如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确； ∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确； 连接OE，∵△ACE≌△BDE，∴CE=DE，∵OC=OD，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AOE=∠BOE，∴点E在∠O的平分线上，故③正确． 故选D． 8．（本题3分）△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（　　） A．4 B．4或5 C．5或6 D．6 【答案】B 【详解】试题分析：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a=，b=，c=，又∵a﹣b＜c＜a+b，∴，即，解得3＜h＜6，∴h=4或h=5，故选B． 考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系． 9．（本题3分）如图，∠AOB=8°，点P在OB上.以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2P3；…按照这样的方法一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求的点Pn+1，则n等于（  ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠P1PB的度数，∠P2P1A的度数，∠P3P2B的度数，∠P4P3A的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解． 【详解】由题意可知：PO=P1P，P1P=P2P1，…， 则∠POP1=∠OP1P，∠P1PP2=∠P1P2P，…， ∵∠BOA=8°， ∴∠PP1O=8°， ∴∠P1PB=16°，∠P2P1A=24°，∠P3P2B=32°，∠P4P3A=40°，…， ∴8°n＜90°， 解得n＜11． 由于n为整数，故n=11． 故选：C． 【点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解题关键是熟记等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 10．（本题3分）如图，在等腰直角三角形中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点，的运动过程中，给出下面三个结论：①；②；③，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解此题的关键，由题意得出，由三角形三边关系得出，即可判断①；利用勾股定理即可判断②；连接，设，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理得出，再由得出，再分和对③进行判断即可． 【详解】解：①，， ， 点，分别在直角边，上运动（不与端点重合）， ，即，故结论①正确； ②， 在中，，，， 由勾股定理得：，即，故结论②正确； ③连接，设，如下图所示： 在中，，，点为斜边上的中点， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ，即， ， ， 当且仅当时，即点，分别为，的中点时，， 此时，即， 当时，即点，不是，的中点时，， 此时，即， ，且等号可以取到，故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移 个单位得到点B（4，1）． 【答案】5 【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】点坐标的平移变换规律：将点向右（或向左）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或）；将点向上（或向下）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或） 则 即点向右平移5个单位长度得到点 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律，掌握理解点坐标的平移变换规律是解题关键． 12．（本题3分）不等式组的解集是 ． 【答案】﹣3≤x＜1 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得，x≥﹣3， 由②得，x＜1， 故不等式组得解集为：﹣3≤x＜1． 故答案为﹣3≤x＜1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键． 13．（本题3分）二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可． 【详解】∵二次根式有意义 ∴，解得 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为，．先作关于轴成轴对称的，再把平移后得到，若，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键．由 关于x轴对称的坐标为，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移3个单位，计算的坐标即可． 【详解】解：∵ 关于x轴对称的坐标为， 由到可得出平移方式为：向上平移3个单位，向右平移3个单位， ∴关于x轴对称的坐标为，再向上平移3个单位，向右平移3个单位后，即 故答案为：． 15．（本题3分）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据定义先列不等式：2x-1≥-x+3和2x-1≤-x+3，确定其y=min{2x-1，-x+3}对应的函数，画图象可知其最大值． 【详解】解：由题意得： ，解得： 当2x-1≥-x+3时，x≥， ∴当x≥时，y=min{2x-1，-x+3}=-x+3， 由图象可知：此时该函数的最大值为； 当2x-1≤-x+3时，x≤， ∴当x≤时，y=min{2x-1，-x+3}=2x-1， 由图象可知：此时该函数的最大值为； 综上所述，y=min{2x-1，-x+3}的最大值是当x=所对应的y的值， 如图所示，当x=时，y=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题． 16．（本题3分）如图，在中，，，，的平分线交于点C，点P，Q分别为线段，边上的动点． （1）的长为 （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算．合理找出三角形的底和高是解题的关键． （1）作交于点，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，最后按照三角形的面积公式计算即可． （2）当点、、三点共线时，最小，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，最后按照三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ． 故答案为：． 解：（2）是的平分线，点为动点， 作点关于的对称点在上， ． 作交于点P 当点、、三点共线且时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故答案为：． 17．（本题3分）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是40，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】13 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴ ， 解得AD=8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴MA=MC， ∵ ∴AD的长为的最小值， ∴△CDM的周长最短=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 18．（本题3分）如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点． （1）在、运动的过程中， ； （2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形． 