第十九章 一次函数（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（山东专用）

第十九章 一次函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025•市中区校级一模）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≠0且x≠﹣3 2．（2024秋•锦江区校级期末）关于一次函数y＝x﹣2，下列说法不正确的是（　　） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与y轴交于点（0，﹣2） D．当x＜2时，y＞0 3．（2024秋•游仙区期末）若一次函数y＝（m﹣3）x﹣3的图象经过第二、三、四象限，则常数m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m＜0 C．m＞3 D．m＞﹣3 4．（2025•浙江一模）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 5．（2025春•东城区校级月考）如图所示，已知点A（1，2）是一次函数y＝﹣x+b图象上的一点，则方程﹣x+b＝2的解是（　　） A．x＝2 B．x＝1 C．x＝0 D．无法确定 6．（2024秋•舒城县期末）一次函数y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2024春•钢城区期末）在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车沿木板从不同高度h下滑的时间t，得到如表所示的数据，则下列结论不正确的是（　　） 高度h/cm 10 20 30 40 50 … 下滑时间t/s 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … A．在这个变化中，高度是自变量 B．当h＝40cm时，t约为2.66s C．随着高度的增加，下滑时间越来越短 D．高度每增加10cm，下滑时间就减少0.24s 8．（2024秋•宝安区校级月考）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则点M的坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，5） 9．（2025•碧江区 一模）如图，货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为y1（单位：km）、y2（单位：km），图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1，y2与x之间的函数关系．有下列四个结论：①轿车行驶的速度为125km/h；②货车行驶的速度为65km/h；③线段DE所在直线的函数表达式为y＝﹣125x+800；④两车出发2小时或4小时后相距150km．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 10．（2025•元宝区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AD∥y轴，点A的坐标为（6，4），直线l的表达式为：．将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形ABCD有交点，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（2024春•洛龙区校级期中）已知是y关于x的一次函数，则一次函数解析式是 　　 ． 12．（2024秋•礼泉县期末）已知一次函数y＝kx﹣2（k为常数，且k≠0）的函数值y随自变量x的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第　 　 象限． 13．（2024春•陵水县期末）已知y与x﹣3成正比例，且x＝1时，y＝4，则y与x的函数表达式为 　 　． 14．（2024秋•姜堰区期末）如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，若一次购买5千克这种苹果所付金额为y1（元），购买五次1千克所付金额为y2（元），则y2﹣y1＝ 　 ． 15．（2024秋•惠来县期中）直线y＝kx+2与y轴，直线y＝﹣1围成的三角形的面积为5，则k的值为 　 　 ． 16．（2023春•九台区校级期中）如图，在四边形AOBC中，AC∥OB，若OD平分∠AOB交AC于点D，点A（3，4），则经过O、D两点的直线表达式是 　 　 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（2024秋•宜兴市月考）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题： ①若点P在x轴上，则点P的坐标为 　 　 ； ②若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为 　 　 ； ③已知y﹣3与x+2成正比例，且当x＝2时，y＝﹣1．如果点P在该函数的图象上．求出点P的坐标． 1 8．