专题03 导数及其应用-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（河南专用）

专题03 导数及其应用 题型概览 题型01导数及其应用 ( 题型01 ) 导数及其应用 1．（2025届河南省鹤壁市高三3月模拟考试数学试卷）已知函数． (1)当时，证明：； (2)当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】（1）根据当时，，所以证明即可，构造函数并求导，利用单调性求函数最值，即可证得不等式； （2）根据函数求出其导函数，分析导函数的正负得到函数单调性及极值点，即可找到满足题意的实数的取值范围. 【详解】（1）要证，即证． 当时，，所以，可以考虑证明， 令，，则， 易知在上单调递增，且， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴是的极小值点，也是最小值点， 故当时，，即， 因此，当时，． （2）由题可知，则． 若，当时，，，∴， 则在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去． 若，设，则在区间上恒成立， ∴在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又，，∴在区间有唯一的零点， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴在区间内有唯一的极值点，符合题意． 综上，实数a的取值范围是． 2．（24-25高三下·河南一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，再分和，由，求解即可； （2）法一：转化为，根据（1）得到，取得到，再由证明；法二：转化为，令利用导数法证明则即可. 【详解】（1）因为， 所以， 苦，则在上单调递增， 若，由，得， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：法一：要证，即证， 即证， 由（1）知，时在上单调递增，在上单调递减， 所以， 取得，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以当时，取得极小值， 所以，即， 所以， 所以. 法二：要证，即证， 令，则， 易知在区间上单调递减，又， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 所以得证. 【点睛】方法点睛：证明不等式，一般转化为，令，由证明. 3．（2025·河南·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由导数的意义结合点斜式方程可得； （2）求导后构造函数，再求导，由复合函数的单调性得到的最小值，从而得到的单调性. 【详解】（1）由题可知，则， 又， 故所求切线方程为. （2）由（1）知，， 因为，所以设，则， 由复合函数的单调性易知在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 从而，故在上单调递增. 4．（2025·河南鹤壁·一模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】利用换底公式得，然后利用对数函数的性质即可推得；再对求导，利用导数和指数函数的性质，求解不等式即得或，合并考虑即可. 【详解】由题可知， 因为在区间上单调递增，所以，即， 当时，有，得，不成立舍去； 当时，有 ，则显然成立，故. 又在区间上单调递增， 在时恒成立， 所以在时恒成立， 因为，则有，即， 则得，即，解得或， 又，所以. 故选：D. 5．（2025·河南安阳·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)若当时，，求实数的取值范围； (3)设实数，满足，证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对求导，再利用极值的定义，即可求解； （2）构造函数，根据条件得当时，恒成立，对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出在区间上的最小值，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，在同一直角坐标系中作出，，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】（1）由题可知，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，没有极小值. （2）设，根据题意，当时，恒成立. 又， 若，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意， 若，令，得或. 若，则恒成立，所以在上单调递增， 又当时，，不符合题意， 若，则，当时，，所以在上单调递增， 当时，，不符合题意 ，                                若，则，当时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在上成立， 要使在上也成立，只需，即，得， 故的取值范围是. （3）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下， 除了点，的图象都在的图象的下方， 当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，， 直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和，         由图可知. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在第（3），根据（1）和（2）中结果，在同一坐标系中作出，的图象，将问题转化用图形直观反映. 6．（2025·河南南阳·一模）若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】ACD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对函数进行求导，得出函数的单调性，通过讨论函数在区间的单调性即可求解. 【详解】， 令,即，解得或， 当时，，函数单调递增； 当时，或,函数单调递减； 因为函数在区间上是单调函数，所以有以下两种情况： 当时, 则 ，解得；故A正确，B错误； 当时, 则，解得.故C、D正确； 故选：ACD. 7．（2025·河南信阳·一模）已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，是函数的两个零点，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1），当时，恒成立，在上单调递增；当时，由，得；由得，进而可得； （2）由转化为求，由（1）可知，构造，由导数可得，进而可得只有符合题意； （3）根据函数的单调性，函数有两个零点时， ，得，设，则，证，利用基本不等式和单调性转化为证明，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，解得：；由，解得：. 