重难点05 中考数学模拟卷选择、填空题考点分类训练-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（浙江专用）

重难点05 中考数学模拟卷选择、填空题考点分类训练 一．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 1．（2025•浙江模拟）在“探索一次函数y＝kx+b系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：A（﹣1，0），B（1，4），C（3，3）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别为AB：y1＝k1x+b1，AC：y2＝k2x+b2，BC：y3＝k3x+b3．则b1，b2，b3这三个数值中，最大的值为（　　） A．b1 B．b2 C．b3 D．无法确定 二．反比例函数系数k的几何意义（共3小题） 2．（2025•浙江模拟）如图，已知CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B．若OA＝AC，则△OBC的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2025•镇海区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．11.5 D．13 4．（2025•湖州一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作AB∥x轴，AB交函数的图象于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积是2，则k的值是　 　 ． 三．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题） 5．（2025•浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x3＜x2＜x1，下列正确的选项是（　　） A．若y3＜y1＜y2，则x1•x2•x3＞0 B．若y2＜y3＜y1，则x1•x2•x3＜0 C．若y2＜y1＜y3，则x1•x2•x3＞0 D．若y1＜y3＜y2，则x1•x2•x3＞0 6．（2025•拱墅区模拟）已知A（m﹣2，y1），B（m，y2），C（m+1，y3）三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当m＜﹣1时，0＜y3＜y2＜y1 B．当﹣1＜m＜0时，y3＜0＜y1＜y2 C．当0＜m＜2时，y3＜y2＜0＜y1 D．当m＞2时，y3＜y2＜y1＜0 7．（2025•浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（　　） A．若k＞0，则m＜0 B．若k＜0，则m可能小于0也可能大于0 C．若k＞0，点A，B在同一象限，则m＞0 D．若k＜0，点A，B在不同象限，则m＞0 8．（2025•乐清市校级模拟）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（2﹣t，y2）两点，下列正确的选项是（　　） A．当1＜t＜2时，y1＞y2 B．当1＜t＜2时，y1＜y2 C．当0＜t＜2时，y1＞y2 D．当0＜t＜2时，y1＜y2 四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 9．（2025•西湖区校级模拟）若双曲线与直线y＝nx的一个交点坐标为（﹣1，2），则关于x的不等式的解集为（　　） A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1 五．二次函数的性质（共1小题） 10．（2025•浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（　　） A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0 C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0 六．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 11．（2024•婺城区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（　　） A．2 B．m2 C．4 D．2m2 七．二次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 12．（2025•西湖区校级模拟）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2 13．（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　） A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝x+2 C． D．y＝x2﹣2 14．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为　 　 ． 八．抛物线与x轴的交点（共1小题） 15．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（　　） A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n 九．二次函数与不等式（组）（共1小题） 16．（2025•浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　） A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 一十．三角形的面积（共1小题） 17．（2025•余姚市一模）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，F是BD的中点，G是CE的中点，BD＝6，CE＝5，且BD与CE所夹得锐角为60°，则△AFG的面积为（　　） A． B． C． D． 一十一．线段垂直平分线的性质（共1小题） 18．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，AC＝6，则BC的长为（　　） A．10 B． C．8 D． 一十二．等腰三角形的性质（共1小题） 19．（2025•湖州一模）△ABC中，∠C＝60°，点D，E分别在边AC，BC上，连结BD，AE，DE，若AD＝BD，AB＝AE，∠AED＝∠DBC，则∠ABC的大小为（　　） A．65° B．70° C．72° D．75° 一十三．等边三角形的性质（共2小题） 20．（2025•湖州一模）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），ME与AB交于点E，反射光线DN与AC交于点F，DK⊥BC，且反射光线和入射光线满足∠NDK＝∠MDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 21．（2025•浙江一模）如图，等边△ABC的边长为4，D是AC上一点，过点D作BC的垂线，交BC于E，用x表示线段BE的长度，显然，Rt△CDE的面积y是线段x的二次函数，则这个函数顶点式是 　 　 ． 一十四．勾股定理（共1小题） 22．（2024•婺城区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 一十五．勾股定理的证明（共1小题） 23．（2025•拱墅区模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是（　　） A．9.5 B．9 C．7.5 D．7 一十六．三角形中位线定理（共2小题） 24．（2025•拱墅区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB中点，点E在AC上．连结DE，且DE平分△ABC的周长．若DE＝2，则BC的长为　 　 ． 25．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，BE⊥AC交AD于点F，AF＝DF．若，EC＝2，则AB的长为 　 　 ． 一十七．平行四边形的性质（共2小题） 26．（2025•拱墅区模拟）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（　　） A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32 27．（2025•湖州一模）如图，在平行四边形ABCD中，B'是点B关于对角线AC的对称点，连结AB'交CD于点E，连结BB'交CD于点F，交AC于点G．AB＝13，AG＝2CG＝12，则△B′EF的面积是 　 　 ． 一十八．菱形的性质（共1小题） 28．（2025•镇海区校级模拟）在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，连接CE，CF．若，CE＝10，则BC的长为（　　） A． B． C． D．6 一十九．正方形的性质（共3小题） 29．（2025•西湖区校级模拟）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（　　） A． B． C． D． 30．（2025•浙江一模）如图，在正方形ABCD中，连结AC，点E是线段AC上一点（CE＜AE），连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F，连结BF，AE2+CE2＝6，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 31．（2025•宁波模拟）如图1，四个边长为1的小正方形组成一个边长为2的大正方形，过点G的直线l是它的一条对称轴．如图2，将图1中的正方形CDEF沿直线l向下平移，使点A落在CD的垂直平分线上，连结AC，BE，则阴影部分面积为　 　 ． 二十．圆周角定理（共1小题） 32．（2025•乐清市校级模拟）如图，点A是以BC为直径的半圆O上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于M，交AC于N．若AB＝8，AC＝6时，则MN的值为　 　 ． 二十一．三角形的外接圆与外心（共1小题） 33．（2025•镇海区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，点M为BC的中点，连结AM交⊙O于点E，且C为的中点，连结CE，在BC上存在点H，使得，若BH＝2，则AC的长（　　） A．4 B． C． D． 二十二．切线的性质（共1小题） 34．（2025•西湖区校级模拟）如图，⊙O与直线l相交，圆心O到直线l的距离，在直线l上取点B使AB＝3，将直线l绕点B逆时针旋转15°后得到直线m，若直线m恰好与⊙O相切于点C，则⊙O的半径为 　 　 ． 二十三．切线的判定与性质（共1小题） 35．（2025•浙江模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二十四．三角形的内切圆与内心（共2小题） 36．（2025•西湖区校级模拟）如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　） A． B． C． D． 37．（2025•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3.3，BC＝4.4，则图中△ABO的面积为（　　） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 二十五．