专题06 计数原理与概率统计-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（河南专用）

专题06 计数原理与概率统计 题型概览 题型01随机变量及其分布列 题型02统计 题型03计数原理 题型04概率 ( 题型01 ) 随机变量及其分布列 1．（2025·河南信阳·一模）2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 10 12 16 19 11 (1)已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； (2)如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望. 参考公式：在线性回归方程中，，. 【答案】(1)，预测春节假期第8天的营业额为千元 (2)分布列见解析， 【知识点】求回归直线方程、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用最小二乘法求解即可； （2）利用超几何分布求解即可. 【详解】（1）， . ， 线性回归方程为 当时，. 即预测春节假期第8天的营业额为千元. （2）由题意可知的所有可能取值为：1，2，3，4. ，， ， 的分布列为 1 2 3 4 的数学期望为 2．（2025·河南南阳·一模）某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 . 【答案】 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】设保险公司要求顾客交元保险金，求出收益额的分布列和数学期望，根据即可求出的值，即为答案. 【详解】设保险公司要求顾客交元保险金，若表示公司每年的收益额，则是一个随机变量， 的取值范围为，， 则的分布列为 因此，公司每年收益的期望值， 为使公司收益的期望值等于的百分之十，所以，解得. 故答案为：. 3．（2025·河南安阳·一模）随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ (2)现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)无关； (2). 【知识点】计算条件概率、独立性检验解决实际问题、卡方的计算 【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意，列联表如下： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计 男性 48 72 120 女性 24 56 80 合计 72 128 200 零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，             则，           故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立， 即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关. （2）由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人. 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则，                 ，                               故. 4．（2025·河南郑州·一模）下列结论正确的是（      ） A．若随机变量，则 B．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 【答案】AD 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响、二项分布的方差、正态曲线的性质 【分析】利用二项分布的方差公式计算出方差，再由方差的性质计算判断A，根据方差的定义求解判断BD，根据正态分布的性质判断C． 【详解】解：对于A，由，得，则，故A正确; 对于B，由题意，总体均值为，若两层样本容量依次为m，n， 则， 当且仅当时，故B错误; 对于C，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小，故C错误； 对于D，加入数据5后，平均数为，则这5个数据的方差为，故D正确. 故选：AD． 5．（2025·河南郑州·一模）将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率 【分析】设事件A为：，事件B为：，用列举法写出事件事件和事件的各种情况，计数后由条件概率公式计算． 【详解】设事件A为： 当时， 分两种情况： 第一次掷出4，第二次掷出大于等于4的数，即第二次可以是4，5，6，7，8，共5种情况; 第二次掷出4，第一次掷出大于等于4的数，即第一次可以是4，5，6，7，8，共5种情况， 两种情况都有第一次和第二次都掷出4，共1种情况， 所以事件A包含的基本事件数为 设事件B为：， 则事件AB为：且， 有，和，两种情况. 由条件概率公式： 故选：B． 6．（2025·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据独立重复试验概率的计算可得答案. 【详解】当时，表示前次中取到次红球，第次取到红球，所以， 故选：B. 7．（2025·河南·一模）统计学中通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：），某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16，他立即判断生产出现了异常，由此可知的最大值为 . 【答案】2 【知识点】3δ原则 【分析】利用正态分布概率计算判断可得，可求得结果. 【详解】解析由题可知，解得，故的最大值为2. 故答案为：2 ( 题型0 2 ) 统计 8．（2025·河南·一模）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； (3)由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 【答案】(1)13；11 (2) (3)可以用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析 【知识点】计算几个数的平均数、相关系数的意义及辨析、相关系数的计算 【分析】（1）根据已知数据直接求平均值即可； （2）分别求出和，再代入公式即可求解； （3）根据相关系数的绝对值大于0.75且非常接近1判断即可. 【详解】（1）由题可知，； （2）计算得， 故； （3）由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. 9．（2025·河南安阳·一模）某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为 . 【答案】0.76/ 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可. 【详解】设一级教师的平均工资和方差为、，高级教师的平均工资和方差为、，因一级教师的占比，高级教师的占比， 则全校教师的平均工资为(千元)， 则教师工资的方差为 . 故答案为：0.76 10．（2025·河南鹤壁·一模）有一组样本数据a，b，c，d，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则（   ） A．两组数据的极差一定相等 B．两组数据的平均数一定相等 C．两组数据的中位数可能相等 D．