期中重难点真题特训之易错必刷题型（138题41个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

期中重难点真题特训之易错必刷题型（138题41个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、分式的求值 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键．将分式变形为，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知非零实数，满足，则的值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的非负性，相反数的概念，分式求值，根据题意得到，求出，然后将原式变形为，然后化简求解即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ， 解得， ∴ ． 易错必刷题二、最简分式 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式判断，根据分式的分子分母不含有公因式的分式叫最简分式判断即可． 【详解】解：．，不是最简分式，故该选项不符合题意； ．是最简分式，故该选项符合题意； ．，不是最简分式，故该选项不符合题意； ．，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）分式 化为最简分式的结果是 ． 【答案】． 【分析】找出分式分子分母的公因式，约分即可． 【详解】解：原式==， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的化简，解题的关键是掌握最简分式的定义：分式的分子分母没有公因式． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）将下列分式约分: （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）分子分母同时除以； （2）分子分母同时除以； （3）分子分母同时除以； （4）分子分母分别分解因式后同时除以． 【详解】（1）=﹣； （2）=﹣； （3）=； （4）=． 【点睛】本题考查分式的约分，要注意的是：当分式的分子分母是多项式时，必须先因式分解再来约分. 易错必刷题三、分式加减乘除混合运算 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）在计算时，嘉嘉和琪琪使用的方法不同，但计算结果相同，则（   ） 嘉嘉：原式． 琪琪：原式． A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据分式的性质，分式混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： ， ∴两人都不正确， 故选：D ． 8．（23-24八年级下·广西崇左·期末）当非零实数，满足时，的值为 ． 【答案】 【分析】先通分算括号里面的，再把除法运算转化为乘法运算，求得结果，再将代入计算后即可求出答案． 【详解】解：原式 ， ， ∵， ∴， 将代入得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值，解决本题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序及相关法则． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． (1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】本题主要考查新定义运算，分式的混合运算法则，理解“和谐分式”的定义，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可； （2）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可； （3）先根据分式的混合运算法则先化简得，再根据该式的值为整数，得到或，最后根据分式有意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”； ②，不属于“和谐分式”； ③，属于“和谐分式”； ④，属于“和谐分式”； ∴属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ． （3）解： ． ∵该式的值为整数， ∴或， 解得或或1或． 又∵， ∴， ∴． 易错必刷题四、解分式方程 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）分式方程的解是（　　） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后验根得到分式方程的解，判断即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 解得：， 当时，， ∴是原方程的增根，舍去， ∴原方程无解； 故选：D． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集是，则 ． 【答案】 【分析】先求出的解集，结合不等式的解集是，建立等式解答即可． 本题考查了解不等式，解方程，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不等式的解集是， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 12．（24-25八年级·全国·周测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程的求解，解题的关键是将分式方程化为整式方程，并检验所得的根是否为增根． （1）先通过方程两边同乘最简公分母将其化为整式方程，再方程去分母，移项、合并同类项，系数化为1，最后对所得的根进行检验； （2）先通过方程两边同乘最简公分母将其化为整式方程，再方程去分母，去括号、移项、合并同类项，系数化为1，最后对所得的根进行检验． 【详解】（1）去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，． 故是原分式方程的解． （2）去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，． 检验：当时，． 故是原分式方程的解． 易错必刷题五、根据分式方程解的情况求值 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B．0 C．3 D．0或3 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值． 【详解】解：分式方程， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 14．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的含义是解决本题的关键．分式方程先去分母，化简得，根据分式方程无解得到，即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 化简得：， 方程无解， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和是多少？ 【答案】符合条件的所有整数a的和为16 【分析】由题意可得，然后可得或10，进而根据不等式组可得，最后问题可求解． 【详解】解方程分式方程， 得， ∵分式方程的解为正整数解， ∴或2或4或8， 又且， ∴， ∴或6或10， 由关于y的不等式组有解， 解得： ∴， 解得：， 综上，符合题意的整数a的值有6，10， ∴符合条件的所有整数a的和为16． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组及分式方程的解法是解题的关键． 易错必刷题六、零指数幂与负整数指数幂 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）的计算结果是（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据求解即可． 【详解】解：， 故选：． 17．（23-24八年级下·河南新乡·期末）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了零次幂，负指数幂的运算．根据计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：6． 18．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零次幂、乘方运算，绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算乘方、负整数指数幂、零次幂、化简绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 易错必刷题七、分式方程无解问题 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．2或 B． C．2或1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程无解， 先去分母，移项，合并同类项，再根据原方程无解讨论得出答案． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得． 当时，原方程无解， 所以． 当时，． ∵原方程无解， ∴， 即， 解得． 综上所述，k的值为2或． 故选：A． 20．（23-24八年级·全国·单元测试）若以x为未知数的方程无解，则 . 【答案】或或 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，包含两类无解的问题：方程增根无解和化简后系数为0无解． 解方程求得，分类讨论方程无解即可． 【详解】去分母得， 整理得，① 当时，方程①无解，此时原分式方程无解； 当时，原方程有增根为或. 当增根为时，，解得； 当增根为时，，解得. 综上所述，或或. 故答案为：−1或或−2. 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程的增根， （1）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得，再结合得出方程，求出解即可； （2）当时原方程有增根，可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 因为，所以． 当此方程的解为时，，解得； （2）当此方程会产生增根时，， 即， 所以， 解得． 易错必刷题八、分式的规律性问题 22．（23-24八年级下·四川乐山·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（    ） A．升 B．升 C．0升 D．升 【答案】A 【分析】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．注意．根据题目中第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的…，第n次倒出的水量是升的…，可知按照这种倒水的方法，第n次倒出水后，还剩下水升水． 【详解】解：∵ ． 故按此按照这种倒水的方法，这1升水经n次后还有升水． 故选：A． 23．（2024八年级下·全国·专题练习）给定一列分式：，，，﹣，……，（其中x≠0）用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是____；根据你发现的规律，试写出第9个分式_____． 【答案】； 【分析】观察分式的特点，分子均是的次方，分母均是的整数次方，奇数项为正，偶数项为负，按此规律可解题. 【详解】给定一列分式：，，，﹣，……，（其中x≠0）用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是； 根据你发现的规律，试写出第9个分式， 故答案为：； 【点睛】本题考查数式规律、分式的除法运算，善于观察掌握题目特点是解题关键，注意符号的作用. 24．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 易错必刷题九、函数的三种表示方法 25．（23-24八年级下·吉林长春·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门，水池里的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间（min） 1 2 3 4 … 水池里的水量（） 48 46 44 42 … A．水池里的水量是因变量 B．放水10分钟，水池里的水量是 C．每分钟放水 D．放水25分钟，水池里的水恰好全部放完 【答案】B 【分析】根据函数的定义确定放水时间为自变量，水池中的水量为因变量；从表中数据看出，放水时间每增加1分钟，水池中的水量就减少2m3，说明每分钟2m3；放水10分钟时，共放水20m3，则水池中还有水50-20=30m3；放水25分钟时，共放水50m3，则水池中还有水50-50=0m3，此时水池里的水全部放完，即可求解． 【详解】解：A、水池中的水量随着放水时间的变化而变化，因此，放水时间为自变量，水池中的水量为因变量，故本选项正确，不符合题意； B、原来水池中有水50m3，每分钟放水2m3，放水10分钟，共放水20m3，水池里还剩水30m3，故本选项错误，符合题意； C、由表格得：放水时间每增加1分钟，水池中的水量就减少2m3，故本选项正确，不符合题意； D、每分钟放水2m3，放水25分钟，共放水50m3，原来水池中有水50m3，所以水池里的水全部放完，故本选项正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了列表法表示函数关系，通过表格中的数据信息找到自变量与因变量，以及二者的函数关系，并且可以计算某个具体的自变量值所对应的函数值． 26．（2024八年级下·全国·专题练习）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【答案】354 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 27．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 …    (1)上表变量之间的关系中自变量是______，因变量是______； (2)弹簧不悬挂重物时的长度为______；物体质量每增加1，弹簧长度y增加______； (3)当所挂物体质量是时，弹簧的长度是______cm； (4)直接写出y与x的关系式：______． 【答案】(1)悬挂的物体的质量、弹簧的长度 (2)10、2； (3) (4) 【分析】（1）根据变量的含义可得； （2）由时y的值可得不挂物体的长度，由表格中数据的变化可得； （3）根据（2）中结论可得； （4）利用（3）中计算所用相等关系可得． 【详解】（1）上表变量之间的关系中自变量是悬挂的物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：悬挂的物体的质量、弹簧的长度； （2）弹簧不悬挂重物时的长度为；物体质量每增加，弹簧长度y增加， 故答案为：10、2； （3）当所挂物体质量是时，弹簧的长度是， 故答案为：26； （4）与x的关系式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数关系的确认，常量与变量的确定，读懂图表数据，并从表格数据得出正确结论是解题的关键，是基础题，难度不大． 易错必刷题十、求自变量的取值范围 28．（2024八年级下·全国·专题练习）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 29．