特训07 期中选填压轴题（十三大题型，江苏最新精选）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训07 期中选填压轴题（十三大题型，江苏最新精选） 目录： 题型1：最值问题—根据对称性求解 题型2：最值问题—根据三点共线求解 题型3：最值问题—四点共圆 题型4：最值问题—其他综合 题型5：求线段长度的和 题型6：求运动的路径长 题型7：根据动态问题求长度或面积 题型8：多结论综合辨析题—传统几何题 题型9：多结论综合辨析题—动点问题 题型10：多结论综合辨析题—旋转问题 题型11：多结论综合辨析题—折叠问题 题型12：多结论综合辨析题—对称问题 题型13：多结论综合辨析题—几何的坐标应用 题型1：最值问题—根据对称性求解 1．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形中，，点在折线上运动；点关于的对称点为，连接，在点从点运动到点的过程中，的最小值为 ． 题型2：最值问题—根据三点共线求解 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，点O是对称中心，点P、Q分别在边上，且经过点O．将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点的位置，则面积的最大值为 ． 题型3：最值问题—四点共圆 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将其绕点逆时针旋转至直线，使得，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 题型4：最值问题—其他综合 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D． 7．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形中，，且与不平行，、、分别是、、的中点，设的面积为，则的最大值是 ．    8．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形ABCD与正方形AEFG边长分别为1和，一开始边AB与边AG重合，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为．在旋转过程中，连接BG、GE、ED、DB，四边形BGED面积的最大值是 ． 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型5：求线段长度的和 10．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，等边的三个顶点、、分别在正方形的三边、、上，已知正方形的边长为，，的长度之和为 ． 11．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型6：求运动的路径长 12．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（    ）    A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　） A．1 B． C． D． 14．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为1，点E是边AD上一点，且，点F是边上一个动点，连接EF，以为边作菱形，且，连接，点P为的中点，在点F从点A运动到点B的过程中，点运动所走的路径长为（    ） A． B．1 C． D． 题型7：根据动态问题求长度或面积 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点B，E，F，G按逆时针排列）．当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点A重合），则正方形的边长为 ． 16．（22-23八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．若时，则 ．   　　   17．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知矩形纸片，，，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2），则 ；然后将绕点F旋转到，当过点C时旋转停止，则 ．    18．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型8：多结论综合辨析题—传统几何题 19．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，，则下列结论中：①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④．正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（22-23八年级下·江苏·期中）如图，点O为边长为1的正方形的中心，平分交于点E，延长到点F，使，连结交的延长线于点H，连结交于点G，连结．则以下四结论中：①，②，③，④．正确结论个数为 ． 题型9：多结论综合辨析题—动点问题 21．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 22．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，正方形的面积为16，对角线，相交于点，点，分别在边，上运动，，平分，与边交于点．则下列结论： ①； ②四边形的面积保持4不变； ③； ④的最小值为． 其中正确说法的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 23．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论： ①；②点E在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 24．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知正方形，点M是边延长线上的动点（不与点A重合）且，由平移得到，若过点E作，H为垂足，则有以下结论：①在点M的运动过程中，四边形可能成为菱形；（2）点M位置变化，使得时，；③无论点M运动到何处，都有；④无论点M运动到何处，一定大于．以上结论正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④ 题型10：多结论综合辨析题—旋转问题 25．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设；下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数m，使得；④取中点，连接，，的面积随着的变化而变化．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知正方形中，，点E为边上一动点（不与点B、C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，设与相交于点G，连接．以下说法：①；②最小值为；③平分；④当最小时，四边形的面积是3．其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 题型11：多结论综合辨析题—折叠问题 27．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形纸片中，，，点、点分别是边、上的一个动点，将沿折叠，使顶点落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点落在射线上的点处，下列结论：①；②若，则；③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或．其中正确的结论有 ．（填序号） 题型12：多结论综合辨析题—对称问题 28．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形中，E是延长线上一点，在上取一点F，使点B关于直线的对称点G落在上，连接交于点H，连接交于点M，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 题型13：多结论综合辨析题—几何的坐标应用问题 29．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将矩形绕点O顺时针旋转度得到矩形，线段与线段交于点P，线段与直线交于点Q．下列说法：①当点落在y轴上时， 坐标为；②当点落在上时，；③的面积最大值为；④当时，．其中正确的个数有（       ）    A．1 B．2 C．3 D．4 ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 期中选填压轴题（十三大题型，江苏最新精选） 目录： 题型1：最值问题—根据对称性求解 题型2：最值问题—根据三点共线求解 题型3：最值问题—四点共圆 题型4：最值问题—其他综合 题型5：求线段长度的和 题型6：求运动的路径长 题型7：根据动态问题求长度或面积 题型8：多结论综合辨析题—传统几何题 题型9：多结论综合辨析题—动点问题 题型10：多结论综合辨析题—旋转问题 题型11：多结论综合辨析题—折叠问题 题型12：多结论综合辨析题—对称问题 题型13：多结论综合辨析题—几何的坐标应用 题型1：最值问题—根据对称性求解 1．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，利用正方形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出，长，再证明是直角三角形，然后由勾股定理求出长即可． 【解析】解：作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，   ， ∵正方形，， ∴，，，，， ∴点O关于的对称点F， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， ∴， ∴最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形中，，点在折线上运动；点关于的对称点为，连接，在点从点运动到点的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1和2，作点关于的对称点，连接，，先根据轴对称的性质可得，将求的最小值转化为求点到折线的最短距离，从而可得在图2中，当时，点到的距离最短，再设交于点，交于点，利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，最后利用的面积求解即可得． 【解析】解：如图1和2，作点关于的对称点，连接，， 由轴对称的性质得：， ∴求的最小值可转化为求点到折线的最短距离， 如图1，当点在上运动时，点到的最短距离为的长， 如图2，当点在上运动时，则时，点到的距离最短， ∵如图2，在中，， ∴当点在折线上运动时，点到折线的最短距离为图2中的长， 在图2中，设交于点，交于点， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、垂线段最短等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 题型2：最值问题—根据三点共线求解 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，由勾股定理得，，证明四边形是矩形，证明，则，由四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，则，由，可知当A、G、N在一条直线上时最小，为，然后作答即可． 【解析】解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定是解题的关键． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，点O是对称中心，点P、Q分别在边上，且经过点O．将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点的位置，则面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查中心对称，三角形的面积，矩形的性质，翻折变换等知识，如图，连接，交于点，连接，过点作于点．求出的值，根据当，，共线时，的面积最大，可得结论，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【解析】解：如图，连接，交于点，过点作于点，连接． 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ∵翻折， ∴，， ∴， ， ， ∵过点， ∴， ， 当，，共线时，的面积最大，最大值为． 故答案为：． 题型3：最值问题—四点共圆 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将其绕点逆时针旋转至直线，使得，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，从而得到四点共圆，结合，，得到，继而得到，得到，故平分，作于点M，根据垂线段最短原理，得到当G与M重合时，最短，结合，根据，解答即可． 【解析】∵，， ∴， ∴四点共圆， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 作于点M，根据垂线段最短原理，得到当G与M重合时，最短， ∵， ∴， 故选B． ． 【点睛】本题考查旋转的性质，对角互补的四边形内接于圆，垂线段最短，直角三角形的有关计算等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，判定四点共圆是解决问题的关键． 题型4：最值问题—其他综合 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，由可得，由勾股定理可得，由，可得，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，因而当最小时，最小，由垂线段最短可知，当时，最小，此时，进而可得，由此即可求出的最小值． 【解析】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当时，最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 7．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形中，，且与不平行，、、分别是、、的中点，设的面积为，则的最大值是 ．    【答案】2 【分析】作于点，根据三角形的中位线定理可得，，进而可得，根据是的边上的高， 可得、，问题随之得解． 【解析】解：作于点，如图所示，   ，，分别是，，中点， ，， ， 与不平行， ，不能重合， 、、是三角形的三个顶点， ， 是的边上的高， ， 的最大值是 2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质，垂线段最短等知识，作出合理的辅助线，掌握三角形中位线的性质，是解答本题的关键． 8．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形ABCD与正方形AEFG边长分别为1和，一开始边AB与边AG重合，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为．在旋转过程中，连接BG、GE、ED、DB，四边形BGED面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】连接BE，DG，相交于点H，BE与AG交于点K，根据正方形的性质可得AB=AD，AG=AE，∠BAD=∠GAE=90°，从而利用等式的性质可得∠DAG=∠BAE，进而可证△BAE≌△DAG，然后利用全等三角形的性质可得BE=DG，∠DGA=∠BEA，从而可得∠HKG+∠DGA=90°，进而可得∠GHK=90°，最后根据四边形BGED面积=△BEG的面积+△BDE的面积=BE2，当BE取最大值时，四边形BGED面积最大，进行计算即可解答． 【解析】解：连接BE，DG，相交于点H，BE与AG交于点K， ∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AG=AE，∠BAD=∠GAE=90°， ∴∠BAD+∠BAG=∠GAE+∠BAG， ∴∠DAG=∠BAE， ∴△BAE≌△DAG（SAS）， ∴BE=DG，∠DGA=∠BEA， ∵∠AKE=∠HKG，∠AKE+∠BEA=90°， ∴∠HKG+∠DGA=90°， ∴∠GHK=180°-（∠HKG+∠DGA）=90°， ∴四边形BGED面积=△BEG的面积+△BDE的面积 =BE•HG+BE•DH =BE（HG+DH） =BE•DG =BE2， ∴当BE取最大值时，四边形BGED面积最大， ∴当α=90°时，BE最大=AE+AB=1+， ∴四边形BGED面积的最大值=BE2 =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，由矩形的性质可得点重合，的值最小，即为的长，即得的最小值为，得到的最小值为，延长相交于点，过点作的延长线于点，证明得到，可得当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，当取最大时，点重合，此时，即得，得到，最后利用三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 延长相交于点，过点作的延长线于点，则， ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型5：求线段长度的和 10．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，等边的三个顶点、、分别在正方形的三边、、上，已知正方形的边长为，，的长度之和为 ． 【答案】 【分析】首先，过点作与延长线交于点，过点作与延长线交于点；然后，设，，则可将的三边用表示出来，将的三边用表示出来；进而，利用证明，于是可得，；最后，利用各线段之间的和差关系可推出，在此基础上即可求出，的长度之和． 【解析】解：如图，过点作与延长线交于点，过点作与延长线交于点， 四边形是正方形， ， ， 设，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 正方形的边长为， ， 即， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，二次根式的乘法运算等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 11．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数，连接，利用折叠的性质和勾股定理求得，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系，求得的坐标，利用勾股定理即可解答，利用数形结合的思想，用建系法解题是解题的关键． 【解析】解：如图，连接， ，，正方形纸片的边长为9， ， , 折叠正方形纸片，使得点落在边上的点， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 则可得， 解得， ，， 如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 则可得， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为, 把代入可得，解得， 直线的解析式为, 联立方程， 解得， ， 则， ， ， 故选：A． 题型6：求运动的路径长 12．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则四边形为矩形，由折叠可得，得到，，进而可得，从而判断出点在上运动，又由全等三角形的性质可得，，设 ，则，，由勾股定理得，即得，解方程求出，得到的长度，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则四边形为矩形，    ∴，，， 由折叠得，， ∴，， ∴， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴点到的距离等于，即点在上运动， ∴点与点重合时，点与点重合， 当点与点重合时，如图，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ 四边形为矩形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径长为线段的长，等于， 故选：． 13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果． 【解析】解：如图，取中点， 在正方形中，， 又∵， ∴， ∴， ， 当时， 则， ，， 四边形是正方形， ，即点G与点H重合， ， ； 点是与的交点，是定线段，， 点G在线段上运动， 在整个运动过程中， 当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值， 当时，点G与点H重合，有最小值， 当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值， 点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C， 点经过的路径长是， 点经过的路径长是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 14．