两组数据的方差不可能相等 【答案】BC 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】举特例逐一分析即可. 【详解】对于A，假设原样本数据为5，4，2，1，极差为，则新样本数据为3，2，4，3，极差为，两组数据的极差不相等，故A错误； 对于B，因为，所以两组数据的平均数一定相等，故B正确； 对于C，由A中的数据可知两组数据的中位数可能相等，故C正确； 对于D，假设原样本数据为4，3，2，1，则新样本数据为2，1，4，3，这两组数据一样，故方差可能相等，故D错误． 故选：BC. 11．（2022·山东枣庄·三模）下列结论正确的有（    ） A．若随机变量满足，则 B．若随机变量，且，则 C．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05 【答案】BCD 【知识点】最小二乘法的概念及辨析、独立性检验解决实际问题、方差的性质、指定区间的概率 【分析】对A，根据方差的性质判断即可； 对B，根据正态分布的对称性判断即可； 对C，根据回归直线的性质判断即可； 对D，根据独立性检验的性质判断即可 【详解】对A，由方差的性质可知，若随机变量满足，则，故A错误； 对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确； 对C，根据回归直线过样本中心点可知C正确； 对D，由可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确 故选：BCD 12．（2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．附：若，则，，． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、写出简单离散型随机变量分布列、指定区间的概率 【分析】（1）利用求平均数公式计算即可； （2）求出X的可能取值和对应的概率，写成分布列； （3）计算出，得到，利用所给条件得到学生的体质测试成绩恰好落在区间得概率约为0.9545，得到，求出答案. 【详解】（1）． （2）因为体质测试不合格的学生有3名， 所以X的可能取值为0，1，2，3． 因为． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3）因为， 所以． 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间得概率约为0.9545， 故， 所以． 13．（2025·河南信阳·一模）在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取班的一组数据：，，，，，和班的一组数据：，，，进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，.将两组数据合并为一组数据，则这组新数据的平均数和方差分别为（   ） A．平均数为85 B．平均数为86 C．方差为28 D．方差为52 【答案】BD 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】由两组数据的平均数、方差计算公式即可求解； 【详解】， 故选：BD ( 题型0 3 ) 计数原理 14．（2025·河南·一模）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】从甲、乙、丙中选两人占前两名，其余五名可任意排列，由此可得结果. 【详解】甲、乙、丙中选两人占前两名，有种情况，其余五名可任意排列， 故所有的情况有种. 故选：C. 15．（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 【答案】216 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、全排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】甲，乙出卡片的种数均有种，不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，先求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，分三种情况：甲、乙每轮所出数字大小有一张、有两张、有三张卡片数字相同讨论，进而求出甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种，则，得解. 【详解】甲出卡片的种数一共有种，同理，乙出卡片的种数也一共有种. 不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况， 则乙每轮所出数字有以下三种情况： ①甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同， 不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同， 有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有种情况； ②甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同， 不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同， 有1，2，4，3一种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有种情况； ③甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同， 则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况. 故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有种， 所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故答案为：216. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，得到甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况. 16．（2025·河南·一模）拓扑排序（Topological Sorting）是图论中的一个概念，它适用于有向无环图（DAG，DirectedAcyclic Graph）.拓扑排序的结果是一个线性序列，该序列满足对于图中每一条有向边，顶点在序列中都出现在顶点之前，每个顶点出现且只出现一次.如果图中含有环，则无法进行拓扑排序.在一所大学的计算机科学系，学生们必须按照特定的顺序选修一系列专业课程.这些课程之间存在先修要求，意味着某些课程必须在其他课程之前完成.例如，如果课程是课程的先修课，那么学生必须首先完成课程才能选修课程.下图展示了五门课程及其之间的先修关系.箭头表示了先修的要求方向，即箭头起点的课程必须在箭头终点的课程之前完成.如果没有直接的先修关系，两门课程可以互换位置.根据图形，下列代表了这五门课程的一个正确拓扑排序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据一个有效的拓扑排序应该是先列出没有其他课程作为先修要求的课程，然后是它的后续课程，依次分析各课程特点即可得出结果. 【详解】课程和课程没有先修关系，所以它们可以互换位置. 根据图中的箭头指向，我们知道课程依赖于课程， 课程依赖于课程和课程，而课程依赖于课程和课程. 