（8分）2025•伊通县校级模拟）研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发2小时后追上大巴，此时两车与学校相距150千米，如图，OA、BA分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数图象． （1）大巴车的速度为 　 　 千米/时； （2）求AB所在直线的函数解析式； （3）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距5千米． 19．（10分）（2024春•雨城区校级期中）如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线l2分别与x轴、y轴交于C、D，连接AD． （1）直接根据图象写出关于x的不等式的解集； （2）求出m、n的值； （3）求出△ABD的面积． 20．（10分）（2023秋•江北区期末）如图，直线AB的表达式为yx+6，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为（﹣4，0），点C在线段AB上，CD交y轴于点E． （1）求点A，B的坐标； （2）若CD＝CB，求点C的坐标； （3）若△ACE与△DOE的面积相等，在直线AB上有点P，满足△DOC与△DPC的面积相等，求点P坐标． 21．(12分)（2025•南安市模拟）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰x套（x≤60），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； （3）若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 22．（12分）（2025•河东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝3． （1）求点B，C的坐标； （2）求AC所在直线的解析式； （3）已知点E（8，4），问：在直线AC上是否存在一点P，使得PB+PE最小？若存在，求点P的坐标与PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 23．（12分）（2025•石家庄一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且△ABC的面积为56．点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接DF． （1）求点C的坐标及直线BC的表达式； （2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标； （3）设点E的坐标为（0，m）， ①用m表示点F的坐标； ②点E运动的过程中，若点F始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 一次函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025•市中区校级一模）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≠0且x≠﹣3 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：根据题意可得：， 解得：x≥﹣3且x≠0， 故选：C． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键． 2．（2024秋•锦江区校级期末）关于一次函数y＝x﹣2，下列说法不正确的是（　　） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与y轴交于点（0，﹣2） D．当x＜2时，y＞0 【分析】利用一次函数的性质进行判断即可． 【解答】解：A、一次函数y＝x﹣2 的比例系数k为1，是正数． 因此，函数值y 随着自变量x 的增大而增大． 选项 A 正确，不符合题意． B、函数y＝x﹣2 的斜率为1，截距为﹣2． 图象经过第一、第三和第四象限． 选项 B 正确，不符合题意． C、当x＝0 时，y＝﹣2． 因此，图象与 y轴的交点为 （0，﹣2）（0，﹣2）． 选项 C 正确，不符合题意． D、当x＜2 时，y＝x﹣2 的值取决于x 的具体值． 例如，当x＝1 时，y＝﹣1（即y＜0）． 因此，当x＜2 时，y 不一定大于0． 选项 D 不正确，符合题． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，了解一次函数的性质是解答本题的关键，难度不大． 3．（2024秋•游仙区期末）若一次函数y＝（m﹣3）x﹣3的图象经过第二、三、四象限，则常数m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m＜0 C．m＞3 D．m＞﹣3 【分析】根据一次函数y＝（m﹣3）x﹣3的图象经过二、三、四象限判断出m的取值范围即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣3的图象经过二、三、四象限， ∴m﹣3＜0， ∴m＜3， 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时函数的图象在二、三、四象限． 4．（2025•浙江一模）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1＜3，即可得出y1＞y3＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 5．（2025春•东城区校级月考）如图所示，已知点A（1，2）是一次函数y＝﹣x+b图象上的一点，则方程﹣x+b＝2的解是（　　） A．