弧长的计算（共1小题） 38．（2025•浙江模拟）如图，以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形ABCD（由，，，组成）是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若AB＝2，则封闭图形ABCD的周长是 　 　 ． 二十六．扇形面积的计算（共1小题） 39．（2025•湖州一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD的长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二十七．命题与定理（共1小题） 40．（2025•宁波模拟）将函数的图象绕原点O逆时针旋转45°得到图象C，在图象C上任取两点（x1，y1），（x2，y2），下列命题：①若x1+x2＝0，则y1＝y2；②若y1＞y2，则；③若x1＜x2＜0，则y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二十八．翻折变换（折叠问题）（共5小题） 41．（2025•浙江模拟）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC上的点，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，要想知道正方形ABCD的边长，只需知道（　　） A．BF的长度 B．△B′CF的周长 C．△B′DG的周长 D．△A′EG的面积 42．（2025•西湖区校级模拟）如图，在▱ABCD中，点E是CD边上的一点，若AB＝5，CE＝2，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连结AG，点A在EG的延长线上，BG恰好平分∠ABE，则AG的长为 　 　 ，cos∠EAD的值为 　 　 ． 43．（2025•浙江一模）如图，把一张矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对应点为F，EF交BD于点G．若点G为EF的中点，BF平分∠DBC，则 　 　 ． 44．（2025•浙江一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E为AB中点，将菱形沿FG折叠，使点C与点E重合，连结EF、EG，则BG＝　 　 ． 45．（2025•乐清市校级模拟）如图，在直角坐标系中，A（0，4），B是直线y＝x上一点，连结AB，△AOB沿着AB折叠，点O的对应点为C，过点C作DE⊥x轴，交直线y＝x于点D，交x轴于点E．若CD＝CE，则的值为　 　 ． 二十九．旋转的性质（共3小题） 46．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则S△BEC：S△DEC的值为（　　） A． B． C． D． 47．（2025•拱墅区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，且DP＝1，则菱形的边长是 　 　 ． 48．（2025•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB，BC＝5，D是斜边AC上的动点，以线段BD为一边并在其右侧作等边三角形BDE，连结CE，则CE的最小值是 　 　 ． 三十．相似三角形的判定与性质（共7小题） 49．（2025•乐清市校级模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝8，D是BC上一点，BD＜CD，连结接AD，作DE⊥AD，交BC的垂线CE于点E．连接AE，交BC于F，若设CF＝x，CE＝y，在D的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．xy C．x2+y2 D． 50．（2025•镇海区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且，点M是AC边上一个动点，连接MN，以MN为直角边，点M为直角顶点，在MN的左侧作等腰直角三角形MNQ，则CQ的最小值是（　　） A． B． C． D． 51．（2025•浙江一模）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论： ①△APE≌△AME； ②PM+PN＝AC； ③PE2+PF2＝PO2； ④△POF∽△BNF； ⑤点O在M、N两点的连线上． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤ 52．（2025•余姚市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且满足∠ABC＝2∠CAD，连结AD．作∠ABC的平分线分别交AC，AD于点E，点F．若AF＝2DF，则　 　 ，　 　 ． 53．（2025•浙江模拟）有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在△ABC中，点D，E在AC上，点F在AB上，点G，H在BC上．若每个小正方形的边长为1，则△ABC的周长为 　 　 ． 54．（2025•浙江模拟）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2． （1）若∠CBP＝40°，则∠BEM＝ 　 　 ． （2）若S1＝5S2，则的值是 　 　 ． 55．（2025•浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E在AB的延长线上，DE分别交BC，AC于点F，G．若AB＝5，AE＝AD＝8，EF＝DG，则BC＝ 　 　 ． 三十一．解直角三角形（共4小题） 56．（2025•乐清市校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACGF，连结CF，DF，设∠CFD＝α，则tanα的值为（　　） A． B．2 C． D． 57．（2025•浙江一模）如图，已知AD∥BC，BD⊥AC，AC＝4，BD＝8，则sin∠DBC＝ 　 　 ． 58．（2025•宁波模拟）如图，△ABC≌△DAE，∠BAC＝∠ADE＝90°，点D在边AC上，AD＜AC，AE，DE分别交BC于点F，G．若tanB＝m，则CG：BG＝　 　 （用含m的式子表示）． 59．（2025•浙江一模）直角三角形ADE和ABC的直角顶点重合在点A，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，M、N分别是边AC、DE上的动点，且DN＝AM，则AN+BM的最小值是 　 　 ． 三十二．由三视图判断几何体（共1小题） 60．（2025•余姚市一模）图②是图①中长方体的三视图，用S表示面积，S主视图＝x2+3x，S左视图＝x2+x，则S俯视图等于（　　） A．x2+3x+2 B．x2+2x+1 C．x2+4x+3 D．2x2+4x 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 中考数学模拟卷选择、填空题考点分类训练 一．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 1．（2025•浙江模拟）在“探索一次函数y＝kx+b系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：A（﹣1，0），B（1，4），C（3，3）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别为AB：y1＝k1x+b1，AC：y2＝k2x+b2，BC：y3＝k3x+b3．则b1，b2，b3这三个数值中，最大的值为（　　） A．b1 B．b2 C．b3 D．无法确定 【分析】根据题意，画出示意图，据此可解决问题． 【解答】解：如图所示， 由函数图象可知， 直线BC与y轴交点的纵坐标最大， 所以b1，b2，b3这三个数值中，最大的是b3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 二．反比例函数系数k的几何意义（共3小题） 2．（2025•浙江模拟）如图，已知CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B．若OA＝AC，则△OBC的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，则S△OAE4＝2，再由CD⊥x轴可知S△OBD4＝2，AE∥CD，故可得出△OAE∽△OCD，再由OA＝AC得出，根据相似三角形的性质可得出△OCD的面积，由S△OBC＝S△OCD﹣S△OBD即可得出结论． 【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E， ∵CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B， ∴S△OAE＝S△OBD4＝2，AE∥CD， ∴△OAE∽△OCD， ∵OA＝AC， ∴， ∴， ∴S△OCD＝8， ∴S△OBC＝S△OCD﹣S△OBD＝8﹣2＝6． 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变是解题的关键． 3．（2025•镇海区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，根据平行线分线段成比例定理得到CG＝HG，求得AH＝2BG，设B（a，），得到A（，），由OD∥AB，得到S△AOC＝S△ADC＝15，根据三角形的面积和梯形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G， ∴AH∥BG， ∵AB＝BC， ∴CG＝HG， ∴AH＝2BG， ∵A、B两点在反比例函数的图象上， ∴设B（a，）， ∴A（，）， ∵OD∥AB， ∴S△AOC＝S△ADC＝15， ∴S△AOBS△AOC， ∵S四边形AHGB＝S△AOB， ∴（AH+BG）•HG）×（a）， ∴k＝10， 故k的值为10， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2025•湖州一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作AB∥x轴，AB交函数的图象于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积是2，则k的值是　3　 ． 【分析】依据题意，设点A的坐标为，其中a＜0，又AB∥x轴，则点B的纵坐标与点A相同，故，代入（x＞0），从而B的横坐标为，可得点B的坐标为，又△ABC的顶点C在x轴上，可设其坐标为（c，0），故S△ABCAB•h（﹣ak﹣a）•（）＝2，则，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，设点A的坐标为，其中a＜0． 又∵AB∥x轴， ∴点B的纵坐标与点A相同． ∴，代入（x＞0）， ∴B的横坐标为． ∴点B的坐标为． 又∵△ABC的顶点C在x轴上，可设其坐标为（c，0）． ∴S△ABCAB•h（﹣ak﹣a）•（）＝2． ∴． ∴k＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 三．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题） 5．（2025•浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x3＜x2＜x1，下列正确的选项是（　　） A．若y3＜y1＜y2，则x1•x2•x3＞0 B．