期中重难点真题特训之易错必刷题型（96题27个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

期中重难点真题特训之易错必刷题型（96题27个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、列方程 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）列等式表示：“的一半与10的和等于8”，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 易错必刷题二、等式的性质 4．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）根据等式的基本性质，下列各等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式子表示y为 ． 6．（23-24七年级下·河南开封·期末）下面是小马同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题： 解方程： 解： ，得        第一步 去括号，得                    第二步 移项，得                        第三步 合并同类项，得                        第四步 两边同除以5，得                        第五步 (1)第一步进行的是： ，这一步的依据是 . (2)从第 步开始出现错误，具体的错误是 . (3)写出这个方程正确的解题过程. 易错必刷题三、绝对值方程 7．（23-24七年级下·福建莆田·期末）若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 8．（23-24七年级下·河南南阳·期中）王芳同学做到这样一道题：如果，那么□表示的数是 ． 9．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 易错必刷题四、合并同类项与移项解一元一次方程 10．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）下面四个方程中，与方程的解相同的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）已知a，b为有理数，现规定一种新运算“”，满足，若，则x的值是： ． 12．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 易错必刷题五、去分母、去括号解一元一次方程 13．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）解方程： (1) (2) 14．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1)解方程：； (2)解不等式：． 15．（23-24七年级下·吉林·期末）下面是小彬同学解方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解：第①步 第②步 第③步 第④步 (1)小彬解方程时；从第_______步开始出现错误； (2)以上步中，第_______步是移项，移项的依据是_______ (3)请直接写出解该方程的正确结果：_______； 易错必刷题六、已知一元一次方程的解，求参数 16．（2024七年级下·全国·专题练习）若关于的方程的解是，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．8 17．（23-24七年级下·重庆·期末）已知关于x的方程有整数解，则满足条件的所有整数k之和为 ． 18．（2024七年级下·全国·专题练习）王伟在解方程去括号时，等号右边括号里的没有变号，因而求得方程的解是，请你正确解出原方程． 易错必刷题七、二元一次方程的解 19．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和？代表的数分别是（   ） A．5和1 B．1和5 C．和3 D．3和 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 21．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）（1）解方程：． （2）若是方程组的解，求的值． 易错必刷题八、已知二元一次方程组的解求参数 22．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）方程组的解为，则“■”“★”表示的数分别是（   ） A．6，4 B．5，1 C．4，1 D．3，2 23．（23-24七年级下·四川资阳·期中）若方程，和有公共解，则m的值是 ． 24．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 易错必刷题九、加减、代入消元法 25．（23-24七年级下·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 26．（23-24七年级下·全国·课后作业）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组，在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以，这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组. 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）请认真阅读下列解二元一次方程组的过程： 解方程组： 解：，得．③（第一步） ，得，解得．（第二步） 把代入①，得，解得．（第三步） 故原方程组的解为（第四步） 以上求解步骤中，从第几步开始出现错误？请写出正确的解答过程． 易错必刷题十、二元一次方程组的特殊解法 28．（23-24七年级下·四川乐山·期末）关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）用加减消元法解方程组时，若将可得 ． （2）已知二元一次方程组，则的值为 ． 30．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组． (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． (3)已知，类比“例2”的方法，求的值． 易错必刷题十一、三元一次方程组的定义及解 31．（2024七年级下·全国·专题练习）解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ， ． 33．（2024七年级下·全国·专题练习）解方程（组） (1) (2) (3)． 易错必刷题十二、求一元一次不等式的解集 34．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   35．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明在解一个一元一次不等式时，发现不等式的右边有个数被墨迹污染看不清，所看到的不等式是．他查看练习题的答案后，知道这个不等式的解集是，那么“”表示的数是 ． 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）纠错题 小宇和小恒分别解不等式的过程如下： 小宇： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得． 小恒： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得． 你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出正确的解答过程． 易错必刷题十三、在数轴上表示不等式的解集 37．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（23-24七年级下·河南南阳·期中）关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式可能是 ．（写出一个符合条件的即可） 39．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)， (3)； (4)． 易错必刷题十四、列一元一次不等式（组） 40．（2025七年级下·全国·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 41．（23-24七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个； (2)今年小明x岁、小强y岁、爷爷m岁，明年小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄． 42．（23-24七年级下·北京西城·阶段练习）阅读下面材料后，解答问题 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则：若，，则． 请解答下列问题： (1)①若则或 ___________； ②若则 ___________或 ___________； (2)根据上述规律，求不等式的解集． 易错必刷题十五、求不等式组的解集 43．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的解集为，则关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级下·全国·单元测试）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 ． 45．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x、y的方程组 ，且满足的值大于且小于2，求m的取值范围． 易错必刷题十六、解特殊不等式组 46．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B． C． D． 47．（2024七年级下·全国·专题练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 48．（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式：． 解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以． 所以不等式的解集为或． 请你根据上面的解法解不等式：． 易错必刷题十七、由不等式组解集的情况求参数 49．（23-24七年级下·福建厦门·期末）关于的不等式组有且只有两个整数解，若，则符合条件的的所有整数值的和是（　　） A． B． C． D． 50．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的所有整数解的和是6，则的取值范围是 ． 51．（23-24七年级下·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 易错必刷题十八、不等式组和方程组结合的问题 52．