专题20 与二面角相关的问题（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题20 与二面角相关的问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、定义法求二面角 3 题型二、射影面积法求二面角 5 题型三、补形法求二面角 6 题型四、已知二面角求其他量 7 题型三、二面角中的探索性问题 9 压轴能力测评（15题） 12 一、二面角 1、二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. 2、二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 3、二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 4、二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 二、定义法 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. 三、射影面积法 1.方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 2.以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 A B D C 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. 于，， 在内的射影为. 又， （三垂线定理的逆定理）. 为二面角—BC—的平面角. 设△ABC和△的面积分别为S和，，则. . 四、补形法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助前述的定义法与三垂线法解题． 【题型一 定义法求二面角】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高一上·湖南常德·阶段练习）如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一下·天津·期中）如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为 ． 4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为 ． 三、解答题 5．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【题型二 射影面积法求二面角】 一、填空题 1．在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为 ；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ． 2．（2024·全国·高一专题练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 二、解答题 3．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【题型三 补形法求二面角】 一、填空题 1．如图，在正方体中，分别为、的中点，则平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为______． 2．如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为________． 二、解答题 3．（2024·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，二面角为直二面角．，，M，N分别为AP，AC的中点．求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值. 4．如左图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如右图所示.    (1)求证：； (2)求直线与面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 5．如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且． (1)证明：平面平面； (2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【题型四 已知二面角求其他量】 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一上·四川·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .    三、解答题 3．（23-24高一下·贵州黔西·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求的长度. (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 4．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：∥平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 5．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，E为棱AD的中点，平面ABCD．    (1)求证：平面PCE； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线PA与平面所成角的正弦值． 6．（23-24高一下·山西长治·期末）如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． (1)求； (2)证明，，三线共点，并求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； (3)若，，二面角的大小为，求三棱台的体积． 【题型五 二面角中的探索性问题】 一、解答题 1．（23-24高一下·贵州安顺·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，是边上一点，且满足是正方形，.    (1)求证：平面平面； (2)已知：，二面角的平面角为.是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由. 2．