（23-24八年级下·四川眉山·期末）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，汽车行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系如表，由表格中的数量关系可知，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系式为 ． x（小时） 0 1 2 3 y（升） 100 92 84 76 【答案】 【分析】由表发现信息汽车每1小时油耗为8升，汽车原来有100升汽油，由此列出油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系，还需要计算x的取值范围． 【详解】解：由图表可知，汽车每1小时油耗为8升，汽车原来有100升汽油， 则油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系为， 当时，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查图标阅读能力问题，掌握函数的表示方法由三种，解析法，列表法与图像法，会用列表法找信息，求函数解析式，会用函数值解决问题是解题关键． 30．（23-24八年级下·全国·课后作业）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0≤x≤30） 提出概念所 用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用时间是5分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？ （4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】（1）提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量；（2）当时间是5分钟时，学生的接受能力是53.5； （3）当提出概念13分钟时，学生的接受能力最强59.9（4）当2≤x≤13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13≤x≤20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低 【分析】(1)根据x,y表示的意义以及函数的概念即可判定;(2)学生的接受能力最强,即y的值最大,即可确定x的值;(3)根据表格信息即可直接写出;(4)根据表格可以得到y的值超过13分钟以后越来越小,即可解题. 【详解】解:(1)反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系; 其中x是自变量,y是因变量; (2)提出概念所用的时间为5分钟时, 学生的接受能力是53.5； (3)当x在2分钟至13分钟的范围内,学生的接受能力逐步增强,当x在13分钟至20分钟的范围内,学生的接受能力逐步降低, ∴当提出概念13分钟时，学生的接受能力最强为59.9； (4)当2≤x≤13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13≤x≤20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低. 【点睛】本题主要考查了变量的定义,以及正确读表,中等难度,正确理解表中的变量的意义是解题的关键. 易错必刷题十一、写出直角坐标系中点的坐标 31．（24-25八年级下·全国·单元测试）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了长方形的性质，根据长方形的性质可知，长方形的对边平行且相等，故连接各个顶点，数形结合，可以作出点可能的位置，理解题意是解题的关键． 【详解】 解：长方形的三个顶点的坐标分别为，，． 第四个顶点的坐标为， 故选：B． 32．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知点到轴的距离为，到轴距离为，且在第三象限内，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是理解点到轴（或横轴）的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴（或纵轴）的距离为横坐标的绝对值，及第三象限内点的坐标特征． 由到轴的距离为，到轴距离为，则有纵坐标为，横坐标为，然后根据点在第三象限内点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵到轴的距离为，到轴距离为， ∴纵坐标为，横坐标为， ∵点在第三象限， ∴坐标为， ​故答案为． 33．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“友好距离”，给出如下定义：若，则点与点的“友好距离”为；若，则点与点的“友好距离”为．已知点A的坐标为，B为y轴上的一个动点． (1)若点A与点B的“友好距离”为3，写出满足条件的点B的坐标：________________________； (2)求点A与点B的“友好距离”的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】考查了新定义“友好距离”、点的坐标、绝对值的定义、绝对值不等式等知识，正确理解新定义“友好距离”和绝对值的定义是解题的关键． （1）设点B的坐标为，根据“友好距离”的定义，得出，解绝对值方程即可． （2）设点B的坐标为．则，，分和两种情况讨论，即可得出结论． 【详解】（1）∵点A的坐标为，B为y轴上的一个动点，点A与点B的“友好距离”为3 设点B的坐标为， ∴， 解得：或， ∴点B的坐标是或， 点A与点B的“友好距离”为3， （2）∵点A的坐标为，B为y轴上的一个动点，设点B的坐标为． ∴，． 可分以下两种情况讨论： ①若， 则点A与点B的“友好距离”为，即； ②若， 则点A与点B的“友好距离”为，即，且此时的“友好距离”大于． 综上所述，点A与点B的“友好距离”的最小值为． 易错必刷题十二、坐标与图形 34．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图所示，正方形的边长为4，顶点A的坐标是，平行于x轴，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质、正方形的性质，解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系．根据正方形的边长为4，点A的坐标为，平行于x轴，可以得到点B的坐标，根据点B的坐标可以得到点C的坐标． 【详解】解： ∵点A的坐标为，平行于x轴， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：1， ∴点B的坐标为， 由题意，轴，， ∴点C的横坐标为：3，纵坐标为：， ∴点C的坐标为． 故选：C． 35．（24-25八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，，线段与轴平行，则点的坐标可能是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了点的坐标，由线段与轴平行，可得点的横坐标相等，据此解答即可求解，掌握平行于轴的直线上的点的横坐标相等是解题的关键． 【详解】解：∵线段与轴平行， ∴点的横坐标相等， ∵点，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标可能是， 故答案为：． 36．（24-25八年级下·全国·课后作业）四边形各个顶点的坐标分别为． (1)如下图，在平面直角坐标系中画出四边形； (2)求这个四边形的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据坐标画出图形即可； （）过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，利用计算即可； 本题考查了坐标与图形，四边形的面积，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点， 由图可知，， ． 易错必刷题十三、已知点所在的象限求参数 37．（2025八年级下·全国·专题练习）如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，熟记第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等并列出方程是解题的关键． 根据第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求出m的值，再求出点N的坐标，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得， 所以，， ， 所以，点N的坐标为， 所以，点N在第四象限． 故选：D． 38．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可，横坐标的绝对值就是到轴的距离， 纵坐标的绝对值就是到轴的距离 ． 【详解】解：点到轴距离为3， 点的横坐标是， 第三象限内的点横坐标小于 0 ， 点的横坐标是． 横坐标与纵坐标的差为1， 纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 39．（24-25八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，将点M到x轴的距离记作，到y轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若点M在第二象限，且（m为常数），求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握平面直角坐标系中的点到x轴距离等于纵坐标绝对值，到y轴距离等于横坐标绝对值． （1）求出点M的坐标，即可进行解答； （2）根据第二象限内点的坐标特征得出，代入得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵点M的坐标为， 由题意可得，． ， ， ． （2）∵点M在第二象限， ， ． ， ， 解得． 易错必刷题十四、点坐标规律探索 40．（23-24八年级下·福建漳州·期中）找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为，结合即可． 【详解】解：∵，，，，，，… ∴在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的负方向，且坐标为， ∵， ∴点的坐标为． 故选：D． 41．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从运动到点，第次运动到点；第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，第次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是发现点的横坐标、纵坐标的规律． 观察点的坐标变化可知，每个点的横坐标为次数减，纵坐标是，，，四个数一个循环，第次运动到点的横坐标为，又，即第次运动到点的纵坐标为，从而求出第次运动到点为． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第次从原点运动到点； 第次接着运动到； 第次运动到点； 第次运动到点； 第次运动到点； ； 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标为次数减，纵坐标是，，，四个数一个循环， ∴第次运动到点的横坐标为， ∵， ∴第次运动到点为， 故选：． 42．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为． (1)将点向右和向下各平移一个单位所得的点的坐标为________ (2)点关于轴的对称点的坐标为________；线段的长为________； (3)在平面直角坐标系中标出点，所在位置，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，平移变换，轴对称变换，的知识，解题的关键熟知平移前后对应点的坐标关系及关于坐标轴对称的点的坐标关系，进行解答，即可． （1）根据上（下平移横坐标不变，纵坐标增大（减小），左（右平移，纵坐标不变，横坐标减小（增大）即可解决问题； （2）根据点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可； （3）连接，，，，，根据四边形的面积为：，即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴当点向右和向下各平移一个单位所得的点的坐标为：； 故答案为：． （2）解：∵点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标为， ∴； 故答案为：；． （3）解：点，，，如图所示，连接，，，，； ∴四边形的面积为：． 易错必刷题十五、动点问题的函数图象 43．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图①，是半径为1的圆O上的两点，且．点P从点A出发，在圆O上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为t（单位：s），的长为y，那么图②中可能表示y与t之间的关系的图象是（    ） A．a B．a或c C．b或d D．c 【答案】B 【分析】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是c，当点P逆时针旋转时，图象是a，由此即可解决问题． 【详解】解：当点P顺时针旋转，到达顶点时，运动过程中逐渐增大，从增大到2，据此可以判断，y与x函数图象是c， 当点P逆时针旋转，到达B点时，运动过程中逐渐减小，从减小到0，据此可以判断，y与x函数图象是a， 故ac正确， 故选：B． 44．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，为边上一点．现有点以的速度沿运动，到达点停止．的面积（单位：）与点运动的时间（单位：）的关系图像如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，解决本题的关键是明白各拐点的意义．从函数图像中可以看出当点运动秒时，的面积最大，最大值为，此时点运动到点，根据三角形的面积公式可以求出，，从图可知点运动到点时，的面积为，根据三角形的面积公式可以求出，从而可知，根据点运动的速度是，可以求出运动的时间． 【详解】解：由图可知当点运动秒时，的面积最大，最大值为， 由图可知当点运动到点时，的面积最大， ， 此时， ， 解得：， 由图可知当点从点运动到点时，面积从减少到， 此时， 解得：， ， ． 故答案为：． 45．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图1，已知三角形中，为边上的高，P是上一动点，沿由B向C运动，连接，在这个变化过程中设，且把x看成自变量． (1)设三角形的面积为s，图2刻画的是s随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： ①图中M点代表的意义是_________________________； ②三角形的高的长为_____________； ③写出s与x的关系式_____________； ④a的值为_____________； (2)设三角形的面积为y，写出y与x的关系式_____________． 【答案】(1)①时，的面积为10；②4；③；④6 (2) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． （1）①M点代表的意义是：时，的面积为10，即可求解；②时， ，即可求解；③，即可求解；④ ，即可求解； （2）根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：①M点代表的意义是：时，的面积为10， 故答案为：时，的面积为10； ②时，，则， 故答案为：4； ③， 故答案为：； ④，解得：，即， 故答案为：6； （2）解：，即 易错必刷题十六、正比例函数的图像与性质 46．