（23-24七年级下·全国·课后作业）在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为(　　)． A． B． C． D． 53．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有 ．（填写正确答案的序号） 54．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 易错必刷题十九、根据几何图形列二元一次方程组 55．（23-24七年级·福建莆田·期末）如图，宽为的矩形图案是由10个形状和大小完全一样的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 56．（23-24七年级下·河南南阳·期中）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 57．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 易错必刷题二十、一元一次方程的应用(配套、方案、比例分配)问题 58．（23-24七年级下·四川资阳·期中）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 59．（23-24七年级下·河南安阳·开学考试）学校要为图书室的地面铺上方砖，如果用边长为3分米的方砖铺地，需要用600块，如果改用边长为5分米的地砖铺地，需要多少块？（用比例知识解答） 60．（23-24七年级下·四川乐山·期末）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠．该班需购买球拍6副，乒乓球盒． (1)用代数式表示：在甲店购买需付款 元；在乙店购买需付款 元； (2)当购买乒乓球盒数为20盒时，到哪家商店购买比较合算？请说明理由． 易错必刷题二十一、一元一次方程的应用(行程、工程、销售)问题 61．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习），两地相距千米，一慢车从地出发，每小时走千米，一快车从地出发，每小时走千米．慢车出发小时后快车从地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？ 62．（23-24七年级下·全国·期末）某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修桌椅比甲多8套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费． (1)该中学库存多少套桌椅？ (2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，并且付给他每天10元生活补助费，现有三种修理方案， A方案：由甲单独修理；B方案：由乙单独修理；C方案：甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱？为什么？ 63．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）某文具店购进了一批钢笔，进价为每支10元，售价为每支16元，每天的销售量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负，该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如表所示． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 每天售出的数量（支） 0 (1)在这5天中，第一天售出该种钢笔 支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔 支； (2)求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润； (3)该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案： 方案一：若购买数量不超过5支，每支16元；若超过5支，则超过部分每支降价2元； 方案二：每支均打九折销售． 在促销期间，王老师在该文具店购买支该种钢笔作为奖品，通过计算说明购买钢笔多少支时两种方案价格相同． 易错必刷题二十二、一元一次方程的应用(数字、电费和水费、几何)问题 64．（23-24七年级下·四川达州·期末）阅读理解题，阅读下列材料：若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如521． （1）已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”； （2）若一个“倍尾数”的各位数字之和是17，求出所有符合要求的“倍尾数”． 65．（23-24七年级下·四川眉山·期末）为贯彻二十大精神，保护环境，节约水资源，全面推进节水型社会的建设，某市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，且水价由自来水单价和污水处理费两部分构成．居民用户按照以下（如表格中所示）的标准执行： 供水类型 阶梯 家庭年用水量 水价（单位：元/） 自来水单价（元/） 污水处理费（元/） 自 来 水 第一阶梯 超过0，不超过140的部分 x 0.7 第二阶梯 超过140，不超过200的部分 3.5 1.0 第三阶梯 超过200部分 6.8 1.2 已知小明家去年第四季度用水，交水费256元． (1)求出表中x的值； (2)为控水节水，小明家预计今年共用水，试问预充值1000元水费够用吗？ 66．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）数轴上，把点A表示的数记为a，点B表示的数记为b．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点A，B之间的距离记作．例如：当时，点A，B之间的距离，由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离．已知． (1)直接写出的值为 ； (2)若点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点N从点B出发，以2个单位/秒的速度向右移动，设移动时间为t秒． ①移动过程中点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，点M，N之间的距离为 （用含t的式子表示）； ②在移动过程中，若点M，N之间相距3个单位长度，求t的值； (3)在（2）的条件下，在点M，N移动的同时点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右移动，在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值，请分析并说明理由． 易错必刷题二十三、二元一次方程的应用(方案、分配、数字)问题 67．（23-24七年级下·福建莆田·期中）一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？ 68．（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 69．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 易错必刷题二十四、二元一次方程的应用(工程、行程、销售利润)问题 70．（23-24七年级下·四川资阳·期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 71．（23-24七年级下·四川眉山·期末）一家商铺进行维修，若请甲、乙两名工人同时施工，天可以完成，共需支付两人工资元，若先请甲工人单独做天，再请乙工人单独做天也可完成，共需付给两人工资元 甲、乙工人单独工作一天，商铺应分别支付多少工资？ 单独请哪名工人完成，商铺支付维修费用较少？ 72．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）某学校为推进学生“德智体美劳”全面发展，制定系列考察制度，半期后，根据对所有学生这半期的表现进行综合评价，准备购买“实用性书包”和“多功能文具盒”奖励表现特别优秀的学生．经调查，3个“实用性书包”和2个“多功能文具盒”要260元，5个“实用性书包”和4个“多功能文具盒”要460元． (1)“实用性书包”和“多功能文具盒”的单价分别是多少元？ (2)学校经过预算，最多不超过1140元购买这两种奖品共25个，奖励优秀学生，则“实用性书包”最多能够买多少个． 易错必刷题二十五、二元一次方程的应用(数字、图表信息、几何)问题 73．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 74．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 75．（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 易错必刷题二十六、三元一次方程组的应用 76．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：，即． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 77．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 78．（23-24七年级下·四川眉山·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 易错必刷题二十七、一元一次不等式（组）的综合实际应用 79．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 80．（23-24七年级下·全国·课后作业）某长方体形状的容器长．宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水．用（单位：）表示新注入水的体积，写出的取值范围． 81．（2024七年级下·全国·专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 1．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）已知是方程的解，则a的值是（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川眉山·期末）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）如图，两根铁棒直立于圆柱形水桶的桶底．右边一根露出水面的长度与左边露出水面的长度之比是，两根铁棒长度之和为，如果设此时水桶中水的深度是，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则的值为 ． 7．（24-25七年级下·河南开封·阶段练习）已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 8．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如果关于x的方程是一元一次方程，则 ． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是 ． 10．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）某羽毛球馆收费制度为月度会员制，现有两种会员类型，标准如表： 会员类型 购买会员/（元/月） 每次使用缴费/（元/次） A B 假设小明同学每月去该羽毛球馆次，并且小明购买了类型的会员． （1）用含有的代数式表示每月的花费： 元． （2）若小明同学每月去羽毛球馆刚好次，购买的B类型会员没有A类型会员划算，则的取值范围是 ． 11．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 13．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）用10块相同的长方形地砖拼成一块地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，设每块地砖的长为，宽为，求所拼成的地面的周长． 14．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）劳动节将至，为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“感谢贺卡”．若每人做8张，则比计划多了3张；若每人做5张，则比计划少了27张．问题：该活动小组共有多少人？计划共做多少张“感谢贺卡”？ 他俩经过独立思考后，分别列出了如下尚不完整的方程： 乐乐的方法：； 丽丽的方法：． (1)在乐乐、丽丽所列的方程中，“□”中是运算符号，“（   ）”中是数字，则未知数x表示的意义是_______，y表示的意义是_______； (2)试选择一种方法，将原题中的问题解答完成． 15．（2024七年级下·全国·专题练习）某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元，进价和售价如表： 价格 上衣 裤子 进价(元/件) 100 150 售价(元/件) 125 180 (1)小东的商店购进上衣和裤子各多少件？ (2)该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第二次销售活动获利不少于12300元，每件裤子至少打几折？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之易错必刷题型（96题27个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、列方程 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）列等式表示：“的一半与10的和等于8”，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列方程，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选B． 2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的定义、等式的性质，正确运用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，列代数式； （1）长方体盒子底面的宽为，则长为；容积=长×宽×高； （2）令(1)代数式表示出的容积=15即可． 【详解】（1）长方体盒子底面的宽为，则长为． 容积为； （2）根据题意，得 易错必刷题二、等式的性质 4．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）根据等式的基本性质，下列各等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；因此此题可根据等式的性质1、2进行排除选项． 【详解】解：A、如果，那么，原变形错误，故不符合题意； B、如果，那么，原变形错误，故不符合题意； C、如果，那么，原变形正确，故符合题意； D、如果，且，那么，原变形错误，故不符合题意； 故选C． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式子表示y为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 根据等式的性质得出即可；根据等式的性质得出，再根据等式的性质方程两边都除以2即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 6．（23-24七年级下·河南开封·期末）下面是小马同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题： 解方程： 解： ，得        第一步 去括号，得                    第二步 移项，得                        第三步 合并同类项，得                        第四步 两边同除以5，得                        第五步 (1)第一步进行的是： ，这一步的依据是 . (2)从第 步开始出现错误，具体的错误是 . (3)写出这个方程正确的解题过程. 【答案】(1)去分母：等式的基本性质（在等式两边同时乘以同一个数，结果仍相等） (2)三；从左边移到右边没有改变符号 (3) 【分析】（1）根据等式的基本性质，进行作答即可； （2）从第三步开始出错，具体的错误是移项时没有变号； （3）结合解一元一次方程的具体过程，正确地进行求解即可． 本题考查了等式的性质，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：结合题干的解题过程得：第一步进行的是：去分母，这一步的依据是等式的基本性质（在等式两边同时乘以同一个数，结果仍相等）； 故答案为：去分母：等式的基本性质（在等式两边同时乘以同一个数，结果仍相等）； （2）解：结合题干的解题过程得：从第三步开始出现错误，具体的错误是从左边移到右边没有改变符号； 故答案为：三；从左边移到右边没有改变符号； （3）解：依题意，原式去分母得：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以5，得． 易错必刷题三、绝对值方程 7．（23-24七年级下·福建莆田·期末）若，则的值等于（   ） A．28或 B．或32 C．28或32 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，根据绝对值的定义得到或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故选：A． 8．（23-24七年级下·河南南阳·期中）王芳同学做到这样一道题：如果，那么□表示的数是 ． 【答案】2或8 【分析】本题考查了绝对值，解一元一次方程．设□表示的数是a，则，根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：设□表示的数是a， 则， ， 所以或， 即□表示的数是2或8， 故答案为：2或8． 9．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 【答案】(1) (2)5或 (3) 【分析】本题考查数轴上点与点之间的距离和绝对值的非负性，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由可得或，求解方程即可； （3）根据点与点之间的距离的概念确定x的范围，取整即可． 【详解】（1）若， 则，解得，，解得． （2）若， 则或， 解得或． （3）若， 表示数的点到数的点距离与到数的点的距离之和为5， ， x的值为整数， x值为． 易错必刷题四、合并同类项与移项解一元一次方程 10．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）下面四个方程中，与方程的解相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程，解出每个方程的解，再判断同解方程．先解得，再求出每个选项中方程的解，根据同解方程，可得答案． 【详解】解：解得， A、，解得，不是同解方程，故A不符合题意； B、，解得，不是同解方程，故B不符合题意； C、，解得，不是同解方程，故C不符合题意； D、，解得，是同解方程，故D符合题意； 故选：D． 11．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）已知a，b为有理数，现规定一种新运算“”，满足，若，则x的值是： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义即可建立一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化去1，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化去1，即可解方程． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 易错必刷题五、去分母、去括号解一元一次方程 13．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，以及二元一次方程组的解法，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解：， ，得 ， ∴． 把代入②，可解得， ∴方程组的解是. 14．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1)解方程：； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）方程整理后，移项合并，把系数化为，即可求出解； （2）不等式整理后，移项合并，把x系数化为，即可求出解集． 【详解】（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． （2）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 15．（23-24七年级下·吉林·期末）下面是小彬同学解方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解：第①步 第②步 第③步 第④步 (1)小彬解方程时；从第_______步开始出现错误； (2)以上步中，第_______步是移项，移项的依据是_______ (3)请直接写出解该方程的正确结果：_______； 【答案】(1)① (2)②，等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）根据去括号的特征及乘法分配律解题； （2）根据移项的特征结合等式的性质：等式的两边加（或减）同一个数，等式仍成立解题即可； （3）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后化系数为1即可得到该方程的解． 【详解】（1）解：小彬的计算从第①步就错了，错误的原因是：应用乘法分配律时漏乘了， 故答案为：①； （2）解：根据题意得，步骤②是移项，移项的依据是：等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等； 故答案为：②，等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项提， 解得． 