x＝2 B．x＝1 C．x＝0 D．无法确定 【分析】直接利用函数图象结合点的坐标得出答案． 【解答】解：∵点A（1，2）是一次函数y＝﹣x+b图象上的一点， ∴方程﹣x+b＝2的解是：x＝1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合是解题关键． 6．（2024秋•舒城县期末）一次函数y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】对选项中的y1，y2分别对应的a，b的值进行分析可得答案． 【解答】解：对选项中的y1，y2分别对应的a，b的值进行分析判断如下： A、y1＝ax﹣b：a＜0，b＜0；y2＝bx﹣a：a＜0，b＞0； 故此选项不符合题意； B、y1＝ax﹣b：a＞0，b＜0；y2＝bx﹣a：b＜0，a＞0； 故此选项符合题意； C、y1＝ax﹣b：a＞0，b＜0；y2＝bx﹣a：b＜0，a＜0； 故此选项不符合题意； D、y1＝ax﹣b：a＞0，b＞0；y2＝bx﹣a：b＜0，a＜0； 故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数y＝ax+b（a≠0）中：a＞0，y随x增大而增大；a＜0，y随x增大而减小；b＞0，函数图象与y轴交于正半轴；b＜0，函数图象与y轴交于负半轴；是解本题的关键． 7．（2024春•钢城区期末）在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车沿木板从不同高度h下滑的时间t，得到如表所示的数据，则下列结论不正确的是（　　） 高度h/cm 10 20 30 40 50 … 下滑时间t/s 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … A．在这个变化中，高度是自变量 B．当h＝40cm时，t约为2.66s C．随着高度的增加，下滑时间越来越短 D．高度每增加10cm，下滑时间就减少0.24s 【分析】依据题意，根据列表法表示的函数，通过表格反映的规律，对每一个选项进行验证可以得解． 【解答】解：根据表格可知，高度是自变量，下滑时间是因变量， ∴A选项正确． ∵从表中的对应值可以看到当h＝40时，t＝2.66， ∴B选项正确． ∵从表中数据看到：当h由10逐渐增大到50时，t的值由3.25逐渐减小到2.56， ∴随高度增加，下滑时间越来越短． ∴C选项正确． ∵因为时间的减少是不均匀的， ∴D选项错误． 综上，只有D选项错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数的表示方法，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键． 8．（2024秋•宝安区校级月考）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则点M的坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，5） 【分析】由解析式令x＝0，8，即B（0，8），令y＝0时，x＝6，即A（6，0），再根据勾股定理即可得出AB的长，由折叠的性质，可求得A B′与O B′的长，BM＝ B′M，然后设MO＝x，由在Rt△OMB′中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出M的坐标． 【解答】解：由直线解析式可知：B（0，8），A（6，0）， ∴AB， 由折叠的性质，得：AB＝AB′＝10， ∴OB′＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4， 设MO＝x，则MB＝MB′＝8﹣x， 在Rt△OMB′中，OM2+OB′2＝B′M2， 即x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴M（0，3）， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2025•碧江区 一模）如图，货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为y1（单位：km）、y2（单位：km），图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1，y2与x之间的函数关系．有下列四个结论：①轿车行驶的速度为125km/h；②货车行驶的速度为65km/h；③线段DE所在直线的函数表达式为y＝﹣125x+800；④两车出发2小时或4小时后相距150km．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【分析】根据图象可得轿车2.4h行驶600﹣300＝300千米，用路程除以时间可得轿车的速度可以判断①， 根据图象可得8小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断②； 设直线OA的解析式为：y＝px，待定系数法求解析式，继而得到点D的坐标为（4，300），根据题意得出点E坐标为：（6.4，0），然后待定系数法求解析式即可判断③； 待定系数法求得BC解析式y＝﹣125x+600，根据：Ⅰ当轿车休息前与货车相距150km时，Ⅱ当轿车休息后与货车相距150km时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解判断④． 