若y2＜y3＜y1，则x1•x2•x3＜0 C．若y2＜y1＜y3，则x1•x2•x3＞0 D．若y1＜y3＜y2，则x1•x2•x3＞0 【分析】根据x3＜x2＜x1，利用反比例函数的性质即可判断． 【解答】解：A、∵x3＜x2＜x1， 若y3＜y1＜y2，则k＞0， 则x3＜0，0＜x2＜x1， 故x1•x2•x3＜0，本选项不正确； B、∵x3＜x2＜x1， 若y2＜y3＜y1，则k＞0， 则x3＜x2＜0，x1＞0， 故x1•x2•x3＞0，本选项不正确； C、∵x3＜x2＜x1， 若y2＜y1＜y3，则k＜0， 则x3＜0，0＜x2＜x1， 故x1•x2•x3＜0，本选项不正确； D、∵x3＜x2＜x1， 若y1＜y3＜y2，则k＜0， 则x3＜x2＜0，x1＞0， 故x1•x2•x3＞0，本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质，属于中考常考题型． 6．（2025•拱墅区模拟）已知A（m﹣2，y1），B（m，y2），C（m+1，y3）三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当m＜﹣1时，0＜y3＜y2＜y1 B．当﹣1＜m＜0时，y3＜0＜y1＜y2 C．当0＜m＜2时，y3＜y2＜0＜y1 D．当m＞2时，y3＜y2＜y1＜0 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次判断即可． 【解答】解：由题知， 当m＜﹣1时，A，B，C三点都在第二象限， 因为m﹣2＜m＜m+1， 所以0＜y1＜y2＜y3． 故A选项不符合题意． 当﹣1＜m＜0时，点A，B在第二象限，点C在第四象限， 所以y3＜0＜y1＜y2． 故B选项符合题意． 当0＜m＜2时，点A在第二象限，点B和点C在第四象限， 所以y2＜y3＜0＜y1． 故C选项不符合题意． 当m＞2时，点A，B，C都在第四象限， 所以y1＜y2＜y3＜0． 故D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7．（2025•浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（　　） A．若k＞0，则m＜0 B．若k＜0，则m可能小于0也可能大于0 C．若k＞0，点A，B在同一象限，则m＞0 D．若k＜0，点A，B在不同象限，则m＞0 【分析】根据题意，判断k＞0和k＜0，该反比例函数的增减性，确定m的取值范围，即可求解； 【解答】解：A、若k＞0，则y随x的增大而减小，不知道y1的值在哪个象限，无法判断m＜0，故A说法错误，不符合题意； B．若k＜0，点A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则m可能小于0也可能大于0，故B说法正确，符合题意； C．若k＞0，点A，B在同一象限，则y随x的增大而减小，所以m＜0，故C说法错误，不符合题意； D．若k＜0，点A，B在不同象限，则m＜0，故D说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键． 8．（2025•乐清市校级模拟）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（2﹣t，y2）两点，下列正确的选项是（　　） A．当1＜t＜2时，y1＞y2 B．当1＜t＜2时，y1＜y2 C．当0＜t＜2时，y1＞y2 D．当0＜t＜2时，y1＜y2 【分析】由于反比例函数，可知函数位于第一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出y1与y2的大小． 【解答】解：由条件可知：函数位于第一、三象限，y随x的增大而减小， ∴①0＜t＜2﹣t时，y1＞y2， 解得：0＜t＜1， 即当0＜t＜1，y1＞y2； ①0＜2﹣t＜t时，y1＜y2， 解得：1＜t＜2， 即当1＜t＜2，y1＜y2， 所以结合选项可知：B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 9．（2025•西湖区校级模拟）若双曲线与直线y＝nx的一个交点坐标为（﹣1，2），则关于x的不等式的解集为（　　） A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1 【分析】根据点（﹣1，2）在第二象限，可得m＜0，n＜0，画出函数图象，由函数的性质得出结论． 【解答】解：∵双曲线与直线y＝nx的一个交点（﹣1，2）在第二象限， ∴m＜0，n＜0， 如图所示： 由函数性质可知，点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2）， 由函数图象可知，不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞1， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握反比例函数和一次函数的性质和数形结合思想． 五．二次函数的性质（共1小题） 10．（2025•浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（　　） A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0 C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0 【分析】依据题意，该二次函数可化为顶点式：，又当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值， 从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，该二次函数可化为顶点式：． 又∵当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值， ∴只有选项D正确，即若函数有最小值，则最小值可能等于0． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握能灵活运用二次函数的性质是关键． 六．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 11．（2024•婺城区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（　　） A．2 B．m2 C．4 D．2m2 【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解． 【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0， ∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m， ∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 若m＞0，则m2＝2m， ∴m＝2， 若m＜0时，则m2＝﹣2m， ∴m＝﹣2． ∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离2． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 七．二次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 12．（2025•西湖区校级模拟）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2 【分析】根据抛物线的图象与性质，当开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大． 【解答】解：抛物线对称轴为直线， 当x1+x2＜4时，x2﹣2＜2﹣x1， 则当a＞0时，y1＞y2；当a＜0时，y1＜y2； 当x1+x2＞4时，x2﹣2＞2﹣x1， 则当a＞0时，y2＞y1；当a＜0时，y1＞y2； 故A、B选项都不正确； 若a（x1+x2﹣4）＞0，则a与x1+x2﹣4同号，由上可知y1＜y2， 故C不正确； 若a（x1+x2﹣4）＜0，则a与x1+x2﹣4异号，由上可知y1＞y2， 故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线的图象与性质，解题关键是掌握当图象开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大． 13．（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　） A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝x+2 C． D．y＝x2﹣2 【分析】由“和差点”的定义可得点P在直线y＝﹣x上，判断出函数与直线y＝﹣x没有交点即可．． 【解答】解：由“和差点”的定义可得点P在直线y＝﹣x上， 直线y＝﹣2x﹣1，直线y＝x+2，抛物线y＝x2﹣2都与直线y＝﹣x都有交点，函数y与直线y＝﹣x没有交点， 故选项A，B，D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为　t　 ． 【分析】先将A（3，0）代入二次函数解析式中，求得c＝﹣3a，由此确定a符号，确定二次函数的开口方向和对称轴，再利用作差法找到t的取值范围． 【解答】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A（3，0）， 代入可得0＝9a﹣6a+c， ∴c＝﹣3a， ∵c＞0， ∴a＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为 x1， 点 M（t+2，y）和 N（t+3，y） 在抛物线上，且y1＞y2， ∴y1﹣y2＝a（t+2）2﹣2a（t+2）+c﹣[a（t+3）2﹣2a（t+3）+c] ＝a（﹣2t﹣3）， ∵y1＞y2， ∴a（﹣2t﹣3）＞0， ∵a＜0， ∴﹣2t﹣3＜0， 解得：t． 故答案为：t． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能熟练运用二次函数的性质是解题的关键． 八．抛物线与x轴的交点（共1小题） 15．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（　　） A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n 【分析】利用交点式得到抛物线与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），则两交点的距离为b﹣a，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x，同样方法得到 平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x，然后利用左右平移两交点的距离不变，上下平移对称轴不变，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0）， ∴两交点的距离为b﹣a，对称轴为直线x， ∵平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点， ∴平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x， ∴b﹣a＝n﹣m，所以A、B选项不符合题意； ∵抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变， ∴， 即a+b＝m+n，所以C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 九．