期中重难点真题特训之压轴满分题型（80题13个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

期中重难点真题特训之压轴满分题型（80题13个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、一元一次方程的含参问题 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解的和为，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为；，所以方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)是“美好方程”，理由见解析 (2) 【分析】（）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 【详解】（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与方程是“美好方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．例如：的解为，则称方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)请写出一个与举例不同的差解方程_____； (2)若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)（合理即可） (2) (3)0 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与新定义：差解方程，理解“差解方程”的定义是正确解答此题的关键． （1）根据“差解方程”的定义即可写出； （2）解方程，根据“差解方程”的定义列方程求解即可； （3）先根据“差解方程”的定义求字母的值再代入计算即可． 【详解】（1）解：如， 理由如下： ， ， ， 方程是“差解方程”； （2）解：解方程，得， 一元一次方程是“差解方程”， ， 即； （3）求代数式的值． 解：关于的一元一次方程和都是“差解方程”， 方程的解是； ， ； 方程的解是， ， ， ． 3．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)去分母时，不要漏乘不含分母的项（ 或“移项时，要变号”，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程的解的定义（已知方程的解求参数）等知识点，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）由题意得，是方程的解，把代入方程，得，解方程即可求出的值； （2）由（1）得，原方程为，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为； （3）根据自身学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意得： 是方程的解， 把代入方程，得： ， 解得：； （2）解：由（1）得：原方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）解：答案不唯一，例如： “去分母时，不要漏乘不含分母的项”或“移项时，要变号”等等． 4．（23-24七年级下·四川眉山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“毓德方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得 ∴， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”，， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， ∴． 5．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是新定义，解一元一次方程，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将代入求出，然后得到方程为，然后根据“反对方程”的概念求解即可； （3）首先得到互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，然后判断出方程和方程互为“反对方程”，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ； （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴关于的方程的“反对方程”为 ∴； （3）解：∵关于的方程的解为，关于的方程的解为，且关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， ∴互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， ∵方程 ∴ ∴ ∵方程 ∴ ∴方程和方程互为“反对方程” ∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴的解为． 压轴满分题二、方程组同解问题 6．（23-24七年级下·河南周口·期末）解方程 (1) (2)在做作业时，有一个方程“”中的■没印清，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与方程的解相同，”小聪很快补上了这个常数，同学们，你们能补上这个常数吗? 【答案】(1)； (2)这个常数为． 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）先求出第二次方程的解，根据两个方程同解得出第一个方程的解是，再把代入第一个方程，即可求出答案． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）解：设“■”表示的数是， 解方程，得， 两方程的解相同， ， 把代入方程，得， 解得：， 即这个常数为． 7．（23-24七年级下·重庆·期末）设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）先求出方程的解为，再将代入已知方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先求出两个方程的解，再根据关于的方程的解比已知方程的解大可得一个关于的一元一次方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵方程与方程的解相同， ∴将代入方程得：， 解得． （2）解：， ， 解得， ， ， ， 解得， ∵关于的方程的解比方程的解大， ∴， 解得， ∴， 所以已知方程的解为． 8．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）表示出和的解，再根据“美好方程”的定义列式即可． （2）先解出的解，再根据“美好方程”的定义可得，即可列式求解a和b的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． （2）解：， 解得：， ∴方程的解为， ， ， ， ∵无论k取任何有理数，两个方程是 “美好方程”，， ，， 解得：，， ∴． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 10．（2024七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程，回答下列问题： (1)若，求该方程的解； (2)是否存在值，使得该方程的解为？请说明理由； (3)若与互为倒数，求该方程的解； (4)若该方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2)存在，见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程． （1）将代入方程，求出方程的解即可； （2）将代入方程，得到关于的一元一次方程，求出方程的解即可； （3）根据倒数的定义得到，求得的值，再将的值代入方程，求出方程的解即可； （4）先求得的解，再将方程的值代入原方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得， 所以当时，该方程的解为； （2）解：存在．理由如下： 将代入方程，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得， 所以当时，该方程的解为； （3）解：根据题意，得， 解得． 将代入方程，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得； （4）解：解方程， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 将代入方程， 得， 即，解得， 所以的值为． 压轴满分题三、二元一次方程组的错节复原问题 11．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】 【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c， ∵这个方程组的解是， ∴， ∴． ∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是， ∴， ∴， 解得：． ∴原方程组为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解法，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键． 12．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来． 【答案】 【分析】设方程组为，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将代入第二方程得到m的值． 【详解】解：设被滴上墨水的方程组为． 由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程的解， 则有，解之，得． 又因方程组的解是， 所以，， 解得，． 故所求方程组为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，关键是根据给出条件求出方程组中待定的系数． 13．（23-24七年级下·四川乐山·阶段练习）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求方程组的解及的值． （2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二元一次方程组综合，涉及同解二元一次方程组求参数问题，读懂题意，由所给方程组得到系数确定的二元一次方程组求解即可得到答案，熟练掌握同解方程问题的解法是解决问题的关键． （1）由题中两个方程组同解，得到新的二元一次方程组，解方程后，将代入含参数的方程，构成参数方程组求解即可得到答案； （2）解，设被墨水污染的为，点为，为，将方程组的解代入同解方程组解得，再结合题意构造新的二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】解：（1）方程组与有相同的解． 联立得方程组，解得，代入得，解得； （2）， 由②－①，得． 把代入②，得，解得， 方程组的解为， 设被墨水污染的为，点为，为． 这个方程组的解是， ， ． 看错了第二个方程中的的系数，求出的解是， ， ，解得， 原方程组为． 14．（23-24七年级下·四川眉山·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 15．（2024·四川宜宾·模拟预测）某校举行八年级学生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原，每个项目得分按一定百分比折算后记入总分．下表为甲、乙、丙三位同学得分情况（单位：分） 七巧板拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 甲 66 89 86 68 乙 66 60 80 68 丙 66 80 90 68 (1)比赛后，甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原这四个项目得分分别按10%，40%，20%，30%折算记入总分，根据猜测，求出甲的总分； (2)本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上（包括80分）的学生获一等奖，现获悉乙、丙的总分分别是70分、80分，甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后分数和是20分，问甲能否获得这次比赛的一等奖． 【答案】(1)79.8分 (2)甲能获一等奖 【分析】（1）根据求加权平均数的方法就可以直接求出甲的总分； （2）设趣题巧解所占的百分比为x，数学应用所占的百分比为y，由条件建立方程组求出其解就可以求出甲的总分而得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得甲的总分为 66×10%+89×40%+86×20%+68×30%=79.8(分) （2）解：设趣题巧解所占的百分比为x，数学应用所占的百分比为y 由题意，得 解得 甲的总分为 20+89×30%+86×40%=81.1(分) ∵81.1>80 ∴甲能获一等奖． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，加权平均数的运用．在解答时建立方程组求出趣题巧解和数学运用的百分比是解答本题的关键． 压轴满分题四、二元一次方程组的求参问题 16．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）关于x的不等式组的解集中包含方程的所有非负整数解的x的值，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次不等式组，先求出二元一次方程的非负整数解，再根据不等式的解集得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：将变形，可得， 根据题意，解得， 且为整数，故可取2，5， 根据题意可得， 解得． 17．（23-24七年级下·吉林长春·期中）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点． (1)若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案） (2)，为正整数，且点为方程的精优点，求，的值； (3)，，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解三元一方程组，求二元一次方程组的整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，然后解方程即可； （）由题意得，整理得，根据，为正整数，即可求解； （）由题意得：，然后得到关于的方程，然后求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）由题意得：， ， ， ∵，为正整数， 或； （3）由题意得： ， 得：， 得：， ， ， ， 把代入得：， 解得， ∴的值为． 18．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n的值代入方程组求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； （2）把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得： ， 则方程组的解为． 19．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值． 【答案】(1) (2)2025 (3)2 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程的“变更方程”方程为， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； （3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵m是整数， ∴， 当时，，，符合题意， ∴． 20．（2024七年级下·全国·专题练习）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ，，，．…… ，，，．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，它不符合（1）中的规律 【分析】本题考查规律探索，观察方程组，探索出方程未知数系数、常数与解的关系是解题的关键． （1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数、常数与解的关系，确定第4个方程组，求解即可； （2）通过观察，知第n个方程组及其解，将解代入方程组验证； （3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律． 【详解】（1）解：解方程组，得； （2）解：猜想第n个方程组为，解为， 验证如下： 把代入得，， 所以成立； （3）解：将代入，解得， 即方程组为，所以它不符合（1）中的规律． 压轴满分题五、一元一次不等式（组）的求参问题 21．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）关于x的两个不等式①与②，若不等式①的解都是不等式②的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据不等式①的解都是②的解，求出的范围即可．根据题意分别求出不等式的解集，进而得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：由①得：， 由②得：， 由不等式①的解都是②的解，得到， 解得：． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”；若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查解不等式组，已知不等式组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，列出不等式组．先解不等式组得出，，再根据两个不等式组有解，得出，再求出，根据不等式组D对于不等式组C“中点包含”，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵不等式组D对于不等式组C“中点包含”， ∴不等式组C和不等式组D有解， 解不等式组得， 解不等式组得， ∴， 解得：， ∴， 不等式组C的“解集中点值”为， ∵不等式组D对于不等式组C“中点包含”， ， 解得， 又， 的取值范围为． 23．（23-24七年级下·河南新乡·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是_______（填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 【答案】(1)①② (2)m的取值范围是 (3) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据云不等式的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据云不等式的定义可得，解不等式即可求解； （3）分别求出两个不等式的解集，再根据“云不等式”的定义及有2个公共的整数解得，解关于不等式即可求解． 【详解】（1）解：解不等式得，解不等式得， 不等式和不等式有公共解，故①是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式有公共解，故②是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式没有公共解，故③不是不等式的“云不等式”； 故答案为：①②； （2）解：解不等式可得， 解不等式得， 关于的不等式不是的“云不等式”， ， 解得， 故的取值范围是； （3）解：解不等式可得， 解不等式得， 关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解， ， 解得， 故的取值范围是． 24．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4． (1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号） ①    ②    ③ (2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b． ①若，求整数k的值． ②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值． 【答案】(1)① (2)①整数的值为；②整数的值为2 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用，理解题意，得到正确的不等式组是解题的关键． （1）根据“核数”的定义即可解答； （2）①得到不等式组的“核数”为，再根据即可解答； ②解三元一次方程组得到，，再根据三元一次方程组的解是正数，即可解答． 【详解】（1）解：的解集中存在0，1这2个“核”，这个不等式组的“核数”为2； 的解集中存在无数个“核”，这个不等式组的“核数”为无限； 的解集中存在2这1个“核”，这个不等式组的“核数”为1； 故答案为：①； （2）解：①， 不等式组的解集中有3个“核”，这个不等式组的“核数”为3； 故， ， 不等式组的“核数”为3，即不等式组的整数解有3个， ， 解得， 则整数的值为； ②根据题意可得， ①+③得，， 解得， 把代入③得，， 得， 把，代入②可得，即， 由，得， 关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数， 则， ， ， 即， 是不等式组的“核数”，为整数， ， 不等式组的整数解有6个， ， 解得， 则整数的值为2． 25．（23-24七年级下·四川内江·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①；    ②；    ③；    ④； (2)若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； (3)若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 【答案】(1)③④ (2) (3)当或时，不等式被覆盖 【分析】本题主要考查不等式的性质，解不等式（组）的方法，理解题目中的含义，掌握解不等式（组）的方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质，分别求出①②③④的解集，再根据材料提示的信息即可求解； （2）先解不等式得，再根据覆盖的定义即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当有解时，； 当无解时，；根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得，； ②， 解得，； ③， 解得，； ④， 解第一个不等式得，，解第二个不等式得，， ∴不等式组无解； ∴被不等式覆盖的是③④， 故答案为：③④； （2）解：， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵不等式被覆盖， ∴， 解得，； （3）解：∵不等式被覆盖， ∴当有解时，， 解得，； 当无解时，， 解得，； 综上所述，当或时，不等式被覆盖． 压轴满分题六、不等式与数轴的问题 26．（23-24七年级下·四川巴中·期末）请你从下列三个关于的不等式中，选择其中两个组成一个关于的一元一次不等式组，解该不等式组并把解集在数轴上表示出来． （1）（2）（3） 【答案】见解析 【分析】本题考查解不等式组及在数轴上表示解集，解题的关键是分别解出不等式，结合同大取大，同小取小，相交取中间即可得到答案．分别组合不等式组，解出不等式在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 或组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 或组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 27．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）计算： (1)解不等式； (2)解不等式； (3)解不等式组，请把它的解集表示在数轴上，并求出它的整数解． 【答案】(1) (2) (3)，数轴见解析，整数解为： 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），掌握不等式的解法，以及不等式组解集的确定方法是解题关键． （1）根据不等式的性质求求解即可； （2）根据不等式的性质求求解即可； （3）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来，再写出满足该不等式组的整数解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解： ， ， ， ； （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： ， ∴整数解为：． 28．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答： (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）根据一元一次不等式的解法解答①即可； （2）根据一元一次不等式的解法解答②即可； （3）分别解两个不等式得到，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集，利用数轴表示其解集． （4）根据（3）写出解集即可； 【详解】（1）解：解不等式①，得． （2）解：解不等式②，得． （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图： （4）解：结合（3）可得原不等式组的解集为． 29．（24-25七年级下·四川攀枝花·阶段练习）小明解不等式的过程如下． 解：去分母，得，⋯⋯第一步 去括号，得，⋯⋯第二步 移项，得，⋯⋯第三步 合并同类项，得．⋯⋯第四步 系数化1，得．