故答案为：． 易错必刷题六、已知一元一次方程的解，求参数 16．（2024七年级下·全国·专题练习）若关于的方程的解是，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，把代入，得出关于a的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：把代入中， 得，即， 解得． 故选：D． 17．（23-24七年级下·重庆·期末）已知关于x的方程有整数解，则满足条件的所有整数k之和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查解一元一次方程及方程的解，理解并掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键．先去分母解得方程的解，再根据方程的解为整数得到整数k值，进而求和即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， ∵该方程有整数解，k为整数， ∴，， ∴，2，，6， 则满足条件的所有整数k之和为， 故答案为：4． 18．（2024七年级下·全国·专题练习）王伟在解方程去括号时，等号右边括号里的没有变号，因而求得方程的解是，请你正确解出原方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．先按小明的解法等号右边括号里的没有变号，再代入即可求出的值，再按正确的解法求解即可． 【详解】解：根据题意把代入， 得， 解得， 故原方程为， 解得． 故答案为： 易错必刷题七、二元一次方程的解 19．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和？代表的数分别是（   ） A．5和1 B．1和5 C．和3 D．3和 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，读懂题意准确计算是解题的关键．把代入①解得，把，代入②求解，即可得到答案． 【详解】解：， 把代入①得： ， 即， 解得：， 把，代入②得： ， 即和代表的数分别是，， 故选 ：A． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．根据x与y的值列出方程即可． 【详解】解：若一个二元一次方程的解为， 则这个方程可以是， 故答案为：(答案不唯一)． 21．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）（1）解方程：． （2）若是方程组的解，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解方程即可； （2）根据题意得到，求出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：是方程组的解， ， ， ． 易错必刷题八、已知二元一次方程组的解求参数 22．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）方程组的解为，则“■”“★”表示的数分别是（   ） A．6，4 B．5，1 C．4，1 D．3，2 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将代入方程组即可得到以“■”“★”为求知数的方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：将代入方程组得：， 解得：，． 故选：B． 23．（23-24七年级下·四川资阳·期中）若方程，和有公共解，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及根据二元一次方程组的解求参数，根据方程，和有公共解，列出方程组，然后解二元一次方程组即可得出， 把代入即可求出m的值． 【详解】解：根据题意列出方程组， 解得：， 把 代入， 即， 解得：． 故答案为：1． 24．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法． （1）根据方程组和有相同的解，得出方程组的解即为它们的相同解，然后解方程组即可； （2）把（1）中所求的，分别代入和得：，解关于a、b的方程，求出a、b的值，代入得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：③， 得：， 把代入②得：， 方程组的解为：； （2）解：把（1）中所求的，分别代入和得：， 得：③， 得：， 把代入①得：， ． 易错必刷题九、加减、代入消元法 25．（23-24七年级下·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是正确利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可； 【详解】（1）解： 把代入，得， 整理得， 解得， 把代入，得， ∴； （2）解： 整理得， 把代入，得， 解得， 把代入，解得， ∴． 26．（23-24七年级下·全国·课后作业）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组，在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以，这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组. 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．模仿题干，利用整体代入法解方程组，即可作答． 【详解】解： 先将看作一个整体， 则整理①得， 将整体代入，得， 解得． 把代入得， 解得， ∴ 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）请认真阅读下列解二元一次方程组的过程： 解方程组： 解：，得．③（第一步） ，得，解得．（第二步） 把代入①，得，解得．（第三步） 故原方程组的解为（第四步） 以上求解步骤中，从第几步开始出现错误？请写出正确的解答过程． 【答案】从第二步开始出现错误，正确解答见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据解题过程得出第二步开始出现错误，用加减消元法解方程即可． 【详解】解：从第二步开始出现错误，正确的解答过程如下： 得．③ 得， 解得． 把代入①，得， 解得． 故原方程组的解为． 易错必刷题十、二元一次方程组的特殊解法 28．（23-24七年级下·四川乐山·期末）关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键．先整理所求方程得到，关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为，据此可得答案． 【详解】解：整理方程组得， ∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解为，即， 故选：A． 29．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）用加减消元法解方程组时，若将可得 ． （2）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，掌握“整体法求值”是解本题的关键． （1）把两个方程相减即可得到结论； （2）把两个方程相加即可得到结论． 【详解】解：（1）， 得：， 故答案为：； （2）， 两式相加得：， 则， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组． (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． (3)已知，类比“例2”的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）类比于“例1”的方法可进行求解； （2）将方程①变形为，然后代入②可进行求解； （3）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 所以原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为③， 把②代入③，得， 得． （3）解：， 将方程①变形为③， 将②代入③，得， 解得． 把代入②，得． 所以． 易错必刷题十一、三元一次方程组的定义及解 31．（2024七年级下·全国·专题练习）解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】此题考查了解三元一次方程组．根据消元法的简单的角度即可得到答案． 【详解】解：经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 故选：B 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查绝对值非负性，解三元一次方程组；根据绝对值非负性列出三元一次方程组，计算求解即可． 【详解】解：根据题意得： 由②得 把代入③ 得： 把，代入① 解得： 故答案为：，1，． 33．（2024七年级下·全国·专题练习）解方程（组） (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查解三元一次方程组，二元一次方程组，一元一次方程，掌握方法与步骤是解决问题的关键． （1）利用解一元一次方程的步骤与方法求得方程的解即可； （2）利用加减消元法求得方程组的解即可； （3）利用消元法把方程化为二元一次方程组，进一步求得方程组的解，代入原方程中的一个方程，进一步求得原方程组的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ①②得，， 解得：， 代入①得，， 解得：， 所以原方程组的解为； （3）解：， ①②得，④， ②③得，， 解得：， 代入④得，， 解得：， 把，代入②得，， 解得：， 所以原方程组的解为． 易错必刷题十二、求一元一次不等式的解集 34．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式并把解集在数轴上表示，熟练的掌握不等式的性质，会求不等式的解集，是解题的关键．注意：“”在数轴上是空心小圆圈，“”在数轴上是实心小圆点． 根据不等式的性质，求出不等式的解集，进而判定在数轴上表示正确选项即可． 【详解】解：∵ ∴． 在数轴上表示D选项是正确的． 故选：D． 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明在解一个一元一次不等式时，发现不等式的右边有个数被墨迹污染看不清，所看到的不等式是．他查看练习题的答案后，知道这个不等式的解集是，那么“”表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，设“■”表示的数是，根据不等式的解集确定出的值即可． 【详解】解：“■”表示的数是， 不等式为， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由已知解集为，得到， 解得：， 则“■”表示的数是， 故答案为：2． 