二次函数与不等式（组）（共1小题） 16．（2025•浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　） A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q）， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点横坐标为﹣2和4， 如图所示， ∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是数形结合，利用图象解决问题． 一十．三角形的面积（共1小题） 17．（2025•余姚市一模）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，F是BD的中点，G是CE的中点，BD＝6，CE＝5，且BD与CE所夹得锐角为60°，则△AFG的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形中线，将△AFG的面积进行转化，即可得出结果． 【解答】解：∵F是BD的中点，G是CE的中点， ∴S△AFG＝S△AFC﹣S△AGC﹣S△CFG ， ∵S四边形BCDE， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了中线的性质，三角形的面积，掌握三角形的面积是解题的关键． 一十一．线段垂直平分线的性质（共1小题） 18．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，AC＝6，则BC的长为（　　） A．10 B． C．8 D． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CD＝AC，根据等腰三角形的性质得到∠CDA＝∠DAC，根据三角形的外角性质求出∠B＝∠DAB，得到DB＝DA＝4，计算即可． 【解答】解：∵AE＝DE＝2，CE⊥AD， ∴AD＝4，CE是AD的垂直平分线， ∴CD＝AC＝6， ∴∠CDA＝∠DAC， ∵2∠B＝∠DAC， ∴2∠B＝∠CDA， ∵∠CDA＝∠B+∠DAB， ∴∠B＝∠DAB， ∴DB＝DA＝4， ∴BC＝DB+DC＝4+6＝10， 故选：A． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 一十二．等腰三角形的性质（共1小题） 19．（2025•湖州一模）△ABC中，∠C＝60°，点D，E分别在边AC，BC上，连结BD，AE，DE，若AD＝BD，AB＝AE，∠AED＝∠DBC，则∠ABC的大小为（　　） A．65° B．70° C．72° D．75° 【分析】作AO⊥BC于O，取DN＝DE，交BC于N，作DM⊥BC于M，通过等腰三角形三线合一，可知∠ABO＝∠AEO，BO＝EO，．∠EDM＝∠NDM，EM＝MN，那么可证BO+MN＝OE+ME＝OM，不妨设CM＝1，AD＝2b＝BD，通过DM∥AO，可知，从而得到OM＝b，那么BN＝2b＝BD，不妨设∠DBC＝θ＝∠AED，那么，∠ADB＝θ+60°，，从而得到∠EDN＝θ＝∠AED，推出AE∥DN，∠DAE＝∠CDN，接着依次表示出，，那么，最后求得． 【解答】解：如图，作AO⊥BC于O，取DN＝DE，交BC于N，作DM⊥BC于M， ∵AB＝AE，AO⊥EB， ∴∠ABO＝∠AEO，BO＝EO，， ∵DE＝DN，DM⊥BC， ∴∠EDM＝∠NDM，EM＝MN， ∴BO+MN＝OE+ME＝OM， 不妨设CM＝1，AD＝2b＝BD， ∵∠C＝60°，∠DMC＝90°， ∴∠MDC＝30°， ∴CD＝2， ∵DM∥AO， ∴， ∴， ∴OM＝b， ∴BO+MN＝b， ∴BN＝BO+MN+OM＝2b， ∴BD＝BN，不妨设∠DBC＝θ＝∠AED， ∴，∠ADB＝∠DBC+∠C＝θ+60°， ∴， ∴， ∴∠EDN＝θ＝∠AED， ∴AE∥DN， ∴∠DAE＝∠CDN， ∵AD＝BD， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠CDM＝30°， ∴θ＝30°， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 一十三．等边三角形的性质（共2小题） 20．（2025•湖州一模）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），ME与AB交于点E，反射光线DN与AC交于点F，DK⊥BC，且反射光线和入射光线满足∠NDK＝∠MDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，先根据△ABC是边长为2的等边三角形及ME⊥AB，分别用x表示出BD、CD；再证明∠DFC＝90°，进而用含x的式子表示出FC和FD，则可得出y关于x的函数关系式，观察图象即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，BC＝2， ∵ME⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∴∠BDE＝30°， 又∵BE＝x，ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合）， ∴0＜x＜1， ∴BD＝2x，CD＝2﹣2x． ∵∠MDK＝∠FDK，DK与BC垂直， ∴∠CDF＝∠BDE＝30°， ∴∠DFC＝180°﹣∠CDF﹣∠C＝90°， ∴FCCD（2﹣2x）＝1﹣x，FD＝CD•sin60°＝（2﹣2x）（1﹣x）， ∴yFC•FD （1﹣x）（1﹣x） （1﹣x）2． ∴函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用含x的式子分别表示出△DFC的边长从而得出y关于x的函数解析式是解题的关键． 21．（2025•浙江一模）如图，等边△ABC的边长为4，D是AC上一点，过点D作BC的垂线，交BC于E，用x表示线段BE的长度，显然，Rt△CDE的面积y是线段x的二次函数，则这个函数顶点式是 　y（x﹣4）2（2≤x≤4）．　 ． 【分析】根据题意可知∠C＝60°，，根据面积公式即可得到函数解析式，因为点D是AC上一点，可列关于x的一元一次不等式求出范围即可． 【解答】解：∵正三角形ABC的边长为4，BE＝x，DE⊥CB， ∴CE＝4﹣x，∠C＝60°， ∴∠CDE＝90°﹣60°＝30°， ∴CD＝2EC＝2（4﹣x）＝﹣2x+8， ∴， ∴， ∵D是AC上一点， ∴0≤4﹣x≤2，即：2≤x≤4， ∴y（x﹣4）2（2≤x≤4）． 故答案为：y（x﹣4）2（2≤x≤4）． 【点评】本题考查等边三角形性质，含30°直角三角形三边关系，勾股定理，利用三角形面积公式列函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． 一十四．勾股定理（共1小题） 22．（2024•婺城区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAM＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论． 【解答】解：∵四边形ABGF是正方形， ∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°， ∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°， ∴∠FAC＝∠ABC， 在△FAM与△ABN中， ， ∴△FAM≌△ABN（ASA）， ∴S△FAM＝S△ABN， ∴S△ABC＝S四边形FNCM， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵AC+BC＝6， ∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36， ∴AB2+2AC•BC＝36， ∵AB2﹣2S△ABC＝10.5， ∴AB2﹣AC•BC＝10.5， ∴3AB2＝57， 解得AB或（负值舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 一十五．勾股定理的证明（共1小题） 23．（2025•拱墅区模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是（　　） A．9.5 B．9 C．7.5 D．7 【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b， 由题意可知： S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2， 因为S1+S2+S3＝21，即 （a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝21 3（a2+b2）＝21， 所以3S2＝21， S2的值是7． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 一十六．三角形中位线定理（共2小题） 24．（2025•拱墅区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB中点，点E在AC上．连结DE，且DE平分△ABC的周长．若DE＝2，则BC的长为　2　 ． 【分析】延长AC至F，使得CF＝BC，根据勾股定理求出AF，根据题意得到E是BF的中点，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：延长AC至F，使得CF＝BC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝90°， 在Rt△BCF中，BFBC， ∵D是AB边中点，DE平分△ABC的周长， ∴BC+CE＝AE， ∴EF＝EA，即E是AF的中点， ∵D为AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线， ∴DEBF，即BF＝2DE＝4， ∴BFBC＝4， ∴BC＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的运用，掌握三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 25．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，BE⊥AC交AD于点F，AF＝DF．若，EC＝2，则AB的长为 　　 ． 【分析】取EC中点M，连接MD，求出EM＝1，判定DM是△BCD的中位线，推出EF∥DM，DMBE，判定EF是△ADM的中位线，得到DM＝2EF，求出BE＝2DM＝3，由勾股定理求出AB． 【解答】解：取EC中点M，连接MD， ∴EMEC2＝1， ∵AD是BC上的中线， ∴DM是△BCD的中位线， ∴EF∥DM，DMBE， ∵AF＝FD， ∴AE＝EM＝1， ∴EF是△ADM的中位线， ∴DM＝2EF＝2， ∴BE＝2DM＝3， ∵BE⊥AC交AD于点F， ∴AB． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，关键是取CE中点M，构造三角形的中位线． 一十七．平行四边形的性质（共2小题） 26．