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为1，点E是边AD上一点，且，点F是边上一个动点，连接EF，以为边作菱形，且，连接，点P为的中点，在点F从点A运动到点B的过程中，点运动所走的路径长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】当与重合时为，当与重合时为，当点从运动到时，的运动轨迹为线段，连接，，，，可证，从而可证，由、分别是、的中点，即可求解． 【解析】 解：如图，当与重合时为，当与重合时为， 当点从运动到时，的运动轨迹为线段， 连接，，，， 四边形和四边形是菱形， ， ，，均是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， 同理可证：， ， 在和中 ， ， ， ， 、分别是、的中点， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形中位线定理，掌握相关的判定方法及性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 题型7：根据动态问题求长度或面积 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点B，E，F，G按逆时针排列）．当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点A重合），则正方形的边长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．分两种情况：当点F在直线上时，当点G在直线上时，分别画出图形，根据三角形全等的判定和性质，勾股定理进行求解即可． 【解析】解：当点F在直线上时，过点F作，交的延长线于M， 则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴此时正方形的边长为． 当点G在直线上时，过点G作，交的延长线于M，如图， 同理可得：， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴此时正方形的边长为． 综上分析可得：正方形的边长为或． 故答案为：或． 16．（22-23八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．若时，则 ．   　　   【答案】或 【分析】分两种情况：①当E点在上时，过F点作于G点，由旋转的性质可得，先根据AAS证明，则可得，由勾股定理可求出、的长，即可知的长，再根据勾股定理求出的长即可．②当E点在上时，由旋转的性质可得，，于是可得．在中，由勾股定理可得，则，由此得，．作于G点，由勾股定理可得的长，于是可求出的长． 【解析】①如图，当E点在上时，过F点作于G点，    则， ∵四边形是矩形， ，． 根据旋转的性质得， ， 即， ， ， ． 中，， ， ， ． ②如图，当E点在上时，    ∵四边形是矩形， ∴，， 又， ． 根据旋转的性质得， ， 即． 中，， ， ， ， ． 作于G点， 则，， ． ， ， ，     ， ， ． 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 17．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知矩形纸片，，，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2），则 ；然后将绕点F旋转到，当过点C时旋转停止，则 ．    【答案】 3 【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明得，，从而垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上， ∴，， ∴四边形是矩形，, ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∴，    ∵将绕点旋转到， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：3，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键． 18．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先证明，得出四边形是菱形，通过角和边的换算，得出点和点分别是的中点，得证点是的中点，点是的中点，根据等底同高得出，再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，即可作答． 【解析】解：如图：连接 ∵，． ∴是等腰直角三角形 则 ∵将沿折叠，使点A落在边的中点D处 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 则， ∵I为的中点 ∴三点共线 ∵点G、H分别为的中点，点D在边的中点处 ∴分别是的中位线 ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 同理得 ∴四边形是菱形 则连接，分别交于点，连接 ∵折叠 ∴ ∴ ∵ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∴点和点分别是的中点 则 则 则 ∵点G、H、I分别为的中点 ∴ 则 则是平行四边形 则点是的中点 同理得点是的中点 则 ∴四边形的面积为菱形的面积一半 ∵，． ∴ 则， 则， ∴菱形的面积， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，中位线，等腰直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理等内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型8：多结论综合辨析题—传统几何题 19．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，，则下列结论中：①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④．正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据，，易得是的垂直平分线，证明，得到，，从而得到，根据，则，根据点是的中点，证明，得到，，易证，得到，，进而得到，即可求出即可判断①②；由，得到，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是菱形；即可判断③；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，根据，，等量代换，即可判断④． 【解析】解：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，，故②正确； ， ， ，， ， ， 是等边三角形，故①正确； ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形；故③正确； ， ， ，， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形判定和性质． 20．（22-23八年级下·江苏·期中）如图，点O为边长为1的正方形的中心，平分交于点E，延长到点F，使，连结交的延长线于点H，连结交于点G，连结．