⋯⋯第五步 (1)第________步开始出现错误，错误的原因是________． (2)请写出正确的解答过程，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1)一，未乘以 (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． （1）由小明的解答过程即可直接得出答案； （2）先求解不等式，然后把它的解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：由题意得： 第一步开始出现错误，错误的原因是未乘以， 故答案为：一，未乘以； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 把解集表示在数轴上如图所示： 30．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）计算 (1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (2)解方程： ． (3)先化简，，再从，0，1，2中选择一个适当的数代入求值． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，； (3)； 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程，分式方程以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别解出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，即可作答． （2）先把原式化为，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 先把分式方程化为整式方程，再进行解一元一次方程，即可作答． （3）先通分括号内，再进行除法运算，得出，注意分式有意义，故把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 此不等式组的解集在数轴上表示为： （2）解：解：方程可化为 ∴， ∴ 解得，． 解： ， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解． （3）解： ， 且， 取， 则原式． 压轴满分题七、解特殊的不等式（组）问题 31．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1)0 (2)，，1，2 【分析】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键． （1）根据题意得出，然后求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴； （2）当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， ∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数， ∴， ∵m为整数， ∴或， ∴或； 当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， 当时，，不成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，不成立； 综上可得：或2或或． 32．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）定义一种新运算“ab”：当a≥b时，ab=a+2b；当a＜b时，ab=a-2b．例如：3(-4)=3，． （1）填空：（-3） （-2）=　　 ； （2）若则x的取值范围为　　； （3）已知，求x的取值范围；   （4）利用以上新运算化简：． 【答案】（1）1 ；（2）；（3）或；（4） 【分析】（1）根据公式计算可得； （2）结合公式知，解之可得； （3）分类讨论，列出不等式组，分别求解可得； （4）先利用作差法判断出，再根据公式计算可得． 【详解】（1）∵， ∴(-3)( -2)=-3-2×(-2)=1， 故答案为： 1； （2）∵ ∴， 解得：， 故答案为：； （3）由题意可知分两种情况讨论： ①， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：； ②， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：； 综上所述：x的取值范围为或； （4）∵ = = ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减运算．解题的关键是根据新定义列出关于不等式(组)或代数式． 33．（23-24七年级下·河南新乡·期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 【答案】或或无解． 【分析】按照题中的思路解不等式即可． 【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时， 当即时，此不等式为无解． 【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的思想方法是解题的关键． 34．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 35．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据有理数的运算法则，两数相除，同号得正，异号得负即可解答. （2）根据不等式大于0得到分子分母同号，再分类讨论即可. （3）观察不等式后，发现分子相同且为正数，故只需要比较分母，再对分母的正负性进行分类讨论即可. 【详解】解：(1)若，则分子分母异号，故 或 故答案为： 或 . (2)∵不等式大于0，∴分子分母同号，故有： 或 解不等式组得到：或. 故答案为：或. (3)由题意知，不等式的分子为是个正数，故比较两个分母大小即可. 情况①：时，即时，，解得：. 情况②：时，即时，，解得：. 情况③：时，此时无解. 故答案为：或. 【点睛】本题借助有理数的除法法则考查了不等式的解法，题目比较新颖，需要进行分类讨论，将分式型不等式化成不等式组的形式处理是解决此题的关键；第3问中分子相同且为正数，故对分母的大小及正负性分类讨论. 压轴满分题八、一元一次方程的规律问题 36．（23-24七年级下·四川资阳·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面． 按照这种规律： (1)第4个图形中需要黑色瓷砖______块； (2)第n个图形中需要黑色瓷砖______块（用含n的代数式表示）； (3)若第n个图形中有6076块黑色瓷砖，求n的值． 【答案】(1)13 (2) (3)2025 【分析】本题主要考查的是图形几何变化规律．解答本题的关键是：能利用数形结合思想，根据图形找到其中变化的部分和不变的部分找出规律．观察题目中图形的的特点，找出黑砖数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． （1）根据前三个图形中黑色瓷砖的变化，找出第④个图形中需要黑色瓷砖的数量； （2）根据各图形中黑色瓷砖数量的变化，可找出变化规律； （3）由（2）的结论结合第n个图形中有6067块黑色瓷砖，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据图形可知，第1个图形中需要黑色瓷砖4块， 第2个图形中需要黑色瓷砖块， 第3个图形中需要黑色瓷砖块， ∴第4个图形中需要黑色瓷砖块； （2）解：由（1）可知，第n个图形中需要黑色瓷砖为块； （3）解：根据题意得， 解得． 37．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）如图是用★摆出一组有规律的“人”字图形，第1个“人”字图形中有4颗★，第2个“人”字图形中有7颗★，第3个“人”字图形中有10颗★，…，按照这样的规律摆下去． (1)第5个“人”字图形中有________颗★； (2)用含的代数式表示第个“人”字图形中★的颗数，并求第100个“人”字图形中★的数量； (3)若第个“人”字图形中有2026颗★，求的值． 【答案】(1)16 (2)第个“人”字图形中★的颗数为颗，第100个“人”字图形中★的颗数为301颗 (3)的值为675 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，一元一次方程的应用，能根据所给图形发现★的颗数变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中★的颗数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个“人”字图形中★的颗数为：； 第2个“人”字图形中★的颗数为：； 第3个“人”字图形中★的颗数为：； ， 所以第个“人”字图形中★的颗数为颗． 当时， （颗， 即第5个“人”字图形中★的颗数为16颗． 故答案为：16． （2）解：由（1）知， 第个“人”字图形中★的颗数为颗． 当时， （颗， 即第100个“人”字图形中★的颗数为301颗． （3）解：令， 解得， 所以的值为675． 38．（23-24七年级下·吉林长春·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形按如图的规律摆下去． (1)用含的代数式填空：摆第个图形需要_______个白色正方形，需要_______个黑色正方形； (2)第个图形中，黑白两种颜色的正方形共有2025个，求的值； (3)设第个图形与第个图形中白色正方形的个数和为，第个图形中黑色正方形的个数为，是否存在？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)337 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了规律探究； （1）第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：，第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：，第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：，据此找出规律，即可求解； （2）由黑色的正方形白色的正方形2025个，解一元一次方程，即可求解； （3）可得，由，均为正整数进行判断，即可求解； 找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 故答案为：，； （2）解：根据题意得，， 解得， 答：的值为337； （3）解：不存在， 理由： 由题意得：， 整理得，， ， ，均为正整数， 为整数， 不成立， 不存在． 39．（23-24七年级下·四川巴中·期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，回答下列问题： (1)请写出十烷的化学式： ； (2)请用含n的代数式表示n烷的化学式（，且n为整数）； (3)已知化学式，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类，一元一次方程的应用，根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式． （1）根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十烷的化学式． （2）由（1）得出n烷的化学式的规律并用代数式表示出来即可． （3）根据有2024个，然后代入（2）中的代数式即可求出m的值． 【详解】（1）解：甲烷的化学式中的有1个，有（个， 乙烷的化学式中的有2个，有（个， 丙烷的化学式中的有3个，有（个， ， 十烷的化学式中的有10个，有（个， 即十二烷的化学式为， （2）解：由（1）可知：当时， n烷化学式中的有10个，有个， ∴n烷化学式为． （3）解：有2024个， 由（2）可知：当时， 则 40．（23-24七年级下·四川内江·期中）小丽在用等长的木棒设计图案探索规律： 图案标号 ① ② ③ ④ 所需木棒根数 (1)先填表，再请你帮她用含的代数式表示第个图案所需木棒的根数　　　　　　； (2)如果要摆出第个图案，所需木棒的根数是多少？ (3)小丽说她按这种方式搭出来的一个图形用了根木棒，你认为可能呢？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)302 (3)不可能；理由见解析 【分析】本题考查了根据图形找规律的问题，解题的关键是结合图形找出规律进而求解． （1）由图可以看出，图①火柴棒根数为，图②火柴棒根数为，图③火柴棒根数为，由此可以得出图④火柴棒根数，根据图示规律可得，第个图形需要根火柴棒； （2）把代入求出第个图案需要的木棒根数即可； （3）用求解，可得，因为为正整数，故不可能． 【详解】（1）解：由图可以看出， 图①中火柴棒根数为：； 图②中火柴棒根数为：； 图③中火柴棒根数为：； 图④中火柴棒根数为：； 图案标号 ① ② ③ ④ 所需木棒根数 20 26 根据以上规律可知：第个图形需要根火柴棒； （2）解：根据（1）中的规律可得， 第50个图形中火柴棒根数为：（根）； （3）解：不可能，理由如下： 设第个图形用了100根火柴棒，其中为正整数， 则， 解得：，不符合题意舍去， 故不可能用了100根火柴棒按这种方式搭出来的一个图形． 