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）纠错题 小宇和小恒分别解不等式的过程如下： 小宇： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得． 小恒： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得． 你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出正确的解答过程． 【答案】两人的解法均错误，正确的解答过程见解析． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，正确掌握不等式的性质是解题关键． 根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤依次解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：两人的解法均错误． 正确的解答过程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得． 易错必刷题十三、在数轴上表示不等式的解集 37．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 数轴上表示，如图所示： 故选：C． 38．（23-24七年级下·河南南阳·期中）关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式可能是 ．（写出一个符合条件的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的解集，用数轴表示解集． 根据数轴可得到不等式的解集，根据不等式的性质变形即可得到所求不等式． 【详解】解：由图可看出，该解集为． 所以，只要这个不等式的解集是即可，如，，等． 故答案为：（答案不唯一） 39．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)， (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 (4)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）不等式两边都加上5，得，再在数轴上表示，即可作答． （2）不等式两边都乘5，得，再在数轴上表示，即可作答． （3）不等式两边都减去x，得．然后不等式两边都减去3，得，最后在数轴上表示，即可作答． （4）不等式两边都减去12，得．然后不等式两边都除以，得，最后在数轴上表示，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴不等式两边都加上5，得． 在数轴上表示不等式的解集如图．    （2）解：∵， ∴不等式两边都乘5，得． 在数轴上表示不等式的解集如图．    （3）解：∵， ∴不等式两边都减去x，得． ∴不等式两边都减去3，得． 在数轴上表示不等式的解集如图．    （4）解：∵， ∴不等式两边都减去12，得． ∴不等式两边都除以，得． 在数轴上表示不等式的解集如图．    易错必刷题十四、列一元一次不等式（组） 40．（2025七年级下·全国·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【答案】 【分析】根据题意可求出长方体容器的体积，根据水的高度可以求出容器里现有水的体积，再用总容积减去现有水的体积，即可求出还能注入水的体积． 【详解】解：由题意，得该长方体形状的容器的容积为． 又因为容器内原有的水的体积为， 所以容器内剩余未注水的体积为， 所以的取值范围为． 【点睛】本题主要主要考查了有理数乘法和有理数减法的计算，解决此题的关键是要读懂题意，列出式子． 41．（23-24七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个； (2)今年小明x岁、小强y岁、爷爷m岁，明年小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）前16天每天生产6个，则16天之后有天每天生产x个，超额完成零件数，即生产的总数大于198个，据此列出不等式即可； （2）今年小明x岁、小强y岁、爷爷m岁，则明年三人的岁数分别为岁，岁，岁，再根据明年小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄列出不等式即可． 【详解】（1）解：设他16天之后平均每天生产零件x个， 由题意得，； （2）解：由题意得，． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次不等式，正确理解题意找到不等关系是解题的关键． 42．（23-24七年级下·北京西城·阶段练习）阅读下面材料后，解答问题 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则：若，，则． 请解答下列问题： (1)①若则或 ___________； ②若则 ___________或 ___________； (2)根据上述规律，求不等式的解集． 【答案】(1)①，②， (2)或 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）根据题目中给出的信息，列出关于x的不等式组，然后解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：①若，则或； ②若，则或； 故答案为：①；②；． （2）解：， ∴①或②， 解不等式组①得：； 解不等式组②得：， ∴不等式的解集是或． 【点睛】本题主要考查了解不等式组的应用，解题的关键是理解题意，当时，或；当时，或． 易错必刷题十五、求不等式组的解集 43．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的解集为，则关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；根据题意，得，然后进行求解即可 【详解】解：根据题意，得：， 解得； 故选D． 44．（23-24七年级下·全国·单元测试）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及由不等式解的情况求参数， 分别解不等式①②，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∵x的一元一次不等式组有解， ∴， 解得：， 故答案为：． 45．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x、y的方程组 ，且满足的值大于且小于2，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解；先利用加减消元法得到，然后得到不等式组求解即可． 【详解】解：， 由得， ∴， ∵满足的值大于且小于2， ∴ 解得． 易错必刷题十六、解特殊不等式组 46．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】由题意得：，且≠0， ∴x=2， 故选A． 【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 47．（2024七年级下·全国·专题练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 【答案】3 【分析】首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：1＜4-bd＜3， 则-3＜-bd＜-1，即1＜bd＜3， ∵b、d是整数， ∴bd是整数． ∴bd=2， 则或（舍去）或或， 则b+d=3． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键． 48．（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式：． 解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以． 所以不等式的解集为或． 请你根据上面的解法解不等式：． 【答案】或 【分析】根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可； 【详解】由题意得：①或②．由①得， ∴．由②得，， ∴．所以不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，准确分析是解题的关键． 易错必刷题十七、由不等式组解集的情况求参数 49．（23-24七年级下·福建厦门·期末）关于的不等式组有且只有两个整数解，若，则符合条件的的所有整数值的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解不等式组，得出，再根据求出的取值范围，可求出符合条件的的所有整数值． 【详解】解：解不等式得， 不等式组有且只有2个整数解， ， ， ， ， ， 整数为，，， 所有整数值的和为， 故选：B． 50．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的所有整数解的和是6，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解以及解一元一次不等式组，解不等式组得，结合原不等式组的所有整数解的和是，即可得出m的取值范围． 【详解】解：解不等式组， 得， ∵不等式组有解， ∴， ∵所有整数解和是6， ∴整数解为1，2，3， 则的范围为， 故答案为：． 51．（23-24七年级下·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 易错必刷题十八、不等式组和方程组结合的问题 52．（23-24七年级下·全国·课后作业）在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为(　　)． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 解方程组得：， ∵x≥0，y＞0， ∴， ∴－2≤m＜3． 故选C． 【点睛】本题关键在于解出方程组，再由已知条件构造出关于m的不等式组． 53．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有 ．（填写正确答案的序号） 【答案】①③④ 【分析】先解方程组，求得t=0，符合-3≤t≤1，可判断①；把t=-2代入求得x=-3，y=-3，可判断②；求得M=2t+3，即可得到M随t的增大而增大，把t=-3代入求得M的最小值为-3，可判断③；当y≥-1时，求得t≥0，则1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，可判断④． 【详解】解：解方程组得， ①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确； ②当t=-2时，x=-3，y=-3，x-y=0，故错误； ③M=2x-y-t=2（2t+1）-（t-1）-t=2t+3， ∴M随t的增大而增大， ∴当t=-3时M有最小值M=2×（-3）+3=-3，故正确； ④当y≥-1时，t-1≥-1，t≥0， ∴0≤t≤1， ∴1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，故正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解此题的关键． 