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且. (1)若点是的中点， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 4．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图，在直三棱柱中，是上一动点，是的中点，是的中点. (1)当时，证明: 平面; (2)在答题卡的题 (2) 图中作出平面与平面的交线 (保留作图痕迹,无需证明); (3)是否存在，使得平面与平面所成二面角的余弦值为? 若存在求满足条件的值，若不存在，则说明理由. 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. (1)求证：四棱锥是“阳马”； (2)点M在正方形内（包括边界）．平面平面且， （i）求M点轨迹长度； （ii）是否存在M点，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北·阶段练习）如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（    ）    A．22 B．44 C． D． 4．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折．在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·北京房山·阶段练习）、是正三角形的边、的中点，沿把正三角形折成的二面角（如图），则的正切值为 三、解答题 6．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，四棱锥与三棱锥构成了一个组合体，其中在线段上，且、、三点共线．四边形是边长为的正方形，且，．为棱中点，且平面．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平面与平面所成角的大小． 7．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 8．（2024高一·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．    9．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）如图，在正方形中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB. (1)求证：； (2)点M是PD上一点，若直线MF与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 10．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求二面角； (3)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 11．如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 12．（23-24高一下·吉林·期末）如图（1）梯形中，，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面，与和交于O，点P在上，且，R是的中点，过O、P、R三点的平面交于Q．在图（2）中： (1)证明：Q是的中点； (2)M是上一点，已知二面角的正切值为，求的值． 13．（23-24高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，．    (1)求证：； (2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由． 14．（23-24高一下·重庆·期末）如图，四棱锥中，四边形是平行四边形， 是正三角形， 平面 平面 (1)求证: 平面 ； (2)当 时， 若是面的重心，求直线与平面所成角的正弦值； 棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为 如果有，求此时的长度；如果无，请说明理由. 15．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点． (1)证明：直线平面； (2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 与二面角相关的问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、定义法求二面角 3 题型二、射影面积法求二面角 10 题型三、补形法求二面角 13 题型四、已知二面角求其他量 20 题型三、二面角中的探索性问题 29 压轴能力测评（15题） 39 一、二面角 1、二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. 2、二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 3、二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. 4、二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 二、定义法 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法. 三、射影面积法 1.方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 2.以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 A B D C 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. 于，， 在内的射影为. 又， （三垂线定理的逆定理）. 为二面角—BC—的平面角. 设△ABC和△的面积分别为S和，，则. . 四、补形法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助前述的定义法与三垂线法解题． 【题型一 定义法求二面角】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得三角形全等，即可求解长度关系，根据等腰可得即为二面角的平面角，即可利用三角形边角关系求解. 【详解】由以及可得故, 进而可得,不妨设, 取中点，连接, 故,故即为二面角的平面角， 由于平面， 故平面，平面，故, 故选：B 2．（23-24高一上·湖南常德·阶段练习）如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为中点，连接，，确定为二面角的平面角，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】如图所示：为中点，连接，，则，， 平面平面，且平面，平面， 故为二面角的平面角，    在中，，， 在中，. 故选：A 二、填空题 3．（23-24高一下·天津·期中）如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为 ． 【答案】 【分析】利用面面垂直性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面， 易知，因此可得平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得即为二面角的平面角； 显然，且，三角形为正三角形，所以； 在中，. 即二面角的正切值为. 故答案为： 4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】过点在平面内作，垂足为点，连接，证明二面角的平面角为，根据几何关系即可求解． 【详解】由平面知识易证，所以. 在三棱锥中，， ∴， 过点在平面内作，垂足为点，连接． ∵， ∴易得平面又∵平面， ∵平面，平面， 平面， ∴二面角的平面角为， 在中，， 由余弦定理可得， ∴， ∴， ∵平面平面， ∴，故， ∴二面角的余弦值为． 故答案为：. 三、解答题 5．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过四边形是正方形，得到，进而可求证； （2）作，垂足为，连接.先证明平面，得到是二面角的平面角，在判断四棱锥为正四棱锥，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2）解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理进行证明. （2）先证明为二面角的平面角，再结合三角函数求的正弦值即可. 【详解】（1）证明：取的中点M，连接，. 在正三角形中，因为M为的中点，所以. 因为，，， 所以，所以. 因为M为的中点，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. （2）解：过M作的垂线，垂足为N，连接. 在中，由余弦定理得， 所以. 因为，所以，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，，， 所以，所以二面角的正弦值为. 【题型二 射影面积法求二面角】 一、填空题 1．在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为 ；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】设平面交于点，可知平面截正方体所得截面为，推导出点为的中点，计算得知四边形是边长为的菱形，并求出菱形的对角线长，由此可求得该截面的面积，再由二面角余弦公式求值即可. 【详解】如图，在正方体中， 平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可证， 四边形是平行四边形， ，， 又，， ，，则为的中点，，同理， 所以截面是边长为的菱形，其对角线，， 故截面面积． 设平面与底面ABCD所成锐二面角为， 因为截面在底面的射影为正方形， 所以. 故答案为：；. 2．（2024·全国·高一专题练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果. 【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE， ∵平面平面，平面平面， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面内的射影， ∴ 为在平面内的射影，                                                                        设，则， ∴由余弦定理可得，∴， ∴ ， 又，∴ ， 设二面角为，∴ . 而二面角与互补， ∴二面角 的余弦值为.故答案为： 二、解答题 3．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD， ∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD， ∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD； （2）由题意，△PBD在面PAD上的射影为△PAD． 设AD＝a，则S△PAD， △PBD中，PD＝a，BDa，PBa， ∴S△PBD， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为． 【题型三 补形法求二面角】 一、填空题 1．如图，在正方体中，分别为、的中点，则平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为______． 【答案】 【解析】设棱长为1，延长、、交于一点， 所以，，， 则，故． 同理，则即为所求二角的平面角， 而， 所以，其正弦值为． 2．如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】如下图所示： 当与重合时，可得：； ②当异于时，延长交于点，连接， 则为平面与平面的交线， 由平面，平面，可得： 过作于点，连接，可得：平面 可得： 故为平面与平面所成的角，即 设，可得：，， 可得： 当且仅当，即为的中点时取等号. 综上，的最小值为 二、解答题 3．（2024·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，二面角为直二面角．，，M，N分别为AP，AC的中点．求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值. 【答案】 【解析】∵，，∴ ∵面面，面面， 又∵底面为正方形， ∴，，， 又面，则面PBC，故面PBC，面， ∴，且面ABCD为正方形， 如下图，作，，连接MF，ND， ∴四边形、四边形为矩形，则 ∵M、N分别为AP和AC的中点 ∴B、M、F三点共线，B、N、D三点共线， 易知：面与面为同一个平面，且面面， 所以平面平面， ∵，，又面 ∴面，结合，故面， 又面，则，在矩形中， 由面，面，故平面BMN与平面PCD夹角为， ∵，，，∴ ∴ ∴平面BMN与平面PCD夹角的余弦值为. 4．如左图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如右图所示.    (1)求证：； (2)求直线与面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而可证异面直线垂直； （2）根据面面垂直与线线垂直，可得直线在平面内的投影，即可得直线与面所成角的平面角，即可得解； （3）扩大平面可得两平面的交线，过作，可得二面角的平面角，根据勾股定理可得各边长，进而可得二面角的余弦值. 【详解】（1）    在直角梯形中连接、，设， ，， 又因为四边形为直角梯形， ，且， 四边形为平行四边形， ，， 平行四边形为菱形，， 即翻折后，， ，且，平面， 平面， 平面，； （2）由已知平面平面，且平面平面，，平面， 平面， 在平面内的投影为， 即直线与面所成角的平面角为， 且，， 为等腰直角三角形，， 即直线与面所成角的正弦值为； （3）    如图所示，延长，，交于点， 则平面，平面， 又平面，平面， 即为平面与平面的交线， 由（2）得平面，平面，则， 过点作于点，，，平面， 则平面， 又平面，则， 所以平面与平面所成角的平面角为， 由（1）得，且， ，则，即， ，，， ，，， 则， ， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； 5．如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且． (1)证明：平面平面； (2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由题意中的面面垂直得到平面，从而得到，再由题意中给出的棱长信息得到，进而得到平面即可求证. （2）延长交于点S，得，且平面平面，过作的垂面即可找到二面角的平面角，进而通过求即可求出平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又平面，， 所以平面，又平面， 所以， 过C作交于点G，则由题意， 所以，， 所以，即，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）过A作交于点E， 由（1）可得平面平面，又平面平面， 所以平面，点A到平面PBC的距离为， 所以， 又由（1）平面可得， 所以，所以， 延长交于点S，则平面平面， 又由为等腰梯形，且以及，可得 ，分别为的中点， 连接，则，且， 又由平面，可得，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以，过D作，交于点，连接， 则由得平面，所以为二面角的的平面角， 又在和中，， 所以，故， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 【题型四 已知二面角求其他量】 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正三棱台的几何特征求出棱台的高，再求出上下底面积，利用棱台的体积公式求解即可. 【详解】由题意可知正三棱台的上底面面积为，下底面面积为， 设中点为，为下、上底面中心，连接，过作底面交于， 由正三棱台的性质可知，， 因为平面平面，所以为棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，即， 因为，， 所以，， 所以此三棱台的体积， 故选：C 二、填空题 2．（23-24高一上·四川·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .    【答案】 【分析】根据题意，由条件可得是二面角的平面角，再将三棱锥补为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果. 【详解】    如图，作，交于，则， 过作交于点，连接. 因为为直三棱柱，则平面，且， 则平面，且平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以， 则是二面角的平面角， 所以，所以， 又，，所以，所以，. 可把三棱锥补成棱长为，，的长方体， 则三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的体积为. 故答案为： 三、解答题 3．（23-24高一下·贵州黔西·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求的长度. (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得，再由正方形的边长可得答案； （2）取的中点，可得为二面角的平面角，利用余弦定理可得答案. 【详解】（1）连接，则， ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面，又平面， ∴，又正方形的边长为， ∴，； （2）取的中点，连接， ∵， ∴，， 为二面角的平面角， ∴， 由题可知与全等， 在中，，， ， ∴， ∴， ∴. 4．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：∥平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据线面垂直关系可得，由勾股定理可得，则∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）做辅助线，根据三垂线法分析可知可知二面角的平面角为，设，根据题意结合三角知识运算求解即可. 【详解】（1）因为底面，且底面，则， 又因为，，平面， 可得平面，由平面，所以， 因为，，，即， 可得，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）若，设，则， 过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 可得，， 因为底面，且底面，则， 且，则，可得， 因为底面，且底面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，则， 可得，， 则，即， 可得， 整理可得，解得或（舍去）， 且，则，所以. 5．