小升初复习备考专题四：行程问题--接送问题和发车间隔问题归纳练（专项训练）-2024--2025学年数学五年级下册人教版

专题四：行程问题-- 接送问题和发车间隔问题 一、解答题 1．某学校学生计划乘坐旅行社的大巴前往郊外游玩，按照计划，旅行社的大巴准时从车站出发后能在约定时间到达学校，搭载满学生在预定时间到达目的地，已知学校的位置在车站和目的地之间，大巴车空载的时候的速度为千米/小时，满载的时候速度为千米/小时，由于某种原因大巴车晚出发了分钟，学生在约定时间没有等到大巴车的情况下，步行前往目的地，在途中搭载上赶上来的大巴车，最后比预定时间晚了分钟到达目的地，求学生们的步行速度． 2．甲、乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为千米／小时，汽车载人速度是千米／小时，空车速度是千米/小时．如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？ 3．兄弟两人骑马进城，全程51千米．马每时行12千米，但只能由一个人骑．哥哥每时步行5千米，弟弟每时步行4千米．两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计），然后独自步行．而步行者到达此地，再上马前进．若他们早晨6点动身，则何时能同时到达城里？ 4．设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的倍．现甲从地去地，乙、丙从地去地，双方同时出发．出发时，甲、乙为步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又步行，三人仍按各自原有方向继续前进．问：三人之中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？ 5．有5位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶312千米的汽油．显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余车完全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠，当然实现这一计划需要几辆车相互借用汽油．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠？ 6．某沙漠通讯班接到紧急命令，让他们火速将一份情报送过沙漠．现在已知沙漠通讯班成员只有靠步行穿过沙漠，每个人步行穿过沙漠的时间均为12天，而每个人最多只能带8天的食物，请问，在假定每个人饭量大小相同，且所能带的食物相同的情况下，沙漠通讯班能否完成任务？如果能，那么最少需要几人才能将情报送过沙漠，怎么送？ 7．甲、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可携带一个人24天的食物和水．⑴ 如果不准将部分食物存放在途中，问其中一人最远可以深入沙漠多少千米（当然要求二人最后返回出发点）？⑵ 如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用，情况又怎样呢？ 8．科学考察队的一辆越野车需要穿越一片全程大于千米的沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能驶千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点，越野车装满油从起点出发，到储油点时从车中取出部分油放进储油点，然后返回出发点，加满油后再开往，到储油点时取出储存的油放在车上，从出发点到达终点．用队长想出的方法，越野车不用其他车帮助就完成了任务，那么，这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是多少千米？ 9．甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位骑车的学生在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？ 10．甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行。每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了多少分钟。 11．某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出。在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场。以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场。回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？ 12．A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需105分，从B站到A站单程需80分。问： （1）8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？ （2）从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？ 13．每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？ 参考答案 1．4千米/小时 大巴车空载的路程每多千米，满载的路程就会少千米，全程所花的时间就会少小时分钟，现在大巴车比原计划全程所花时间少了分钟，所以，所以大巴车空载的路程比原计划多了千米，也就是说，大巴车抵达学校后又行驶了千米才接到学生，此时学生们已经出发了分钟即小时，所以学生们的步行速度为千米/小时． 2．2小时 行车路线如图所示，设甲、乙两班步行的路程为1，车开出后返回接乙班． 由车与乙相遇的过程可知：，解得， 因此，车开出千米后，放下甲班回去接乙班，甲班需步行千米，共用小时。 3．下午1点45分 设哥哥步行了x千米，则骑马行了（51－x）千米．而弟弟正好相反，步行了（51－x）千米，骑马行x千米．由哥哥骑马与步行所用的时间之和与弟弟相等，可列出方程，解得x=30，所以两人用的时间同为（小时），早晨6点动身，下午1点45分到达． 4．丙最先到，甲最后到 由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁骑行最长，谁骑行最短．将整个路程分成份，甲、丙最先相遇，丙骑行份；甲先步行了份，然后骑车与乙相遇，骑行份；乙步行份，骑行份，可知，丙骑行的最长，甲骑行的最短，所以，丙最先到，甲最后到． 5．520千米 首先得给这5辆吉普车设计一套行驶方案，而这个方案的核心就在于：其中的4辆车只是燃料供给车，它们的作用就是在保证自己能够返回的前提下，为第5辆车提供足够的燃料． 如图所示，5辆车一起从A点出发，设第1辆车到B点时留下足够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车．注意，B点的最佳选择应该满足刚好使这4辆车全部加满汽油． 剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油． 剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车．此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶312千米． 以这种方式，第5辆车能走多远呢？我们来算算． 5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶312千米的汽油分成6份，2份自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加1份，刚好使这4辆车都加满汽油．因此AB的长为：（千米）． 接下来，就把5辆车的问题转化为4辆车的问题．4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车仍然要把汽油分成6等份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52千米．同样的道理，（千米）． 所以第5辆车最远能行驶：（千米）． 6．能，最少需要3人．见解析 送法如下：3人同时出发，同吃第一个人的食物，共同走2天后，第一人只剩2天的食物，正好够他返回时吃；第二人和第三人再共同前进2天，吃第二人的食物，这样第二人只剩4天的食物，又正好够他返回时吃这样，第三人还有8天的路程，正好他还有8天的食物，因此便可以突起沙漠，完成送情报的任务． 7．⑴320千米 ⑵360千米 ⑴ 怎么才能让其中一人走得最远呢？只能是另一人在某个地方将自己的部分食物和水（注意必须留足自己返回所需）补给第一个人，让他仍然有24天的食物和水，这样才能走得最远． 如图所示，不妨设甲从A点出发，走了x天后到达B点处返回，甲在B点处留足返回时所需x天食物和水后，将其余食物与水全部给乙补足为24天．此时相当于甲的24天的食物和水供甲走2个x天和乙走1个x天，故有（天）．所以甲应在第8天从B点处返回A．因为乙在B点已经消耗了8天的食物和水，但同时在B点甲又给乙补充了8天的食物和水，所以此时乙身上仍然携带有24天的食物和水．由于乙也要返回，所以乙最多只能往前走（天）的路程到达C处，就必须返回．所以其中的一人最远只能深入沙漠（千米）． （2） 如果允许存放部分食物和水于途中，则同上面分析类似，甲走了y天后不仅要补足乙的食物和水，还要存足y天的供乙返回时消耗的食物和水． 即甲的24天的食物和水供甲、乙各走2个y天，所以（天）．此时的乙不仅补足了24天的食物和水，而且甲还给他预留了返回的食物和水．所以乙就可以带着身上24天的食物和水继续往沙漠深处走12天后再返回，取得甲事先存放的食物和水后，然后再返回出发地．因此，乙共可深入沙漠（千米）． 8．800千米 汽车从起点行驶到点时，首先要消耗掉往返间路程的油，留下的油要保证再次到点时油箱还是满的，所以这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是（千米） 9．16分钟、分钟、分钟 首先根据题意，可得在平路上，汽车每分钟行驶平路上汽车间隔的，因为该学生平路上的速度是汽车在平路上速度的四分之一，所以自行车每分钟行驶汽车平路上间隔的，再根据路程÷速度＝时间，用1除以汽车和自行车在平路上的速度之和，求出在平路时每隔多少分钟遇到一辆汽车；同理：上坡路上（或下坡路上），汽车每分钟行驶上坡路上（或下坡路上）汽车间隔的，因为该学生上坡路上（或下坡路上）的速度是汽车在上坡路上（或下坡路上）速度的四分之一，所以自行车每分钟行驶汽车上坡路上（或下坡路上）间隔的÷120%×80%（或÷80%×120%），再根据路程÷速度＝时间，用1除以汽车和自行车在上坡路上（或下坡路上）的速度之和，求出在上坡路（或下坡路）时每隔多少分钟遇到一辆汽车；据此可知，这位学生骑车在平路、上坡、下坡时分别每隔[1÷（＋×）]、[1÷（＋×÷120%×80%）]、[1÷（＋×÷80%×120%）]分钟遇到一辆汽车。 平路阶段： 1÷（＋×） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝16（分钟） 上坡阶段： 1÷（＋×÷120%×80%） ＝1÷（＋×××） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（分钟） 下坡阶段： 1÷（＋×÷80%×120%） ＝1÷（＋××） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（分钟） 答：这位骑车的学生在平路、上坡、下坡时分别每隔16分钟、分钟、分钟遇到一辆汽车。 此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出汽车和自行车在平路、上坡、下坡时的速度之和是多少。 10．60分钟 由题意可知，两辆电车之间的距离 ＝电车行8分钟的路程（每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车） ＝电车行5分钟的路程＋小张行5分钟的路程 ＝电车行6分钟的路程＋小王行6分钟的路程 据此分析他们之间的速度关系，再求解即可。 由分析可得：小张速度是电车速度的 小王速度是电车速度的 小张与小王的速度和是电车速度的 所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的，即分钟 答：小张与小王在途中相遇时他们已行走了60分钟。 认真读题，理清数量间的关系，是解答本题的关键。 11．108分钟 这个题可以用列表法找规律求解： 时间 开出 回场 停车场里的车辆数 0分钟 10辆 4分钟 1辆 9辆 6分钟 10辆 8分钟 1辆 9辆 12分钟 1辆 1辆 9辆 16分钟 1辆 8辆 18分钟 1辆 9辆 20分钟 1辆 8辆 24分钟 1辆 1辆 8辆 由表可以看出：每12分钟就减少一辆车；但该题需要注意的是：到了剩下一辆的时候是不符合这种规律的，到了12×9＝108分钟的时候，剩下一辆车，这时再经过4分钟停车场恰好没有车了，所以第112分钟时就没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，所以应该为108分钟。 因为开出的车是每隔4分钟一辆；回场的车是6分钟一辆； 4和6的最小公倍数是12，结合分析所给表格，可知，每12分钟就减少一辆车。 到最后一辆车的时候，只需4分钟停车场就没有车了； 12×9＋4 ＝108＋4 ＝112（分钟） 112－4＝108（分钟） 答：从第一辆出租汽车开出后，经过108分钟时间，停车场就没有出租汽车了。 本题关键是通过列举特殊例子找到一般规律，即每隔循环周期是12分钟。注意题干问题是从第一辆车开出之后，要记得减去第一辆车的4分钟才是所求。 12．（1）5辆；6辆     （2）3辆 分析各辆车的出发和到达时间，判断两辆车是否相遇，找出各辆车遇到的车辆的出发时间。 运用“折线示意图”能更好地说明整个行程过程。从“8：30”引出的线段与其他线段一共有5个端点，所以8：30从A站发出的车一共遇到5辆从B站发出的车，同样的9：00从A站发出的车一共遇到6辆从B站发出的车，11：00从A站发出的车一共遇到3辆从B站发出的车。 （1）从A站发车的司机看到的车辆包括两类： 一类是他自己发车以前，已经从B站出发但还没到达A站的所有车辆，也就是发车前80分钟内B站所发的所有车辆。 另一类是他发车以后到他抵达B站这段时间内从B站发出的所有车辆，即发车后105分钟内从B站开出的所有车辆。 这就是说在A站车辆出发前80分钟到出发后105分钟之间这185分钟时间区间内，B站发出的所有车辆，该司机都能看到。实际上这185分钟中，只有发车前60分、发车前30分、发车当时、发车后30分、发车后60分、发车后90分，有车辆从B站开出，所以8：30从A站发车的司机能看到8：00到10：00从B站发出的5辆车，而9：00从A站发车的司机能看到8：00到10：30从B站发出的6辆车。 （2）11点以后不再有车辆从B站发出，11点发车的司机不可能看到他发车后105分钟内从B站开出的车，所以他只能看到3辆车。 考查了间隔发车问题。对于一般间隔发车问题，可以直接利用公式或者方程解答。比较复杂的可以用柳卡图。 13．15 这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法． 他先画了如下一幅图： 这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况． 从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船． 学科网（北京）股份有限公司 $$