54．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 易错必刷题十九、根据几何图形列二元一次方程组 55．（23-24七年级·福建莆田·期末）如图，宽为的矩形图案是由10个形状和大小完全一样的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．设小长方形的宽为，长为，再根据题意列方程组求得、，最后求面积即可． 【详解】解：设小长方形的宽为，长为， 根据题意得， ， 解得， 一个小长方形的面积为． 故选：A． 56．（23-24七年级下·河南南阳·期中）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 【答案】/35厘米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键． 设每块墙砖的长为，宽为，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得： 解得：， ． 57．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 易错必刷题二十、一元一次方程的应用(配套、方案、比例分配)问题 58．（23-24七年级下·四川资阳·期中）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】安排25名工人加工大齿轮，则安排60名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题， 设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮，共生产个大齿轮，个小齿轮，根据“2个大齿轮和3个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可． 【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮．根据题意，得 解得：， ∴． 答：安排25名工人加工大齿轮，则安排60名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 59．（23-24七年级下·河南安阳·开学考试）学校要为图书室的地面铺上方砖，如果用边长为3分米的方砖铺地，需要用600块，如果改用边长为5分米的地砖铺地，需要多少块？（用比例知识解答） 【答案】需要多少216块 【分析】由题意可知：图书馆的面积是一定的，则方砖面积与方砖的块数成反比例，据此即可列比例求解． 【详解】解：设如果改用边长5分米的地砖铺地，需要多少块， 则有：， 答：如果改用边长5分米的地砖铺地，需要多少216块． 【点睛】本题考查了比例问题，解题的关键是掌握面积为定值，建立等式求解． 60．（23-24七年级下·四川乐山·期末）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠．该班需购买球拍6副，乒乓球盒． (1)用代数式表示：在甲店购买需付款 元；在乙店购买需付款 元； (2)当购买乒乓球盒数为20盒时，到哪家商店购买比较合算？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)到甲家商店购买比较合算，理由详见解析． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练根据题意找到等量关系列代数式是解题关键． （1）因为甲店每副球拍赠一盒乒乓球，只买6副球拍，所以乒乓球需付钱的盒数为x减去6，乘以乒乓球单价后加上球拍数乘单价即为到甲店应付的钱，到乙店时把乒乓球和球拍的金额相加后乘以即可； （2）将代入（1）中的代数式计算后进行比较即可； 【详解】（1）解：到甲店购买时，根据题意 ，因此赠送乒乓球6盒，超出6盒部分的乒乓球需付钱， 所以到甲店购买需付 （元）， 到乙店购买时需付 （元）， 故答案为，． （2）解：当购买20盒乒乓球时， 到甲店需付款： （元）， 到乙店需付款： （元）， ∵， ∴到甲店合算． 易错必刷题二十一、一元一次方程的应用(行程、工程、销售)问题 61．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习），两地相距千米，一慢车从地出发，每小时走千米，一快车从地出发，每小时走千米．慢车出发小时后快车从地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？ 【答案】快车出发16小时后追上慢车 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用；根据题意列得方程，解方程即可求解． 【详解】解：设快车出发小时后追上慢车，根据题意可得： ， 解得：， 答：快车出发16小时后追上慢车． 62．（23-24七年级下·全国·期末）某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修桌椅比甲多8套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费． (1)该中学库存多少套桌椅？ (2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，并且付给他每天10元生活补助费，现有三种修理方案， A方案：由甲单独修理；B方案：由乙单独修理；C方案：甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱？为什么？ 【答案】(1)该中学库存桌椅960套． (2)选择C方案省时又省钱．理由见解析 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设乙单独修完需x天，则甲单独修完需天．根据题意得：，再计算桌椅数即可； （2）分别计算，通过比较选择最省钱的方案． 【详解】（1）解：设乙单独修完需x天，则甲单独修完需天．根据题意得：， 解得：（天）， ∴共有桌椅：（套）， 答：该中学库存桌椅960套． （2）由甲单独修理所需费用：（元）， 由乙单独修理所需费用：（元）， 甲、乙合作同时修理：完成所需天数：（天）， 所需费用：（元）， ∴由甲、乙合作同时修理所需费用最少， 答：选择C方案省时又省钱． 63．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）某文具店购进了一批钢笔，进价为每支10元，售价为每支16元，每天的销售量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负，该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如表所示． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 每天售出的数量（支） 0 (1)在这5天中，第一天售出该种钢笔 支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔 支； (2)求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润； (3)该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案： 方案一：若购买数量不超过5支，每支16元；若超过5支，则超过部分每支降价2元； 方案二：每支均打九折销售． 在促销期间，王老师在该文具店购买支该种钢笔作为奖品，通过计算说明购买钢笔多少支时两种方案价格相同． 【答案】(1)18；12 (2)该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元； (3)购买钢笔25支时两种方案价格相同． 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据正负数的意义，用20加上第一天的数据即可求出第一天售出的钢笔数；根据正负数的意义可知超过20支最多的天数即为销售量最多的一天，不足20支最多的天数即为销售量最少的一天，用最多的一天的数据减去最少的一天的数据即可得到答案； （2）根据总利润（售价进价）销售量列式计算即可； （3）先根据所给优惠方案，分别计算出方案一和方案二的价格，再令两种方案的价格相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：在这5天中，第一天售出该种钢笔支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔支数：（支）， 故答案为：18；12； （2）解：（元）， ∴该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元； （3）解：方案一：（元）； 方案二：（元）； 当两种方案购买的价格相同时有， 解得， 答：购买钢笔25支时两种方案价格相同． 易错必刷题二十二、一元一次方程的应用(数字、电费和水费、几何)问题 64．（23-24七年级下·四川达州·期末）阅读理解题，阅读下列材料：若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如521． （1）已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”； （2）若一个“倍尾数”的各位数字之和是17，求出所有符合要求的“倍尾数”． 【答案】（1）这个“倍尾数”为763；（2）符合要求的“倍尾数”有863和584 【分析】（1）设这个“倍尾数”个位上的数字为x，则十位上的数字为2x，百位上的数字为2x＋1，然后根据“各位数字之和是16”列出方程即可求出结论； （2）设这个“倍尾数”个位上的数字为a，则十位上的数字为2a，百位上的数字为17－3a，根据各个位上的数字为0（不能在最高位）至9之间的整数即可得出结论． 【详解】解：（1）设这个“倍尾数”个位上的数字为x，则十位上的数字为2x，百位上的数字为2x＋1， 由题意可得x＋2x＋2x＋1=16 解得：x=3 则十位上的数字为2×3=6，百位上的数字为6＋1=7 ∴这个“倍尾数”为763 答：这个“倍尾数”为763； （2）设这个“倍尾数”个位上的数字为a，则十位上的数字为2a，百位上的数字为17－3a， 由个位数字可得：a可以为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9， 由十位数字可得：a可以为0、1、2、3、4， 由百位数字可得：a可以为3、4、5， ∴a=3或4 当a=3时，这个“倍尾数”为863； 当a=4时，这个“倍尾数”为584； 答：符合要求的“倍尾数”有863和584． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键． 65．（23-24七年级下·四川眉山·期末）为贯彻二十大精神，保护环境，节约水资源，全面推进节水型社会的建设，某市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，且水价由自来水单价和污水处理费两部分构成．