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，E为棱AD的中点，平面ABCD．    (1)求证：平面PCE； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线PA与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，再利用平行四边形性质，结合线面平行的判定推理即得. （2）利用线面垂直的性质与判定，结合面面垂直的判定推理即得. （3）由线面垂直的性质与判定定理确定二面角的平面角并求出，借助面面垂直的性质确定直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）依题意，且，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 连接，由且，得四边形为平行四边形， 又，则为正方形，有， 又，则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，因此，为二面角的平面角，即， 在中，，在平面内过作于点M， 由（2）知，平面平面，平面平面，则平面， 于是为直线在平面上的投影，为直线与平面所成的角， 在中，，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    6．（23-24高一下·山西长治·期末）如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． (1)求； (2)证明，，三线共点，并求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； (3)若，，二面角的大小为，求三棱台的体积． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据面面平行的性质得到，同理可证又，即可得到，从而得解； （2）设，再由平面平面，即可证明三线共点，设四棱柱的底面积为，高为，体积为，求出棱台的体积，即可得解； （3）作于，连接，即可证明，从而得到二面角的平面角为，求出，即可求出，从而求出四棱柱的体积，结合（2）即可得解. 【详解】（1）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可证， 在四棱柱中，所以，， 所以，所以； （2）显然与相交，设， 因为平面，平面，因为平面平面， 所以，所以，，三线共点， 由（1）可得，所以，所以， 则，所以， 所以，设四棱柱的底面积为，高为，体积为， 所以棱台的体积， 则另一部分的体积， 所以四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为. （3）作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 平面，所以， 所以二面角的平面角为，即， 所以，所以， 所以，，所以， 所以四棱柱的体积， 所以三棱台的体积. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用整体思想，根据三角形相似得到线段比、从而得到面积、体积之比. 【题型五 二面角中的探索性问题】 一、解答题 1．（23-24高一下·贵州安顺·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，是边上一点，且满足是正方形，.    (1)求证：平面平面； (2)已知：，二面角的平面角为.是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】 （1）根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）过作于，连接，利用二面角的定义可求得的值，再根据线线关系即可得的值，从而得符合条件的的值. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以 因为正方形，所以 又平面，所以平面 因为平面，所以平平面平面； （2）过作于，连接    因为平面，平面，所以 因为，平面，所以平面 又平面，所以，则为二面角的平面角 所以，则 又因为正方形中，有，又，所以此时与重合 因为，所以，则，所以，故 故存在使得. 2．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合棱台的性质可推出平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）过作于D，说明是与平面ABC所成的角，作，说明为二面角的平面角．进而结合解三角形可得，利用三角恒等变换，即可求得答案. 【详解】（1）与都垂直，由棱台的性质得， ．又平面， 平面．又平面ABC， ∴平面平面，即平面平面． （2）由（1）知，平面平面ABC．如图，    过作于D，平面平面平面， 则平面， 是与平面ABC所成的角，即． 作于E，连接平面ABC，平面ABC，． 又，平面， 平面平面， 则为二面角的平面角． 在中，，得． 平面，平面，所以，则， 在中，． 由∽-，得，则． ，则， ，即， 于是，则， . 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且. (1)若点是的中点， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2)存在， 【详解】（1） （ⅰ）设矩形的中心为，则是的中点，而是的中点，所以. 而是矩形的中心，故也是的中点，所以在平面内，又因为不在平面内，所以平面； （ii）由于平面平面，平面和平面的交线为，，在平面内，故平面. 所以直线与平面所成角的正弦值等于. 下面证明一个结论：在中，若的长分别为，则边上的中线长为. 证明：设为的中点，，则由余弦定理，结合得 . 所以，即，故. 回到原题. 由于平面，而在平面内，故，. 从而，这得到，. 而，故根据之前证明的结论，我们有，，从而. 这表明，所以直线与平面所成角的正弦值等于. （2）在平面内过作，交于，在平面内过作，交于. 由于平面平面，平面和平面的交线为，，在平面内，故平面.  而在平面内，故. 又因为，在平面内交于，故平面. 由平面，在平面内，知. 由，，且在上，知二面角等于. 从而条件即为，即，即. 设，则，故，. 同时，. 故条件即为，即. 解得，所以. 综上，存在满足条件的点，. 4．