压轴满分题九、一元一次方程中的新定义问题 41．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）定义一种新运算“*”，规则如下：当时，；当时，；当时，． (1)求值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）根据新定义，当时，；进行计算即可求解； （2）分情况讨，分三种情况，根据新定义运算，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1） ， ； （2）情况一：当时， ， ， ， ， ， ， ∴舍去， 情况二：当时， ， ， ， ， ，     ∴舍去， 情况三：当时， ， ， ， ， ， ， 综上所述：． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如：． (1)若，求x的值； (2)若的值不大于9，求x的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及解一元一次不等式，绝对值的意义． （1）根据新定义代入绝对值方程，然后根据绝对值的意义得出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）根据新定义得出关于x的一元一次不等式， 解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：因为，所以， 所以，所以或， 解得或． （2）解：根据题意，得， 所以， 解得， 即的取值范围为． 43．（23-24七年级下·四川简阳·期中）观察下列式子，定义一种新运算： ；；； (1)这种新运算是：______（用含a，b的代数式表示）； (2)如果，求a的值； (3)若a，b为整数，试判断是否能被3整除． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 【分析】本题考查解一元一次方程和整式的加减运算，正确理解题意掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． （1）通过观察发现，； （2）根据定义新运算列方程计算求a； （3）根据定义新运算列式，然后先去括号，合并同类项化简，最后做出判断． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴； 故答案为：； （2）解：∵，又， ∴， 解得：； （3）解：根据题意得： ∵a、b为整数， ∴为整数 ∴能被3整除 即：能被3整除． 44．（2024七年级下·全国·专题练习）新考向  阅读材料： 我们定义：如果两个数满足，那么数对就叫作“差商等数对”，记为． 例如：；；，则称数对，，是“差商等数对”． 根据上述材料，解决下列问题： (1)下列数对：①；②；③中，是“差商等数对”的是______（请填写序号），并写出理由； (2)如果数对（不等于0）是“差商等数对”，求的值． 【答案】(1)①，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了新定义下，有理数的运算，整式的化简求值，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）分别计算出各数对中两个实数的差和这两个实数的商即可得到答案； （2）根据“差商等数对”的定义建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①是“差商等数对”， 理由： ①因为，， 所以， 所以是“差商等数对”． ②因为，，所以， 所以不是“差商等数对”． ③因为，， 所以， 所以不是“差商等数对”． 综上，只有①是“差商等数对”． （2）解：由题意，得， 所以， 所以， 所以． 所以的值为． 45．（23-24七年级下·四川眉山·期中）阅读：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据上述定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数26，66，30中，是“迥异数”的为_____； ②计算_____． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”的值． 【答案】(1)①26；②8 (2)39 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能理解“迥异数”定义是本题的关键． （1）①由“迥异数”的定义即可求得答案；②根据定义计算可得． （2）根据题意知，新两位数与原两位数的和为，从而得出，解答出的值，即可求“迥异数”的值． 【详解】（1）解：根据定义得，个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，这三者中符合题意，故答案为：； 由题意知，，即“迥异数”为，对调个位数字与十位数字后变为，则，，所以中． （2）解：由题意知，新两位数与原两位数的和为 ，， 即，解答， 则“迥异数”为． 压轴满分题十、一元一次不等式（组）最值的问题 46．（23-24七年级下·四川眉山·期末）已知关于的方程满足方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】（1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得， ∵， ∴， 解得； （2）解：， 解得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 47．（23-24七年级下·四川内江·期中）如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知、满足，，求的值； (2)已知、、满足，，求正数的最小值 【答案】(1)或2 (2)4 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、解不等式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意可得a，b是的解，根据一元二次方程根与系数的关系可得当时，，；时，分别代入求值即可； （2）由，，即a、b是方程的解，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足，， ∴a，b是的解， 当时，，， ∴， 当时，． 综上，的值为或2． （2）解：∵，， ∴，， ∴a、b是方程的解， ∴，即， ∵c是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数c的最小值是4． 48．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． (1)求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； (2)随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求的最小值． 【答案】(1)该水果商八月份苹果每箱的售价为元，梨子每箱的售价为元； (2)50 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设该水果商八月份梨子每箱的售价为元，则苹果每箱的售价为元，根据这两种水果八月份的销售额共为7740元列出方程求解即可； （2）根据题意可知，九月份苹果的销售额为元，梨子的销售额为元，再根据这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该水果商八月份梨子每箱的售价为元，则苹果每箱的售价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该水果商八月份苹果每箱的售价为元，梨子每箱的售价为元； （2）解；由题意得， ∴， ∴ 解得， ∴的最小值为50． 49．（23-24七年级下·广西崇左·期末）某商店计划购进、两种型号的保温水杯进行销售，若购进型号保温水杯和型号保温水杯各6个共花费150元，购进型号保温水杯4个和型号保温水杯3个共花费85元． (1)求购进型号保温水杯和型号保温水杯的单价； (2)若该商店购进了、两种型号保温水杯共100个，其中型号保温水杯售价为18元，型号保温水杯售价为25元，设购进型号保温水杯个，获得总利润为元． ①求关于的函数关系式． ②要使销售保温水杯的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该商店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值． 【答案】(1)购进型号保温水杯单价为元，型号保温水杯的单价为元 (2)①；②购进种保温杯个，型号保温杯个，可以获得最大利润，最大利润为元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组进行求解即可； （2）①根据题意，写出函数关系式即可； ②根据所获利润不低于进货价格的，列出不等式进行求解． 【详解】（1）解：设购进型号保温水杯单价为，型号保温水杯的单价为， ， 解得：， 答：购进型号保温水杯单价为元，型号保温水杯的单价为元； （2）解：①设购进型号保温水杯个，故购进型号保温杯个， ； ②所获利润不低于进货价格的， ， 解得， 为整数， 时，， ， 答：购进种保温杯个，型号保温杯个，可以获得最大利润，最大利润为元． 50．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．若购进5件蓝文化衫，4件红文化衫，共需要200元，若购进2件蓝文化衫，3件红文化衫，共需要115元． (1)学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？ (2)若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少25件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于200件，则学校最少购进红文化衫多少件？ (3)在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是40元/件和30元/件，且总进价不超过6000元，那么如何设计购买方案，使当所有文化衫卖出后利润有最大，最大值是多少元？ 【答案】(1)红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元 (2)该校最少购进红文化衫件 (3)购买100件红色文化衫，件蓝色文化衫时获利最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式的应用，解题的关键是理解题意，列出不等式或方程组． （1）设红文化衫每件的进价为x元，蓝文化衫每件y元，根据购进5件蓝文化衫，4件红文化衫，共需要200元，若购进2件蓝文化衫，3件红文化衫，共需要115元列出方程组，解方程组即可； （2）设购进红文化衫m件，根据题意列出不等式，即可求解； （3）根据总进价不超过6000元，得出，求出，根据红色文化衫越多，蓝色文化衫越多，且购买的越多获利越多，得出当购买100件红色文化衫，购买（件）蓝色文化衫时获利最大，求出最大利润即可． 【详解】（1）解：设红文化衫每件的进价为x元，蓝文化衫每件y元，根据题意得： ， 解得， 答：红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元； （2）解：设购进红文化衫m件，则购进蓝色文化衫件，根据题意得：， 解得， 答：该校最少购进红文化衫件； （3）解：∵总进价不超过6000元， ∴， 解得：，               由（2）得， ∴， ∵蓝色文化衫购买数量为件， ∴红色文化衫越多，蓝色文化衫越多， 又∵购买的越多获利越多， ∴当购买100件红色文化衫，购买（件）蓝色文化衫时获利最大，且最大利润为： （元）． 压轴满分题十一、一元一次方程实际应用综合 51．（2025·广西桂林·一模）大学生小敏、小晨参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是型平板电脑一台和1500元现金，当小敏工作满20天后因故结束实习，结算工资（按平均每天的报酬，实际工作天数计算）时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金． (1)这台型平板电脑价值多少元？ (2)为吸引、留住人才，公司规定实习期满一个月（30天）之后平均每天所获得的报酬（折成现金后）在实习期的基础上上涨，若小晨欲获得不少于6480元的报酬，则至少在该公司实习多少天？ 【答案】(1)这台M型平板电脑价值2100元 (2)小晨至少在该公司实习50天后可获得不少于6480元的报酬． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设这台M型平板电脑价值x元，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据（1）中的结果得出小晨每天的实习工资和期满一个月（30天）之后平均每天所获得的报酬，结合题意列出一元一次不等式求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设这台M型平板电脑价值x元， 根据题意得∶ 解得， 则这台M型平板电脑价值2100元． （2）解：由(1)可得出小晨每天的实习工资为：（元）， 则期满一个月（30天）之后平均每天所获得的报酬为（元） 设小晨至少在该公司实习y天后可获得不少于6480元的报酬， 根据题意有：， 解得：， 则小晨至少在该公司实习50天后可获得不少于6480元的报酬． 