【解答】解：由图象可得，轿车的速度为：300÷2.4＝125km/h，故①正确； 由图象可得，货车行驶的速度为：600÷8＝75km/h，故②错误； 由题意可得OA所在直线为关于x的正比例函数， 设直线OA的解析式为：y＝px， 由条件可得：600＝8p， 解得p＝75， ∴直线OA的解析式为y＝75x； 在y＝75x中，当y＝300时，x＝4， ∴点D的坐标为（4，300）， 由条件可知轿车行驶后300km需2.4h． ∴点E坐标为：（6.4，0）． 设线段DE所在直线的函数表达式为y＝kx+b， 将点D（4，300），E（6.4，0）代入得：， 解得， ∴线段DE所在直线的函数表达式为y＝﹣125x+800，故③正确； 在y＝75x中，当x＝2.4，y＝180， ∴相遇前二者在前2.4h内存在某个时间段相距150km， 设BC段的函数解析式为y＝mx+n， 将B（0，600），C（2.4，300）代入得：， 解得， ∴BC段的函数解析式为y＝﹣125x+600， 当轿车休息前相距150km时，有﹣125x+600﹣75x＝150， 解得x＝2.25； 当轿车休息后相距150km时，有75x﹣（﹣125x+800）＝150， 解得x＝4.75． 即两车出发2.25小时或4.75小时后相距150km．故④错误． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． 10．（2025•元宝区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AD∥y轴，点A的坐标为（6，4），直线l的表达式为：．将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形ABCD有交点，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意得出平移后的直线表达式，再分别求出平移后的直线经过点D和点B时m的值，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（6，4）， 所以B（3，4），C（3，1），D（6，1）， 将直线l沿y轴向上平移m个单位后扔解析式为． 当直线经过点D时，有， 解得m＝0； 当直线经过点B时，有， 解得； 所以直线与正方形ABCD有交点，则m的取值范围是． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质、正方形的性质及坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质及一次函数与正方形的性质是解题的关键． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（2024春•洛龙区校级期中）已知是y关于x的一次函数，则一次函数解析式是 　　 ． 【分析】根据定义得：m2﹣8＝1且m+3≠0，求出m的值即可． 【解答】解：由已知可得m2﹣8＝1且m+3≠0， 解得m＝±3且m≠﹣3， ∴m＝3． 故一次函数解析为：y＝6 x﹣2， 故答案为：y＝6x﹣2． 【点评】本题考查了一次函数的定义，形如y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的函数为一次函数．理解定义是关键． 12．（2024秋•礼泉县期末）已知一次函数y＝kx﹣2（k为常数，且k≠0）的函数值y随自变量x的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第　 　 象限． 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：∵函数值y随自变量x的增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数图象经过第二、三、四，不经过第一象限， 故答案为：一． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键． 13．（2024春•陵水县期末）已知y与x﹣3成正比例，且x＝1时，y＝4，则y与x的函数表达式为 　 　． 【分析】设此函数的解析式为y＝k（x﹣3）（k≠0），再把x＝1时，y＝4代入求出k的值即可． 【解答】解：∵y与x﹣3成正比例， ∴设此函数的解析式为y＝k（x﹣3）（k≠0）， ∵x＝1时，y＝4， ∴4＝k（1﹣3）， 解得k＝﹣2， ∴正比例函数的解析式为y＝﹣2（x﹣3）＝﹣2x+6． 故答案为：y＝﹣2x+6． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，先根据题意得出一次函数的解析式是解题的关键． 14．（2024秋•姜堰区期末）如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，若一次购买5千克这种苹果所付金额为y1（元），购买五次1千克所付金额为y2（元），则y2﹣y1＝ 　 ． 【分析】根据题意和图象中的数据，可以分别计算出y1和y2，然后作差即可． 【解答】解：由图象可得， 2千克以内，每千克苹果的单价为：20÷2＝10（元）， 当x≥2时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（2，20），（4，36）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当x≥2时，y与x的函数关系式为y＝8x+4， y1＝8×5+4＝44， y2＝10×5＝50， ∴y2﹣y1＝50﹣44＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．