因此，一个有效的拓扑排序应该是先列出没有其他课程作为先修要求的课程（如）， 然后是它的后续课程（如），接着是依赖于或的课程（如和）， 最后是所有其他课程都作为其先修课程的课程（如）.选项C符合. 故选：C ( 题型0 4 ) 概率 17．（2025·河南安阳·一模）甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】甲、乙两人分别从6个出口中选择1个出口有6种不同的选法， 故共有种不同的基本事件， 又他们离开的出口编号之和为8的包含的基本事件有共5个， 所以他们离开的出口编号之和为8的概率为. 故选：B. 18．（2025·河南·一模）已知某种长方体花岗岩的规格为（其中第个数分别为长、宽、高，且长宽高），若从长方体某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取一次共可得到三种不同规格的长方体，按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数 ，在上述种不同规格的长方体中任取1种，该种长方体的长与宽之差小于的概率为 . 【答案】 8 /0.375 【知识点】棱柱的结构特征和分类、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意按照截取规则可将第3次截取后得到的不同规格的长方体通过列举得到其种类数，再由古典概型计算可得所求概率. 【详解】列表如下，重复的去掉. 原始状态 第1次截取 第2次截取 ， 第3次截取 ， , , 由表可知，第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数. 在上述8种不可规格的长方体中任取1种，该种长方体的长与宽之差小于10cm的有共3种， 故所求概率为. 故答案为：8， 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据长方体的原始规格枚举出第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数，结合古典概型计算可得概率. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 计数原理与概率统计 题型概览 题型01随机变量及其分布列 题型02统计 题型03计数原理 题型04概率 随机变量及其分布列题型01 1．（2025·河南信阳·一模）2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 10 12 16 19 11 (1)已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； (2)如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望. 参考公式：在线性回归方程中，，. 2．（2025·河南南阳·一模）某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 . 3．（2025·河南安阳·一模）随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ (2)现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（2025·河南郑州·一模）下列结论正确的是（      ） A．若随机变量，则 B．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 5．（2025·河南郑州·一模）将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则（      ） A． B． C． D． 【 6．（2025·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·一模）统计学中通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：），某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16，他立即判断生产出现了异常，由此可知的最大值为 . 统计题型02 8．（2025·河南·一模）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； (3)由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 10．（2025·河南鹤壁·一模）有一组样本数据a，b，c，d，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则（   ） A．两组数据的极差一定相等 B．两组数据的平均数一定相等 C．两组数据的中位数可能相等 D．两组数据的方差不可能相等 11．（2022·山东枣庄·三模）下列结论正确的有（    ） A．若随机变量满足，则 B．若随机变量，且，则 C．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05 12．（2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．附：若，则，，． 13．（2025·河南信阳·一模）在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取班的一组数据：，，，，，和班的一组数据：，，，进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，.将两组数据合并为一组数据，则这组新数据的平均数和方差分别为（   ） A．平均数为85 B．平均数为86 C．方差为28 D．方差为52 计数原理题型03 14．（2025·河南·一模）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 15．（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 16．（2025·河南·一模）拓扑排序（Topological Sorting）是图论中的一个概念，它适用于有向无环图（DAG，DirectedAcyclic Graph）.拓扑排序的结果是一个线性序列，该序列满足对于图中每一条有向边，顶点在序列中都出现在顶点之前，每个顶点出现且只出现一次.如果图中含有环，则无法进行拓扑排序.在一所大学的计算机科学系，学生们必须按照特定的顺序选修一系列专业课程.这些课程之间存在先修要求，意味着某些课程必须在其他课程之前完成.例如，如果课程是课程的先修课，那么学生必须首先完成课程才能选修课程.下图展示了五门课程及其之间的先修关系.箭头表示了先修的要求方向，即箭头起点的课程必须在箭头终点的课程之前完成.如果没有直接的先修关系，两门课程可以互换位置.根据图形，下列代表了这五门课程的一个正确拓扑排序为（    ） A． B． C． D． 概率题型04 17．（2025·河南安阳·一模）甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河南·一模）已知某种长方体花岗岩的规格为（其中第个数分别为长、宽、高，且长宽高），若从长方体某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取一次共可得到三种不同规格的长方体，按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数 ，在上述种不同规格的长方体中任取1种，该种长方体的长与宽之差小于的概率为 . 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$