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图，在直三棱柱中，是上一动点，是的中点，是的中点. (1)当时，证明: 平面; (2)在答题卡的题 (2) 图中作出平面与平面的交线 (保留作图痕迹,无需证明); (3)是否存在，使得平面与平面所成二面角的余弦值为? 若存在求满足条件的值，若不存在，则说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）构造平行四边形，利用平行四边形对边平行得线线平行，再用线面平行的判定定理即可. （2）一个平面内的直线，不平行则相交，将相关线段延长至相交即可. （3）做出二面角的平面角，由题意易得，再由等面积法计算出，由余弦值可得正切值，即可求解. 【详解】（1）时，为的四等分点（靠近）， 取中点为，取的四等分点（靠近）为，连接. 分别为的中点， ，且， 分别为的四等分点（靠近）， ，且， ，且，则四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面 （2）如图，平面中，与不平行，故与一定相交，设与交于点，连接，则点既在平面上，又在平面上，则为平面与平面的交线. （3）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，设与交于点, 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，，又，， 平面，又平面，， 又，，平面，又平面，. 所以为平面与平面所成的二面角. 假设存在满足条件的，即， 由已知可求得，所以， 所以，又， ，所以， 所以，， ， ， ，故， 由得， 又，所以，解得， 即存在使得平面与平面所成二面角的余弦值为. 【点睛】求无棱二面角（图中无法直接看出两平面的交线）的关键是补棱，即作出两个平面的交线，如本题的关键是要做出二面角的平面角，再由等面积法计算出，这一步的思路简单，难于计算过于复杂，接着如果要利用余弦值列式，还需求出，难度加大，因为已知，不如改用正切值来列式，后可以求解. 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. (1)求证：四棱锥是“阳马”； (2)点M在正方形内（包括边界）．平面平面且， （i）求M点轨迹长度； （ii）是否存在M点，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，该点为与交点，二面角的余弦值 【分析】（1）先由面面垂直的性质定理证得且，从而得平面即可得证四棱锥是“阳马”. （2）（i）以为直径在平面上作一个半圆，在该半圆周上任取点，连接、、，证明 平面即可找到点的轨迹即可结合扇形弧长公式求解.（ii）找到并证明与交点即为点M，再过A作的垂面即可进一步求解出二面角的余弦值. 【详解】（1）因为四边形ABCD是边长为2的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以； 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，又平面，所以. 因为平面，所以平面， 所以四棱锥是“阳马”. （2）（i）如图，以为直径在平面上作一个半圆， 在该半圆周上任取点，连接、、，则， 又由（1）知平面，而平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故点的运动轨迹在该半圆周上， 因为，所以， 所以根据扇形的弧长公式得点的运动轨迹长度为. （ii）存在M点，使得平面平面，且该点为与交点， 如图，连接、，则由（i）可知此时与交点在（i）中所作的半圆圆周上，且满足， 由正方体性质可知，，又平面，而平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以存在M点为与交点，使得平面平面， 过点A作交于点，过作交于点，连接， 又由平面可得， 所以由且、平面得平面， 所以且由平面得， 因为，、平面，所以平面， 所以是二面角的平面角， 因为正方体边长为2，， 所以， ， 所以，， 所以， 所以， 所以二面角的余弦值为. 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北·阶段练习）如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面面垂直转化面面夹角为另一个方便解答的面面夹角,分别向交线作垂线,即可得到面面夹角或其补角,构造三角形,求出各边,用余弦定理求出夹角余弦值. 【详解】解:由题知,平面ABC与平面的夹角即为平面与平面的夹角, 取的中点O,连接,如图所示: 因为正三棱柱的所有棱长都为2, 所以所以, 同理可得:,所以, 又,所以, 所以（或其补角）为平面ABC与平面的夹角, 又,所以, 因为,所以, 故选:C． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，说明为二面角的平面角，通过几何关系计算求解. 【详解】取中点，连接，交平面于点， 由正棱锥性质及对称性易知为的中心，且， 故为二面角的平面角， 设正三棱锥侧棱长为2，易得， 则， 在中由余弦定理得. 故选：D. 3．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（    ）    A．22 B．44 C． D． 【答案】C 【分析】根据二面角的定义得到，然后结合余弦定理得到，根据线面垂直的判定定理和性质得到，最后利用勾股定理求长度即可. 【详解】    如图，过点作，过点作交于点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，， 因为，，所以， 因为，，二面角为，所以， 在中，， 解得， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 4．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折．在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作的垂线，垂足为，交于，交于，设在平面内的时影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为，则为二面角的平面角，通过辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式可得所求正切值的最大值，进一步即可求解． 【详解】 在图1中，过作的垂线，垂足为，交于，交于. 在图2中，设在平面内的射影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角. 