精品解析：四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

成都石室阳安学校2024-2025学年度下期高2024级3月月考 数 学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间内的大致图象是下列图中的（ ） A. B. C. D. 6. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（ ） A. 分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B. 分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C. 1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D. 1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 的充要条件是且 C. 若，，则 D. 是，共线的充分不必要条件 11. 设函数，已知在有且仅有3个零点，下述结论中，正确的是（ ） A. 在有且仅有1个解 B. 的取值范围是 C. 在单调递减 D. 若是直线与曲线的两个交点，且，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若非零向量，且设，则实数__________． 13. 已知，，，，则________． 14. 已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，是两个不共线的向量，如果，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）试确定的值，使和共线； 16. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 函数的部分图象如图： （1）求解析式及最小正周期； （2）若，求函数的值域. （3）写出函数在上的单调递减区间. 18. 已知函数. （1）求函数的解析式及对称轴、对称中心； （2）若在上的最大值为，求实数的最小值； （3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，当时，解不等式. 19. 为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）求曲线段的解析式和的大小； （2）若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室阳安学校2024-2025学年度下期高2024级3月月考 数 学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】 . 故选：D. 2. 下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，函数不是周期函数；BC选项，不满足奇偶性；D选项满足要求. 【详解】A选项，函数图象如下： 不是周期函数， BC选项，与是偶函数， D选项，的周期为且， 故为奇函数，D正确. 故选：D． 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加法、减法的运算法则，即可得出结果. 【详解】 故选：A 4. 如图，在中，是的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为是的中点，，， 所以 . 故选：C. 5. 函数在区间内的大致图象是下列图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，讨论函数在不同区间内的单调性. 【详解】 在上单调增，在上单调减. 【点睛】此题考查正切函数的性质及数形结合的思想. 6. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案. 【详解】， 则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可， 故选：A. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将写成，利用诱导公式，化为，然后利用余弦函数的二倍角公式可得出答案. 【详解】 故选：A 8. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（ ） A. 分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B. 分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C. 1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D. 1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象求出函数解析式可得选项A正确，选项B错误；求出和时的函数值可得选项C正确；根据可得一个周期内有分钟符合题意，由此可得选项D正确. 【详解】 如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简判断AB；利用辅助角公式化简判断C；利用差角的正切判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 的充要条件是且 C. 若，，则 D. 是，共线的充分不必要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用共线向量和相等向量的定义，即可判断；对于B，利用相等向量的定义，即可判断；对于C，当时，即可判断；对于D，应用共线及充分必要条件定义即可判断. 【详解】对于选项A，单位向量是指模等于1的向量，若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反，当方向相反时，这两个单位向量并不相等，所以选项A错误； 对于选项B，若，则可得且，所以必要性成立， 当且，则可得或，故充分性不成立，故B错误； 对于选项C，当时，因为零向量与任意向量都平行，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行．所以选项C错误， 对于选项D，当时，等式成立， 当时，两边平方可得， 解得，所以，所以，所以可得，共线， 反之，，共线同向时，不成立，故是，共线的充分不必要条件，故D正确 故选：ABC. 11. 设函数，已知在有且仅有3个零点，下述结论中，正确的是（ ） A. 在有且仅有1个解 B. 的取值范围是 C. 在单调递减 D. 若是直线与曲线的两个交点，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据在区间上零点的个数求得的取值范围，根据三角方程、三角函数的单调性、三角函数值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，， 依题意在有且仅有3个零点，所以， 解得，所以B选项正确. 对于A选项，若，即时， 由或可得或是的解，所以A选项错误. 对于C选项，由，得，所以， 所以在单调递减，C选项正确. 对于D选项，由于，所以， 即，，所以，不妨设， 所以由可得， 两式相减得，则， 所以，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若非零向量，且设，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加减法法则对化简变形，然后结合可求得结果. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 故答案为： 13. 已知，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角关系以及余弦的和差角公式即可求解. 【详解】由以及可得，故， 由以及可得，故， 故，， 故， 故答案为： 14. 已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合偶函数的性质求出，再求出相位范围，结合余弦函数的性质列式求解. 【详解】由函数是偶函数，得，而，则， 函数，由，得， 依题意，，则，而，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，是两个不共线的向量，如果，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）试确定的值，使和共线； 【答案】（1） 因为， 所以与共线. 因为与有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明向量与共线； （2）两向量与（）共线，所以存在唯一实数实数，使，由此列方程组可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为和共线， 所以存在实数，使. 因为，是两个不共线的向量，所以， 所以. 16. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系式得，，结合两角差的余弦公式计算得出答案； （2）利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果； 【小问1详解】 因为，， 所以，. 所以 . 【小问2详解】 . 17. 函数的部分图象如图： （1）求解析式及最小正周期； （2）若，求函数的值域. （3）写出函数在上的单调递减区间. 【答案】（1），周期为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图可得函数的周期，即得进而根据关键点代入可得，即可求出函数解析式； （2）利用整体处理，结合正弦函数的值域即可求解； （3）利用整体处理结合正弦函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由图可知：函数的最小正周期为 故， 将代入可得， 由图象知函数在此点处为增函数，故， 结合，可得，故. 【小问2详解】 当时，，故， 故，即函数的值域为. 【小问3详解】 令，解得， 当时，则函数的单调递减区间为. 18. 已知函数. （1）求函数的解析式及对称轴、对称中心； （2）若在上的最大值为，求实数的最小值； （3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，当时，解不等式. 【答案】（1） 对称轴方程为， 对称中心为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换可化简函数的解析式，由正弦型函数的对称中心可求得函数的对称轴方程与对称中心坐标； （2）由可求出的取值范围，根据题意可得出关于的不等式，解之即可； （3）利用三角函数图象变换可求出函数的解析式，再利用正弦函数的基本性质解不等式，得其解集，再将解集与区间取交集即可. 【小问1详解】 因为 ， 由可得， 即函数的对称轴方程为， 由可得， 所以，函数的对称中心为. 【小问2详解】 当时，， 由可得， 正弦函数在右侧第一个最高点为，所以，，解得， 即实数的最小值为. 【小问3详解】 将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象， 再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象， 则， 由可得， 解得， 令，则. 所以，当时，不等式的解集为. 19. 为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）求曲线段的解析式和的大小； （2）若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1）曲线段的解析式为， （2）（i）；（ii）当时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，即可求出，从而可得曲线段的解析式，令时，可得的值，根据几何知识求； （2）（i）根据题意可得，利用三角恒等变换化简可得； （ii）根据正弦函数的有界性分析求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：，即， 且，则， 所以曲线段的解析式为， 当时，， 又因为，则， 可知锐角，所以； 【小问2详解】 （i）由（1）可知，，且, 则， 可得， 则 ； （ii）因为，则， 可知当，即时，， 所以当时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $