特训08 期中必刷选填题 （十三大题型，范围：6.1-8.3）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

特训08 期中必刷选填题 （十三大题型，范围：6.1-8.3） 目录： 题型1：概念综合辨析 题型2：平面向量的运算、表示 题型3：平面向量的数量积及应用 题型4：平面向量的基本定理 题型5：平面向量的坐标表示 题型6：正弦、余弦定理及其综合应用 题型7：复数综合 题型8：基本立体图形概念辨析 题型9：立体图形的直观图 题型10：立体图形的有关计算，展开图问题 题型11：截面问题 题型12：求表面积和体积—生活、古代等应用 题型13：求表面积和体积综合（含内切外接问题） 题型1：概念综合辨析 1．下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等 2．下列叙述中正确的个数是（    ） ①若，则 ；②若，则或；③若，则；④若，则. A． B． C． D． 3．已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 4．在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A．且 B． C． D． 题型2：平面向量的运算、表示 6．下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 7．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 9．如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型3：平面向量的数量积及应用 10．已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．已知，则在方向上的投影向量坐标为 ． 12．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 13．已知向量满足，则（    ） A．2 B． C． D．3 14．设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 16．在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为 . 题型4：平面向量的基本定理 17．如图，在矩形中，M是的中点，若，则（    ）    A． B．1 C． D．2 18．如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 19．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型5：平面向量的坐标表示 20．已知向量，则（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．与垂直的充要条件是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 21．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 22．已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 23．已知点是所在平面内的一点，且，，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型6：正弦、余弦定理及其综合应用 24．在中，，则（    ） A． B． C． D． 25．在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 26．中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 27．在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 28．如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 29（多选）．在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 30（多选）．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的2倍 D．若，则外接圆半径为 题型7：复数综合 31．下列命题中，正确的是（    ） A．的虚部是4 B．是纯虚数 C． D． 32．在复平面内，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．的共轭复数 33．已知复数为实数，则实数 . 34．已知，则（   ） A． B． C． D． 35．复数与复数在复平面上对应点分别是A，B，则 ． 36（多选）．已知为虚数单位，，.则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D．在复数范围内，为方程的根 37（多选）．已知复数满足为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 38（多选）．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 39．已知（），则的值为 ． 题型8：基本立体图形概念辨析 40．下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 41．下列命题是真命题的是（    ） A．直棱柱的侧面是矩形 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 题型9：立体图形的直观图 42．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 43．用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 题型10：立体图形的有关计算，展开图问题 44．已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 45．若圆锥的侧面展开图是半径为5，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 . 46．已知某圆锥的体积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为 ． 47．如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ） A．4 B． C． D． 48．已知正方体的棱长为，点P为对角线的中点，E，F为对角线，（含端点）上的动点，则的最小值为 ． 题型11：截面问题 49．若一个圆锥的母线长为2，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 50．正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 51．