（23-24八年级下·全国·课后作业）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：A、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，故不合题意； B、，，则经过一、三、四象限，经过一、三象限，故不合题意； C、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，故符合题意； D、若，，则经过二、三、四象限，经过一、三象限，故不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 47．（23-24八年级下·四川攀枝花·阶段练习）下图表示一辆汽车行驶的路程与耗油量的关系．    （1）这辆汽车行驶的路程与耗油量之间成 比例关系． （2）如果汽车行驶500千米，耗油 升． 【答案】 正 40 【分析】（1）根据耗油量与所驶的路程的比值，可得行驶的路程与耗油量成正比例； （2）由图象可知，每行驶，耗油为，据此可得结果． 【详解】解：（1）这辆汽车行驶的路程与耗油量之间成正比例关系； 故答案为：正； （2）由图象可知，每行驶，耗油为， ， 即汽车行驶500千米，耗油40升． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了函数的图象，理清题意，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键． 48．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数图象经过点(-1，2). (1)求此正比例函数的表达式; (2)画出这个函数图象; (3)点(2,-5)是否在此函数图象上？ (4)若这个图象还经过点A(a，8)，求点A的坐标. 【答案】见解析. 【详解】试题分析：(1)设函数关系式为y=kx，将点（-1，2）代入可得出k的值． (2)找出图象过的两个点，画图. (3)将点（2，-5）代入，看能否满足函数解析式，继而可作出判断． (4)将x=a,y=8代入函数关系式求得 解：(1)设函数关系式为：y=kx， 则-k=2，即k=-2， 故可得出正比例函数关系式为：y=-2x； (2)直线y=-2x过(0，0)，(1，-2)所以作图得： (3)将点（2，-5）代入，左边=-5，右边=-4，左边≠右边， 故点（2，-5）不在此函数图象上． (4)将A点代入得:-2a=8,所以a=-4,所以A(-4,8) 易错必刷题十七、列一次函数解析式并求值 49．（23-24八年级下·全国·课后作业）在计算器上按照下面的程序进行操作： 下表分别是x和输入的6个数及相应的计算结果 x -2 -1 0 1 2 3 y -5 -2 1 4 7 10 当从计算器上输入的x的值为-10时，则计算器输出的y的值为（    ） A．-26 B．-30 C．26 D．-29 【答案】D 【分析】根据表格中数据求出x、y之间的关系就可以解决这个问题． 【详解】根据表格中数据分析可得：x与y之间的关系为y=3x+1， 当x=-10时，y=-10×3+1=-29． 故选D． 【点睛】考查学生的分析、归纳能力、观察能力，解题关键是用函数的描述x、y的关系． 50．（23-24八年级下·四川眉山·期中）某人购进一批苹果到市场上零售，已知卖出苹果数量x与售价y的关系如下表． 数量x（千克） 1 2 3 4 5 售价y（元） 3+0.1 6+0.2 9+0.3 12+0.4 15+0.5 则当卖出苹果数量为10千克时，售价y为 元． 【答案】31 【分析】根据图表中数据可得出，y与x的函数关系进而得出答案． 【详解】由图表可得出：y＝3x＋0.1x＝3.1x． 当x＝10时，y＝3.1×10＝31， 故答案为：31． 【点睛】本题考查函数关系式，能够得出正确的数据变化规律是解题关键． 51．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为． (1)求与的关系式； (2)当点运动到的中点时，的面积是多少？ (3)若的面积为，则的长为多少？ 【答案】(1) (2)点运动到的中点时，的面积为 (3)当的面积为时，的长为 【分析】对于（1），根据三角形的面积公式用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将代入关系式计算即可； 对于（3），将代入关系式求出x即可． 【详解】（1），所以与的关系式为； （2）当时，， 所以点运动到的中点时，的面积为； （3）当时，，解得， 所以当的面积为时，的长为． 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，求自变量，求函数值等，准确的计算是解题的关键． 易错必刷题十八、根据一次函数的定义求参数 52．（23-24八年级下·四川资阳·期末）当为何值时，函数是一次函数（    ） A．2 B．－2 C．－2和2 D．3 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义列方程求解即可． 【详解】∵函数是一次函数， ∴3-|m|=1且m-3≠0， ∴m=±2且m≠3， ∴m的值为2或-2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 53．（23-24八年级下·重庆·期中）函数是y关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义，需要注意x前面的系数不能为0．根据一次函数的定义求出m的值． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， ∴． 故答案是：． 54．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点； (2)为何值时，它的图象经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及性质． （1）把原点坐标代入解析式得到，而，所以； （2）把代入解析式得到关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：把代入解析式得：， 解得：， ， ； （2）解：把代入解析式得：， 解得：． 易错必刷题十九、根据一次函数解析式判断其经过的象限 55．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数，且，得出随的增大而减小，令，得出一次函数与轴交于点，它的图象经过第一、二、四象限，当时，则，即可作答． 【详解】解：∵一次函数，且， ∴随的增大而减小，故B选项不符合题意； 令时，则，即一次函数与轴交于点， 故A选项符合题意； 则一次函数经过第一、二、四象限，故D选项不符合题意； ∵一次函数的随的增大而减小， ∴令时，则， ∴当时，则，故C选项不符合题意； 故选：A． 56．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）一次函数的图象经过第 象限． 【答案】一、二、四 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，，过二、四象限，，与y轴交于正半轴，综合来看即可得到结论． 【详解】解：一次函数中，， 图象过一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 57．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B，求m的取值范围． 【答案】m＞3． 【分析】根据一次函数图象所经过的象限得到关于的不等式，解不等式组即可． 【详解】解：如图，一次函数图象经过第一、三、四象限， ， 解得． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 易错必刷题二十、根据一次函数增减性求参数 58．（2024八年级下·全国·专题练习）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象的增减性来确定的符号，从而求得k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 59．（23-24八年级下·广西桂林·期中）已知一次函数，当时，y的最大值为12，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质得出当时，y的最大值为12，代入求解即可 【详解】解：一次函数， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵当时，y的最大值为12， ∴当时，， 解的：， 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数的性质，利用函数的增减性得出函数的最值，是解题关键． 60．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知，函数，试回答： (1)k为何值时，图象过原点？ (2)已知y随x增大而增大，求k的取值范围； (3)函数图象与y轴的交点在x轴下方，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将(0，0)代入，解出k的值即可； （2）根据一次函数的增减性结合题意可得出，解出k的解集即可； （3）根据函数图象与y轴的交点在x轴下方，即得出，解出k的解集即可． 【详解】（1）当函数图象过原点时，即点(0，0)在函数图象上， ∴可将(0，0)代入，得： 解得：； （2）∵y随x增大而增大， ∴， 解得：； （3）∵函数图象与y轴的交点在x轴下方 ∴， 解得：． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键． 易错必刷题二十一、一次函数与方程、不等式问题 61．（23-24八年级下·四川乐山·期末）在同一坐标系中，画出函数与的图像，观察图像写出当时，的取值范围. 【答案】画图见解析，当时，的取值范围为 . 【分析】利用两点法作出一次函数的图象，根据图象直接确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系 当，则；当，则，即； 所以过，画该直线，（如图） 当，则； 所以过，画该直线.（如图） ∵， 解得， ∴两直线的交点为，如上图所示； 根据图象当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及根据两条直线的交点求不等式的解集等知识内容，作一次函数的图象时，可以利用两点法作图． 62．（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 63．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）我们曾探究过“以方程 的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．规定：以方程 的解为坐标的所有点的全体叫做方程． 的图象；结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线示例：如图1，我们在画方程 的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程中的两个二元一次方程的图象． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ； 【拓展延伸】 （3）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程 的图象 和 的图象 ，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组 的解的情况 ． 【答案】（1）见解析；（2），，（3）无解． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是关键． （1）利用描点法画出两条直线图象即可； （2）利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到方程组的解； （3）根据图象，两直线没有交点，方程组无解即可． 【详解】解：（1）如图示：    （2）观察图象，两条直线的交点坐标为，由此你得出这个二元一次方程组的解是； 故答案为：，； （3）根据图象，两直线没有交点，方程组无解． 故答案为：无解． 易错必刷题二十二、一次函数图象与坐标轴的交点问题 64．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中， ， 即， 解得：， ． 故选：B． 65．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则该直线的表达式是 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得直线与y轴交于或，利用待定系数法分别求得解析时即可． 【详解】直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3， 直线与y轴交于或， 当直线经过和时，代入直线中， ，解得， 直线解析式为：； 当直线经过和时，代入直线中， ，解得， 直线解析式为：； 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数的性质、待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 66．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)已知在x轴上存在一点P，使得的面积为5，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了求出一次函数图象与x轴和y轴的交点，直线围成的三角形面积，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据一次函数解析式分别求出点A、B的坐标即可； （2）根据的面积为5，得出，求出，根据A点坐标为，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴； 把代入得：， ∴； （2）解：∵的面积为5， ∴， 又∵， ∴． ∵A点坐标为， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 易错必刷题二十三、一次函数图象平移问题 67．（23-24八年级下·全国·期中）对于直线的图象，下列说法正确的是（    ） A．可以由直线沿轴向下平移4个单位得到 B．与直线互相平行 C．与直线的交点为 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，两条直线平行的条件等知识．利用一次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：A选项的说法错误，应该是可以由直线沿轴向上平移4个单位得到； B选项的说法错误．的值不同，两直线不平行； C选项的说法错误．联立得，解得，则， 与直线的交点为； D选项的说法正确． 故选：D． 68．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将直线向下平移3个单位得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的表达式为 ．    【答案】/ 【分析】首先根据一次函数图像，利用待定系数法，求出直线的解析式，再根据一次函数图像的平移，得到一次函数解析式． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 向下平移个单位，得到解析式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的解析式和函数图像的平移，解本题的关键在熟练掌握用待定系数法求正比例函数解析式和函数图像平行的方法．一次函数图像平移口诀：上加下减，左加右减． 69．（23-24八年级下·山西长治·期末）已知直线:y=x-3分别与x轴，y轴交于A、B两点． (1)在网格中用两点法画出直线； (2)将直线向上平移6个单位后得到直线，画出平移后的直线． 