（2025•拱墅区模拟）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（　　） A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32 【分析】作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC，则∠ABM＝∠DCN，可证明△ABM≌△DCN，得AM＝DN，BM＝CN，由BD2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC•BM+BM2，AC2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC•BM+BM2，得AC2+BD2＝2AB2+2BC2＝32，则x2+y2＝32，可判断A不符合题意，B不符合题意，C符合题意，D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，则∠ABM＝∠N＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，BC＝2，AC＝x，BD＝y， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABM＝∠DCN， 在△ABM和△DCN中， ， ∴△ABM≌△DCN（AAS）， ∴AM＝DN，BM＝CN， ∴BD2＝DN2+BN2＝AM2+（BC+CN）2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC•BM+BM2， ∵AC2＝AM2+CM2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC•BM+BM2， ∴AC2+BD2＝2AM2+2BM2+2BC2＝2AB2+2BC2＝2×22+2×（2）2＝32， ∴x2+y2＝32， 故A不符合题意，B不符合题意，C符合题意； 假设y2﹣x2＝32成立，则x2+y2＝y2﹣x2， 求得x＝0，不符合题意， ∴y2﹣x2＝32不成立， 故D不符合题意， 故选：C． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线，并且推导出AC2+BD2＝2AB2+2BC2是解题的关键． 27．（2025•湖州一模）如图，在平行四边形ABCD中，B'是点B关于对角线AC的对称点，连结AB'交CD于点E，连结BB'交CD于点F，交AC于点G．AB＝13，AG＝2CG＝12，则△B′EF的面积是 　　 ． 【分析】依据题意，由翻折得：BG⊥AC，BG＝BG，由勾股定理得，可证明△FGC∽△BGA，则求出，则，由于，BG＝BG，则S△ABB'＝2S△ABG＝60可得△BEF∽△BAB，则 （）2＝（）2，即可求解面积． 【解答】解：由题意，由翻折可得，BG⊥AC，BG＝BG． ∵平行四边形ABCD， ∴DC∥AB． ∵AB＝13，AG＝2CG＝12， ∴． ∵DC∥AB， ∴△FGC∽△BGA． ∴． ∴． ∴． ∵，BG＝BG， ∴S△ABB'＝2S△ABG＝60， ∵DC∥AB， ∴△B'EF∽△B′AB， ∴（）2＝（）2． ∴S△B'EF60． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题时要熟练掌握并能灵活运用相似三角形的性质是关键． 一十八．菱形的性质（共1小题） 28．（2025•镇海区校级模拟）在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，连接CE，CF．若，CE＝10，则BC的长为（　　） A． B． C． D．6 【分析】延长CF，BA交于点M，过点E作EN⊥CF于点N，设AE＝BE＝a，则AB＝BC＝DC＝AD＝2a，∠B＝∠D，AB∥CD，AF＝DF＝BE＝DF＝a，解Rt△CEN得EN＝6，CN＝8，证明△BCE和△DCF全等得CE＝CF＝10，则FN＝2，再证明△MAD和△CDF全等得MF＝CF＝10，AM＝CD＝2a，则ME＝3a，MN＝12，在Rt△MEN中，由勾股定理可求出ME，进而得，解得，由此可得BC的长． 【解答】解：延长CF，BA交于点M，过点E作EN⊥CF于点N，如图所示： ∵点E是AB的中点， ∴设AE＝BE＝a，则AB＝2a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝DC＝AD＝2a，∠B＝∠D，AB∥CD， ∵点F是AD的中点， ∴AF＝DF＝a， ∴BE＝DF＝a， ∵EM⊥CF， ∴在Rt△CEN中，CE＝10，sin∠ECF， ∴EN＝3/5CE＝3/5×10＝6， 由勾股定理得：CN8， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS） ∴CE＝CF＝10， ∴FN＝CF﹣CN＝10﹣8＝2， ∵AB∥CD， ∴∠MAD＝∠D， 在△MAD和△CDF中， ， ∴△MAD≌△CDF（ASA）， ∴MF＝CF＝10，AM＝CD＝2a， ∴ME＝AM+AE＝3a，MN＝MF+FN＝10+2＝12， 在Rt△MEN中，由勾股定理得：ME， ∴， 解得：， ∴BC＝2a． 即BC的长为． 故选：A． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 一十九．正方形的性质（共3小题） 29．（2025•西湖区校级模拟）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM＝α，∠BCM＝β．若点Q、B、F三点共线，tanα＝ntanβ，则n的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点Q作QN⊥AB于N，连接Q、B、F，先证明△ENQ≌△CBE，得到EB＝QN＝BN＝BG＝CG，设EB＝QN＝BN＝BG＝CG＝a，则AB＝BC＝CD＝AD＝2a，AN＝a，再证明△CBE≌△CDP、△PAM≌△QNM，得到PA＝a，，，利用三角函数即可求解． 【解答】解：过点Q作QN⊥AB于N，连接Q、B、F，则∠QNE＝∠QNM＝90°， ∵四边形ABCD、四边形BEFG、四边形CPQE是正方形， ∴EC＝EQ，CB＝CD，∠GBE＝∠CEQ＝∠BCD＝∠PCE＝∠A＝90°， ∵点Q、B、F三点共线， ∴∠QBN＝∠EBF＝45°， ∴△EBF、△BQN都是等腰直角三角形， ∴QN＝BN， ∵∠BCE+∠BEC＝90°，∠QEN+∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝∠QEN， 在△ENQ和△CBE中， ， ∴△ENQ≌△CBE（AAS）， ∴EN＝CB，QN＝EB， ∵QN＝BN， ∴EN＝CB＝2EB， ∴EB＝QN＝BN＝BG＝CG， 设EB＝QN＝BN＝BG＝CG＝a，则AB＝BC＝CD＝AD＝2a，AN＝2a﹣a＝a， ∵∠DCP+∠BCP＝90°，∠BCE+∠BCP＝90°， ∴∠DCP＝∠BCE， 在△CBE和△CDP中， ， ∴△CBE≌△CDP（ASA）， ∴BE＝DP＝a， ∴PA＝2a﹣a＝a， ∴PA＝QN， 在△PAM和△QNM中， ， ∴△PAM≌△QNM（AAS）， ∴， ∴， 在Rt△PAM中，， 在Rt△BCM中，， ∵tanα＝ntanβ， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 30．（2025•浙江一模）如图，在正方形ABCD中，连结AC，点E是线段AC上一点（CE＜AE），连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F，连结BF，AE2+CE2＝6，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，由四边形ABCD是正方形，得∠ACB＝∠CAD＝45°，AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，证明四边形ABMN是矩形，故有BM＝AN，再通过三角函数得，，，由勾股定理，得，然后证明△EFN≌△BEM（ASA），所以EF＝BE，则EF2＝BE2＝3，所以． 【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠CAD＝45°，AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴MN⊥AD，∠BME＝∠CME＝∠ANE＝90°， ∴四边形ABMN是矩形，∠EBM+∠BEM＝90°， ∴BM＝AN， 在Rt△AEN中，，， ∴， ∴， 在Rt△CEM中，， ∴， 在Rt△BEM中，由勾股定理，得， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°，∠FEN+∠BEM＝90°， ∴∠FEN＝∠EBM， 在△EFN和△BEM中， ， ∴△EFN≌△BEM（ASA）， ∴EF＝BE， ∴EF2＝BE2＝3， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 31．（2025•宁波模拟）如图1，四个边长为1的小正方形组成一个边长为2的大正方形，过点G的直线l是它的一条对称轴．如图2，将图1中的正方形CDEF沿直线l向下平移，使点A落在CD的垂直平分线上，连结AC，BE，则阴影部分面积为　　 ． 【分析】连接MC，延长AM交CD于点N，根据垂直平分线的性质得到，由平移的性质得到MC∥l，求出，即可解答． 【解答】解：如图，连接MC，延长AM交CD于点N， 由题意可得：． 由平移，得MC∥l， ∴∠CMN＝∠MCN＝∠CDF＝45°， ∴． ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，轴对称图形的性质，平移的性质及垂直平分线的性质，正确进行计算是解题关键． 二十．圆周角定理（共1小题） 32．（2025•乐清市校级模拟）如图，点A是以BC为直径的半圆O上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于M，交AC于N．若AB＝8，AC＝6时，则MN的值为　　 ． 【分析】以BC为直径的半圆O，得∠A＝90°，得出直径是10，再求OD＝OE＝5，由垂径定理得OD⊥AB，OE⊥AC，则点H，W分别是AB，AC的中点，利用三角形中位线定理，得到，再证明四边形HOWA是矩形，则，同理求出，，再代入MN＝DE﹣DM﹣NE进行计算，即可作答． 【解答】解：连接OD交AB于一点H，连接OE交AC于一点W，如图： ∴， ∴OD＝OE＝OB＝OD＝5， ∵D，E分别是和的中点，AB＝8，AC＝6， ∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∴点H，W分别是AB，AC的中点， 由条件可知， ∴DH＝OD﹣OH＝2，EW＝OE﹣OW＝1， ∵∠AHO＝∠HAW＝∠AWO＝90°， ∴四边形HOWA是矩形， ∴∠DOE＝90°， ∵OD＝OE＝5， ∴∠D＝∠E＝45°，， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠HMD＝45°，∠WNE＝45°， ∴HM＝DH＝2，NW＝EW＝1， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二十一．三角形的外接圆与外心（共1小题） 33．（2025•镇海区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，点M为BC的中点，连结AM交⊙O于点E，且C为的中点，连结CE，在BC上存在点H，使得，若BH＝2，则AC的长（　　） A．4 B． C． D． 【分析】连接BE，作HF∥ME交BE于点F，则∠FHE＝∠HEM，由∠HEM∠BCA∠BEM，得∠HEB＝∠HEM，则∠FHE＝∠HEB，所以EF＝HF，则，由，得∠CAM＝∠CEA＝∠CBA，可证明△ACM∽△BCA，由M为BC的中点，得BC＝2MC，则，所以ACMC，再证明△BFH∽△ACM，得，则，则BHMH＝2，求得MH，则MC＝MB2，所以ACMC＝2+2，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BE，作HF∥ME交BE于点F，则∠FHE＝∠HEM， ∵∠BEM＝∠BCA，∠HEM∠BCA， ∴∠HEM∠BEM， ∴∠HEB＝∠HEM， ∴∠FHE＝∠HEB， ∴EF＝HF， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴∠CAM＝∠CEA＝∠CBA， ∵∠ACM＝∠BCA， ∴△ACM∽△BCA， ∴， ∵M为BC的中点， ∴BC＝2MC， ∴， ∴ACMC， ∵∠FBH＝∠CAM，∠BFH＝∠BEM＝∠ACM， ∴△BFH∽△ACM， ∴， ∴， ∴BHMH＝2， ∴MH， ∴MC＝MB＝MH+BH2， ∴ACMC＝2+2， 故选：C． 