设．， 由，可得． 即有， 令，可得， 其中， 解得，则，等号成立当且仅当． 当二面角的平面角最大时，其正切值为，此时它的正弦值为． 故选：B． 二、填空题 5．（23-24高一上·北京房山·阶段练习）、是正三角形的边、的中点，沿把正三角形折成的二面角（如图），则的正切值为 【答案】 【分析】取的中点，连接，交于点，根据正三角形性质以及二面角定义可知二面角的平面角为，且，在中利用几何关系即可求出的正切值为 【详解】取的中点，连接，交于点，连接，如下图所示： 因为是正三角形，则， 又、是、的中点，所以，，翻折后； 又因为平面，且，所以平面； 因为平面，所以， 又，可得； 所以二面角的平面角为，而， 因此为等边三角形， 设的边长为，则可得， 所以, 即的正切值为. 故答案为： 三、解答题 6．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，四棱锥与三棱锥构成了一个组合体，其中在线段上，且、、三点共线．四边形是边长为的正方形，且，．为棱中点，且平面．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平面与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平行传递性证明四边形为平行四边形，得出点为的中点，再由中位线定理证明，进而由线面平行判定证明平面； （2）由平面结合证明平面，进而得出，再证明为等腰三角形，从而得出，最后由判定证明即可； （3）由，结合定义确定平面与平面所成角为，再由边角关系求解即可. 【详解】（1）连接，， ， ，    即四边形为平行四边形，则点为的中点， 又为中点，， 平面，平面， 平面. （2）平面，平面， ， 又，平面，， 平面，平面， . 又平面，. 在中，， ， 平面， 平面. （3）由，可得， 又平面，平面， ， 则平面与平面所成角为， 又点为中点，， ， 在中，， 则， 则平面与平面所成角为. 7．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，取中点，利用正四棱锥的结构特征及线面角的定义求出线面角的正切值. （2）作出二面角的平面角，利用几何法求出二面角的大小. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 8．（2024高一·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．    【答案】存在， 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，得到为二面角的平面角的补角，即有，设，表达出其他边长，根据特殊三角函数值列出方程，求出，得到答案. 【详解】假设存在满足条件的点，连结，过作为垂足， 并延长与相交于，连结．    因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以． 所以为二面角的平面角的补角，即有． 设，则． 在中，，从而． 在中，，解得． 因此，存在符合题设条件的，且满足． 9．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）如图，在正方形中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB. (1)求证：； (2)点M是PD上一点，若直线MF与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，则由线面垂直的判定定理可得平面，则，再由正方形性质可得，则平面，从而可证得； （2）由（1）可得为直线MF与平面所成角，则，令，然后根据正方形的性质求出其它边长，最后在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】（1）证明：在正方形中，连接，则， 因为点E、F分别是AB、BC的中点，所以∥， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）解：由（1）平面，所以为直线MF与平面所成角， 所以， 令，则， 所以， 设，连接， 由（1）知平面，因为平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为为的中点，，所以为等腰三角形， 所以， 因为，所以， 所以， ，， 在中，由余弦定理得 ， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查由线面垂直证线线垂直，考查线面角和二面角，考查折叠问题，解题的关键是弄清折叠前后边角的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题》 10．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求二面角； (3)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知侧面底面，得平面，则，又侧面是正三角形，可得，即可的证；. （2）由已知，作出二面角的平面角，证出是直角三角形，则求出二面角的大小； （3）作出二面角的平面角，求出，再利用异面直线所成角的定义得到异面直线与所成角，进而求出其正切值. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2）如图，取，中点，连接， 因为底面为矩形，侧面是正三角形， 所以，且且都在面， 所以平面，又，所以平面，面， 所以，所以就是二面角的平面角， 由（1）知平面，因为，所以平面， 面，则，在直角三角形中，， 又正三角形，，则，所以， 所以，即二面角为. （3）如图，在平面内，过点作，垂足为，则， 由侧面底面，交线为，面，得底面， 底面，则， 过作，垂足为，连接， ，平面，则平面， 而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 11．如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 【答案】（1）体积，圆柱的侧面积；（2） 【解析】（1）因为圆柱的底面直径，母线长， 所以，圆柱的体积为，圆柱的侧面积为. （2）因为是圆柱的底面直径，所以， 因为是圆柱的母线，所以平面， 在中，，，所以， ∴， 由勾股定理得， 在中，∴， 则， 设二面角为，则由射影面积法可得 所以， 因此，二面角的正弦值为. 12．