【答案】（1）图见解析（2）y＝x＋3，图见解析 【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （2）根据图象平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】（1）当y＝0时，0＝x−3，解得：x＝6，所以点A的坐标为（6，0）； 当x＝0，y＝−3，所以点B的坐标为（0，−3）． 直线l1的图象如图所示： （2）将直线l1向上平移6个单位后得到直线l2，直线l2的函数解析式为：y＝x−3＋6，即y＝x＋3． 直线l2的图象如图所示： 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，三角形的面积，利用图象平移的规律是解题关键． 易错必刷题二十四、一次函数的规律探究问题 70．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 温度/°F 144 76 152 78 160 80 168 82 176 84 如果这种数量关系不变，那么当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（    ） A．178 B．184 C．192 D．200 【答案】D 【分析】根据表中的数据可知，温度每升高2°F，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次，据此列式计算即可． 【详解】解：由表中的数据可知，温度每升高2°F，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次， 故当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数为：176＋8×＝176+24=200（次）， 即当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是200， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了规律探究及函数的表示方法，理清题意正确列出算式是解答本题的关键． 71．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了直线与坐标轴之间的关系．根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可． 【详解】解：如图，过点作轴于， 将代入直线解析式中得， ，， ， ， ， ， 的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 的坐标为， 故答案为：． 72．（2024八年级下·全国·专题练习）小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究． (1)列表：下表列出了与的几组对应值，请写出，的值：________，n=________； x … … … … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； 【答案】(1)， (2)见详解 (3)①② 【分析】本题考查了通过作函数图象，通过图象来研究函数性质，自变量取值范围、对称性、增减性，掌握函数性质是解题的关键． （1）将，代入函数解析式即可求解； （2）用光滑的曲线顺次连接起来，即可求解； （3）①由得，分母不为，即可求解；②由表格可得第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，即可求解； 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ； 故答案：，． （2）解：如图，用光滑的曲线顺次连接起来， （3）①解：由得 自变量x的取值范围是， 故答案：； ②解：由表格得： 与，与，与，， 第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数， 函数图像关于点中心对称， 故答案：． 易错必刷题二十五、分式加减的实际应用 73．（23-24八年级下·全国·课后作业）临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名．如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少元？ 【答案】元． 【分析】甲厂员工原来支付元，乙厂有3名同乡员工也随车返乡后甲厂员工支付元，根据题意做减法即可． 【详解】解：由题意可得：甲厂员工原来支付元， 乙厂有3名同乡员工也随车返乡后甲厂员工支付元， 甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元． 【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出平均每人分担的车费数是解题关键． 74．（23-24八年级下·全国·课后作业）某人沿一条河顺流游泳，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为，水流速度为． （1）求他来回一趟所需的时间t； （2）用t，x，n的代数式表示l 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）已知某人在静水中游泳速度为 ，水流速度为 ，可得顺流速度为:,逆流速度为： ，结合游泳距离，根据：来回一趟所需时间 顺流游一趟所用的时间 逆流游一趟所用的时间，列出整理即可得出答案； （2）由（1）所得的等式，利用等式的基本性质，变形即可得出答案． 【详解】解：（1）顺流的实际速度 静水中的速度 水流速度；逆流的实际速度静水中的速度水流速度，所以顺流速度为： ，逆流速度为：， ； （2）由（1）得： 即 ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算及等式的基本性质的实际应用，灵活运用相关知识是解题的关键． 75．（23-24八年级下·山西晋城·期中）【阅读材料】 我们可以将一些只含有一个字母，且分子、分母的次数都为一次的分式进行变形，转化为整数与新的分式和的形式，其中新分式的分子不含字母．如： ； ； …… 【问题解决】 利用上述材料中的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：____； (2)将变形为满足以上结果要求的形式：____； (3)若为整数，且m也为整数，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先变形得出＝，再求出答案即可； （2）先变形得出，再求出答案即可； （3）先变形得出，根据已知条件得出，m－1＝，再求出答案即可． 【详解】（1）解：＝＝1－； 故答案为：1－ （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意可得， ∵为整数，且m也为整数， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了分式的加减，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键． 易错必刷题二十六、分式方程的综合应用 76．（23-24八年级下·四川·单元测试）小丽的妈妈先用元买某件小商品若干件，后来又用元买同样的小商品，这次比上次多件，而且店家给予优惠，每件降价元．请问第一次她买了多少件小商品？ 【答案】10件 【分析】利用两次购买小商品的数量相差20件列方程求解即可．本题考查了分式方程的应用，题目中的等量关系比较明显，比较容易列出方程求解． 【详解】解：设每件小商品的单价为元， 根据题意得：， 解得：或（舍去） 经检验是原方程的根， （件 答：第一次她买了10件小商品 77．（23-24八年级下·四川巴中·期中）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)乙队单独完成这项工程需90天，则甲队单独完成这项工程需60天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元 【分析】本题考查了分式方程的应用： （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量工作效率工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程需天，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：乙队单独完成这项工程需90天，则甲队单独完成这项工程需60天； （2）解：工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元，理由： 设两队合作y天完成，根据题意得： ， 解得：， 此时元元， 所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元． 78．（23-24八年级下·重庆·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通讨路段的1.2倍． (1)求李老师通过路段的平均速度． (2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通讨地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围． 【答案】(1)李老师通过路段的平均速度为 (2)李老师通过路段的速度应大于小于 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为，利用时间路程度数，结合李老师用2小时通过路段，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油，根据“李老师要在中午前通过地，同时通过地时燃油未耗尽”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：李老师通过路段的平均速度为； （2）解：共，． 设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油， 根据题意得：， 解得：． 答：李老师在路段的平均时速大于小于． 易错必刷题二十七、求一次函数解析式 79．（24-25八年级下·全国·单元测试）一个长为，宽为的长方形，当宽固定不变，将长增加时，其面积随变化的图象如图所示．如果固定其长不变，将宽增加，则其面积随变化的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是求出a、b的值，并求出关键点时矩形对应的面积．先利用待定系数法求出图中直线解析式，结合解析式可求出矩形的长a和宽b的值；根据固定其长不变，将宽增加x，求出S随x变化的表达式，并求出当时，S的值，再结合选项即可得出结论． 【详解】解：设图中所给直线的解析式为， 则直线过点， ∴， 解得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当固定其长a不变，将宽b增加x时， ， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：D． 80．（23-24八年级下·全国·单元测试）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出了相应的两个一次函数图象如图所示，则他解的这个方程组是 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法分别求出解析式即可得到答案． 【详解】解：设过点的直线解析式为， ∴，解得， ∴； 设过点的直线解析式为， ∴，解得， ∴， ∴他解的这个方程组是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，正确理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 81．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知小明的家、体育场、青少年活动中心在同一条笔直的道路上.图中反映的是小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到青少年活动中心去看书画展览，然后散步回家的过程.图中x（单位：min）表示小明离家后的时间，y（单位：km）表示小明离家的距离，请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空: ①小明在青少年活动中心停留了______min; ②小明从家到体育场的平均速度为______km/min; ③小明从青少年活动中心回家的平均速度为______km/min; ④在全过程中，当小明离家的距离为0.6km时，他离开家的时间为______min． (2)当时，请直写出y与x的关系式． 【答案】(1)①25，②，③，④9或42 (2)当时，；当时， 【解析】略 易错必刷题二十八、根据反比例函数的定义求参数 82．（2025·重庆·一模）已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】双曲线上的点的横、纵坐标之积为定值，据此逐项判断即可．本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为定值． 【详解】解：点在双曲线上，， A，，不在此双曲线上； B，，在此双曲线上； C，，不在此双曲线上； D，，不在此双曲线上； 故选B． 83．（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据反比例函数的定义，即只需令即可． 【详解】解：根据题意， ∴． 故答案为：． 84．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）已知反比例函数．若它的图象在每一象限内的值随值的增大而增大，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得出，，解方程和不等式即可得到答案． 【详解】解：是反比例函数， ， 整理得， 解得：； 由题意知，函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴． 易错必刷题二十九、由反比例函数值求自变量 85．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数图象所在象限及增减性分别求解即可． 【详解】解：当时，函数的图象在第一象限，； 当时，函数的图象在第三象限，y随x的增大而减小， 令， 解得， , 综上可得，当时，x的取值范围是或． 故选D． 86．（2024·吉林长春·一模）如图，A，是反比例函数图象上的两点，连接，，过点A作轴于点，交于点，若为的中点，的面积为2，点的坐标为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数中k的几何意义以及反比例函数图象上点的特征，先根据求得的面积，再根据反比例函数中系数k的几何意义求出k值，进而得出反比例函数解析式，将点B坐标代入解析式即可求解m值． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入中，得， ∴， 故答案为：． 87．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）在坐标系中描点连线即可； （2）根据图象猜测是反比例函数，利用待定系数法求解； （3）将代入（2）中结论，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可画出图象如下： （2）解：猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，设函数关系式为， ∵当时，， ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：当时， 解得， 即活动托盘B与点O的距离是． 易错必刷题三十、已知反比例函数的图象，判断其解析式 88．（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴当时，或． 故选：A． 89．（2024·山西临汾·模拟预测）反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过、两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在二、四象限， ∴． 