【点评】此题重点考查圆周角定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 二十二．切线的性质（共1小题） 34．（2025•西湖区校级模拟）如图，⊙O与直线l相交，圆心O到直线l的距离，在直线l上取点B使AB＝3，将直线l绕点B逆时针旋转15°后得到直线m，若直线m恰好与⊙O相切于点C，则⊙O的半径为 　　 ． 【分析】连接OB，OC，首先由，得到∠ABO＝30°，求出，然后证明出OC⊥BC，CB＝CO，得到，进而求解即可． 【解答】解：如图所示，连接OB，OC， ∵圆心O到直线l 的距离， ∴OA⊥AB， ∵AB＝3， ∴，， ∴∠ABO＝30°， ∵将直线l绕点B逆时针旋转15°后得到的直线m， ∴∠ABC＝15°， ∴∠CBO＝∠CBA+∠ABO＝45°， ∵直线m恰好与⊙O相切于点C， ∴OC⊥BC， ∴∠COB＝45°， ∴CB＝CO，CB2+CO2＝BO2， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 故答案为：． 【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二十三．切线的判定与性质（共1小题） 35．（2025•浙江模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD， 由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为5， ∴CF＝DF＝CD， ∴OF， ∴OO′＝2， ∵弧CE'D与AB相切于点E'， ∴O′E′⊥AB， ∴OO′2＝OE′2+O′E′2， ∵OE＝OB﹣BE′＝1﹣x， ∴（2）2＝（5﹣x）2+52， ∴（x﹣5）2+y2＝75， 当x＝5时，y的值最大，最大值为5， 当x＝10时，y的值最小，最小值为5， ∴5CD≤5． 故选：C． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质，作辅助线是解题的关键． 二十四．三角形的内切圆与内心（共2小题） 36．（2025•西湖区校级模拟）如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解决问题． 【解答】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F， S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOCAB•RBC•RAC•RR（AB+AC+BC）， ∵AB+ACBC， ∴S△ABCR（BC+BC）R•BC， ∵AD的长为h， ∴S△ABCBC•h， ∴R•BCBC•h， ∴hR， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形ABC面积相等推出关系式是解题关键． 37．（2025•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3.3，BC＝4.4，则图中△ABO的面积为（　　） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据等面积法求出圆O的半径即可推出结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3.3，BC＝4.4， ∴AB5.5， 如图，连接OC， 设圆O的半径＝r， 则r， 即， ∴r＝1.1， ∴△ABO的面积3.025， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的面积，熟记三角形内接圆的性质是解题的关键． 二十五．弧长的计算（共1小题） 38．（2025•浙江模拟）如图，以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形ABCD（由，，，组成）是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若AB＝2，则封闭图形ABCD的周长是 　π　 ． 【分析】连接AD、CD，如图，先根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到AD＝CD＝AC，所以，所以封闭图形ABCD的周长＝4的长，然后根据弧长公式计算即可． 【解答】解：连接AD、CD，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴， ∵AD＝CD＝AC， ∴， ∴， ∴封闭图形ABCD的周长＝4的长＝4π． 故答案为：π． 【点评】本题考查了弧长的计算，弧长公式：l（其中n为圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了等边三角形的性质． 二十六．扇形面积的计算（共1小题） 39．（2025•湖州一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD的长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD、BD，易证得OB＝OD＝BD＝2，即可得到∠BOD＝60°，求得，然后根据S阴影＝S扇形CDE+S△COD﹣S扇形BOD求得即可． 【解答】解：连接OD、BD， ∵过OB的中点C作于点D， ∴OD＝BD， ∵OB＝OD， ∴OB＝OD＝BD＝2， ∴∠BOD＝60°， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，掌握扇形面积的计算是解题的关键． 二十七．命题与定理（共1小题） 40．（2025•宁波模拟）将函数的图象绕原点O逆时针旋转45°得到图象C，在图象C上任取两点（x1，y1），（x2，y2），下列命题：①若x1+x2＝0，则y1＝y2；②若y1＞y2，则；③若x1＜x2＜0，则y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】先根据反比例函数的对称性和旋转性质得到图象C关于y轴对称，根据轴对称性质可判断①；根据图象C与y轴交于点（0，2），y1＞y2，利用不等式的性质可判断②；根据图象C的增减性可判断③，进而可得答案． 【解答】解：∵反比例函数的图象关于直线y＝x对称，且过点 ∴图象C关于y轴对称，图象C与y轴交于点（0，2）， ∴当x1+x2＝0时，y1＝y2，故命题①正确． ∵图象C与y轴交于点（0，2），y1＞y2． ∴y1＞y2≥2． ∴，即，故命题②正确． ∵在图象C上，当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴当x1＜x2＜0时，y1＞y2．即命题③正确． 综上，正确的是①②③， 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的性质、旋转性质、轴对称性、不等式性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． 二十八．翻折变换（折叠问题）（共5小题） 41．（2025•浙江模拟）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC上的点，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，要想知道正方形ABCD的边长，只需知道（　　） A．BF的长度 B．△B′CF的周长 C．△B′DG的周长 D．△A′EG的面积 【分析】证明△DB′G∽△CFB′，可得，故DB'+DG+B'G，即可证明DB'+DG+B'G＝2AB，故要想知道正方形ABCD的边长，只需知道△B′DG的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠C＝∠B＝90°，BC＝CD＝AB， 由折叠得∠GB′F＝∠B＝90°，B′F＝BF， ∴DB′＝CD﹣B′C＝BC﹣B′C，CF+B′F＝CF+BF＝BC，BF2﹣B′C2＝B′F2﹣B′C2＝CF2，∠DB′G＝∠CFB′＝90°﹣∠CB′F， ∴△DB′G∽△CFB′， ∴， ∴， ∴DB'+DG+B'G， ∵2（BF+CF）＝2AB， ∴DB'+DG+B'G＝2AB， ∴要想知道正方形ABCD的边长，只需知道△B′DG的周长； 故选：C． 【点评】本题考查折叠变化，涉及相似三角形的判定与性质，正方形性质及应用，解题的关键是需要有较强的运算，变形的能力． 42．（2025•西湖区校级模拟）如图，在▱ABCD中，点E是CD边上的一点，若AB＝5，CE＝2，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连结AG，点A在EG的延长线上，BG恰好平分∠ABE，则AG的长为 　3　 ，cos∠EAD的值为 　　 ． 【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出AE＝AB，进而得出AG＝3，延长BE交AD的延长线于点F，过点B分别作AE，AF的垂线，垂足分别为H，M，根据AB∥DE，证明△FED∽△FBA，求得，进而勾股定理求得HE，BG，BG，根据sin∠BGH＝sin∠BAM得出BM，进而勾股定理求得MF，根据余弦的定义，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵将△BCE沿BE翻折得△BGE， ∴∠CBE＝∠GBE，∠CEB＝∠AEB，CE＝GE， 设∠CBE＝∠GBE＝α ∵BG恰好平分∠ABE， ∴∠ABG＝∠GBE＝∠CBE＝α ∴∠ABE＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠CEB＝∠ABE＝2α， ∴∠AEB＝∠ABE＝2α ∴AE＝AB， 又∵CE＝GE， ∴AG＝AE﹣GE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3； 如图所示，延长BE交AD的延长线于点F，过点B分别作AE，AF的垂线，垂足分别为H，M， ∵AB＝AE，∠AEB＝∠ABE＝2α， ∴∠BAE＝180°﹣4α， ∵BC∥AD， ∴∠F＝∠CBE＝α，∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝（180°﹣3α）﹣（180°﹣4α）＝α， ∴∠F＝∠EAF＝α， ∴EF＝EA＝5， ∵DE＝CD﹣CE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3，AB∥DE， ∴△FED∽△FBA， ∴， ∴， ∴，则， 在Rt△ABH，Rt△BEH中， BE2﹣EH2＝AB2﹣AH2， ∴， 解得：， 则，， 在Rt△BGH中，， ∵∠BGH＝∠C＝∠BAM， ∴sin∠BGH＝sin∠BAM， ∴， ∴， 在Rt△BMF中，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质，求余弦，熟练掌握以上知识是解题的关键． 43．（2025•浙江一模）如图，把一张矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对应点为F，EF交BD于点G．若点G为EF的中点，BF平分∠DBC，则 　　 ． 