（23-24高一下·吉林·期末）如图（1）梯形中，，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面，与和交于O，点P在上，且，R是的中点，过O、P、R三点的平面交于Q．在图（2）中： (1)证明：Q是的中点； (2)M是上一点，已知二面角的正切值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，根据中位线性质，可得结论. （2）先做出二面角的平面角，再在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）如图（1）：因为，，，，且， 所以，，. 图（2）中： 在中，，，所以， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面平面，所以， 在中，为中点，所以为中点. （2）如图： 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 作于，则平面，作于，连， 则为二面角的平面角. 设， 因为. 因为为等腰直角三角形，所以. 又. 在直角中，. 即. 【点睛】关键点点睛：问题的关键是构造二面角的平面角.因为平面平面，作于，则平面，再作于，连， 则为二面角的平面角. 13．（23-24高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，．    (1)求证：； (2)在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在直角梯形中利用勾股定理的逆定理可得，再由平面，得，然后由线面垂直的判定定理可证得平面PAC，从而可得； （2）过点M作于点N，连接BN，可证得平面，则∠MBN为BM与平面所成的角，设，则由已知线面角的正切值可求出，过点N作于点G，连接MG，可得∠MGN为二面角的平面角，从而可求得结果. 【详解】（1）证明：因为，，，， 所以四边形是直角梯形，且，， 故，即． 又平面，平面，所以 又，且PA，平面PAC，所以平面PAC， 又平面PAC，所以 （2）存在符合条件的点M，且M为PD的中点， 证明如下，过点M作于点N，连接BN，    因为平面，平面，所以， 因为MN，平面PAD，所以， 因为，所以， 因为，平面，所以平面， 则∠MBN为BM与平面所成的角． 设，则，，， 由得， 解得或（舍去） 所以M为PD的中点， 过点N作于点G，连接MG， 因为平面，平面，所以， 又，平面MGN，故平面MGN， 因为平面MGN，所以，所以∠MGN为二面角的平面角， 在中，，所以， 即当点M为PD的中点时，符合题意，且二面角的大小为． 14．（23-24高一下·重庆·期末）如图，四棱锥中，四边形是平行四边形， 是正三角形， 平面 平面 (1)求证: 平面 ； (2)当 时， 若是面的重心，求直线与平面所成角的正弦值； 棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为 如果有，求此时的长度；如果无，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解. (2)()；()棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，即两点重合，. 【分析】（1）根据已知条件可得，再由平面与平面垂直的性质即可证明； （2）（i）如图①所示，过点作平面交平面于，连接，则为直线与平面的夹角，计算的正弦值即可； （ii）棱存在一点， 即点与点重合.如图②所示，过点作交于，连接,证明， 为平面与平面的夹角，计算的余弦值即可. 【详解】（1）因为, 且四边形是平行四边形， 所以, 所以. 因为平面平面， 且平面平面， 平面， 由平面与平面垂直的性质得 平面. （2）（i）如图①所示，反向延长至点，过点作， 因为平面平面， 且平面平面， 平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 设平行四边形对角线交点为，连接, 连接,反向延长交于， 因为点为的重心，即为的中点， 过点作平面交平面于， 又因为平面， 所以. 且三点在同一条直线， 所以，且点在上， 连接，则为直线与平面的夹角. 因为点为的重心，点为的中点， 所以,且相似于, 所以. 又因为为等边三角形，， 所以，, 所以，即. 在中，由余弦定理得 则. 因为四边形是平行四边形，, 所以, 即. 在中，由余弦定理得 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，且, 所以， 解得，即，所以, 故直线与平面的夹角的正弦值为. （ii）棱存在一点，使得二面角的余弦值为， 即点与点重合，. 由（i）可知，, 即,所以. 如图②所示，过点作交于，连接, 在中，，即. 因为，， 所以相似于， 即， 在中，由余弦定理得, 在中，由余弦定理得, 所以，解得. 因为,所以.所以为平面与平面的夹角， 在中，由余弦定理得， 所以二面角夹角余弦值为. 故当点与点重合时，二面角的余弦值为. 所以棱存在一点，使得二面角的余弦值为， 即点与点重合，. 【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直、线面角及二面角，第（i）问解题关键是过点作平面交平面于，连接，则为直线与平面的夹角，计算的正弦值即可；第（ii）问，棱存在一点， 即点与点重合.解题关键是过点作交于，连接,证明， 为平面与平面的夹角，计算的余弦值即可. 15．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点． (1)证明：直线平面； (2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接、、， 在正方体中，且， 、分别为、的中点，则且， 故四边形为平行四边形，则且， 又因为且，则且， 故四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面， 因为且，故四边形为平行四边形，则， 、分别为、的中点，则，则， 平面，平面，平面， ，、平面，所以，平面平面， 平面，平面. （2）延长、交与点，连接，则直线即为直线， 因为且，为的中点，则， 故点为的中点，为的中点， 在中，，，， 由余弦定理可得，则， ，则， 过点在平面内作直线，垂足为点，连接， ，所以，， 平面，平面，， ，，、平面，平面， 平面，，故二面角的平面角为， 且，故点到直线的距离为， ，因此，二面角的平面角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$