已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值是 ． 52．现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为 . 题型12：求表面积和体积—生活、古代等应用 53．一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高．如图1，西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2，已知杯底的直径为cm，杯口直径为cm，杯的深度为cm，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（    ） A．5cm B．cm C．cm D．cm 54．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型13：求表面积和体积综合（含内切外接问题） 55．若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 56．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（    ） A． B．2 C． D． 57．已知长方体全部棱长的和为12，表面积为3，则该长方体的外接球的表面积为 . 58．在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 59．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最小值为，则正方体的外接球的表面积为 . 60．在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 61．如图，某圆台上、下底面的圆周都在球的球面上，且球的球心与该圆台下底面圆的圆心重合，若该圆台下底面圆的半径为13，母线长为，则该圆台的体积为 ． 62．在梯形中，，，，，，现将梯形以直线为轴旋转一周，则得到的几何体的体积为 ． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 期中必刷选填题 （十三大题型，范围：6.1-8.3） 目录： 题型1：概念综合辨析 题型2：平面向量的运算、表示 题型3：平面向量的数量积及应用 题型4：平面向量的基本定理 题型5：平面向量的坐标表示 题型6：正弦、余弦定理及其综合应用 题型7：复数综合 题型8：基本立体图形概念辨析 题型9：立体图形的直观图 题型10：立体图形的有关计算，展开图问题 题型11：截面问题 题型12：求表面积和体积—生活、古代等应用 题型13：求表面积和体积综合（含内切外接问题） 题型1：概念综合辨析 1．下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等 【答案】D 【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可. 【解析】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误； 对于C：向量不可以比较大小，故C错误； 对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确. 故选：D 2．下列叙述中正确的个数是（    ） ①若，则 ；②若，则或；③若，则；④若，则. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量不能比较大小判断①；举反例判断②；由时判断③；由相等向量和平行向量的关系判断④. 【解析】因为向量不能比较大小，所以①错误， 单位向量模都为1，方向任意，所以②错误， 当时，和可能不平行，所以③错误， 两个向量相等则它们一定平行，所以④正确. 故选：B 3．已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】与非零向量方向相反的单位向量为，进而可求得结果. 【解析】，，，则， 因此，与向量方向相反的单位向量是. 故选：D. 【点睛】本题考查单位向量的求解，利用结论：与非零向量方向相反的单位向量为是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 4．在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案. 【解析】零向量与任何向量的数量积都为0，错误； 0乘以任何向量都为零向量，正确； 向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，错误； 向量模的平方等于向量的平方，正确； 不一定有，故错误； 故选：C 【点睛】本题考核查了向量，利用向量相关概念、性质判断正误，属于基础题. 5．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】结合向量相等的定义，利用充分条件的定义进行判断即可得正确选项. 【解析】对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确； 对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确； 对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确； 对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即， 所以是成立的充分条件，故选项D正确； 故选：D. 题型2：平面向量的运算、表示 6．下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解析】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：D. 7．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【解析】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 8．已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用共线向量定理列式计算即得. 【解析】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C 9．如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【解析】因为， 所以 . 故选：C. 题型3：平面向量的数量积及应用 10．已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量的数量积的运算律求解，即可得答案. 【解析】因为单位向量的夹角为， 所以， 故选：B． 11．已知，则在方向上的投影向量坐标为 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式可得坐标. 【解析】在方向上的投影向量为， 故答案为：. 12．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【解析】因为， 所以，所以， 所以，而，所以， 即向量与的夹角为. 故选：C. 13．已知向量满足，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及向量数量积运算律计算得解. 【解析】由，得，则， 所以. 故选：C 14．设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由向量的垂直与模长结合充分必要条件的概念判断即可. 【解析】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 15．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 【答案】 【分析】表示出投影向量，即可求得，进而利用求得结果. 【解析】由题知，在上的投影向量为， 即，则，， 所以. 故答案为： 16．在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由可得，进而可得，再结合即可得即可. 【解析】因为，所以， 即， 又因为， 所以， 所以，解得， 故的最大值为4. 故答案为：4. 题型4：平面向量的基本定理 17．如图，在矩形中，M是的中点，若，则（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理结合题意直接求解即可. 【解析】因为在矩形中，M是的中点， 所以， 因为， 所以， 所以， 故选：C． 18．如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【解析】因为，所以为的中点，又D是AB的中点， 所以， 则，. 故选：B. 19．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【解析】因为，， 所以. 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 题型5：平面向量的坐标表示 20．已知向量，则（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．与垂直的充要条件是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义求解判断ABC；利用向量夹角公式列式求出范围判断D. 【解析】对于A，，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由与的夹角为锐角，得且与不共线，由选项B知，，D错误. 故选：B 21．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求解即可. 【解析】由题可得：，故， 又，， 故. 故选：D. 22．已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于向量的坐标，求得向量的坐标，利用坐标求向量的模长，计算化简可得，即可求解. 【解析】因为， 所以， 则 故当时，取得最小值. 故选：C. 23．已知点是所在平面内的一点，且，，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，， 设，则，，，再利用向量数量积的坐标运算即可求得. 【解析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，， 设，则，，，所以， 所以 . 当时，取得最小值. 故选：D. 24．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值． 【解析】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 题型6：正弦、余弦定理及其综合应用 25．在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解. 【解析】因为在中，， 所以由余弦定理可得： ，所以. 故选：B 26．中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【解析】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 27．在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】首先根据正弦定理，将边化为角，再结合二倍角的正弦公式，以及角的关系，即可判断. 【解析】因为，由正弦定理可得，即， 所以，可得或， 所以或，所以的形状为等腰或直角三角形. 故选：D． 28．如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【解析】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 29．在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得. 【解析】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故B正确； C中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有两解，故D错误. 故选：BC. 30．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的2倍 D．若，则外接圆半径为 【答案】CD 【分析】由已知可求的值，然后分别结合正弦定理，余弦定理及二倍角公式，同角三角函数平方关系分别对选项进行检验． 【解析】由，可得， 故可设，，， 由正弦定理可得，，A错误； 由题意可知为最大角，由余弦定理可得，， 故为锐角，从而可知是锐角三角形，B错误； 因为最小内角为最小角，，故， 故，C正确； 由，，结合正弦定理可得， 故，D正确． 故选：CD 题型7：复数综合 31．下列命题中，正确的是（    ） A．的虚部是4 B．是纯虚数 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的基本概念判断选项A、B；根据复数的几何意义求出复数的模，进而判断选项C；根据复数的乘方计算即可判断选项D. 【解析】复数的实部是，虚部为，故A、B错误； 因为，故C不正确； ，故D正确. 故选：D. 32．在复平面内，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．的共轭复数 【答案】C 【分析】应用复数的除法化简复数，进而确定虚部、对应点所在象限、求模长和共轭复数，即可得答案. 【解析】由，所以的虚部为3，A选项错误； 在复平面内对应的点为，在第一象限，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误. 故选：C 33．已知复数为实数，则实数 . 