【分析】延长EF交BC于点H，可证△BFG≌△BFH，得到GF＝FH，设EG＝GF＝FH＝y，GD＝x，则AE＝EF＝2y，根据平行线分线段成比例得到，得到DE＝x，能够得到AD＝AE+DE＝2y+x＝BC，根据勾股定理得AB2＝BD2﹣AD2＝8x2﹣4y2﹣4xy，BF2＝BG2﹣GF2＝4x2﹣y2，能够得到，先计算即可求得． 【解答】解：延长EF交BC于点H， 由折叠得，AB＝BF，∠A＝∠BFG＝90°＝∠BFH，AE＝EF， 由条件可知∠FBG＝∠FBH， 在△BFG和△BFH中， ， ∴△BFG≌△BFH（ASA）， ∴GF＝FH， 由条件可知EG＝GF， 设EG＝GF＝FH＝y，GD＝x，则AE＝EF＝2y， ∵AD∥BC，AD＝BC， ∴， 即， ∴BG＝2x， 即BH＝BG＝2x， ∴， 即DE＝x， ∴AD＝2y+x＝BC， 在Rt△ABD中，AB2＝（3x）2﹣（2y+x）2＝8x2﹣4y2﹣4xy， 在Rt△BGF中，BF2＝（2x）2﹣y2＝4x2﹣y2， ∴AB2＝BF2， ∴8x2﹣4y2﹣4xy＝4x2﹣y2， 化简得3y2+4xy﹣4x2＝0， 解得y＝﹣2x（舍），3y＝2x， 即， ∴， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理，翻折变化，熟练掌握以上知识点解答本题的关键． 44．（2025•浙江一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E为AB中点，将菱形沿FG折叠，使点C与点E重合，连结EF、EG，则BG＝　1.2　 ． 【分析】过E作EH⊥CB交CB的延长线于H，由菱形的性质得BC＝AB＝4，AD∥BC，由角三角形的特征得BH＝1，设BG＝x，由折叠得：EG＝CG＝4﹣x，由勾股定理得EH2+HG2＝EG2，即可求解． 【解答】解：过E作EH⊥CB交CB的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝4， AD∥BC， ∴∠EBH＝∠A＝60°， ∴∠BEH＝90°﹣∠EBH＝30°， ∴， ∵点E为AB中点， ∴， ∴BH＝1， ∴ ， 设BG＝x， 则CG＝4﹣x，HG＝1+x， 由折叠得：EG＝CG＝4﹣x， ∵EH2+HG2＝EG2， ∴， 解得：x＝1.2， ∴BG＝1.2， 故答案为：1.2． 【点评】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，能构建直角三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 45．（2025•乐清市校级模拟）如图，在直角坐标系中，A（0，4），B是直线y＝x上一点，连结AB，△AOB沿着AB折叠，点O的对应点为C，过点C作DE⊥x轴，交直线y＝x于点D，交x轴于点E．若CD＝CE，则的值为　　 ． 【分析】先根据点D在直线y＝x上，得D（r，r），结合折叠性质，得AC＝AO＝4，OB＝BC，再运用两点距离公式列式，得出，，则，同理设B（b，b），结合OB＝BC，故，解得，同理得，把数值代入进行化简，即可作答． 【解答】解：过点B作BH⊥x轴，如图所示： ∵点D在直线y＝x上，过点C作DE⊥x轴， ∴设点D（r，r）， ∵CD＝CE， ∴， 由条件可知AC＝AO＝4，OB＝BC， 则， 整理得， 解得， ∴，； ∴OD， ∵B是直线y＝x上一点， ∴设B（b，b）， ∵OB＝BC， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正比例函数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二十九．旋转的性质（共3小题） 46．（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则S△BEC：S△DEC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝60°，得到△ACD为等边三角形，由等边三角形三线合一可知AG＝CG再设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，易得DGa，△ABE∽△GDE，由相似三角形的性质和勾股定理求出DE，以此即可求解． 【解答】解：如图，连接AD，过点D作DG⊥AC于点G， ∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD， ∴AC＝CD，∠ACD＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∵DG⊥AC， ∴AG＝CGAC， 设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a， 在Rt△ADG中，DGa， ∵∠BAE＝∠DGE＝90°，∠AEB＝∠GED， ∴△ABE∽△GDE， ∴， ∴S△BEC：S△DEC的值为， 故选：D． 【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题． 47．（2025•拱墅区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，且DP＝1，则菱形的边长是 　1　 ． 【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC∠BAD＝30°，由旋转的性质得出AE＝AB，∠EAG＝∠BAD＝60°，设PE＝x，则CE＝2x，PCx，DC＝1x，由AC＝2OC列出方程求出x即可得出答案． 【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD， ∵四边形AEFG是菱形， ∴EF∥AG， ∴∠CEP＝∠EAG＝60°， ∴∠CEP+∠ACD＝90°， ∴∠CPE＝90°， ∴PECE， 由旋转的性质得：AE＝AB，∠EAG＝∠BAD＝60°， 设PE＝x，则CE＝2x，PCx， ∴DC＝1x， ∴OC（1x）， ∵AC＝CE+AE＝2x+1x， ∵AC＝2OC， ∴2x+1x（1x）， 解得x＝1， ∴DC＝1． ∴菱形的边长是1； 方法2：连接DF， 由题可知旋转角度为∠BAC＝30°， ∴AF＝AC，AE＝AB＝AD， ∴DF＝EC， ∵∠AFE＝∠ACD，∠FPD＝∠CPE， ∴△FDP≌△CEP（AAS）， ∴DP＝PE＝1， ∴DC＝1． ∴菱形的边长是1； 故答案为：1． 【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 48．（2025•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB，BC＝5，D是斜边AC上的动点，以线段BD为一边并在其右侧作等边三角形BDE，连结CE，则CE的最小值是 　2，　 ． 【分析】如图，在BC的上方作等边△FBC，连接AF，DF，过点F作FH⊥AB于点H．利用全等三角形的性质证明DF＝CE，求出DF的最小值即可． 【解答】解：如图，在BC的上方作等边△FBC，连接AF，DF，过点F作FH⊥AB于点H． ∵∠ABC＝90°，∠FBC＝60°，BC＝BF＝CF＝5， ∴FHBF， ∵tan∠ACB， ∴AB， ∴AC， ∵△BDE是等边三角形， ∴BE＝BD，∠DBE＝∠FBC＝60°， ∴∠DBF＝∠EBC， ∴△BDF≌△BEC（SAS）， ∴DF＝CE， ∴当DF⊥AC时，DF的值最小，此时CE的值最小， ∵S△ABF+S△BFC＝S△ABC+S△ACF， ∴525DF， ∴DF2， ∴CE的最小值为2， 故答案为：2， 【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确找出当CE的值最小时，点E的位置是解题关键． 三十．相似三角形的判定与性质（共7小题） 49．（2025•乐清市校级模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝8，D是BC上一点，BD＜CD，连结接AD，作DE⊥AD，交BC的垂线CE于点E．连接AE，交BC于F，若设CF＝x，CE＝y，在D的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．xy C．x2+y2 D． 【分析】过点A作AG⊥BC于点G，证明△AGF∽△ECF得出，进而逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点A作AG⊥BC于点G， ∵等腰直角三角形ABC中，BC＝8， ∴， ∵CE⊥BC， ∴AG∥EC， ∴△AGF∽△ECF， ∴即， 解得：， ∴x+yy，，都不是定值， ∴是定值， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 50．（2025•镇海区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且，点M是AC边上一个动点，连接MN，以MN为直角边，点M为直角顶点，在MN的左侧作等腰直角三角形MNQ，则CQ的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，在CN的下方作等腰直角△CNT，作射线TQ，交BC 的延长线于G．证明△MNC∽△QNT，可得∠MCN＝∠QTN＝90°，∠CTQ＝45°，证明Q在射线TQ上，可得当CQ⊥TQ时，CQ最短，再进一步求解即可． 【解答】解：∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且， ∴AB＝2，， 如图，在CN的下方作等腰直角△CNT，作射线TQ，交BC的延长线于G． ∴，∠CNT＝∠CTN＝45°， ∵等腰直角三角形MNQ， ∴，∠MNQ＝45°， ∴∠MNC＝∠QNT， ∴△MNC∽△QNT， ∴∠MCN＝∠QTN＝90°， ∴∠CTQ＝45°， ∵Q在射线TQ上， ∴当CQ⊥TQ时，CQ最短， ∵∠ACB＝90°＝∠TCN＝∠TCG， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 51．（2025•浙江一模）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论： ①△APE≌△AME； ②PM+PN＝AC； ③PE2+PF2＝PO2； ④△POF∽△BNF； ⑤点O在M、N两点的连线上． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤ 【分析】依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BAC＝∠DAC＝45°． ∵在△APE和△AME中， ， ∴△APE≌△AME（ASA），故①正确； ∴PE＝EMPM， 同理，FP＝FNNP． ∵正方形ABCD中AC⊥BD， 又∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE ∴四边形PEOF是矩形． ∴PF＝OE， ∴PE+PF＝OA， 又∵PE＝EMPM，FP＝FNNP，OAAC， ∴PM+PN＝AC，故②正确； ∵四边形PEOF是矩形， ∴PE＝OF， 在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2， ∴PE2+PF2＝PO2，故③正确． ∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是等腰直角三角形，故④错误； 连接OM，ON， ∵OA垂直平分线段PM．OB垂直平分线段PN， ∴OM＝OP，ON＝OP， ∴OM＝OP＝ON， ∴点O是△PMN的外接圆的圆心， ∵∠MPN＝90°， ∴MN是直径， ∴M，O，N共线，故⑤正确． 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键． 