故答案为：． 90．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 易错必刷题三十一、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 91．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为原点． 根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【详解】解： 反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 它的另一个交点的坐标是． 故选：C． 92．（2024·四川遂宁·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 93．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，其中点的横坐标为4，过点作轴于点，连接．    (1)求的面积； (2)在轴上有一点，若，求点的坐标； (3)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)4 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）根据反比例函数解析式求得点的坐标，进而求得的坐标，根据点与点关于原点对称，求得点的坐标，进而即可求解； （2）根据，得出，即可求解； （3）根据函数图象直接求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 点的坐标为． 轴于点， 点的坐标为   正比例函数与反比例函数的图象交于点，， 点与点关于原点对称． 点的坐标为． ． （2）， ． ． 点在轴上， 点的坐标为或． （3）根据函数图象，可得关于的不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，数形结合，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 易错必刷题三十二、添一个条件成为平行四边形 94．（24-25八年级下·全国·单元测试）在四边形中，对角线，相交于点，且．添加下列条件：①；②；③；④．其中，能判定四边形是平行四边形的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：①，，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形； ②，，不能判定四边形为平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形； ③∵， ，， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形； ④，，不能判定四边形为平行四边形； 能判定四边形是平行四边形的①③．    故选：C． 95．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，分别是，上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是 （答案不唯一）． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：添加的条件是，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 96．（23-24八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、EC、CF、FA． (1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个） (2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形． 【答案】(1)BE＝DF； (2)见解析 【分析】（1）本题答案不唯一，可以添加BE=DF； （2）根据平行四边形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，然后求出EO＝FO，再利用平行四边形判定定理证明． 【详解】（1）添加BE＝DF，使四边形AECF是平行四边形； 故答案为：BE＝DF； （2）证明：如图，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 易错必刷题三十三、求反比例函数解析式 97．（2025·四川宜宾·一模）已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数解析式求函数值，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入解析式得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得， 表中“”处的数为， 故选：D． 98．（2025·四川遂宁·一模）随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， ， 解得：， 当时 （）， 故答案为：． 99．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象过线段的端点，且轴． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接并延长交反比例函数的图象于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而求出直线的解析式，平行得到，求出点坐标，进而求出线段的长即可． 【详解】（1）将点代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵将代入，解得， 设直线解析式为：，将代入，解得， ∵轴，， ∴，解得， ∴点的坐标为， ∴． 易错必刷题三十四、已知反比例函数的增减性求参数 100．（23-24八年级下·四川眉山·期中）若函数是反比例函数，且时，随的增大而减小，则的值是（    ） A． B．1 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义和性质，先根据反比例函数的定义求出n可能的值，再根据反比例函数的性质确定答案． 【详解】∵是反比例函数， ∴， 解得． ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴反比例函数的图象一支位于第一象限， 则， ∴． 故选：B． 101．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）反比例函数在某象限内y随x的增大而增大．则任意写出一个符合条件的k值 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数在某象限内随的增大而增大， ∴， ∴， 则任意写出一个符合条件的值为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 102．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）已知反比例函数．若它的图象在每一象限内的值随值的增大而增大，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得出，，解方程和不等式即可得到答案． 【详解】解：是反比例函数， ， 整理得， 解得：； 由题意知，函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴． 易错必刷题三十五、已知比例系数求特殊图形的面积 103．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，并根据面积关系得出方程是解题的关键． 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， ∴． 故选：B． 104．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，过 轴上任意一点 ，作 轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点 和点 ，若点 为 轴上任意一点，连接 ，，则 的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点和其系数k的几何意义，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的基本知识是解题的关键．设，则易得点A、B的坐标，于是可得的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵直线轴， ∴A，两点的纵坐标都为，而点A在反比例函数的图象上， ∴当时，，即A点坐标为， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，，即点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：2． 105．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 易错必刷题三十六、一次函数的实际综合应用 106．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）开封某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要12元；方案二：学校自己制作，每件需要8元，但另外需要制作工具的租用费240元．设需要仪器件，方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)分别求出关于的函数关系式． (2)若学校需要仪器70件，采用哪种方案更划算？ 【答案】(1)， (2)采用方案二更划算 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，求正比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方案一和方案二的描述，分别列式，即可作答． （2）把分别代入中，算出，然后比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：∵方案一：到商店购买，每件需要12元， ∴； ∵方案二：学校自己制作，每件需要8元，但另外需要制作工具的租用费240元． ∴； （2）解：依题意，把分别代入中， 得，． ∵， ， 若学校需要仪器70件时，采用方案二更划算． 107．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间距离是 ， ； (2)结合图象，求线段所在直线的解析式？ (3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 【答案】(1)60，1 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查行程问题，函数图象获取形象，一次函数图象的运用，理解函数图象，掌握一次函数解决实际问题的方法，正确列方程求解是关键． （1）根据函数图象，行程的数量关系求解即可； （2）直线经过点，且，运用待定系数法即可求解； （3）运用待定系数法分别得到线段的解析式为，线段的解析式为，根据函数图象，分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地， 根据图示可得，货车从的时间为， ∴两地之间的距离为， ∴， ∴货车从的时间为， 故答案为：，； （2）解：一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车开始出发， ∴直线经过点，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴线段所在直线的解析式为； （3）解：设线段的解析式为，， ∴， 解得，， ∴线段的解析式为， 货车去时与巡逻车相遇前，两车相距， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）； 货车去时与巡逻车相遇后，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； 设线段的解析式为，且， ∴， 解得，， ∴线段的解析式为， ∴当货车返回时未相遇时，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； ∴当货车返回时相遇后，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； 综上所述，当或或时，两车相距． 108．（2025·陕西汉中·模拟预测）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如下表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m应为多少？ 【答案】(1)图见详解，一次 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． (1)根据表格中的数据，可以得到R与m符合初中学习过的哪种函数关系； (2)根据(1)中的结果，可以设出相应的函数解析式，然后根据表格中的数据，即可得到关于m的函数关系式； (3)将代入(2)中的函数关系式，即可得到人的质量m应为多少． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示： 由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系， 故答案为∶一次； （2）解：设R关于m的函数关系式为， 将代入， 得， 解得， 即R关于m的函数关系式为， 验证：当时，满足关系式； （3）解：当时，， 解得，， 即当可变电阻R为时，人的质量m应为． 易错必刷题三十七、一次函数与反比例函数的交点问题 109．（24-25八年级下·四川攀枝花·阶段练习）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得点A的横坐标为2，因为正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，故点B的横坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点B的横坐标为， 则当时，x的取值范围是或， 故选：B 110．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若直线（）与函数（）的图象交于点，，则当时，对应的的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，根据直线（）与函数（）的图象交于点，，且结合数形结合思想进行作答即可． 【详解】解：直线（）与函数（）的图象，如图所示： ∵直线（）与函数（）的图象交于点，， ∴结合图象得，当时，对应的的取值范围是或， 故答案为：或 111．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出：当时，x的取值范围． (3)连接，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)或 (3)6 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． （1）将点代入得，进而可得反比例函数的表达式，将代入即可得出一次函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交于点，结合函数的图象即可得出当时，x的取值范围； （3）设一次函数与与y轴交于点C，则点，由此根据可得出答案． 【详解】（1）解：点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或； （3）解：设一次函数图象与y轴交于点C，如图所示： 对于，当时，， ∴点C的坐标为， ， 点， ． 