（2024秋•惠来县期中）直线y＝kx+2与y轴，直线y＝﹣1围成的三角形的面积为5，则k的值为 　 　 ． 【分析】根据围成的三角形的面积得出直线y＝kx+2与直线y＝﹣1的交点坐标，据此得出关于k的等式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 直线y＝kx+2与y轴的交点坐标为（0，2）， 又因为直线y＝﹣1与y轴垂直， 所以围成的三角形是直角三角形，且有一条直角边为3． 令另一条直角边的长为m， 则， 解得m， 所以直线y＝kx+2与直线y＝﹣1的交点坐标为（，﹣1）或（）． 将（，﹣1）代入y＝kx+2得， ， 解得k． 将（）代入y＝kx+2得， ， 解得k． 综上所述，k的值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 16．（2023春•九台区校级期中）如图，在四边形AOBC中，AC∥OB，若OD平分∠AOB交AC于点D，点A（3，4），则经过O、D两点的直线表达式是 　 　 ． 【分析】由OD平分∠AOB，可得∠AOD＝∠BOD，由AC∥OB，可得∠ADO＝∠BOD，则∠ADO＝∠AOD，即，D（8，4），设经过O、D两点的直线表达式为y＝kx，将D（8，4）代入求解，进而可得结果． 【解答】解：∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵AC∥OB， ∴∠ADO＝∠BOD， ∴∠ADO＝∠AOD， ∴AO＝AD， ∴， ∴D（8，4）， 设经过O、D两点的直线表达式为y＝kx， 将D（8，4）代入得，4＝8k， 解得， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（2024秋•宜兴市月考）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题： ①若点P在x轴上，则点P的坐标为 　 　 ； ②若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为 　 　 ； ③已知y﹣3与x+2成正比例，且当x＝2时，y＝﹣1．如果点P在该函数的图象上．求出点P的坐标． 【分析】①根据x轴上点的坐标特征即可解决问题． ②根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． ③根据正比例函数定义求出正比例函数解析式，再将点P坐标代入即可解决问题． 【解答】解：①因为点P在x轴上，且点P坐标为（﹣3a﹣4，2+a）， 所以2+a＝0， 解得a＝﹣2， 所以﹣3a﹣4＝6﹣4＝2， 所以点P的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． ②因为点Q坐标为（5，8），且PQ∥y轴， 所以﹣3a﹣4＝5， 解得a＝﹣3， 所以2+a＝﹣1， 所以点P的坐标为（5，﹣1）． 故答案为：（5，﹣1）． ③因为y﹣3与x+2成正比例， 则令y﹣3＝k（x+2）， 因为当x＝2时，y＝﹣1， 所以4k＝﹣4， 解得k＝﹣1， 所以y﹣3＝﹣（x+2）， 即y＝﹣x+1． 因为点P在该函数的图象上， 所以2+a＝﹣（﹣3a﹣4）+1， 解得a， 所以﹣3a﹣4，2+a， 所以点P的坐标为（）． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质、坐标与图形性质及正比例函数的定义，熟知一次函数的性质、平行于y轴及x轴上点的坐标特征是解题的关键． 18．（8分）2025•伊通县校级模拟）研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发2小时后追上大巴，此时两车与学校相距150千米，如图，OA、BA分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数图象． （1）大巴车的速度为 　 　 千米/时； （2）求AB所在直线的函数解析式； （3）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距5千米． 【分析】（1）运用路程除以时间，得出速度，即可作答． （2）由题意可得A（3，150），再利用待定系数法解答即可求解； （3）分别求出大巴和轿车的速度，再根据题意列出方程解答即可求解； 【解答】解：（1）由题意可得，大巴的速度为50÷1＝50（千米/时）， 故答案为：50； （2）由题意得，A（3，150）， 设AB所在直线的函数表达式为y＝ax+b，把A（3，150）、B（1，0）代入得， ， 解得， ∴AB所在直线的函数表达式为y＝75x﹣75； （3）由（1）得大巴的速度为50千米/时， 轿车的速度为150÷（3﹣1）＝75（千米/时）， 设轿车出发t小时后，轿车与大巴首次相距5千米， 由题意得，50（t+1）﹣75t＝5， 解得t＝1.8， 答：轿车出发1.8小时后，轿车与大巴首次相距5千米． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 19．（10分）（2024春•雨城区校级期中）如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线l2分别与x轴、y轴交于C、D，连接AD． （1）直接根据图象写出关于x的不等式的解集； （2）求出m、n的值； （3）求出△ABD的面积． 