52．（2025•余姚市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且满足∠ABC＝2∠CAD，连结AD．作∠ABC的平分线分别交AC，AD于点E，点F．若AF＝2DF，则　2　 ，　　 ． 【分析】延长DC至点G，使CG＝CD，连接AG，延长BE交AG于点H，利用角平分线的性质定理得到2，设BD＝a，则AB＝2a，利用全等三角形的判定与性质得到BG＝AB＝2a，进而求得BC＝BD+CDa，最后利用角平分线的性质定理解答即可得出结论． 【解答】解：延长DC至点G，使CG＝CD，连接AG，延长BE交AG于点H，如图， ∵BF是∠BAC的平分线， ∴， ∵AF＝2DF， ∴2． 设BD＝a，则AB＝2a． ∵CG＝CD，AC⊥BC， ∴AC为DG的垂直平分线， ∴AD＝AG， ∴∠DAC＝∠GAC． ∵∠ABC＝2∠CAD，∠ABC＝2∠CBE， ∴∠CAD＝∠CBE． ∵∠CBE+∠CEB＝90°，∠CEB＝∠HEA， ∴∠HEA+∠GAC＝90°， ∴∠AHB＝∠GHB＝90°． 在△GHB和△AHB中， ， ∴△GHB≌△AHB（ASA）， ∴BG＝AB＝2a， ∴GD＝GB﹣DB＝a， ∴CD＝CGGDa， ∴BC＝BD+CDa， ∵BF是∠BAC的平分线， ∴． 故答案为：2；． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 53．（2025•浙江模拟）有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在△ABC中，点D，E在AC上，点F在AB上，点G，H在BC上．若每个小正方形的边长为1，则△ABC的周长为 　　 ． 【分析】过点E作EM⊥BC于点M，利用相似三角形的性质计算长度，即可得到△ABC的周长． 【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M， 由题意得：BM＝5，EM＝2，DH＝3，HM＝3，EM∥DH∥AB， ∴， 设CM＝x，则CH＝CM+HM＝3+x， ∴， ∴x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解， ∴CM＝6， ∴BC＝BM+CM＝5+6＝11， ∴， ∴AB， ∴AC， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 54．（2025•浙江模拟）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2． （1）若∠CBP＝40°，则∠BEM＝ 　85°　 ． （2）若S1＝5S2，则的值是 　　 ． 【分析】（1）由全等三角形的性质及正方形的性质得∠BAN＝∠CBP＝40°，MN＝PN，∠PNM＝90°，则∠AME＝∠NMP＝∠NPM＝45°，求得∠BEM＝∠BAN+∠AME＝85°，于是得到问题的答案； （2）作AL∥BP，交FE的延长线于点L，设NP＝MN＝MQ＝m，则DM＝MA+m，由S1＝5S2，得AD2＝5m2，则ADm，由勾股定理得MA2+（MA+m）2＝（m）2，求得MA＝m，则BP＝AN＝2m，可证明△AML∽△NMP，得1，则AL＝NP＝m，由△AEL∽△BEP，得，于是得到问题的答案． 【解答】解：（1）∵由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD， ∴∠BAN＝∠CBP＝40°，MN＝PN，∠PNM＝90°， ∴∠AME＝∠NMP＝∠NPM＝45°， ∴∠BEM＝∠BAN+∠AME＝40°+45°＝85°， 故答案为：85°． （2）作AL∥BP，交FE的延长线于点L，设NP＝MN＝MQ＝m， ∵MA＝DQ， ∴DM＝DQ+MQ＝MA+m， ∵正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，且S1＝5S2， ∴AD2＝5MN2＝5m2， ∴ADm或ADm（不符合题意，舍去）， ∵MA2+DM2＝AD2， ∴MA2+（MA+m）2＝（m）2， 解得MA＝m或MA＝﹣2m（不符合题意，舍去）， ∴BP＝AN＝MA+MN＝m+m＝2m， ∵AL∥NP， ∴△AML∽△NMP， ∴1， ∴AL＝NP＝m， ∵△AEL∽△BEP， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查全等三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 55．（2025•浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E在AB的延长线上，DE分别交BC，AC于点F，G．若AB＝5，AE＝AD＝8，EF＝DG，则BC＝ 　　 ． 【分析】由平行线的性质推出∠DAE+∠ABC＝180°，求出∠DAE＝90°，判定△AED是等腰直角三角形，得到DEAD＝8，∠E＝45°，判定△EBF是等腰直角三角形，得到FEBE，BF＝BE，求出BE＝3，得到FE＝3，求出FG＝2，判定△CFG∽△ADG，推出FC：AD＝FG：GD，求出FC，即可得到BC的长． 【解答】解：∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠DAE+∠ABC＝180°， ∴∠DAE＝90°， ∵AD＝AE＝8， ∴△AED是等腰直角三角形， ∴DEAD＝8，∠E＝45°， ∵∠EBF＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴△EBF是等腰直角三角形， ∴FEBE，BF＝BE， ∵BE＝AE﹣AB＝8﹣5＝3， ∴FE＝3， ∴DG＝EF＝3， ∴FG＝ED﹣EF﹣GD＝8332， ∵FC∥AD， ∴△CFG∽△ADG， ∴FC：AD＝FG：GD， ∴FC：8＝2：3， ∴FC， ∴BC＝BF+FC＝3． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是判定△CFG∽△ADG，推出FC：AD＝FG：GD． 三十一．解直角三角形（共4小题） 56．（2025•乐清市校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACGF，连结CF，DF，设∠CFD＝α，则tanα的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】连接AD，AG，设AG，CF交于点O，则AG⊥CF，证明D，A，G三点共线，进而根据正切的定义，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接AD，AG，设AG，CF交于点O，则AG⊥CF， 由条件可知∠DAB＝∠CAG＝45°， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠CAG+∠BAC＝180°， ∴D，A，G三点共线， 又∵AG⊥CF， ∴， ∵AB＝4，AC＝6， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了求正切，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 57．（2025•浙江一模）如图，已知AD∥BC，BD⊥AC，AC＝4，BD＝8，则sin∠DBC＝ 　　 ． 【分析】过D作DE∥AC，交BC延长线于点E，证明四边形ADEC是平行四边形，则AC＝DE＝4，再由勾股定理求出，然后由即可求解． 【解答】解：过D作DE∥AC，交BC延长线于点E， ∵AD∥BC， ∴四边形ADEC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∴AC＝DE＝4， ∵BD⊥AC， ∴BD⊥DE， ∴∠BDE＝90°， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 58．（2025•宁波模拟）如图，△ABC≌△DAE，∠BAC＝∠ADE＝90°，点D在边AC上，AD＜AC，AE，DE分别交BC于点F，G．若tanB＝m，则CG：BG＝　m﹣1　 （用含m的式子表示）． 【分析】首先由全等得到AB＝AD，然后得到AB∥DE，推出，然后结合tanB＝m即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△DAE，∠BAC＝∠ADE＝90°， ∴AB＝AD， ∴∠BAC+∠ADE＝180°， ∴AB∥DE， ∴， ∵， ∴CG：BG＝m﹣1． 故答案为：m﹣1． 【点评】本题考查全等三角形的性质，解直角三角形，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 59．（2025•浙江一模）直角三角形ADE和ABC的直角顶点重合在点A，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，M、N分别是边AC、DE上的动点，且DN＝AM，则AN+BM的最小值是 　　 ． 【分析】过点A作AF⊥DE于F，则DF＝EF＝AF＝1，设DN＝AM＝x，则AN，BM，进而得AN+BM，在直角坐标系中，设点H（x，0），P（1，1），Q（0，2），则HP+HQ，因此要求AN+BM的最小值，只需求出HP+HQ的最小值即可，作点Q（0，2）的对称点Q'（0，﹣2），连接PQ'交x轴于R，连接HQ'，当点D与点R重合时，HP+HQ'为最小，最小值为线段PQ'的长，然后求出PQ'，由此可得AN+BM的最小值． 【解答】解：过点A作AF⊥DE于F，如图1所示： ∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2， ∴△ADE为等腰直角三角形，∠ABC＝30°， ∴DF＝EF＝AFDE＝1， 设DN＝AM＝x， ∴FN＝DF﹣DN＝1﹣x， 在Rt△ANF中，由勾股定理得：AN， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：BM， ∴AN+BM， 在直角坐标系中，设点H（x，0），P（1，1），Q（0，2）， 则HP，HQ， ∴HP+HQ， 因此要求AN+BM的最小值，只需求出HP+HQ的最小值即可， 作点Q（0，2）的对称点Q'（0，﹣2），连接PQ'交x轴于R，连接HQ'，如图2所示： ∴HQ＝HQ'， ∴HP+HQ＝HP+HQ' 根据“两点之间线段最短”得：HP+HQ'≥PQ'， ∴当点D与点R重合时，HP+HQ'为最小，最小值为线段PQ'的长， 即HP+HQ的最小值为线段PQ'的长， ∵PQ'， ∵HP+HQ的最小值， 即AN+BM的最小值． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用轴对称求最短路线，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用轴对称求最短路线是解决问题的关键． 三十二．由三视图判断几何体（共1小题） 60．（2025•余姚市一模）图②是图①中长方体的三视图，用S表示面积，S主视图＝x2+3x，S左视图＝x2+x，则S俯视图等于（　　） A．x2+3x+2 B．x2+2x+1 C．x2+4x+3 D．2x2+4x 【分析】根据题意，得出长方体的长和宽，据此表示出俯视图的面积即可． 【解答】解：由题知， 因为S主视图＝x2+3x，S左视图＝x2+x，且主视图和左视图的长方形宽都是x， 所以原长方形的长为x+3，宽为x+1， 则． 故选：C． 【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积，能根据题意用含x的代数式表示出原长方体的长和宽是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$