易错必刷题三十八、一次函数与反比例函数的实际应用 112．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【答案】(1)， (2)有效的消毒作用时长为小时； (3)至少需要经过8小时后，学生才能进入教室 【分析】（1）根据函数图象信息，待定系数法求解析式即可，注意相应的自变量取值范围； （2）计算当时，求反比例函数的值即可； （3）计算当时，求反比例函数的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 设正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：， 将分别代入，， 解得：， ∴，； （2）解：当时，，， 解得，， ∴（小时）． ∴有效的消毒作用时长为小时； （3）解：当时，， 解得， ∴至少需要经过8小时后，学生才能进入教室． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、反比例函数解析式，从函数图象上获取信息，反比例函数图象的实际意义，理解图象信息是解题的关键． 113．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 114．（23-24八年级下·广西桂林·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 易错必刷题三十九、利用平行四边形的判定与性质求解 115．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在菱形中，，．点为边中点，连接，过点作，且，连接，则四边形的面积为(   ) A． B． C． D．18 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理；连接，，过作于，由菱形的性质推出，，，判定是等边三角形，得到，由勾股定理求出，得到的面积，于是的面积的面积，判定四边形是平行四边形，得到四边形的面积． 【详解】解：连接，，过作于， 四边形是菱形， ，，， 是等边三角形， ， ， ， 的面积， ， 的面积的面积， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积． 故选：C． 116．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿边向点C运动，点E运动速度为，点F的运动速度为，它们同时出发，同时停止运动，经过 s时，． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及平行四边形的判定与性质．当运动时间为时，，，先得出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为时，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 117．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线．设交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点O在边上运动到的中点时，四边形是矩形．理由见解析 【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可证得，则，同理，即可得出结论； （2）利用勾股定理可求得的长，再结合（1）的结论可求得的长； （3）只要保证四边形是平行四边形即可，则可知为的中点时，满足条件． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：、分别平分和， ，， ， ， ， 即的长为6.5； （3）解：当在的中点时，四边形是矩形，理由如下： 当为中点时，则， 由（1）可知，， ， 四边形为平行四边形，， ， 平行四边形为矩形． 易错必刷题四十、利用平行四边形性质和判定证明 118．（23-24八年级下·福建漳州·期中）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（   ） A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此可得答案． 【详解】解：∵甲测量出两组对边分别相等， ∴该地板砖是平行四边形， ∴当一组邻边相等时，该地板砖是菱形， ∴乙测量出一组邻边相等， 故选：B． 119．（23-24八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形和四边形都是平行四边形，可推出4个结论是否成立． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， 四边形和四边形等底等高， ，故③正确； 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，故④错误； 故答案为：①②③． 120．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组提出了以下问题：如图，的对角线与相交于点，点分别在和上． 问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？ 问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？ 请你选择其中一个问题完成，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质及判定方法是解题的关键． 选择问题1：当时，可证，结合平行四边形的性质得到，则，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； 选择问题2：当时，有平行四边形的性质得到，再由线段和差得到，根据对角线相互平分的四边形平行四边形即可求解． 【详解】解：选择问题1：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： ∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选择问题2：当时，四边形是平行四边形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形．（方法合理即可） 易错必刷题四十一、平行四边形性质和判定的应用 121．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 122．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行分线段成比例定理得出即可求解． 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以，，四边形为平行四边形， 所以，， 又，，， 则， 则． 故答案为：3． 123．（23-24八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 1．（2025·河南周口·一模）化简的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的加减，关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则．根据同分母分式的加减运算法则进行计算，即分母不变，分子相加减，最后再约分即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（23-24八年级下·四川眉山·期末）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程是解题的关键．根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天，根据题意列方程得，解答即可． 【详解】解：根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天， 根据题意列方程得， 故选：A． 3．（2025·四川宜宾·一模）如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴得出坐标轴如图所示位置： ∴点的坐标为． 故选：D． 4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征及寻找数据的规律． 根据和求出点，，，，的坐标，再结合反比例函数的性质求出点，，，，的坐标即可求解． 【详解】解：∵点，， ，，，，． ∵点，，，，在反比例函数的图象上， ，，，，， ，，， 当时，． 故选：A． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心，逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心， 则有：（1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点，故（1）正确； （2）是的对角线，所以直线必经过点O，故（2）正确； （3）四边形是中心对称图形，故（3）正确； （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，故（4）正确； （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和成中心对称，故（5）正确； 综上所述，正确的有5个． 故选：C． 6．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，用科学记数法表示这个半径为 米． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·山西长治·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．先求解方程，然后将分式方程的增根代入求解即可． 【详解】解：关于的分式方程有增根， 解得， 分式方程有增根， 故答案为：． 8．（2025·陕西汉中·一模）中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，根据一个木构件的长度为6，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加5，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，反比例函数和在第一象限内的图象分别是和．设点在上，过点作轴，垂足为，交于点，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：已知比例系数求特殊图形的面积，根据的几何意义，得出，再结合的面积为，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数和在第一象限内的图象分别是和．设点在上，过点作轴，垂足为，交于点， ∴， 则的面积为， 故答案为：3 10．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 11．（2025·河南周口·一模）解决下列问题： (1)计算：； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查乘方，立方根，零次幂，负指数幂，分式的乘除混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，立方根，零次幂，负指数幂，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）人间最美三月三．某校组织开展三月三踏青实践活动．踏青地点距离学校，甲、乙两名同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的，结果甲比乙晚到，分别求甲、乙两名同学骑自行车的速度． 【答案】甲同学骑自行车的速度为，乙同学骑自行车的速度为 【分析】设乙同学骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为．根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合題意． 当时，． 答：甲同学骑自行车的速度为，乙同学骑自行车的速度为． 13．（24-25八年级下·四川巴中·阶段练习）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知． (1)求该反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）把点代入反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解反比例函数解析式，将一次函数，反比例函数联立方程组求解得到点B的坐标； （2）根据一次函数与坐标轴的交点得到，由的面积的面积的面积即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， ； （2）解：∵当时，， ∴一次函数交轴于点，又，， ∴的面积的面积的面积． 14．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个? 请选择其中一个进行证明； (2)与的面积相等吗? 请说明理由． 【答案】(1)平行四边形，平行四边形，证明见解析 (2)相等，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等． （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等即可证明． 【详解】（1）（1）图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形， 理由是：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）知四边形是平行四边形， ∴ ， ∴． 15．（2025·福建厦门·模拟预测）综合与实践 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式； 【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？ 【答案】（1）见解析 ；（2）；（3）圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题： （1）将各点在坐标系中直接描出，再用光滑的线连接即可； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）令，求出x的值，即可求解． 【详解】解：（1）画出函数图象，如下：    （2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为． 点、在该图象上 ，解得， 与之间的函数表达式为． （3）当时，即， 解得：， 则 ∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之易错必刷题型（138题41个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、分式的求值 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知非零实数，满足，则的值等于 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，求的值． 易错必刷题二、最简分式 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）分式 化为最简分式的结果是 ． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）将下列分式约分: （1）； （2）； （3）； （4）． 易错必刷题三、分式加减乘除混合运算 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）在计算时，嘉嘉和琪琪使用的方法不同，但计算结果相同，则（   ） 嘉嘉：原式． 