【分析】（1）根据B点的坐标和函数的图象即可求出不等式的解集； （2）把点B的坐标代入两个一次函数的解析式，即可求出m、n的值； （3）根据两个一次函数的解析式求出D，H的坐标，再由△ABD的面积＝△AHD的面积+△HBD的面积即可求得结论． 【解答】解：（1）∵x+mx+1， ∴x； （2）∵直线yx+1经过B（，n）， ∴n1． ∵直线yx+m经过B（，）， ∴m， ∴m＝3； （3）由（2）得直线l2的解析式为yx+3， 令x＝0，则yx+1＝1， ∴H（﹣2，0）， 令x＝0，则0x+3， ∴y＝3， ∴D（0，3）， ∴△ABD的面积＝△AHD的面积+△HBD的面积（3﹣1）×2（3﹣1）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与一元一次不等式，三角形的面积等知识点，能求出点B的纵坐标是解此题的关键． 20．（10分）（2023秋•江北区期末）如图，直线AB的表达式为yx+6，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为（﹣4，0），点C在线段AB上，CD交y轴于点E． （1）求点A，B的坐标； （2）若CD＝CB，求点C的坐标； （3）若△ACE与△DOE的面积相等，在直线AB上有点P，满足△DOC与△DPC的面积相等，求点P坐标． 【分析】（1）利用坐标轴点的坐标特征求点A、B的解析式； （2）过C作CH⊥x轴于H，如图，根据等腰三角形的性质得DH＝BH＝6，则OH＝2，然后计算自变量为2所对应的一次函数值，从而得到点C的坐标； （3）先证明AD∥OC，再利用待定系数法求出直线AD的解析式为yx+6，从而得到直线OC的解析式为yx，再解方程组得C（，4），设P（t，t+6），当P点在C点下方时，利用S△PCD＝S△BCD﹣S△PBD得到12×412×（t+6）＝8，解方程求出t得到此时P点坐标；当P点在C点上方时，利用S△PCD＝S△PBD﹣S△CBD得到12×（t+6）12×4＝8，解方程求出t得到此时P点坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，yx+6＝6， ∴A（0，6）， 当y＝0时，x+6＝0，解得x＝8， ∴B（8，0）； （2）过C作CH⊥x轴于H，如图， ∵CD＝CB， ∴DH＝BHBD[8﹣（﹣4）]＝6， ∴OH＝OB﹣BH＝2， 当x＝2时，yx+6， ∴点C的坐标为（2，）； （3）∵△ACE与△DOE的面积相等， ∴△AOD与△AOC的面积相等， ∴AD∥OC， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， 把A（0，6），D（﹣4，0）分别代入得， 解得， ∴直线AD的解析式为yx+6， ∴直线OC的解析式为yx， 解方程组得， ∴C（，4）， 设P（t，t+6）， 当P点在C点下方时，S△PCD＝S△BCD﹣S△PBD， ∵△DOC与△DPC的面积相等， ∴12×412×（t+6）＝8， 解得t， 此时P点坐标为（，）； 当P点在C点上方时，S△PCD＝S△PBD﹣S△CBD， ∵△DOC与△DPC的面积相等， ∴12×（t+6）12×4＝8， 解得t， 此时P点坐标为（，）， 综上所述，P点坐标为：（，）或（，）． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上的点的坐标满足其解析式．也考查了待定系数法求一次函数解析式和三角形面积公式． 21．(12分)（2025•南安市模拟）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰x套（x≤60），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； （3）若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【分析】（1）设乙种剪纸装饰套装单价为m元，则甲种剪纸装饰套装单价为（m+10）元，根据题意列方程，解方程即可； （2）购进甲种剪纸装饰x套乙种剪纸装饰（60﹣x）套，总费用y元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）甲种剪纸装饰套装利润为（65﹣50）x元，乙种剪纸装饰套装利润为（50﹣40）（60﹣x）元，则利润为 w＝5x+600，根据5＞0，w随x的增大而增大，x≤40，且x为非负整数可得当x＝40时，w取最大值． 【解答】解：（1）设乙种剪纸装饰套装单价为m元，则甲种剪纸装饰套装单价为（m+10）元，根据题意，得2（m+10）+3m＝220， 解得m＝40， m+10＝40+10＝50， ∴甲种剪纸装饰套装单价为 50元，乙种剪纸装饰套装单价为 40元． （2）设购进甲种剪纸装饰x套（x≤60），则购进乙种剪纸装饰（60﹣x）套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，根据题意，得： y＝50x+40（60﹣x）， 即y＝10x+2400， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+2400（0≤x≤60）； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为w元，根据题意，得 w＝（65﹣50）x+（50﹣40）（60﹣x）即w＝5x+600， ∵5＞0， ∴w随x的增大而增大， ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元， ∴y≤2800，即10x+2400≤2800， 解得x≤40， ∵x为非负整数， ∴当 x＝40时，w取最大值，w最大＝5×40+600＝800（元）， 此时60﹣x＝60﹣40＝20套， 即商家购进甲种剪纸装饰 40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 【点评】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 22．