52．（24-25七年级下·广西百色·阶段练习）某工厂准备在劳动节期间组织员工观看最新电影，票价为每张40元，经车间主任沟通，针对60人以上的团体票，售票员提供了两种优惠方案： 方案一：全体人员打8折： 方案二：10人免票，其他人员打9折． (1)若工厂车间有名工人，选择哪种方案更优惠？ (2)已知该工厂车间超过60名工人，车间主任说：“无论选择哪种方案，要付的钱都一样多．”则该工厂车间有多少名工人？ 【答案】(1)选择方案二更优惠 (2)该工厂车间有90名工人 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用． （1）根据题意分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可解答本题； （2）由题意设该工厂车间有x名工人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵方案一：全体人员打8折， ∴方案一的花费为（元）； ∵方案二：10人免票，其他人员打9折， ∴方案二的花费为（元）． 因为， 所以选择方案二更优惠； （2）解：设该工厂车间有x名工人， ， 解得． 答：该工厂车间有90名工人． 53．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）一家住房的地面结构如图所示，请根据图中的数据，解答下列问题： (1)用含的代数式表示地面总面积； (2)已知客厅面积比卫生间面积多．这家房子的主人打算把厨房和卫生间都铺上地砖，已知铺地砖的平均费用为60元，铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及整式加减的应用，根据数量关系列出代数式（或一元一次方程）是解题的关键． （1）根据地面总面积客厅面积厨房面积卧室面积卫生间面积，代入数据即可得出结论； （2）根据客厅面积比卫生间面积多，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据铺地砖的总费用厨房与卫生间的面积和每地砖的平均费用，代入数据即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知：地面的总面积为： ， 答：该住房的地面总面积为； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴铺地砖的总费用为（元）． 答：铺地砖的总费用为960元． 54．（24-25七年级下·四川乐山·阶段练习）安徽省凌家滩人类古遗址公园对外促销甲、乙两种款式纪念品，具体打折方案如下．（单位：元） 商品 甲 乙 合计 标价（原价） 优惠 全部按标价打八折 售价（折后价） (1)_____，_____． (2)若该公园销售这两种纪念品，甲款式纪念品盈利，乙款式纪念品亏损，则该公园销售这两种纪念品是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？） 【答案】(1)， (2)该公园销售这两种纪念品不亏不盈 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意列方程即可求解； （2）设甲、乙两款纪念品的进价分别为、，根据“甲款式纪念品盈利，乙款式纪念品亏损，”列方程，求出、，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ， ， 故答案为：，； （2）设甲、乙两款纪念品的进价分别为、， 根据题意得：，， 解得：，， （元）， 即该公园销售这两种纪念品不亏不盈． 55．（2024·四川遂宁·一模）某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)E同学答对16道，答错4道 (2)比赛不可能得了73分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设E同学答对x道，可得，即可解得E同学答对16道，答错4道； （2）设D同学答对m道，若，得，不符合题意，故比赛不可能得了73分． 【详解】（1）解：设E同学答对x道，则答错道， 根据表格数据可得， 解得， ， 答：E同学答对16道，答错4道； （2）解：不可能，理由如下： 设D同学答对m道，则答错道， 若得了73分，则， 解得， ∵m是整数， ∴不符合题意， ∴比赛不可能得了73分． 压轴满分题十二、二元一次方程组、三元一次方程组的综合应用 56．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ，解得：， ∴这个三位数为：． 57．（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 (2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． （1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得 解得 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 （2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的， 根据题意得， 解得， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程． 58．（23-24七年级下·四川内江·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 59．（2025·四川宜宾·模拟预测）某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示： 甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元） (1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？ (2)该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 【答案】(1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元； (2)购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组和函数关系式． （）设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元，由题意得，再解方程组即可； （）设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，求得，然后根据“乙种水果数量不多于甲种水果的倍”求出的范围即可求解． 【详解】（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元， ∴由题意得：，解得：， 答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元； （2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元， 则， ∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍， ∴， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时，， 答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大． 60．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作包装盒，请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)任务一：利用如图（1）所示的图形，制作包装盒，请写出这个包装盒的立体图形的名称，并根据图中给出的数据（单位：），求这个包装盒的侧面积；（用含a，b的代数式表示） (2)任务二：利用如图（2）所示的图形，制作一个无盖的长方体包装盒，a，b，c分别是包装盒的长、宽、高，并根据图中给出的数据（单位：），求此包装盒的容积． 【答案】(1) (2)此包装盒的容积为 【分析】本题考查简单几何体的表面展开图，列代数式，三元一次方程组的应用，掌握常见的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据三棱柱的展开图特征即可判断，再根据三棱柱侧面都是长方形即可求侧面积； （2）根据长方体容积公式代入数据计算即可． 【详解】（1）解：如图，这个包装盒的立体图形是三棱柱， ∵三棱柱的侧面积为， ∴这个包装盒的侧面积为； （2） 解：如图，根据题意：， 解得：， ∴长方体的体积为， ∴此包装盒的容积为． 压轴满分题十三、一元一次不等式（组）的实际综合应用 61．（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 (2)元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键． （1）根据“现有面粉，鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可； （2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可． 【详解】（1）解：设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒， 根据题意，得， 解得：， 为整数， 可取，，， 因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒； 加工一般糕点盒，精制糕点盒 ； 加工一般糕点盒，精制糕点盒； （2）解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点盒、精制糕点盒时，可获得最大利润，最大利润为（元）． 62．（24-25七年级下·四川攀枝花·阶段练习）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋共40副供棋类兴趣小组活动使用．已知每副围棋16元，每副象棋10元． (1)若购买象棋的数量不少于围棋数量的，那么寒梅中学最少可以购买多少副象棋？ (2)若寒梅中学决定购买围棋和象棋的总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？ 【答案】(1)14副 (2)25副 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键． （1）设寒梅中学购买副象棋，则购买副围棋，根据购买象棋的数量不少于围棋数量的建立不等式，解不等式即可得； （2）设寒梅中学购买副围棋，则购买副象棋，根据总费用不超过550元建立不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：设寒梅中学购买副象棋，则购买副围棋， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值是14， 答：寒梅中学最少可以购买14副象棋． （2）解：设寒梅中学购买副围棋，则购买副象棋， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为25， 答：寒梅中学最多可以购买25副围棋． 63．（24-25七年级下·广西防城港·阶段练习）某校的劳动实践基地准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米． (1)设垂直于墙的边的长为米．则平行于墙的边的长为______米； (2)在（1）的条件下，当花圃的面积为144平方米时，求边的长为多少米？ 【答案】(1) (2)边的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，代数式表示式，一元一次不等式的运用，矩形的面积公式的运用，在解答时根据矩形的面积建立方程是关键． （1）根据平行于墙的一边长等于总长减去垂直于墙的两边的边长，即可解题； （2）根据题意建立方程并求解，再结合墙长20米得出边的取值范围，即可解题． 【详解】（1）解：平行于墙的边的长为米； 故答案为：． （2）解：由题知， 解得，， 墙长20米， ，即， ， 即边的长为米． 64．（2025七年级下·全国·专题练习）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键． （1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可； （2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，根据题意列出不等式组求出整数解即可． 【详解】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人； （2）解：师生总数为（人）， ∵每位老师负责一辆车的组织工作， ∴一共租8辆车， 设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆， 根据题意，得： ， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可取3，4，5， ∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． 