琪琪：原式． A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 8．（23-24八年级下·广西崇左·期末）当非零实数，满足时，的值为 ． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． (1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值． 易错必刷题四、解分式方程 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）分式方程的解是（　　） A． B． C． D．无解 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集是，则 ． 12．（24-25八年级·全国·周测）解方程： (1)； (2)． 易错必刷题五、根据分式方程解的情况求值 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B．0 C．3 D．0或3 14．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）关于的分式方程无解，则的值为 ． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和是多少？ 易错必刷题六、零指数幂与负整数指数幂 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）的计算结果是（   ） A． B． C．8 D．16 17．（23-24八年级下·河南新乡·期末）计算： ． 18．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）计算：． 易错必刷题七、分式方程无解问题 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．2或 B． C．2或1 D． 20．（23-24八年级·全国·单元测试）若以x为未知数的方程无解，则 . 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 易错必刷题八、分式的规律性问题 22．（23-24八年级下·四川乐山·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（    ） A．升 B．升 C．0升 D．升 23．（2024八年级下·全国·专题练习）给定一列分式：，，，﹣，……，（其中x≠0）用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是____；根据你发现的规律，试写出第9个分式_____． 24．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 易错必刷题九、函数的三种表示方法 25．（23-24八年级下·吉林长春·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门，水池里的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间（min） 1 2 3 4 … 水池里的水量（） 48 46 44 42 … A．水池里的水量是因变量 B．放水10分钟，水池里的水量是 C．每分钟放水 D．放水25分钟，水池里的水恰好全部放完 26．（2024八年级下·全国·专题练习）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 27．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 …    (1)上表变量之间的关系中自变量是______，因变量是______； (2)弹簧不悬挂重物时的长度为______；物体质量每增加1，弹簧长度y增加______； (3)当所挂物体质量是时，弹簧的长度是______cm； (4)直接写出y与x的关系式：______． 易错必刷题十、求自变量的取值范围 28．（2024八年级下·全国·专题练习）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·四川眉山·期末）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，汽车行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系如表，由表格中的数量关系可知，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系式为 ． x（小时） 0 1 2 3 y（升） 100 92 84 76 30．（23-24八年级下·全国·课后作业）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0≤x≤30） 提出概念所 用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用时间是5分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？ （4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 易错必刷题十一、写出直角坐标系中点的坐标 31．（24-25八年级下·全国·单元测试）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知点到轴的距离为，到轴距离为，且在第三象限内，则点的坐标为 ． 33．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“友好距离”，给出如下定义：若，则点与点的“友好距离”为；若，则点与点的“友好距离”为．已知点A的坐标为，B为y轴上的一个动点． (1)若点A与点B的“友好距离”为3，写出满足条件的点B的坐标：________________________； (2)求点A与点B的“友好距离”的最小值． 易错必刷题十二、坐标与图形 34．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图所示，正方形的边长为4，顶点A的坐标是，平行于x轴，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，，线段与轴平行，则点的坐标可能是 （写出一个即可）． 36．（24-25八年级下·全国·课后作业）四边形各个顶点的坐标分别为． (1)如下图，在平面直角坐标系中画出四边形； (2)求这个四边形的面积． 易错必刷题十三、已知点所在的象限求参数 37．（2025八年级下·全国·专题练习）如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 38．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ． 39．（24-25八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，将点M到x轴的距离记作，到y轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若点M在第二象限，且（m为常数），求m的值． 易错必刷题十四、点坐标规律探索 40．（23-24八年级下·福建漳州·期中）找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从运动到点，第次运动到点；第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，第次运动到点（   ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为． (1)将点向右和向下各平移一个单位所得的点的坐标为________ (2)点关于轴的对称点的坐标为________；线段的长为________； (3)在平面直角坐标系中标出点，所在位置，并求出四边形的面积． 易错必刷题十五、动点问题的函数图象 43．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图①，是半径为1的圆O上的两点，且．点P从点A出发，在圆O上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为t（单位：s），的长为y，那么图②中可能表示y与t之间的关系的图象是（    ） A．a B．a或c C．b或d D．c 44．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，为边上一点．现有点以的速度沿运动，到达点停止．的面积（单位：）与点运动的时间（单位：）的关系图像如图所示，则的值为 ． 45．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图1，已知三角形中，为边上的高，P是上一动点，沿由B向C运动，连接，在这个变化过程中设，且把x看成自变量． (1)设三角形的面积为s，图2刻画的是s随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： ①图中M点代表的意义是_________________________； ②三角形的高的长为_____________； ③写出s与x的关系式_____________； ④a的值为_____________； (2)设三角形的面积为y，写出y与x的关系式_____________． 易错必刷题十六、正比例函数的图像与性质 46．（23-24八年级下·全国·课后作业）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24八年级下·四川攀枝花·阶段练习）下图表示一辆汽车行驶的路程与耗油量的关系．    （1）这辆汽车行驶的路程与耗油量之间成 比例关系． （2）如果汽车行驶500千米，耗油 升． 48．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数图象经过点(-1，2). (1)求此正比例函数的表达式; (2)画出这个函数图象; (3)点(2,-5)是否在此函数图象上？ (4)若这个图象还经过点A(a，8)，求点A的坐标. 易错必刷题十七、列一次函数解析式并求值 49．（23-24八年级下·全国·课后作业）在计算器上按照下面的程序进行操作： 下表分别是x和输入的6个数及相应的计算结果 x -2 -1 0 1 2 3 y -5 -2 1 4 7 10 当从计算器上输入的x的值为-10时，则计算器输出的y的值为（    ） A．-26 B．-30 C．26 D．-29 50．（23-24八年级下·四川眉山·期中）某人购进一批苹果到市场上零售，已知卖出苹果数量x与售价y的关系如下表． 数量x（千克） 1 2 3 4 5 售价y（元） 3+0.1 6+0.2 9+0.3 12+0.4 15+0.5 则当卖出苹果数量为10千克时，售价y为 元． 51．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为． (1)求与的关系式； (2)当点运动到的中点时，的面积是多少？ (3)若的面积为，则的长为多少？ 易错必刷题十八、根据一次函数的定义求参数 52．（23-24八年级下·四川资阳·期末）当为何值时，函数是一次函数（    ） A．2 B．－2 C．－2和2 D．3 53．（23-24八年级下·重庆·期中）函数是y关于x的一次函数，则 ． 54．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点； (2)为何值时，它的图象经过点． 易错必刷题十九、根据一次函数解析式判断其经过的象限 55．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 56．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）一次函数的图象经过第 象限． 57．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B，求m的取值范围． 易错必刷题二十、根据一次函数增减性求参数 58．（2024八年级下·全国·专题练习）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则（    ） A． B． C． D． 59．（23-24八年级下·广西桂林·期中）已知一次函数，当时，y的最大值为12，则m的值为 ． 60．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知，函数，试回答： (1)k为何值时，图象过原点？ (2)已知y随x增大而增大，求k的取值范围； (3)函数图象与y轴的交点在x轴下方，求k的取值范围． 易错必刷题二十一、一次函数与方程、不等式问题 61．（23-24八年级下·四川乐山·期末）在同一坐标系中，画出函数与的图像，观察图像写出当时，的取值范围. 62．（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 63．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）我们曾探究过“以方程 的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．规定：以方程 的解为坐标的所有点的全体叫做方程． 的图象；结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线示例：如图1，我们在画方程 的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程中的两个二元一次方程的图象． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ； 【拓展延伸】 （3）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程 的图象 和 的图象 ，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组 的解的情况 ． 易错必刷题二十二、一次函数图象与坐标轴的交点问题 64．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 65．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则该直线的表达式是 ． 66．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)已知在x轴上存在一点P，使得的面积为5，则点P的坐标为 ． 易错必刷题二十三、一次函数图象平移问题 67．（23-24八年级下·全国·期中）对于直线的图象，下列说法正确的是（    ） A．可以由直线沿轴向下平移4个单位得到 B．与直线互相平行 C．与直线的交点为 D．当时， 68．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将直线向下平移3个单位得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的表达式为 ．    69．（23-24八年级下·山西长治·期末）已知直线:y=x-3分别与x轴，y轴交于A、B两点． (1)在网格中用两点法画出直线； (2)将直线向上平移6个单位后得到直线，画出平移后的直线． 易错必刷题二十四、一次函数的规律探究问题 70．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 温度/°F 144 76 152 78 160 80 168 82 176 84 如果这种数量关系不变，那么当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（    ） A．178 B．184 C．192 D．200 71．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 72．