居民用户按照以下（如表格中所示）的标准执行： 供水类型 阶梯 家庭年用水量 水价（单位：元/） 自来水单价（元/） 污水处理费（元/） 自 来 水 第一阶梯 超过0，不超过140的部分 x 0.7 第二阶梯 超过140，不超过200的部分 3.5 1.0 第三阶梯 超过200部分 6.8 1.2 已知小明家去年第四季度用水，交水费256元． (1)求出表中x的值； (2)为控水节水，小明家预计今年共用水，试问预充值1000元水费够用吗？ 【答案】(1) (2)够用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）由水费=自来水费+污水处理费，列出方程可求解； （2）求出用水的费用，再与1000元作比较，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， 答：x的值为2.5； （2）解：依题意， ∵， ∴预充值1000元水费够用． 66．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）数轴上，把点A表示的数记为a，点B表示的数记为b．在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点A，B之间的距离记作．例如：当时，点A，B之间的距离，由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离．已知． (1)直接写出的值为 ； (2)若点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点N从点B出发，以2个单位/秒的速度向右移动，设移动时间为t秒． ①移动过程中点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，点M，N之间的距离为 （用含t的式子表示）； ②在移动过程中，若点M，N之间相距3个单位长度，求t的值； (3)在（2）的条件下，在点M，N移动的同时点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右移动，在三个点移动的过程中，或在某种条件下是否会为定值，请分析并说明理由． 【答案】(1)8 (2)①，，；②或 (3)存在，当时，为定值；当时，为定值，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，化简绝对值等知识点，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解本题的关键． （1）直接根据即可得出答案； （2）①移动过程中点表示的数为，点表示的数为，点，之间的距离为，则答案可得； ②令，求解即可； （3）分别表示出，，然后讨论和的值即可 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：8； （2）解：①根据点在数轴上的运动可知，移动过程中点表示的数为，点表示的数为，点，之间的距离为， 故答案为：，，； ②令，即， 或， 解得或； （3）解：存在，理由如下： 根据点在数轴上的运动可知，点所对应的点为， 当时，，， ，为定值； 当时，，， ，为定值． 即当时，为定值；当时，为定值． 易错必刷题二十三、二元一次方程的应用(方案、分配、数字)问题 67．（23-24七年级下·福建莆田·期中）一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？ 【答案】用6 m3的木料做桌面，4 m3的木料做桌腿，恰好能配成方桌300张 【分析】问题中有两个条件：①做桌面用的木料+做桌腿用的木料=10；②4×桌面个数=桌腿个数．据此可列方程组求解． 【详解】解：设用x立方米的木料做桌面，y立方米的木料做桌腿，即做桌面50x个，做桌腿300y条，此时恰好能配成方桌50x张，根据题意得 解得 则能配成方桌（张） 故用6 m3的木料做桌面，4 m3的木料做桌腿，恰好能配成方桌300张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系． 68．（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 69．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． (2)第一次他们拼成的两位数为45． 【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 易错必刷题二十四、二元一次方程的应用(工程、行程、销售利润)问题 70．（23-24七年级下·四川资阳·期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 【答案】甲、乙两地的距离为9千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为9千米． 71．（23-24七年级下·四川眉山·期末）一家商铺进行维修，若请甲、乙两名工人同时施工，天可以完成，共需支付两人工资元，若先请甲工人单独做天，再请乙工人单独做天也可完成，共需付给两人工资元 甲、乙工人单独工作一天，商铺应分别支付多少工资？ 单独请哪名工人完成，商铺支付维修费用较少？ 【答案】（1）400元，550元  （2）乙工人 【分析】（1）设商铺每天应支付甲工人元，乙工人元，由题意得到方程，计算即可得到答案； （2）设甲工人效率为天，乙工人效率为天，由题意得到方程，计算即可得到答案. 【详解】解：设商铺每天应支付甲工人元，乙工人元，根据题意，得 解得 即商铺每天应支付甲工人元，乙工人元 设甲工人效率为天，乙工人效率为天，根据题意，得 解得 即单独请甲工人完成要支付元，乙工人要支付元 单独请乙工人完成商铺支付维修费用较少 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用. 72．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）某学校为推进学生“德智体美劳”全面发展，制定系列考察制度，半期后，根据对所有学生这半期的表现进行综合评价，准备购买“实用性书包”和“多功能文具盒”奖励表现特别优秀的学生．经调查，3个“实用性书包”和2个“多功能文具盒”要260元，5个“实用性书包”和4个“多功能文具盒”要460元． (1)“实用性书包”和“多功能文具盒”的单价分别是多少元？ (2)学校经过预算，最多不超过1140元购买这两种奖品共25个，奖励优秀学生，则“实用性书包”最多能够买多少个． 【答案】(1)每个“实用性书包”60元，每个“多功能文具盒”40元； (2)“实用性书包”最多能够买7个． 【分析】（1）设每个“实用性书包”元，每个“多功能文具盒”元，根据3个“实用性书包”和2个“多功能文具盒”要260元，5个“实用性书包”和4个“多功能文具盒”要460元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买“实用性书包”个，则购买“多功能文具盒”个，根据最多不超过1140元购买这两种奖品，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每个“实用性书包”元，每个“多功能文具盒”元， 根据题意得： ，解得：， ∴每个“实用性书包”60元，每个“多功能文具盒”40元； （2）解：设购买“实用性书包”个，则购买“多功能文具盒”个， 根据题意得：． 解不等式得：， 由题意可得：为最大正整数解， ∴， 因此，根据学校预算，“实用性书包”最多能够买7个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 易错必刷题二十五、二元一次方程的应用(数字、图表信息、几何)问题 73．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 【答案】这个三位数为243 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，再行进计算即可得出结果． 【详解】解：设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为， 依题意，得：, 解得, 所以． 答：这个三位数为243． 74．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 【答案】当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A种积木的高度是，种积木的高度是，根据图②所示的立体图形列出方程组并解答，再由可得答案． 【详解】解：设A种积木的高度是，种积木的高度是． 根据题意，得， 解得， ． 故当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是． 75．（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【答案】(1)a，b的值分别为800，600 (2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得   解得： ∴a，b的值分别为800，600； （2）由题意得捐款总额为：（元） 设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y； 可得：；整理得：， 即； 又∵x、y均为正整数 ， ∴    ； 即方案一：中学生7人，小学生4人； 方案二：中学生4人，小学生8人； 方案三：中学生1人，小学生12人； 易错必刷题二十六、三元一次方程组的应用 76．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：，即． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组，三元一次方程组的应用； （1）根据图形得出关于的二元一次方程组，代入，即可求出； （2）根据图形得出关于的三元一次方程组，代入，即可求出． 【详解】（1）解：依题意， 得 当时， （2）依题意，得 当时， 77．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 78．（23-24七年级下·四川眉山·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆； (2)方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得： ， 解得：， 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得： ， 消去z得， ∴， 因x，y是非负整数，且不大于18，得，5，10，15， 则，10，8，6； 又z是非负整数，解得z=6，3，0， ∴或或， ∴共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 易错必刷题二十七、一元一次不等式（组）的综合实际应用 79．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据程序流程图列出不等式组，然后再解不等式组即可． 【详解】解：依题意，得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 故x的取值范围为． 