65．（23-24七年级下·广西百色·期末）广西“十四五”重点工程南珠高铁南玉段于年月日正式开通营运，圆了玉林广大人民群众的高铁梦，现还需对玉林北站站前的部分道路进行美化．甲、乙两支工程队各接到了米美化道路的任务，已知甲工程队的工作效率是乙工程队的2倍．完成任务时，甲工程队比乙工程队少用了2天，设乙工程队每天完成道路美化米． (1)填空：甲工程队每天完成道路美化___________米，若两支工程队各完成米的道路美化，则甲工程队需要用___________天，乙工程队需要用___________天；（用含的代数式表示） (2)求甲乙两支工程队每天完成道路美化各多少米； (3)若甲乙两支工程队每天美化道路所需费用分别是元和元，站前道路还需美化米，由甲乙两支工程队共同完成一段时间后，甲工程队另有任务，剩下的任务只能由乙工程队单独完成，如果总费用不超过元，那么甲工程队至少要工作多少天？ 【答案】(1)；；； (2)甲工程队每天完成道路美化米，乙工程队每天完成道路美化米． (3)4天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据完成任务时，甲工程队比乙工程队少用了2天，列出方程，解方程即可； （3）设甲工程队至少需要工作天，则乙工程队需要工作天，根据总费用不超过元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天完成道路美化米，则甲工程队每天完成道路美化米， 若两支工程队各完成米的道路美化， 则甲工程队需要用天， 乙工程队需要用天； 故答案为：；；； （2）解：依题意有：， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意， ， 答：甲工程队每天完成道路美化米，乙工程队每天完成道路美化米． （3）解：设甲工程队至少需要工作天，则乙工程队需要工作天，即天， 依题意得：， 解得：， 为整数， 的最小值为天， 答：甲工程队至少需要工作天． 1．（23-24七年级下·福建漳州·期末）观察如图所示的运算程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（  ） A． B．1 C．或1 D．5或1 【答案】C 【分析】本题考查流程图与代数式求值，解绝对值方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 根据题意列方程，解得x的值即可． 【详解】解：若输出的结果为3， 则， 解得：， ， 解得：， ∵， ∴， 综上，输入的x值为或1， 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川巴中·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳， ， 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的二元一次方程组，下列结论正确的是（    ） ①当时，方程组的解也是的解； ②，均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法和解是解题的关键． 根据方程组得，然后再依据题目信息即可依次判断． 【详解】解：①当时，方程组整理得，， 由①②可得，， 当时，方程得， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； ②解方程组，①②得， 当，均为正整数时，则有或， ∴共有2对，故②错误； ③解方程组，①②得， ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故③正确； ④解方程组，①②得， 当方程组的解满足时， 解得， 代入原方程组可得 解得，，故④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：A． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按照图②所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度为，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大，根据图中两种放置的方式，列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大， 由题意得：， 解得：， ∴桌子的高度为， 故选：C． 5．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 6．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）已知是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键． 根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：是关于的二元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川攀枝花·阶段练习）关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数的取值范围，先解不等式组，根据不等式组有解，和确定不等式组的解集的方法，进行求解即可，熟练掌握不等式组的解集的确定方法是解题的关键． 【详解】解：由，得：， 由，得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 【答案】或 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． 先求出方程与它的“交换系数方程”，然后组成方程组运用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵方程与“交换系数方程”为或， ∴它们组成的方程组为或， 解得：或． 所以方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为，到校时间应小于分钟列出不等式即可． 【详解】解：设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为 ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图1所示，该图形由10个小三角形组成．如果在这10个小三角形内填入数值或代数式，且使得每4个小三角形构成的大三角形的和相等，那么我们称这个图形为“和美图形”，图2也是一种“和美图形”，如果其中阴影部分的和为100，则图中x的值是 ． 【答案】28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先分别表示，，，再代入，化简计算，即可作答． 【详解】解：如图，分别用①，②，…，表示相应位置应填入的式子， 则由题意知：，，， ，， 解得； 故答案为：28． 11．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）解下列方程组． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键； （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可； （3）利用加减消元法求解即可； （4）利用代入消元法求解即可； 【详解】（1）解： 将代入，可得：， 解得：， 将代入，可得：， 故方程组的解为： （2）解：， 由可得：， 将代入，可得：， 解得：， 将代入，可得， 故方程组的解为： （3）解： 得：， 得：， 解得：， 将代入，可得：， 解得； 故方程组的解为： （4）解：根据 整理可得： 由①式可得：， 将代入②，可得： 解得：， 则； 则方程组的解为：； 12．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为， 再数轴上表示如下： 13．（24-25七年级下·河南开封·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，关键是正确理解新定义，根据新定义列出不等式． （1）根据新定义进行列出不等式进行解答便可； （2）根据新定义列出不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：由，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得 （2）解：根据新运算定义，化简不等式左边得， 化简不等式右边得， 所以， 解得， 所以该不等式的最大整数解为． 14．（23-24七年级下·四川乐山·期末）某商场将某种服装按照成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍然获利15元． (1)这种服装每件的成本是多少元？ (2)本商场为了在新年前吸引更多的顾客，进一步推出如下优惠活动：一、本商场所有商品一律按照标价进行八折优惠；二、打八折以后，每满1000再减100元，即若打八折后售价不足1000元就不再减价，打八折后大于等于1000元且小于2000就再减100元，打八折后大于等于2000且小于3000就再减200元，以此类推．小聪、小慧两位的妈妈，分别选中了标价1200和1500元的两件商品． ①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜多少元？ ②请问小智的妈妈再选一件标价至少为多少元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 【答案】(1)这种服装每件的成本是125元 (2)①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜100元；②小智的妈妈再选一件标价至少为1050元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设这种服装每件的成本是x元，利用利润=售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）①根据给出的优惠方案，可求出两人分开支付时两位妈妈分别支付的钱数及两人一起参加优惠活动并一起支付时支付的钱数，再利用节省的钱数=两人分开支付时两位妈妈分别支付的钱数之和﹣两人一起参加优惠活动并一起支付时支付的钱数，即可求出结论； ②设小智的妈妈再选一件标价至少为y元的商品，根据一起参加优惠活动并一起支付比三人分别支付的总和便宜200元（即三人分开支付时支付的费用之和为3000元），可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这种服装每件的成本是x元， 根据题意得：， 解得：． 答：这种服装每件的成本是125元； （2）解：①∵（元），（元），（元）， ∴两人分开支付时，小聪的妈妈需支付960元，小慧的妈妈需支付1100元， ∵（元），（元）， ∴两人一起参加优惠活动并一起支付时共需支付1960元， ∴（元）． 答：若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜100元； ②设小智的妈妈再选一件标价至少为y元的商品， 根据题意得：， 解得：． 答：小智的妈妈再选一件标价至少为1050元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 15．（23-24七年级下·四川眉山·期末）规定：在同一直线上依次有A，B，C，D四点，且，那么称与互为“对称线段”．如图，若与互为“对称线段”，其中． (1)求线段的长度； (2)动点M，N分别从A，D同时出发，点M以的速度从点A向右运动到点D，点N以的速度从点D向左运动到点A，当点M，N中任意一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当N在线段上，若与互为“对称线段”，求运动时间为多少秒； ②当点M在线段（不包括端点）上时，用点B，C，M，N组成两组线段，它们互为“对称线段”，求运动时间为多少秒． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①运动时间为2秒；②运动时间为4秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程和多种情况讨论． （1）根据“对称线段”的定义以及线段和的长度，通过设未知数建立方程求解的长度． （2）①根据动点的速度和运动时间表示出和的长度，再依据“对称线段”的定义建立方程求解运动时间． ②需要分多种情况讨论点M、N的位置，根据“对称线段”的定义建立方程求解运动时间． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 即． ∴． 所以线段的长度为． （2）解：①设运动时间为t秒． 点M的速度为，则；点N的速度为，， ∵， ∴． ∵与互为“对称线段”， ∴， ∴． ∴． 所以运动时间为2秒． ②， 点M从A到C所需时间为秒，点N从D到A所需时间为秒． 设运动时间为t秒，． 情况一：若， ，则，方程两边同时减6得：，此方程无解． 情况二：若， ． 