专题08 平面向量与不等式-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（河南专用）

专题08 平面向量与不等式 题型概览 题型01平面向量 题型02不等式 ( 题型01 ) 平面向量 1．（2025·河南信阳·一模）若，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】根据向量垂直可得，进而求投影向量. 【详解】因为，，， 则，即， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 2．（2025·河南鹤壁·一模）已知向量，，则在上的投影向量的长度为（   ） A． B． C．10 D．20 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意，由向量投影的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可知在上的投影向量的长度为． 故选：B 3．（2025·河南·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据题意画出图形，并利用位置关系求得，设，结合平面向量线性运算以及余弦定理可求得当三点共线时取得最小值. 【详解】如图所示： 由题意得. 设， 则. 作点关于直线的对称点，连接. 由题可知， 则， 在中，由余弦定理可得； 所以， 当且仅当三点共线时取等号. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将表达式中的进行转化，记，再结合平面向量线性运算以及余弦定理可求得结论. ( 题型0 2 ) 不等式 4．（2025·河南郑州·一模）设集合，，则的子集的个数为（      ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】化简集合A，求出，进而判断其子集个数. 【详解】集合或，， ， 中元素的个数为3，子集个数为 故选：A. 5．（2025·河南郑州·一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设，，，根据已知有，再应用基本不等式求的最大值，即可求面积的最大值. 【详解】设，，，则， 因为的周长为4，所以， 因为，当且仅当时取等号， 故，则，则面积满足 故面积的最大值为 故答案为：. 6．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性、求含cosx的函数的最小正周期、基本不等式求和的最小值 【分析】对A，利用偶函数定义判断；对B，利用函数对称性的定义判断；对C，根据周期函数的定义判断；对D，令，则 ，利用基本不等式求出最小值. 【详解】对于A，的定义域为 R ， 因为 ， 所以是 R 上的偶函数，所以函数的图象关于 y 轴对称，故A正确； 对于B，对于任意的， ， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为 ， 所以 为函数的一个周期，故不是函数的最小正周期，故C错误； 对于D，因为，设 ， 则 ，因为 ，当且仅当 ，即时等号成立， 所以函数 的最小值为2，故 D 正确. 故选：C. 7．（2022·辽宁·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式可得，设，解不等式即可求得结果. 【详解】（当且仅当时取等号），， 设，则，解得：（舍）或， 即，. 故答案为：. 8．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【知识点】对数的运算性质的应用、由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式证明不等关系 【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B. 【详解】因为，设 对A，知，易知.选项A正确. 对C，因为，，，所以，，， 于是，选项C正确. 对D，若，则，即，则. 由知.选项D正确. 对B，取，则，由知， 知，所以，即， ，此时，选项B错误. 故选：ACD. 9．（2025·河南南阳·一模）集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、求对数型复合函数的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先化简集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：D. 10．（18-19高一下·福建厦门·期末）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响． (1)用表示，并求实数，使是等比数列； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：） 【答案】(1)， (2)至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上 【知识点】对数的运算、等比数列的简单应用、写出等比数列的通项公式、指数不等式 【分析】（1）根据题意经过次技术更新后，由已知条件推导数列的递推关系，通过整理得到，结合数列是等比数列，求的值； （2）由（1）求出数列的通项公式，再解不等式，即可求出答案． 【详解】（1）由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为． 易知经过次技术更新后， 则，即， 由题意，可设，∴， 又， 从而当时，是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知，，又，则， ∴经过次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比． 由题意，令，得， 则， 故，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上． 11．（2025·河南鹤壁·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】先求出集合A和B，然后根据交集的定义求解即得. 【详解】由题解得，，所以． 故选：A. 12．（2025·河南·一模）如图，在空间直角坐标系中，点分别在轴上（点异于点），且. (1)当（表示面积）取得最大值时，求点到平面的距离. (2)若，动点在线段上（含端点），探究：是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)记平面与平面、平面、平面的夹角分别为，比较与1的大小关系，并说明理由. 【答案】(1); (2)存在，; (3)，理由见解析. 【知识点】基本不等式求积的最大值、求点面距离、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）利用基本不等式可求得取得最大值时，,再利用三棱锥的等体积法求出点到平面的距离； （2）利用空间向量坐标运算，结合参数表示线面角的正弦值，解方程即可得出参数值，进而得出结论； （3）利用空间向量坐标运算求出平面的法向量，再求出面面角的余弦值，利用基本不等式可得到结论并得证. 【详解】（1）不妨设，则且， 故， 当且仅当时等号成立，取得最大值，此时. 记点到平面的距离为. 因为， 又， 所以，解得. 所以，点到平面的距离为. （2）由题可知， 故. 设，则. 设为平面的法向量， 则即可取. 记直线与平面所成的角为， 则， 解得，则. 所以,存在线段的中点满足题意，此时. （3）结论：.下面给出证明： 同（1）设的长度分别为，则. 显然平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则可取， 所以， 同理得， 故有. 要证.， 即证①. 事实上，有， 化简得， 则①式得证，故， 当且仅当即时等号成立，命题得证. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 平面向量与不等式 题型概览 题型01平面向量 题型02不等式 平面向量题型01 1．（2025·河南信阳·一模）若，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南鹤壁·一模）已知向量，，则在上的投影向量的长度为（   ） A． B． C．10 D．20 3．（2025·河南·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 不等式题型02 4．（2025·河南郑州·一模）设集合，，则的子集的个数为（      ） A．8 B．7 C．4 D．3 5．（2025·河南郑州·一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为 . 6．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 7．（2022·辽宁·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 8．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 9．（2025·河南南阳·一模）集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（18-19高一下·福建厦门·期末）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响． (1)用表示，并求实数，使是等比数列； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：） 11．（2025·河南鹤壁·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河南·一模）如图，在空间直角坐标系中，点分别在轴上（点异于点），且. (1)当（表示面积）取得最大值时，求点到平面的距离. (2)若，动点在线段上（含端点），探究：是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)记平面与平面、平面、平面的夹角分别为，比较与1的大小关系，并说明理由. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$