（12分）（2025•河东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝3． （1）求点B，C的坐标； （2）求AC所在直线的解析式； （3）已知点E（8，4），问：在直线AC上是否存在一点P，使得PB+PE最小？若存在，求点P的坐标与PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由正方形的性质得AB＝BC＝OC＝OA＝3，从而可求出点B，C的坐标； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）连接BO，OE，直线OE与直线AC的交点即为点P，运用待定系数法求出OE的解析式，联立方程组可求出点P的坐标，再运用勾股定理求出OE的长即可解决问题． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是正方形，OA＝3， ∴AB＝BC＝OC＝OA＝3，AB⊥x轴， ∴B点坐标为（3，3），C点坐标为（0，3）； （2）∵OA＝3， ∴A（3，0）． 又C（0，3）． 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A，C两点代入解析式得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3； （3）连接BO，OE，直线OE与直线AC的交点即为点P， ∵四边形OABC是正方形， ∴点B与O关于直线AC对称， ∴OE的长即为PB+PE的最小值． ∴直线OE与直线AC的交点即为点P． 设直线OE的解析式为：y＝kx， 把点E（8，4）代入解析式得：6k＝3， 解得，， ∴直线OE的解析式为：． 联立方程组， 解得，，∴点P的坐标（2，1）． 过点E作EF⊥x轴，垂足为F， ∴． 所以PB+PE的最小值为． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称﹣最短路线问题， 23．（12分）（2025•石家庄一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且△ABC的面积为56．点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接DF． （1）求点C的坐标及直线BC的表达式； （2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标； （3）设点E的坐标为（0，m）， ①用m表示点F的坐标； ②点E运动的过程中，若点F始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围． 【分析】（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可； （2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可； （3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可； ②确定点F所在的直线表达式，求出直线与直线AB的交点，与x轴的交点，即可确定m的范围． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝8， ∴B（0，8）， 令y＝0，则x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， ∵点D为线段AB的中点， ∴D（﹣3，4）， ∵△ABC的面积为56， 即8×AC＝56， ∴AC＝14， ∴C（8，0）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+8； （2）设E（0，y）， ∵线段DE绕着点E顺时针旋转90°得到线段EF， ∴DE＝EF，∠DEF＝90°， ∵△DEF的面积为5， ∴DE2＝5， ∴DE， ∴， ∴y＝3或y＝5， ∴E（0，3）或E（0，5）； （3）①如图，当点E在点D上方时， 过点D作DG⊥y轴于点G，过点F作FH⊥y轴H交于点H， ∵∠GED+∠HEF＝90°，∠GED+∠GDE＝90°， ∴∠GDE＝∠HEF， ∵DE＝EF， ∴△GDE≌△HEF（AAS）， ∴GE＝HF，GD＝EH， ∴HF＝GE＝m﹣4，DG＝3＝EH， ∴F（4﹣m，m+3）； 当点E在点D下方时， 同理可得F（4﹣m，m+3）； 综上，F（4﹣m，m+3）； ②由点F的坐标得，点F在直线y＝﹣x+7上， 当y＝0时，x＝7，即直线y＝﹣x+7和x轴的交点为（7，0）， 联立y＝﹣x+7和AB的表达式得：﹣x+7x+8，则x， 此时y，即点F所在直线与直线AB交点为（，）， ∴， 解得﹣3≤m． 【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，数形结合解题是关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$