在上单调递减，上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. （2）要使恒成立，只需恒成立. 由（1）可知，当时，在上单调递增，且， ∴当时，，不合题意，舍去. 当时，在上单调递减，上单调递增， ， 只需，即在时恒成立. 记，，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减； ，， 只有符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由（1）可知，当时，在上单调递增，函数不可能有两个零点，不合题意，舍去. 当时，在上单调递减，上单调递增， 当时，；当时，. 要使函数有两个零点，只需，解得：. 已知，不妨设，则有. 单调递增，要证，只需. ，只需证 即证， 由单调性可知，， 在上单调递减，即证. 方法一：，即证. 令，其中. ， 单调递增， 又，，即. 成立. . . 方法二：，即证. 而， 由得，， 且，. 令，则， 在上单调递减，， ，，可得， ，，，即， 又在上单调递减，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于问题的转化，根据函数的单调性，确定函数两个零点的范围，进而把证明，转化为证明，即证，进而构造函数，利用导数证明即可. 8．（2025·河南信阳·一模）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由等价于，即，令，求导求得最大值即可. 【详解】因为不等式恒成立，可知，， 由，可得， 则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 因为，所以，故只需即可，故， 令，求导得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 9．（2025·河南郑州·一模）已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（      ） A．，使得 B．函数的最大值为0 C．a的取值范围为 D．过作的切线，有且只有一条 【答案】D 【知识点】求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用单调性说明的解判断A，由导数求最值判断B，由，使得求解判断C，设切点坐标为，代入所过点坐标求，引入新函数，由导数确定方程只有一个解，从而判断D． 【详解】对于A，， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，故A错误; 对于B，由A的分析可知，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值：，无最大值，故B错误; 对于C，由前面分析知， 由题可知：，使得 对于函数，， 当时，， 故无论a取什么值，均，使得， 则a的取值范围为R，故C错误; 对于D，不妨设切点为，， 切线方程为， 把代入可得：， 即： 令，， ， 因为对恒成立， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以只有一个零点0， 即只有时，成立， 故过作的切线，有且只有一条，故D正确. 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ． 10．（2025·河南郑州·一模）已知函数且，关于对称的函数记为 (1)若，方程有且只有一个实数解，求a的值; (2)讨论方程在上实数解的个数; (3)若，设函数，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求出，设与有公共点，解由及组成的方程组求出可得答案； （2）由，两边同取对数得令，利用导数判断出其单调性，分、、讨论方程在上实数解的个数可得的答案； （3）由得，设，则，利用导数判断出在上的单调性可得答案. 【详解】（1）关于对称的函数为，， 设与有公共点， 由对称性可知，在上， ，， ，解得，得； （2）由（1）知，，由， 两边同取对数，，即 令，， 函数在上单调递增，在上单调递减. 当，方程在上实数解的个数为1个. 当，，方程在上实数解的个数为2个. 当，方程在上实数解的个数为1个； （3），定义域为，求导得， 又， ， 整理得，由基本不等式得，， ， 设，则， 易知， 在单调递增， ， 的取值范围为 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数及其应用 题型概览 题型01导数及其应用 导数及其应用题型01 1．（2025届河南省鹤壁市高三3月模拟考试数学试卷）已知函数． (1)当时，证明：； (2)当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围． 2．（24-25高三下·河南一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：. 3．（2025·河南·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增. 4．（2025·河南鹤壁·一模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南安阳·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)若当时，，求实数的取值范围； (3)设实数，满足，证明：. 6．（2025·河南南阳·一模）若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 7．（2025·河南信阳·一模）已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，是函数的两个零点，求证：. 8．（2025·河南信阳·一模）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 9．（2025·河南郑州·一模）已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（      ） A．，使得 B．函数的最大值为0 C．a的取值范围为 D．过作的切线，有且只有一条 10．（2025·河南郑州·一模）已知函数且，关于对称的函数记为 (1)若，方程有且只有一个实数解，求a的值; (2)讨论方程在上实数解的个数; (3)若，设函数，若，求的取值范围. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$