【答案】 或 【分析】（1）先证明，得到，再利用三角形外角性质，等边三角形的性质，计算即可． （2）根据题意，得，分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 设运动t时，为直角三角形． ∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，等边的边长为， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得； 故运动或时，为直角三角形； 故答案为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，含．角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）解不等式组：并将解集表示在数轴上． 【答案】；解集表示见详解． 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集是， 在数轴上表示不等式组的解集为： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，要注意表示解集时实心与空心的区别． 20．（本题6分）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题的关键． 21．（本题8分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得__________________； （Ⅱ）解不等式②，得__________________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为__________________． 【答案】（Ⅰ）x≥3；（Ⅱ）x≤5； （Ⅲ）（Ⅳ）3≤x≤5． 【详解】试题分析：分别先解这两个一元一次不等式，再把它们的解集在数轴上表示出来，从而确定不等式组的解集． 试题解析：（Ⅰ）x≥3；（Ⅱ）x≤5； （Ⅲ）（Ⅳ）3≤x≤5． 考点：一元一次不等式组的解法；在数轴上表示不等式组的解集． 22．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（0，1）． （1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°后的△A2B2C2； （3）尺规作图：连接A1A2，在C1A2边上求作一点P，使得点P到A1A2的距离等于PC1的长（保留作图痕迹，不写作法）； （4）请直接写出∠C1A1P的度数． 【答案】（1）C1（0，﹣1）；图见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）22.5°. 【分析】（1）分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1即可； （2）分别作出A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可； （3）作∠C1A1A2的角平分线交C1A2于P即可； （4）根据角平分线的定义即可解决问题； 【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示，并写出点C1的坐标（0，﹣1）； （2）△A2B2C2如图所示； （3）点P如图所示； （4）请直接写出∠C1A1P的度数为22.5°； 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、轴对称变换、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23．（本题8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 数轴表示如下： 24．（本题8分）为了丰富学生课外活动，提高学生的综合素质，八年级某班购买了20套课外阅读书和10套体育运动器材，共花费了7200元，其中每套器材的价格比每套书多240元． (1)求每套阅读书和每套运动器材的价格； (2)一段时间后，发现阅读书和器材不够；若使用剩余班费1040元，并要求至少购买2套阅读书，则最多可购买多少套运动器材？ 【答案】(1)每套阅读书160元，每套运动器材400元 (2)最多可购买1套运动器材 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键． （1）设每套阅读书和每套运动器材的价格分别为元、元，根据购买了20套课外阅读书和10套体育运动器材，共花费了7200元，其中每套器材的价格比每套书多240元，列出方程组进行求解即可； （2）设可购买套运动器材，根据题意，列出一元一次不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设每套阅读书和每套运动器材的价格分别为元、元． 根据题意，得解得 答：每套阅读书160元，每套运动器材400元． （2）设可购买套运动器材．当购买2套阅读书时， 根据题意，得．解得． 答：最多可购买1套运动器材． 25．（本题10分）某商场购进一批LED灯泡与普通白炽灯泡，其进价与标价如下表，该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡按标价打九折销售，销售完这批灯泡后可以获利3200元． （1）求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？ （2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡120个，并在不打折的情况下销售完，若销售完这批灯泡的获利不超过总进货价的28％，则最多购进LED灯泡多少个？ LED灯泡 普通白炽灯泡 进价（元） 45 25 标价（元） 60 30 【答案】(1) LED灯泡为200个，普通白炽灯泡为100个(2)59 【详解】试题分析：（1）设该商场购进LED灯泡个，普通白炽灯泡为个，根据两种灯泡共300个，获利共3200元列方程组进行求解即可得； （2）设要购进LED灯泡个，则购进普通白炽灯（120-a）个，根据获得不超过总进价的28%，列不等式进行求解即可得. 试题解析：（1）设该商场购进LED灯泡个，普通白炽灯泡为个. ， 解得：， 答：该商场购进LED灯泡为200个，普通白炽灯泡为100个； （2）设要购进LED灯泡个，则购进普通白炽灯（120-a）个， 60-45=15（元）， 30-25=5（元）， 100+120-=220-（个）， 15+5（120-）+3200≤[45（200+）+25（220-）]×28％， 解得：≤59， ∵为正整数， ∴值最大值为59， 答：若销售完这两批灯泡的获利不超过总价进货价的28％，则最多要购进LED灯泡59个. 26．（本题12分）对于三个数 ，表示这三个数的平均数，表示这三个数中最小的数，如： ， ； ，． 请根据材料解决下列问题： 【开胃小菜】 （1）填空： = ；若，则x的取值范围是 ； 【解决问题】 （2） ① 若 ，求x ； ② 根据①你发现了结论“若，则 ．”（填大小关系）； ③ 运用②填空：若 ，则 ； 【拓展延伸】 （3）在同一直角坐标系中作出函数的图象（不需列表，描点），通过图象，得出最大值为 ． 【答案】（1），；（2）①；②；③；（3）或或 【分析】本题考查定义新运算问题，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解二元一次方程组，求代数式的值，一次函数交点坐标． （1）根据题意即可得到第一空答案，由题意列出一元一次不等式组计算即可； （2）①列出一元一次不等式组，即可求解； ②由①即可得到本题答案； ③先将平均数求出，再列出二元一次方程组计算即可； （3）根据题意画出图像，并求出交点，再根据图象求出符合题意的结果即可． 【详解】解：（1）∵表示这三个数中最小的数， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：，； （2）①∵表示这三个数的平均数， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②由①得，时，即， 故答案为：； ③∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：； （3）根据题意画图如下： ，，解得：， ∴当时，最大值为， 当时，最大值为， 当时，最大值为， 综上所述：最大值为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$