由得，方程两边同时加得：，即，解得，不满足，舍去． 情况三：若， ． 由得，无解； 由得，无解． 情况四：若， ， 由得． 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（80题13个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、一元一次方程的含参问题 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解的和为，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为；，所以方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．例如：的解为，则称方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)请写出一个与举例不同的差解方程_____； (2)若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 3．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）小红解关于的方程，在去分母的过程中，等号右边的常数项2漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求的值． (2)求出方程的正确解． (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 4．（23-24七年级下·四川眉山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 5．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 压轴满分题二、方程组同解问题 6．（23-24七年级下·河南周口·期末）解方程 (1) (2)在做作业时，有一个方程“”中的■没印清，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与方程的解相同，”小聪很快补上了这个常数，同学们，你们能补上这个常数吗? 7．（23-24七年级下·重庆·期末）设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 8．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 10．（2024七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程，回答下列问题： (1)若，求该方程的解； (2)是否存在值，使得该方程的解为？请说明理由； (3)若与互为倒数，求该方程的解； (4)若该方程与方程的解相同，求的值． 压轴满分题三、二元一次方程组的错节复原问题 11． （23-24七年级下·河南南阳·期末）已知是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是．”请你根据以上信息，把方程组复原出来． 12．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来． 13．（23-24七年级下·四川乐山·阶段练习）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求方程组的解及的值． （2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 14．（23-24七年级下·四川眉山·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 15．（2024·四川宜宾·模拟预测）某校举行八年级学生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原，每个项目得分按一定百分比折算后记入总分．下表为甲、乙、丙三位同学得分情况（单位：分） 七巧板拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 甲 66 89 86 68 乙 66 60 80 68 丙 66 80 90 68 (1)比赛后，甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原这四个项目得分分别按10%，40%，20%，30%折算记入总分，根据猜测，求出甲的总分； (2)本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上（包括80分）的学生获一等奖，现获悉乙、丙的总分分别是70分、80分，甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后分数和是20分，问甲能否获得这次比赛的一等奖． 压轴满分题四、二元一次方程组的求参问题 16．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）关于x的不等式组的解集中包含方程的所有非负整数解的x的值，求a的取值范围． 17．（23-24七年级下·吉林长春·期中）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点． (1)若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案） (2)，为正整数，且点为方程的精优点，求，的值； (3)，，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值． 18．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 19．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值． 20．（2024七年级下·全国·专题练习）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ，，，．…… ，，，．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 压轴满分题五、一元一次不等式（组）的求参问题 21． （24-25七年级下·四川内江·阶段练习）关于x的两个不等式①与②，若不等式①的解都是不等式②的解，求a的取值范围． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”；若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，求m的取值范围． 23．（23-24七年级下·河南新乡·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是_______（填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 24．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4． (1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号） ①    ②    ③ (2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b． ①若，求整数k的值． ②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值． 25．（23-24七年级下·四川内江·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①；    ②；    ③；    ④； (2)若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； (3)若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 压轴满分题六、不等式与数轴的问题 26．（23-24七年级下·四川巴中·期末）请你从下列三个关于的不等式中，选择其中两个组成一个关于的一元一次不等式组，解该不等式组并把解集在数轴上表示出来． （1）（2）（3） 27．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）计算： (1)解不等式； (2)解不等式； (3)解不等式组，请把它的解集表示在数轴上，并求出它的整数解． 28．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答： (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． (4)原不等式组的解集为______． 29．（24-25七年级下·四川攀枝花·阶段练习）小明解不等式的过程如下． 解：去分母，得，⋯⋯第一步 去括号，得，⋯⋯第二步 移项，得，⋯⋯第三步 合并同类项，得．⋯⋯第四步 系数化1，得．⋯⋯第五步 (1)第________步开始出现错误，错误的原因是________． (2)请写出正确的解答过程，并把解集表示在数轴上． 30．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）计算 (1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (2)解方程： ． (3)先化简，，再从，0，1，2中选择一个适当的数代入求值． 压轴满分题七、解特殊的不等式（组）问题 31．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 32．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）定义一种新运算“ab”：当a≥b时，ab=a+2b；当a＜b时，ab=a-2b．例如：3(-4)=3，． （1）填空：（-3） （-2）=　　 ； （2）若则x的取值范围为　　； （3）已知，求x的取值范围；   （4）利用以上新运算化简：． 33．（23-24七年级下·河南新乡·期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 34．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 35．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 压轴满分题八、一元一次方程的规律问题 36．（23-24七年级下·四川资阳·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面． 按照这种规律： (1)第4个图形中需要黑色瓷砖______块； (2)第n个图形中需要黑色瓷砖______块（用含n的代数式表示）； (3)若第n个图形中有6076块黑色瓷砖，求n的值． 37．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）如图是用★摆出一组有规律的“人”字图形，第1个“人”字图形中有4颗★，第2个“人”字图形中有7颗★，第3个“人”字图形中有10颗★，…，按照这样的规律摆下去． (1)第5个“人”字图形中有________颗★； (2)用含的代数式表示第个“人”字图形中★的颗数，并求第100个“人”字图形中★的数量； (3)若第个“人”字图形中有2026颗★，求的值． 38．（23-24七年级下·吉林长春·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形按如图的规律摆下去． (1)用含的代数式填空：摆第个图形需要_______个白色正方形，需要_______个黑色正方形； (2)第个图形中，黑白两种颜色的正方形共有2025个，求的值； (3)设第个图形与第个图形中白色正方形的个数和为，第个图形中黑色正方形的个数为，是否存在？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由． 39．（23-24七年级下·四川巴中·期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，回答下列问题： (1)请写出十烷的化学式： ； (2)请用含n的代数式表示n烷的化学式（，且n为整数）； (3)已知化学式，求m的值． 40．（23-24七年级下·四川内江·期中）小丽在用等长的木棒设计图案探索规律： 图案标号 ① ② ③ ④ 所需木棒根数 (1)先填表，再请你帮她用含的代数式表示第个图案所需木棒的根数　　　　　　； (2)如果要摆出第个图案，所需木棒的根数是多少？ (3)小丽说她按这种方式搭出来的一个图形用了根木棒，你认为可能呢？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由． 压轴满分题九、一元一次方程中的新定义问题 41．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）定义一种新运算“*”，规则如下：当时，；当时，；当时，． (1)求值； (2)已知，求x的值． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如：． (1)若，求x的值； (2)若的值不大于9，求x的取值范围． 43．