【答案】 【分析】整理可得，结合向量的概念列式求解即可. 【解析】因为为实数， 则，解得. 故答案为：. 34．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数除法法则计算出，从而利用模的运算法则得到． 【解析】， 故． 故选：C 35．复数与复数在复平面上对应点分别是A，B，则 ． 【答案】1 【分析】根据复数运算法则可得两点的坐标，再根据两角和的正切公式即可算出. 【解析】根据复数与对应的点的坐标为，如下图所示： 易知； 则. 故答案为：1 36．已知为虚数单位，，.则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D．在复数范围内，为方程的根 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合复数模、共轭复数及复数的乘法逐项计算判断. 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，都是虚数，不能比较大小，C错误； 对于D，由，得在复数范围内，为方程的根，D正确. 故选：ABD 37．已知复数满足为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据复数相等的定义，结合共轭复数的定义、复数的乘方的运算公式求出的表达式，再根据复数的模的公式、复数的四则运算公式逐一判断即可. 【解析】设，则， 由 或， 于是或. A：显然，因此本选项不成立； B：当时，， 当时，，所以本选项成立； C：当时，， 当时，，所以本选项正确； D：当时，，显然， 同理当时，，因此本选项正确， 故选：BCD 38．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC. 【解析】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 设， 对于B，由，得，则， 因此，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BCD 39．已知（），则的值为 ． 【答案】1 【分析】由已知条件先表示出，利用复数模的性质计算. 【解析】由（）， 得到 从而有， 则． 故答案为：1 题型8：基本立体图形概念辨析 40．下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义分析CD，综合可得答案． 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A，如图： 在三棱锥中，有，， 该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误． 故选：C． 41．下列命题是真命题的是（    ） A．直棱柱的侧面是矩形 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 【答案】A 【分析】根据棱柱、直棱柱、正棱锥的定义一一判断即可. 【解析】对于A，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面是矩形，故A正确； 对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，故B错误； 对于C，经过不共线的三个点的平面有且只有一个，经过不共线的三个点的球有无数个，故C错误； 对于D，四棱锥的底面是四边形，侧面是有公共顶点的三角形， 而四棱柱上下底面是两个全等且平行的四边形，侧面是平行四边形， 若两个四棱锥要拼成一个四棱柱，首先需两个棱锥的底面是全等的四边形， 此时只能某两个侧面重合，显然这两个侧面三角形不可能完全重合（一个顶点向上，另一个顶点向下）， 事实上一个四棱柱不可能分割成两个四棱锥， 故两个四棱锥一定不能拼成一个四棱柱，故D错误． 故选：A． 题型9：立体图形的直观图 42．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 【答案】 【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得，从而求得三角形的高，即可求解面积. 【解析】由直观图可知，原三角形边长为4，则边上的高为，所以， 所以的高是，所以的面积是. 故答案为：. 43．用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法画法，结合题中条件求出各边边长，即可求出结果. 【解析】记四边形所对应的原四边形为四边形， 由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形， 因为，四边形为等腰梯形， 所以， 所以，，， 因此， 所以原四边形的周长为. 故选：D 题型10：立体图形的有关计算，展开图问题 44．已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 【答案】 【分析】取上、下底面的中心，过点作，再利用条件和正四棱台的性质即可求出结果. 【解析】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连， 因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以，过点作，垂足为，则易知且， 在Rt中，，，所以，故正四棱台的高为.    故答案为：. 45．若圆锥的侧面展开图是半径为5，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 . 【答案】4 【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长与圆锥的底面周长相等，求得圆锥底面的半径，进而得圆锥的高. 【解析】由题意，圆锥侧面展开图的半径为，所以圆锥的母线长为， 设圆锥的底面半径为，则 ，解得， 可得圆锥的高为. 故答案为：4. 46．已知某圆锥的体积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】由圆锥体积公式，侧面积公式，扇形圆心角公式，及轴截面三角形中的勾股定理，联立方程组可求解出结果. 【解析】设圆锥的底面半径为R，母线长为，高为， 圆锥的体积，化简得：， 侧面展开图的圆心角，化简得：， 由勾股定理可得：， 代入得：，， 圆锥的侧面积， 故答案为：. 47．如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三棱锥的侧面展开图求解. 【解析】解：如图， 连接与分别交于两点， 将三棱锥由展开，则， 为虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处， 然后回到点的最短距离， ∵， ∴由勾股定理可得， 所以虫子爬行的最短距离4， 故选：A. 48．已知正方体的棱长为，点P为对角线的中点，E，F为对角线，（含端点）上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，将等边三角形和展在同一平面内，可得，进而与间的距离. 