清单02 实数（考点清单，知识导图+19个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（青岛版）

清单02实数（19个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 算术平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 清单02 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 2；勾股定理逆定理 ：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 清单03 平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 清单04 立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 清单05 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【考点题型一】求一个数的算术平方根（） 【例1】的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】64的算术平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式1-2】的算术平方根是 ． 【变式1-3】计算： ． 【考点题型二】利用算术平方根的非负性解题（） 【例2】若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．41 D． 【变式2-1】若满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式2-2】若，则 ． 【变式2-3】若a、b均为实数，且与互为相反数，则 ， ． 【考点题型三】与算术平方根有关的规律探索题（） 【例3】已知，，则（    ） A．34 B．0.034 C．3400 D．340 【变式3-1】已知，，则（     ） A．110 B． C． D． 【变式3-2】若，，则 ． 【变式3-3】若，，则的值为 ． 【考点题型四】利用勾股定理解直角三角形（） 【例4】已知一个直角三角形的两条直角边长为5和13，则第三边的平方是（    ） A．12 B．144 C．194 D．169 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点，点，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在矩形中，与相交于点，，，则的长为 ． 【变式4-3】如图，，长为，长为，正方形的周长为 ． 【考点题型五】以直角三角形三边为边长的图形面积（） 【例5】如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 【变式5-1】如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为 【变式5-2】如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，如果，，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为 ． 【变式5-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积之和为，则正方形的面积是 ． 【考点题型六】以弦图为背景的计算题（） 【例6】【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 【变式6-1】如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式6-2】【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【变式6-3】第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 【考点题型七】勾股定理的实际应用（） 【例7】每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【变式7-1】如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【变式7-2】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 【变式7-3】如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？               【考点题型八】勾股定理的逆定理运用（） 【例8】为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识解决下列问题： (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【变式8-1】吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校会受噪声影响吗？为什么？ (3)若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【变式8-2】如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 【变式8-3】如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，且 (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米． 【考点题型九】求一个数的平方根（） 【例9】9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 【变式9-1】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】的平方根是（   ） A． B．4 C．2 D． 【变式9-3】下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【变式9-4】的平方根是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十】已知一个数的平方根，求这个数（） 【例10】已知的平方根是，的平方根是． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【变式10-1】已知一个数的两个不相等的平方根分别为和． (1)求这个数； (2)平方根． 【变式10-2】已知的值是2，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式10-3】若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【考点题型十一】利用平方根解方程（） 【例11】解方程： (1) (2) 【变式11-1】求下列各式中的值： (1) (2) 【变式11-2】求下列各式中x的值． (1)； (2)； 【考点题型十二】已知一个数的立方根，求这个数（） 【例12】解方程： 【变式12-1】计算： 【变式12-2】求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式12-3】求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【考点题型十三】算术平方根和立方根的综合应用（） 【例13】已知的平方根是，的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的和的算术平方根． 【变式13-1】已知一个正数的平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求的值． (2)求的算术平方根 【变式13-2】已知的平方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值． (2)求的立方根． 【变式13-3】已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【考点题型十四】无理数的定义（） 【例 4】在 ， ， ，（每两个0之间多一个1）中无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式14-1】下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D．0 【变式14-2】在 ，，，， ，0.252552555…(每两个2之间依次多个5)中，无理数有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式14-3】实数（相邻每个2之间依次多一个1），，其中无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型十五】实数的性质（） 【例15】的绝对值是 ，的相反数是 ． 【变式15-1】化简： ． 【变式15-2】的相反数是 ；的绝对值是 ． 【变式15-3】的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【考点题型十六】实数与数轴（） 【例16】如图，在数轴上点所对应的数为3，，以为圆心，为半径的圆弧交数轴于点，则点在数轴上所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（   ）． A． B． C． D． 【变式16-2】如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为 ． 【变式16-3】如图，数轴上点表示的实数是 ． 【考点题型十七】无理数的大小估算（） 【例17】估计的值在 （   ） ． A．6与7之间 B．5与6之间 C．4与5之间 D．3与4之间 【变式17-1】估计在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【变式17-2】估计的值在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式17-3】估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【考点题型十八】无理数整数部分有关计算（） 【例18】阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为______；的小数部分为______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【变式18-1】若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【变式18-2】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【变式18-3】的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式18-4】设的整数部分为，小数部分为，的值是（　　） A． B． C． D． 【考点题型十九】实数的混合运算（） 【例19】计算： 【变式19-1】计算 (1) (2) 【变式19-2】计算． (1) (2) 【变式19-3】计算： (1)； (2)． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02实数（19个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 算术平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 清单02 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 2；勾股定理逆定理 ：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 清单03 平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 清单04 立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 清单05 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【考点题型一】求一个数的算术平方根（） 【例1】的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求算术平方根，熟练掌握实数平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1-1】64的算术平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根定义，根据算术平方根定义进行求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是8． 故选：C． 【变式1-2】的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴的算术平方根是， 答案为： 【变式1-3】计算： ． 【答案】7 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：7． 【考点题型二】利用算术平方根的非负性解题（） 【例2】若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．41 D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，熟练掌握相关知识是解题的关键；根据非负性，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式2-1】若满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根、绝对值的非负性、代数式求值等知识点，根据非负性求得a、b的值成为解题的关键． 根据算术平方根、绝对值的非负性求出a、b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故选C． 【变式2-2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负性，由题意得，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】若a、b均为实数，且与互为相反数，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的应用，利用算术平方根的非负性解题，解一元一次方程等知识点，熟练掌握算术平方根的非负性及完全平方数的非负性是解题的关键． 由相反数的应用可得，由算术平方根的非负性及完全平方数的非负性可得，，解方程即可求出、的值． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， 解得：，， 故答案为：，． 【考点题型三】与算术平方根有关的规律探索题（） 【例3】已知，，则（    ） A．34 B．0.034 C．3400 D．340 【答案】D 【分析】本题考查了求算术平方根，关键是算术平方根定义的掌握．由题意得出被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，即可得解． 【详解】解： ，， 被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位， ， 故选：D 【变式3-1】已知，，则（     ） A．110 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，理解小数点的移动规律是解此题的关键． 据算术平方根的意义，被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行求解即可． 【详解】解：因为， 即， 所以， 故选：D． 【变式3-2】若，，则 ． 【答案】17.32 【分析】本题考查了算术平方根，利用被开方数与算术平方根的关系是解题关键．根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案． 【详解】解：若，，则， 故答案为：17.32 【变式3-3】若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．可得答案． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【考点题型四】利用勾股定理解直角三角形（） 【例4】已知一个直角三角形的两条直角边长为5和13，则第三边的平方是（    ） A．12 B．144 C．194 D．169 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边长为5和13， ∴第三边长的平方，即斜边长的平方． 故选C． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点，点，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可． 本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：∵点，点， ∴， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 【变式4-2】如图，在矩形中，与相交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．根据矩形的性质得，，证明是等边三角形得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式4-3】如图，，长为，长为，正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出的长，然后根据正方形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，长为，长为， ∴， ∴正方形的周长为． 故答案为：． 【考点题型五】以直角三角形三边为边长的图形面积（） 【例5】如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．根据正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，即可解答． 【详解】解：由图形可知，正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方， ， 正方形、的面积分别为、， 最大正方形的面积， 故选：B． 【变式5-1】如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为 【答案】45 【分析】本题考查了勾股定理．根据正方形的面积公式，且结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案． 【详解】解：依题意，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式5-2】如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，如果，，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积是解题的关键． 根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，求出，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积， ∵在中，，，，， ∴，即 ∴（负值舍去） ∴阴影部分的面积等于 ． 故答案为：6． 【变式5-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积之和为，则正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股定理；由勾股定理可知正方形A、B、C、D面积之和为下面最大的正方形面积，即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据勾股定理可知，，，， ∴ 又正方形，，的面积之和为， ∴正方形的面积为. 故答案为：． 【考点题型六】以弦图为背景的计算题（） 【例6】【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 【答案】（1）（2）5；探究：见解析；应用： 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明和应用、完全平方公式与几何图形的面积等知识点． （1）根据大正方形的面积还可以表示为4个直角三角形与一个小正方形的面积的和，表示出来即可； （2）观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 应用：设，则，由勾股定理得，，即可得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， 即可证得，． 故答案为：； （2）由可知， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， 故答案为：5； 探究：图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， ， ； 应用：设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴． 【变式6-1】10．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断②；根据大正方形的面积直角三角形面积小正方形的面积可判断③；根据①③结合完全平方公式特点即可判断④． 【详解】解：① ，表示直角三角形的两直角边（），大正方形的面积为64， 由勾股定理可知， 故①正确； ②小正方形的面积为9， 小正方形的边长为3， ， 故②正确； ③大正方形的面积直角三角形面积小正方形的面积， ， 故③正确； ④ ，， 即， ， 有， 或（不合题意，舍去）， 故④错误． 综上所述，其中正确的是①②③， 故选：B． 【变式6-2】【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】操作：见解析；应用：；拓展：飞镖状图案的面积为24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活利用面积法和勾股定理是解答本题的关键． [操作]利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； [应用]运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； [拓展]可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】[操作] 大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积又可以表示为， ， ． [应用] 是边上的高， ， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得； [拓展] 飞镖状图案的面积为24． 飞镖模型的周长为24，观察可知， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得， ， 飞镖状图案的面积． 【变式6-3】第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用两种方法表示出图形的面积，然后整理即可； （2）由勾股定理可得，再运用等面积的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ∴，整理，得． （2）解：在中，，， 由勾股定理，得：， 是边上的高， ， ∴． 