80．（23-24七年级下·全国·课后作业）某长方体形状的容器长．宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水．用（单位：）表示新注入水的体积，写出的取值范围． 【答案】． 【分析】水的总体积不能超过容器的总体积，列出不等式组求解． 【详解】解：根据题意列出不等式组： 解得：． 【点睛】本题考查的是不等式组的应用，读懂题意，找到符合题意的不等关系式组是解决本题的关键． 81．（2024七年级下·全国·专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 【答案】（1）风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元；（2）见解析 【分析】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，整数解，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元．根据题意得，解方程组即可． （2）设购买个风琴包，个精美书签，根据题意得：，所以．又因为，，，为整数，且是10的倍数，解答即可． 【详解】解：（1）设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元． 根据题意得， 解得． 答：风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元． （2）解：设购买个风琴包，个精美书签， 根据题意得：， 故． ∵，， ∴， 解得， ∵是10的倍数， ∴或或或或， ∵，为整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买30个风琴包，30个精美书签；方案2：购买20个风琴包，60个精美书签． 1．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）已知是方程的解，则a的值是（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解、解一元一次方程，将代入方程可得到关于的一元一次方程，解方程即可得出答案，熟练掌握方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：是方程的解， ， 解得：， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组，后字母的系数为，的字母的系数为，两者相减可消去字母．掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：得：， 故选：C． 3．（23-24七年级下·四川眉山·期末）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解： ∴， 在数轴上表示不等式的解集为： 故选：D． 4．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．根据两种测量方式各列一个方程，组成方程组即可． 【详解】解：设木长x尺，绳子长y尺， 根据题意有：， 故选：D 5．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）如图，两根铁棒直立于圆柱形水桶的桶底．右边一根露出水面的长度与左边露出水面的长度之比是，两根铁棒长度之和为，如果设此时水桶中水的深度是，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：C． 6．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元一次不等式的求解以及根据解集相同求参数值，解题的关键是分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解． 先分别求解不等式与，得到它们关于的解集表达式，再根据两个解集相同列出关于的方程，进而求出的值． 【详解】解不等式，解得． 解不等式，解得． 两个不等式的解集相同， ， 故答案为：2． 7．（24-25七年级下·河南开封·阶段练习）已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解为，得到，从而求出即可． 【详解】∵关于的二元一次方程组的解为， ∴可以把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组， ∴， ∴， ∴关于的二元一次方程的解为． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如果关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得出关于的方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义得出且，求解即可得到答案． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， 且， 解得：， 故答案为： ． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是 ． 【答案】68 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据所给方程组得出等量关系是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为． 根据题意得 解得 所以， 所以1张小长方形卡片的面积是68． 故答案为：68． 10．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）某羽毛球馆收费制度为月度会员制，现有两种会员类型，标准如表： 会员类型 购买会员/（元/月） 每次使用缴费/（元/次） A B 假设小明同学每月去该羽毛球馆次，并且小明购买了类型的会员． （1）用含有的代数式表示每月的花费： 元． （2）若小明同学每月去羽毛球馆刚好次，购买的B类型会员没有A类型会员划算，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和不等式． （1）根据题意，可以用含的代数式表示出小明每月的花费． （2）根据题意，可以得到购买的类型会员分别的花费为多少，结合题意得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得，小明每月的花费为元， 故答案为：； （2）由题意可得，小明同学每月去羽毛球馆次，则购买的B类型会员的花费为：元， 购买的A类型会员的花费为：元， ∵购买的B类型会员没有A类型会员划算， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤和解二元一次方程组的方法． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可； （3）用代入消元法解二元一次方程组即可； （4）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 即； （3）解：， 由①得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入得：， ∴原方程组的解为：； （4）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 12．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 13．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）用10块相同的长方形地砖拼成一块地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，设每块地砖的长为，宽为，求所拼成的地面的周长． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系是解题的关键．根据图中关系可得，解方程组得出x、y的值，然在求出周长即可． 【详解】解：设每块地砖的长为，宽为，由题意得： ， 解得：， ∴每块地砖的长与宽分别为和， ∴所拼成的地面的周长． 14．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）劳动节将至，为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“感谢贺卡”．若每人做8张，则比计划多了3张；若每人做5张，则比计划少了27张．问题：该活动小组共有多少人？计划共做多少张“感谢贺卡”？ 他俩经过独立思考后，分别列出了如下尚不完整的方程： 乐乐的方法：； 丽丽的方法：． (1)在乐乐、丽丽所列的方程中，“□”中是运算符号，“（   ）”中是数字，则未知数x表示的意义是_______，y表示的意义是_______； (2)试选择一种方法，将原题中的问题解答完成． 【答案】(1)该小组人数；活动小组计划做的“感谢贺卡”数 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出方程． （1）根据两个尚不完整方程即可知道x与y表示的意义； （2）分别选择一种方法，按照设、列、解、答的步骤进行即可． 【详解】（1）解：根据两个尚不完整方程知，x表示该小组人数，y表示活动小组计划做的“感谢贺卡”数； 故答案为：该小组人数；计划做的“感谢贺卡”数 （2）解：选择乐乐的方法： 设该小组有x人，由题意得： ， 解得：； 计划做的“感谢贺卡”有（张）， 答：该小组共有10人，计划做的“感谢贺卡”有77个； 丽丽的方法： 设该小组计划做“感谢贺卡”有张，由题意得： ， 解得：， 该小组人数有（人）， 答：该小组共有10人，计划做的“感谢贺卡”有张． 15．（2024七年级下·全国·专题练习）某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元，进价和售价如表： 价格 上衣 裤子 进价(元/件) 100 150 售价(元/件) 125 180 (1)小东的商店购进上衣和裤子各多少件？ (2)该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第二次销售活动获利不少于12300元，每件裤子至少打几折？ 【答案】(1)小东的商店购进上衣300件，裤子200件 (2)九折 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设小东的商店购进上衣x件，裤子y件，根据“用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元”列出方程组，并求解即可； （2）每件裤子打m折，根据“第二次销售活动获利不少于12300元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设小东的商店购进上衣x件，裤子y件， 根据题意得：， 解得：． 答：小东的商店购进上衣300件，裤子200件； （2）解：设每件裤子打m折， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为9． 答：每件裤子至少打九折． 学科网（北京）股份有限公司 $$