10.5分式方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

10.5 分式方程 第10章 分式 第1课时 苏科版 八年级 数学 下册 教学目标 01 理解分式方程的概念 02 能解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根产生的原因 03 能运用分式方程解决实际问题 01 课堂引入 讨 论 问题1 甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同。怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？ 分析：甲每天加工服装x件，加工服装20件用天。 乙每天加工服装( x + 1 )件，加工服装24件用天。 解：设甲每天加工服装x件，可得方程 = 。 01 课堂引入 讨 论 问题2 一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字互换，那么所得的两位数与原两位数的比值是。怎样用方程来描述 其中数量之间的相等关系？ 分析：十位数字是x，原两位数是10x + 4。 个位数字与十位数字互换后的两位数是4 × 10 + x。 解：设这个两位数的十位数字是是x，可得方程 = 。 01 课堂引入 讨 论 问题3 某校学生到离学校15km处植树，部分学生骑自行车出发40min后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体学生同时到达。怎样用方程来描述其中数量之间的相等关系？ 分析：自行车的速度是x km/h，行15km用 h。 汽车的速度是3x km/h，行15km用 h。 解：设自行车的速度为x km/h，可得方程 = + 。 02 知识精讲 讨 论 上面所得方程与一元一次方程有什么区别？ 解：一元一次方程中，分母中都不含未知数，是整式方程； 上面所得方程中，分母中都含有未知数，不是整式方程。 02 知识精讲 分式方程： 方程 = 、 = 、 = + ， 分母中都含有未知数，像这样的方程叫做分式方程。 02 知识精讲 探 索 如何解分式方程 = ？ 分析：解一元一次方程 = 时 ，先去分母。 解这个分式方程也可以先去分母吗？ 这个分式方程的两边同乘各分式的最简公分母x ( x + 1 )， 可以得到一元一次方程20 ( x + 1 ) = 24x。 解这个一元一次方程，得x = 5。 为了判断x = 5是不是原分式方程的解， 我们把x = 5代入原方程：左边 = = 4，右边 = = 4，左边 = 右边。 x = 5是原方程的解。 02 知识精讲 解分式方程时，在方程的两边同乘各分式的最简公分母，有时可 以转化为解一元一次方程。 02 知识精讲 例1 解方程： - = 0。 解：方程两边同乘x ( x - 2 )，得3( x - 2 ) - 2x = 0。 解这个一元一次方程，得x = 6。 把x = 6代入原方程：左边 = - = 0，右边 = 0，左边 = 右边。 x = 6是原方程的解。 练 习 02 知识精讲 解下列方程： ( 1 ) = ； ( 2 ) = ； ( 3 ) - = ； ( 4 ) + = 1。 解：( 1 ) = ， 方程两边同乘4 ( 5x + 2 )，得2 ( 40 + x ) = 7 ( 5x + 2 )。 解这个一元一次方程，得x = 2。 把x = 2代入原方程：左边 = = ，右边 = ，左边 = 右边。 x = 2是原方程的解。 练 习 02 知识精讲 解下列方程： ( 1 ) = ； ( 2 ) = ； ( 3 ) - = ； ( 4 ) + = 1。 ( 2 ) 方程两边同乘x ( x - 1 )，得9 ( x - 1 ) = 8x。 解这个一元一次方程，得x = 9。 把x = 9代入原方程：左边 = = 1，右边 = = 1，左边 = 右边。 x = 9是原方程的解。 练 习 02 知识精讲 解下列方程： ( 1 ) = ； ( 2 ) = ； ( 3 ) - = ； ( 4 ) + = 1。 ( 3 ) 方程两边同乘3x，得3 × 15 - 15 = 2x。 解这个一元一次方程，得x = 15。 把x = 15代入原方程：左边 = - = ，右边 = ，左边 = 右边。 x = 15是原方程的解。 练 习 02 知识精讲 解下列方程： ( 1 ) = ； ( 2 ) = ； ( 3 ) - = ； ( 4 ) + = 1。 ( 4 ) 方程两边同乘( 2x - 5 )，得x - 5 = 2x - 5。 解这个一元一次方程，得x = 0。 把x = 0代入原方程：左边 = + = 1，右边 = 1，左边 = 右边。 x = 0是原方程的解。 02 知识精讲 解分式方程： = - 1。 解：两边同乘3 ( x - 2 )，得3 (5x - 4) = 4x + 10 - 3 ( x - 2 )。 解得x = 2。 探 索 x = 2是不是这个分式方程的解？ 把x = 2代入原方程，分式、的分母都为0，没有意义。 02 知识精讲 分式方程的增根： 在分式方程 = - 1的两边同乘3 ( x - 2 )后， 解得的x = 2使所乘整式3 ( x - 2 )的值为0， x = 2不是原分式方程的根，原方程无解。 像这样的根叫做原分式方程的增根。 由于解分式方程可能产生增根， 因此解分式方程必须对解得的根进行检验。 02 知识精讲 例2 解下列方程： ( 1 ) = ； ( 2 ) - = 。 解：( 1 ) 方程两边同乘x ( x + 1 )，得30 ( x + 1 ) = 20x。 解得x = -3。 检验：当x = -3时，x ( x + 1 ) = 6 ≠ 0，x = -3是原方程的解。 ( 2 ) 方程两边同乘( x + 2 ) ( x - 2 )，得( x - 2 )2 - ( x + 2 )2 = 16。 解得x = -2。 检验：当x = -2时，( x + 2 ) ( x - 2 ) = 0，x = -2是增根，原方程无解。 练 习 02 知识精讲 解下列方程： ( 1 ) -5 = ； ( 2 ) = - 3； ( 3 ) = 。 解：( 1 ) 方程两边同乘( x - 1 )，得4 + x - 5 ( x - 1 ) = 2x。 解得x = 。 检验：当x = 时，x - 1 = ≠ 0，x = 是原方程的解。 ( 2 ) 方程两边同乘( x - 2 )，得1 = x - 1 - 3 ( x - 2 )。 解得x = 2。 检验：当x = 2时，x - 2 = 0，x = 2是增根，原方程无解。 练 习 02 知识精讲 解下列方程： ( 1 ) -5 = ； ( 2 ) = - 3； ( 3 ) = 。 ( 3 ) = ， 方程两边同乘( x + 1 ) ( x - 1 )，得3 ( x - 1 ) = 6。 解得x = 3。 检验：当x = 3时，( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 ≠ 0，x = 3是原方程的解。 02 知识精讲 例3 某校为迎接市中学生田径运动会，计划由八年级( 1 )班的3个小组制作240面彩旗，后因1个小组另有任务，其余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务。如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？ 解：设每个小组有学生x名。 根据题意，得 - = 4。 解这个方程，得x = 10。 经检验，x = 10是所列方程的解。 答：每个小组有学生10名。 02 知识精讲 例4 甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元。已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元。甲、乙两公司各有多少人？ 解：设乙公司有x人，则甲公司有( 1 + 20% )x 人。 根据题意，得 - = 20。 解这个方程，得x = 250。 经检验，x = 250是所列方程的解。 ( 1 + 20% )x = 300。 答：甲公司有300人，乙公司有250人。 02 知识精讲 例5 小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本。已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？ 解：设软面笔记本每本x元 , 则硬面笔记本每本( x + 1.2 )元。 若小明和小丽能买到相同数量的笔记本，则 = 。 解这个方程，得x = 1.6。 经检验， x = 1.6是所列方程的解。 但按此价格，他们都买了7.5本笔记本，不符合实际意义。 答：小明和小丽不能买到相同数量的笔记本。 02 知识精讲 有时，根据实际问题列出的分式方程虽然有解，但方程的解不符 合实际意义，这个实际问题仍无解。 练 习 02 知识精讲 1.一个分数的分母比它的分子大5，如果将这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得分数是原分数的倒数。求原分数。 解：设原分数的分子为x，则分母为( x + 5 )。 根据题意，得 = 。 解这个方程，得x = 4。 经检验，x = 4是所列方程的解。 = 。 答：原分数是。 练 习 02 知识精讲 2.甲 、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个与乙检测200个所用的时间相等。甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？ 解：设甲机器人每小时检测x个零件，则乙机器人每小时检测( x - 10 )个零件。 根据题意，得 = 。 解这个方程，得x = 30。 经检验，x = 30是所列方程的解。 x - 10 = 20。 答：甲机器人每小时检测30个零件，则乙机器人每小时检测20个零件。 例1 03 典例精析 下列方程中，是分式方程的是（　　） A． + =1 B． + =1 C．2x = x - 5 D．x - 2y = 6 B 例2 03 典例精析 若关于x的方程 + =3有增根，则m的值是________。 解：方程两边同乘( x - 2 )，得2 - (2x - m) = 3( x - 2 )。 解得x = 。 ∵分式方程有增根， ∴x - 2 = 0，即x = 2， ∴ = 2， 解得：m = 2。 2 例3 03 典例精析 关于x的分式方程 + =1的解是正数，则m的取值范围是 （　　） A．m > 2且m ≠ 3 B．m > 2 C．m ≥ 2且m ≠ 3 D．m ≥ 2 解：方程两边同乘( x - 1 )，得m - 3 = x - 1。 解得x = m - 2。 ∵x > 0且x ≠ 1， ∴m - 2 > 0且m - 2 ≠ 1， ∴m > 2且m ≠ 3。 A 例4 03 典例精析 用换元法解方程 + = 3时，若设 = y，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A．2y2 - 3y + 1 = 0 B．2y2 + 3y + 1 = 0 C．y2 - 3y + 2 = 0 D．y2 + 3y + 2 = 0 解：设 = y， 则 + = 3可化为2y + = 3。 ∴2y2 + 1 = 3y， ∴2y2 - 3y + 1 = 0。 A 例5 03 典例精析 列方程解应用题 开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚。某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份。近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求香蕉每千克的价格。 解：设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元。 根据题意，得 - =150。 解这个方程，得x = 10。 经检验，x = 10是所列方程的解。 70%x = 7。 答：香蕉每千克的价格为7元。 课后总结 分式方程： 方程 = 、 = 、 = + ， 分母中都含有未知数，像这样的方程叫做分式方程。 分式方程的增根： 在分式方程 = - 1的两边同乘3 ( x - 2 )后，解得的x = 2使所乘整式3 ( x - 2 )的值为0， x = 2不是原分式方程的根，原方程无解。像这样的根叫做原分式方程的增根。 由于解分式方程可能产生增根，因此解分式方程必须对解得的根进行检验。 苏科版 八年级 数学 下册 谢谢观看！ $$