则以下四结论中：①，②，③，④．正确结论个数为 ． 【答案】2 【分析】由四边形是边长为1的正方形得，则，即可证明,得，则，可证明，进而证明，得，根据三角形的中位线定理得，可判断①正确；由， 得，则 ，由勾股定理得 ，则 所以 ，可判断③正确；因为，，判断②错误；由，得 ，可知，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵四边形是边长为1的正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵O为正方形的中心， ∴O为的中点， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∴， 故④错误， 综上所述，①③正确， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线性质、角平分线定义、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识．解答此题的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用． 题型9：多结论综合辨析题—动点问题 21．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】连接，延长交于点，证明即可证明，由，即可证明②正确；如图，连接交于，可得 ，，证明，可得③正确，是动点，则是动点，的长度的变化的，可得的长度是变化的，可得④错误． 【解析】解：①连接，延长交于点，连接，   为正方形的对角线， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴，故①错误； ，， ，故②正确； ③如图，连接交于， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵是动点，则是动点，的长度的变化的， ∴的长度是变化的，故④错误； 综上：②③正确； 故选B 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 22．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，正方形的面积为16，对角线，相交于点，点，分别在边，上运动，，平分，与边交于点．则下列结论： ①； ②四边形的面积保持4不变； ③； ④的最小值为． 其中正确说法的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】依据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、勾股定理，通过推理计算即可得到正确的结论，进而得出答案． 【解析】解：正方形的对角线，相交于点， ，，， 又， ， ， ，故①正确； 与的面积相等， 四边形的面积与的面积相等， 又的面积等于正方形面积的四分之一， 四边形的面积保持4不变，故②正确； 如图所示，连接， 平分， ， 又，， ， ， ， ， 中，， ，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 当有最小值时，的值最小， 是等腰直角三角形， 当时，的最小值等于的一半， 即的最小值等于2， 的最小值为，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形、直角三角形解决问题． 23．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论： ①；②点E在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】①证明，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，先变小，后变大，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③根据，得到，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确． 【解析】解：①∵四边形是正方形，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故①正确； ②∵的值随着点E在上由B向C运动过程中，先变小，后变大， ∴面积也先变小，后变大； 故②错误； ③∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴周长的最小值为； 故③正确； ④∵，G为中点， ∴， ∴点E在运动过程中，与始终相等， 故④正确； 综上，①③④正确． 故选：A． 【点睛】本题考主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质，是解此题的关键． 24．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知正方形，点M是边延长线上的动点（不与点A重合）且，由平移得到，若过点E作，H为垂足，则有以下结论：①在点M的运动过程中，四边形可能成为菱形；（2）点M位置变化，使得时，；③无论点M运动到何处，都有；④无论点M运动到何处，一定大于．以上结论正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可判断①错误；证明是等腰直角三角形即可判断③正确；证明，即可得出结论，即可判断②正确；证明，即可判断④正确． 【解析】解：如图，连接．    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故①错误， 由题可得，， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ∴，故③正确； 当时，， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴中，， 即，故②正确； ∵点M是边延长线上的动点（不与点A重合），且， ∴， ∴，故④正确； 由上可得正确结论的序号为②③④． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 题型10：多结论综合辨析题—旋转问题 25．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设；下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数m，使得；④取中点，连接，，的面积随着的变化而变化．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由正方形的性质得，，则，由旋转得，，可证明，得，所以，可判断①正确；由，，求得，则，可判断②正确；由，求得，可判断③正确；连接，作于点，则，由，点为的中点，得，则，求得，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【解析】解：四边形是边长为的正方形， ，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直角三角形， 故①正确； ，， ， ， 故②正确； ，且，，， ， 解得， 有且只有一个实数m，使得， 故③正确； 连接，作于点，则， ， 与的边上的高相等， ，点为的中点， ， ， ， 的面积不随着的变化而变化， 故④错误， 故选：C． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 26．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知正方形中，，点E为边上一动点（不与点B、C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，设与相交于点G，连接．以下说法：①；②最小值为；③平分；④当最小时，四边形的面积是3．其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据旋转得出：，，根据三角形内角和定理求出，判断①正确；延长，过点F作于点M，连接，延长，过点D作于点N，证明，得出，，说明点F一定在过点C，与垂直的直线上，根据垂线段最短，得出点F在点N处时，最小，根据为等腰直角三角形，得出，判断②正确；根据求出四边形的面积，判断④正确；根据，得出，说明，判断③错误． 【解析】解：根据旋转可知：，， ∴，故①正确； 延长，过点F作于点M，连接，延长，过点D作于点N，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F一定在过点C，与垂直的直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点N处时，最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即的最小值为，故②正确； 当最小时，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴一定不平分，故③错误； 综上分析可知：①②④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型11：多结论综合辨析题—折叠问题 27．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形纸片中，，，点、点分别是边、上的一个动点，将沿折叠，使顶点落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点落在射线上的点处，下列结论：①；②若，则；③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】由折叠得，得，即可证明①正确；证明，得出，即可求出，证明②正确；当点与重合时，在中，利用勾股定理求出，即可证明③正确；若是以为腰的等腰三角形，分两种情况∶时和时，分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可证明④正确． 【解析】解：由折叠得，， ∵ ∴，即，故①正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴, ∴， 若， ∵，， ∴，, ∴， ∴， ∴，故②正确； 设，则， 当点与重合时，， 在中，，即， ∴故③正确； 若是以为腰的等腰三角形，且时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 若是以为腰的等腰三角形，且时， 设，则， 在中，，即， ，故④正确； 故答案为∶①②③④． 【点睛】本题提考查了折叠问题，矩形性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识点的应用是本题的解题关键． 题型12：多结论综合辨析题—对称问题 28．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形中，E是延长线上一点，在上取一点F，使点B关于直线的对称点G落在上，连接交于点H，连接交于点M，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】①正确．如图1中，过点作于．想办法证明可得结论．②正确．分别证明，即可解决问题．③错误．如图2中，过点作于，交于．首先证明，再证明，推出可得结论．④正确．求出，利用勾股定理即可判断． 【解析】解：如图1中，过点作于． 关于对称， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，故①正确， ， 过点作于于于． ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 如图2中，过点作于，交于． ∵关于对称， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ， ， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 题型13：多结论综合辨析题—几何的坐标应用 29．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将矩形绕点O顺时针旋转度得到矩形，线段与线段交于点P，线段与直线交于点Q．下列说法：①当点落在y轴上时， 坐标为；②当点落在上时，；③的面积最大值为；④当时，．其中正确的个数有（       ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】如图1所示，当在上时，连接，由勾股定理得，由旋转的性质可得，即可判断①正确；如图2所示，当点落在上时，此时重合，由旋转的性质可得， ，证明，得到，即，可判断②错误；如图3所示，当在上方时，过点B作垂直于直线于E，在旋转过程中，一直再增大（直线逐渐远离点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1，则此时有最大值，最大值为；如图4所示，当在下方时，过点B作垂直于直线于E，在旋转过程中，一直再减小（直线逐渐靠近点B），可推出的最大值小于，据此可判断③正确；作，可知，然后根据面积相等得，可设，并表示，，，最后根据勾股定理，得，据此建立方程，解方程求出，则，可判断④错误． 【解析】解：∵四边形是矩形，点，点， ∴， 如图1所示，当在上时，连接， 在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴，故①正确；    如图2所示，当点落在上时，此时重合， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故②错误； 如图3所示，当在上方时，过点B作垂直于直线于E， 在旋转过程中，一直再增大（直线逐渐远离点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1， ∴此时有最大值，最大值为；    如图4所示，当在下方时，过点B作垂直于直线于E， 在旋转过程中，一直再减小（直线逐渐靠近点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1 ∴此时有最大值，最大值为， 而线段与线段有交点，则当点落在上时，此时有最大值，即此时此时的最大值小于；    综上所述，最大值为，故③正确； 过点Q作于点H，连接，如图5所示，则．    ∵，， ∴． 设，则， ∴，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，正确根据题意画出对应的图形并作出辅助线是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$