（23-24七年级下·四川简阳·期中）观察下列式子，定义一种新运算： ；；； (1)这种新运算是：______（用含a，b的代数式表示）； (2)如果，求a的值； (3)若a，b为整数，试判断是否能被3整除． 44．（2024七年级下·全国·专题练习）新考向  阅读材料： 我们定义：如果两个数满足，那么数对就叫作“差商等数对”，记为． 例如：；；，则称数对，，是“差商等数对”． 根据上述材料，解决下列问题： (1)下列数对：①；②；③中，是“差商等数对”的是______（请填写序号），并写出理由； (2)如果数对（不等于0）是“差商等数对”，求的值． 45．（23-24七年级下·四川眉山·期中）阅读：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据上述定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数26，66，30中，是“迥异数”的为_____； ②计算_____． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”的值． 压轴满分题十、一元一次不等式（组）最值的问题 46．（23-24七年级下·四川眉山·期末）已知关于的方程满足方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 47．（23-24七年级下·四川内江·期中）如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知、满足，，求的值； (2)已知、、满足，，求正数的最小值 48．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． (1)求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； (2)随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求的最小值． 49．（23-24七年级下·广西崇左·期末）某商店计划购进、两种型号的保温水杯进行销售，若购进型号保温水杯和型号保温水杯各6个共花费150元，购进型号保温水杯4个和型号保温水杯3个共花费85元． (1)求购进型号保温水杯和型号保温水杯的单价； (2)若该商店购进了、两种型号保温水杯共100个，其中型号保温水杯售价为18元，型号保温水杯售价为25元，设购进型号保温水杯个，获得总利润为元． ①求关于的函数关系式． ②要使销售保温水杯的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该商店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值． 50．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．若购进5件蓝文化衫，4件红文化衫，共需要200元，若购进2件蓝文化衫，3件红文化衫，共需要115元． (1)学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？ (2)若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少25件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于200件，则学校最少购进红文化衫多少件？ (3)在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是40元/件和30元/件，且总进价不超过6000元，那么如何设计购买方案，使当所有文化衫卖出后利润有最大，最大值是多少元？              压轴满分题十一、一元一次方程实际应用综合 51．（2025·广西桂林·一模）大学生小敏、小晨参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是型平板电脑一台和1500元现金，当小敏工作满20天后因故结束实习，结算工资（按平均每天的报酬，实际工作天数计算）时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金． (1)这台型平板电脑价值多少元？ (2)为吸引、留住人才，公司规定实习期满一个月（30天）之后平均每天所获得的报酬（折成现金后）在实习期的基础上上涨，若小晨欲获得不少于6480元的报酬，则至少在该公司实习多少天？ 52．（24-25七年级下·广西百色·阶段练习）某工厂准备在劳动节期间组织员工观看最新电影，票价为每张40元，经车间主任沟通，针对60人以上的团体票，售票员提供了两种优惠方案： 方案一：全体人员打8折： 方案二：10人免票，其他人员打9折． (1)若工厂车间有名工人，选择哪种方案更优惠？ (2)已知该工厂车间超过60名工人，车间主任说：“无论选择哪种方案，要付的钱都一样多．”则该工厂车间有多少名工人？ 53．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）一家住房的地面结构如图所示，请根据图中的数据，解答下列问题： (1)用含的代数式表示地面总面积； (2)已知客厅面积比卫生间面积多．这家房子的主人打算把厨房和卫生间都铺上地砖，已知铺地砖的平均费用为60元，铺地砖的总费用为多少元？ 54．（24-25七年级下·四川乐山·阶段练习）安徽省凌家滩人类古遗址公园对外促销甲、乙两种款式纪念品，具体打折方案如下．（单位：元） 商品 甲 乙 合计 标价（原价） 优惠 全部按标价打八折 售价（折后价） (1)_____，_____． (2)若该公园销售这两种纪念品，甲款式纪念品盈利，乙款式纪念品亏损，则该公园销售这两种纪念品是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？） 55．（2024·四川遂宁·一模）某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 压轴满分题十二、二元一次方程组、三元一次方程组的综合应用 56．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 57．（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 58．（23-24七年级下·四川内江·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 59．（2025·四川宜宾·模拟预测）某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示： 甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元） (1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？ (2)该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 60．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作包装盒，请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)任务一：利用如图（1）所示的图形，制作包装盒，请写出这个包装盒的立体图形的名称，并根据图中给出的数据（单位：），求这个包装盒的侧面积；（用含a，b的代数式表示） (2)任务二：利用如图（2）所示的图形，制作一个无盖的长方体包装盒，a，b，c分别是包装盒的长、宽、高，并根据图中给出的数据（单位：），求此包装盒的容积． 压轴满分题十三、一元一次不等式（组）的实际综合应用 61．（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 62．（24-25七年级下·四川攀枝花·阶段练习）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋共40副供棋类兴趣小组活动使用．已知每副围棋16元，每副象棋10元． (1)若购买象棋的数量不少于围棋数量的，那么寒梅中学最少可以购买多少副象棋？ (2)若寒梅中学决定购买围棋和象棋的总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？ 63．（24-25七年级下·广西防城港·阶段练习）某校的劳动实践基地准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米． (1)设垂直于墙的边的长为米．则平行于墙的边的长为______米； (2)在（1）的条件下，当花圃的面积为144平方米时，求边的长为多少米？ 64．（2025七年级下·全国·专题练习）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 65．（23-24七年级下·广西百色·期末）广西“十四五”重点工程南珠高铁南玉段于年月日正式开通营运，圆了玉林广大人民群众的高铁梦，现还需对玉林北站站前的部分道路进行美化．甲、乙两支工程队各接到了米美化道路的任务，已知甲工程队的工作效率是乙工程队的2倍．完成任务时，甲工程队比乙工程队少用了2天，设乙工程队每天完成道路美化米． (1)填空：甲工程队每天完成道路美化___________米，若两支工程队各完成米的道路美化，则甲工程队需要用___________天，乙工程队需要用___________天；（用含的代数式表示） (2)求甲乙两支工程队每天完成道路美化各多少米； (3)若甲乙两支工程队每天美化道路所需费用分别是元和元，站前道路还需美化米，由甲乙两支工程队共同完成一段时间后，甲工程队另有任务，剩下的任务只能由乙工程队单独完成，如果总费用不超过元，那么甲工程队至少要工作多少天？ 1．（23-24七年级下·福建漳州·期末）观察如图所示的运算程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（  ） A． B．1 C．或1 D．5或1 2．（23-24七年级下·四川巴中·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的二元一次方程组，下列结论正确的是（    ） ①当时，方程组的解也是的解； ②，均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按照图②所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）已知是关于的二元一次方程，则 ． 7．（24-25七年级下·四川攀枝花·阶段练习）关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ． 8．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 9．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 10．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图1所示，该图形由10个小三角形组成．如果在这10个小三角形内填入数值或代数式，且使得每4个小三角形构成的大三角形的和相等，那么我们称这个图形为“和美图形”，图2也是一种“和美图形”，如果其中阴影部分的和为100，则图中x的值是 ． 11．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）解下列方程组． (1) (2) (3) (4) 12． （24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 13．（24-25七年级下·河南开封·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 14．（23-24七年级下·四川乐山·期末）某商场将某种服装按照成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍然获利15元． (1)这种服装每件的成本是多少元？ (2)本商场为了在新年前吸引更多的顾客，进一步推出如下优惠活动：一、本商场所有商品一律按照标价进行八折优惠；二、打八折以后，每满1000再减100元，即若打八折后售价不足1000元就不再减价，打八折后大于等于1000元且小于2000就再减100元，打八折后大于等于2000且小于3000就再减200元，以此类推．小聪、小慧两位的妈妈，分别选中了标价1200和1500元的两件商品． ①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜多少元？ ②请问小智的妈妈再选一件标价至少为多少元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 15．（23-24七年级下·四川眉山·期末）规定：在同一直线上依次有A，B，C，D四点，且，那么称与互为“对称线段”．如图，若与互为“对称线段”，其中． (1)求线段的长度； (2)动点M，N分别从A，D同时出发，点M以的速度从点A向右运动到点D，点N以的速度从点D向左运动到点A，当点M，N中任意一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当N在线段上，若与互为“对称线段”，求运动时间为多少秒； ②当点M在线段（不包括端点）上时，用点B，C，M，N组成两组线段，它们互为“对称线段”，求运动时间为多少秒． 学科网（北京）股份有限公司 $$