（2024八年级下·全国·专题练习）小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究． (1)列表：下表列出了与的几组对应值，请写出，的值：________，n=________； x … … … … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； 易错必刷题二十五、分式加减的实际应用 73．（23-24八年级下·全国·课后作业）临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名．如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少元？ 74．（23-24八年级下·全国·课后作业）某人沿一条河顺流游泳，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为，水流速度为． （1）求他来回一趟所需的时间t； （2）用t，x，n的代数式表示l 75．（23-24八年级下·山西晋城·期中）【阅读材料】 我们可以将一些只含有一个字母，且分子、分母的次数都为一次的分式进行变形，转化为整数与新的分式和的形式，其中新分式的分子不含字母．如： ； ； …… 【问题解决】 利用上述材料中的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：____； (2)将变形为满足以上结果要求的形式：____； (3)若为整数，且m也为整数，求m的值． 易错必刷题二十六、分式方程的综合应用 76．（23-24八年级下·四川·单元测试）小丽的妈妈先用元买某件小商品若干件，后来又用元买同样的小商品，这次比上次多件，而且店家给予优惠，每件降价元．请问第一次她买了多少件小商品？ 77．（23-24八年级下·四川巴中·期中）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 78．（23-24八年级下·重庆·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通讨路段的1.2倍． (1)求李老师通过路段的平均速度． (2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通讨地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围． 易错必刷题二十七、求一次函数解析式 79．（24-25八年级下·全国·单元测试）一个长为，宽为的长方形，当宽固定不变，将长增加时，其面积随变化的图象如图所示．如果固定其长不变，将宽增加，则其面积随变化的图象为（    ） A． B． C． D． 80．（23-24八年级下·全国·单元测试）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出了相应的两个一次函数图象如图所示，则他解的这个方程组是 ． 81．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知小明的家、体育场、青少年活动中心在同一条笔直的道路上.图中反映的是小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到青少年活动中心去看书画展览，然后散步回家的过程.图中x（单位：min）表示小明离家后的时间，y（单位：km）表示小明离家的距离，请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空: ①小明在青少年活动中心停留了______min; ②小明从家到体育场的平均速度为______km/min; ③小明从青少年活动中心回家的平均速度为______km/min; ④在全过程中，当小明离家的距离为0.6km时，他离开家的时间为______min． (2)当时，请直写出y与x的关系式． 易错必刷题二十八、根据反比例函数的定义求参数 82．（2025·重庆·一模）已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 83．（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 84．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）已知反比例函数．若它的图象在每一象限内的值随值的增大而增大，求的值． 易错必刷题二十九、由反比例函数值求自变量 85．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 86．（2024·吉林长春·一模）如图，A，是反比例函数图象上的两点，连接，，过点A作轴于点，交于点，若为的中点，的面积为2，点的坐标为，则的值为 ． 87．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 易错必刷题三十、已知反比例函数的图象，判断其解析式 88．（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 89．（2024·山西临汾·模拟预测）反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 90．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 易错必刷题三十一、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 91．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 92．（2024·四川遂宁·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 93．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，其中点的横坐标为4，过点作轴于点，连接．    (1)求的面积； (2)在轴上有一点，若，求点的坐标； (3)直接写出关于的不等式的解集． 易错必刷题三十二、添一个条件成为平行四边形 94．（24-25八年级下·全国·单元测试）在四边形中，对角线，相交于点，且．添加下列条件：①；②；③；④．其中，能判定四边形是平行四边形的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 95．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，分别是，上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是 （答案不唯一）． 96．（23-24八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、EC、CF、FA． (1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个） (2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形． 易错必刷题三十三、求反比例函数解析式 97．（2025·四川宜宾·一模）已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为（   ） A． B． C． D． 98．（2025·四川遂宁·一模）随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是 ． 99．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象过线段的端点，且轴． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接并延长交反比例函数的图象于点，求线段的长． 易错必刷题三十四、已知反比例函数的增减性求参数 100．（23-24八年级下·四川眉山·期中）若函数是反比例函数，且时，随的增大而减小，则的值是（    ） A． B．1 C． D．不能确定 101．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）反比例函数在某象限内y随x的增大而增大．则任意写出一个符合条件的k值 ． 102．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）已知反比例函数．若它的图象在每一象限内的值随值的增大而增大，求的值． 易错必刷题三十五、已知比例系数求特殊图形的面积 103．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 104．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，过 轴上任意一点 ，作 轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点 和点 ，若点 为 轴上任意一点，连接 ，，则 的面积为 ． 105．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 易错必刷题三十六、一次函数的实际综合应用 106．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）开封某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要12元；方案二：学校自己制作，每件需要8元，但另外需要制作工具的租用费240元．设需要仪器件，方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)分别求出关于的函数关系式． (2)若学校需要仪器70件，采用哪种方案更划算？ 107．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间距离是 ， ； (2)结合图象，求线段所在直线的解析式？ (3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 108．（2025·陕西汉中·模拟预测）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如下表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m应为多少？ 易错必刷题三十七、一次函数与反比例函数的交点问题 109．（24-25八年级下·四川攀枝花·阶段练习）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 110．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若直线（）与函数（）的图象交于点，，则当时，对应的的取值范围是 ． 111．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出：当时，x的取值范围． (3)连接，则的面积为______． 易错必刷题三十八、一次函数与反比例函数的实际应用 112．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 113．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 114．（23-24八年级下·广西桂林·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 易错必刷题三十九、利用平行四边形的判定与性质求解 115．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在菱形中，，．点为边中点，连接，过点作，且，连接，则四边形的面积为(   ) A． B． C． D．18 116．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿边向点C运动，点E运动速度为，点F的运动速度为，它们同时出发，同时停止运动，经过 s时，． 117．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线．设交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 易错必刷题四十、利用平行四边形性质和判定证明 118．（23-24八年级下·福建漳州·期中）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（   ） A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 119．（23-24八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 120．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组提出了以下问题：如图，的对角线与相交于点，点分别在和上． 问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？ 问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？ 请你选择其中一个问题完成，并说明理由． 易错必刷题四十一、平行四边形性质和判定的应用 121．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 122．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 123．（23-24八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 1．（2025·河南周口·一模）化简的结果是（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24八年级下·四川眉山·期末）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川宜宾·一模）如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 6．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，用科学记数法表示这个半径为 米． 7．（23-24八年级下·山西长治·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 8．（2025·陕西汉中·一模）中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为 ． 9．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，反比例函数和在第一象限内的图象分别是和．设点在上，过点作轴，垂足为，交于点，则的面积为 ． 10．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 11．（2025·河南周口·一模）解决下列问题： (1)计算：； (2)． 12．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）人间最美三月三．某校组织开展三月三踏青实践活动．踏青地点距离学校，甲、乙两名同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的，结果甲比乙晚到，分别求甲、乙两名同学骑自行车的速度． 13．（24-25八年级下·四川巴中·阶段练习）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知． (1)求该反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 14．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个? 请选择其中一个进行证明； (2)与的面积相等吗? 请说明理由． 15．（2025·福建厦门·模拟预测）综合与实践 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式； 【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？ 学科网（北京）股份有限公司 $$