【解析】连接，将两个边长为2的等边三角形和展在同一平面内， 如图所示．则，故与间的距离， 即的最小值为． 故答案为：. 题型11：截面问题 49．若一个圆锥的母线长为2，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别表示出其侧面积与其轴截面面积，列出方程，即可得到结果. 【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h， 由圆锥的母线长为2，可知圆锥的侧面积为， 又圆锥的轴截面面积为， 所以，解得， 所以该圆锥的高为. 故选：C 50．正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将四面体放置于正方体中，则正方体的外接球就是四面体的外接球．因此利用题中数据算出，即可算出截面面积的最小值． 【解析】 由题意，面积最小的截面是以为直径的截面， 将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球， 设，则正方体棱长为，故，可求得， 进而截面面积的最小值为． 故选：C    51．已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值是 ． 【答案】1 【分析】利用轴截面为等边三角形去写出圆锥底面半径，高，母线长之间的关系，再结合圆锥的高与球的直径相等，找到不同几何体之间的变量关系，再应用对应几何体的表面积公式即可解得. 【解析】设圆锥的底面半径为r，球O的半径为R， 因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线， 由题可知：，所以球O的半径 所以圆锥的表面积，球O的表面积， 即， 故答案为：1． 52．现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为 . 【答案】 【分析】画出图形，说明截面弧长，利用弧长公式求解即可. 【解析】如图，以为球心，为半径的球面被正方体表面所截得的弧， 即分别在平面､平面､平面上， 以为圆心､3为半径的圆与所在平面形成的弧，弧，弧， 三条弧所对圆心角都是， 所以所求弧长的和为. 故答案为：    题型12：求表面积和体积—生活、古代等应用 53．一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高．如图1，西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2，已知杯底的直径为cm，杯口直径为cm，杯的深度为cm，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（    ） A．5cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】作出“球台”的轴截面，利用勾股定理得到方程组，解得即可； 【解析】解：如图所示，作出“球台”的轴截面，设球心为，过作交于点，交于点， 依题意，，， 设球的半径为，则且， 即，解得， 即球面的半径为； 故选：A 54．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解. 【解析】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 且圆锥的母线长为， 所以该陀螺的表面积为. 故选：C. 题型13：求表面积和体积综合（含内切外接问题） 55．若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得该圆柱的高，底面半径，进而可得体积. 【解析】设圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的高，    底面圆的周长为，解得， 所以圆柱的体积． 故选：D． 56．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，根据棱台的体积公式结合条件即得. 【解析】如图，在正四棱台中，，，连接，， 则，， 设侧棱长为，则棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为， 解得． 故选：B． 57．已知长方体全部棱长的和为12，表面积为3，则该长方体的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】设长方体的长、宽、高分别为、、，根据题意可得，进而求外接球的半径和表面积. 【解析】设长方体的长、宽、高分别为、、，且， 由题意可知：，即， 且， 可得， 可知：该长方体的外接球的半径， 所以该长方体的外接球的表面积为. 故答案为：. 58．在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜二测画法规则求出底面三角形面积，再利用柱体体积公式计算即得. 【解析】直观图对应的原图形为如图所示的，其中， ，因此的面积， 所以三棱柱的体积为. 故选：D 59．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最小值为，则正方体的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据正方体的几何特征得外接球与内切球半径分别为，即可由得的值，即可由球的表面积公式求解. 【解析】设正方体的棱长为，则正方体的外接球与内切球半径分别为，且球心均为正方体的中心， ，且线段的最小值为， ， 正方体的外接球的表面积为. 故答案为： 60．在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】首先求出，利用勾股定理逆定理得到，设的中点为，根据直角三角形的性质性质得到，即为外接球的球心，即为外接球的半径，从而求出球的表面积. 【解析】如图所示： 由，，可知. 因为，，所以，即. 设的中点为，则， 所以为四面体外接球的球心，四面体的外接球半径， 所以外接球表面积. 故答案为： 61．如图，某圆台上、下底面的圆周都在球的球面上，且球的球心与该圆台下底面圆的圆心重合，若该圆台下底面圆的半径为13，母线长为，则该圆台的体积为 ． 【答案】 【分析】根据圆台的结构特点，结合已知的条件，求出圆台的上、下底半径和圆台的高，利用圆台的体积公式求体积. 【解析】如图： 设该圆台上底面圆的圆心为C，连接，，，， 作，垂足为O. 由题意可得，， 因为， 所以，解得，所以，， 该圆台的体积为. 故答案为： 62．在梯形中，，，，，，现将梯形以直线为轴旋转一周，则得到的几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】过作于，可求得，过点作于点，过点作于点，可求得，进而可求得旋转体的体积. 【解析】如图，过作于， 由,，， 可得又，可得, 过点作于点，过点作于点，可得 易得，，，，．    所以将梯形以直线为轴旋转一周得到的几何体的体积为： ． 故答案为：． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$