【考点题型七】勾股定理的实际应用（） 【例7】每年的月日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为米． (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)现云梯顶端下方米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1)的长为 (2)为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 【变式7-1】如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 【变式7-2】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 【答案】(1)13.7米 (2)还需放出风筝线14米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：米， 在中，由勾股定理得（米）， 所以（米）． （2）解：由题意得米， 因为米， 故米， 在中，（米）， 所以（米）， 故还需放出风筝线14米． 【变式7-3】如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？               【答案】E站应建在离A站处． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解决问题的关键．设出的长，可将和的长表示出来，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 【考点题型八】勾股定理的逆定理运用（） 【例8】为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识解决下列问题： (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）根据四边形的面积的面积的面积进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：四边形的面积的面积的面积 ． 【变式8-1】吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校会受噪声影响吗？为什么？ (3)若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)会受噪声影响，理由见解析 (3)2.4分钟 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）依据勾股定理判定是直角三角形，然后得到度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出吊车噪声影响该学校持续的时间． 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）解：学校会受噪声影响．理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 吊车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； （3）解：如图，在上取一点，使，连接， ， 当吊车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， 在Rt中，， （分钟）． 答：吊车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟． 【变式8-2】如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ， ， ， 是直角三角形； （2）解：的面积， ， ， ， 方案一所修的管道较短． 【变式8-3】如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，且 (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【考点题型九】求一个数的平方根（） 【例9】9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是， 故选：D． 【变式9-1】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是， 故选：． 【变式9-2】的平方根是（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根概念是解决此题的关键．先求算术平方根，再求平方根即可得解． 【详解】解：，4的平方根是， 的平方根是， 故选：D． 【变式9-3】下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因为，所以是16的平方根，该选项说法正确，符合题意； B．因为，所以的平方根是，该选项说法错误，不符合题意； C．因为，所以25的平方根是，而不只是，该选项说法错误，不符合题意； D．表示49的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，而不是，该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 【变式9-4】的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的定义．如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：B． 【考点题型十】已知一个数的平方根，求这个数（） 【例10】已知的平方根是，的平方根是． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义即可求得答案； （2）将（1）中结果代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴ （2）解：， ， ， 的平方根为． 【变式10-1】已知一个数的两个不相等的平方根分别为和． (1)求这个数； (2)平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的求法和性质是解题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． （1）根据平方根的定义列方程解出求出，再求出和中，平方后可得的值； （2）求出，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个数的两个不相等的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴，， ∴数的两个不相等的平方根分别为和， ∴数； （2）解：， ∴平方根为． 【变式10-2】已知的值是2，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，掌握运算法则是解题关键． （1）根据的值是2，求出，再根据的算术平方根是4，得，解出b值即可； （2）将a，b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵的值是2，的算术平方根是4． ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴的平方根为：． 【变式10-3】若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出的值，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． 【考点题型十一】利用平方根解方程（） 【例11】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据得，计算9的平方根即可． （2）根据得，计算的平方根即可． 本题考查了平方根应用，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴或． 【变式11-1】求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再系数化1，再开方，即可作答． （2）先开方，再移项，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 则或 ∴或． 【变式11-2】求下列各式中x的值． (1)； (2)； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根的定义解方程． （1）利用平方根的定义解方程即可． （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： 或 或 【考点题型十二】已知一个数的立方根，求这个数（） 【例12】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了利用立方根的性质解方程，正确计算是解题的关键． 先利用等式的性质将原方程化为，再利用立方根的定义求解即可． 【详解】解： ， 解得：． 【变式12-1】计算： 【答案】． 【分析】此题主要考查立方根的定义．根据立方根的概念，等式两边开立方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 【变式12-2】求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解： ∴； （2） ∴． 【变式12-3】求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程， （1）整理后利用立方根的定义解方程即可； （2）移项后利用平方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解： 解得：； （2） 或， 解得：或． 【考点题型十三】算术平方根和立方根的综合应用（） 【例13】已知的平方根是，的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的和的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）由平方根的定义和列方程的定义可求得，从而可求得a、b的值； （2）把a、b的值代入求得代数式的值，最后再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的算术平方根为5． 【变式13-1】已知一个正数的平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求的值． (2)求的算术平方根 【答案】(1)49 (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，以及立方根的定义，熟记定义与性质是解题的关键． （1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，列出方程求得a的值，从而即可求得x的值； （2）根据算术平方根的定义求得b，结合立方根的定义求得c，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， ； （2）， ， ， ∵的立方根是 ∴， ∴， ∴， ∴20的算术平方根为． 【变式13-2】已知的平方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义． （1）运用立方根和算术平方根的定义求解． （2）根据立方根，即可解答． 【详解】（1）解：由题知，，， 解得，； （2）解：当，时，， ∴． 【变式13-3】已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根、一元一次方程的应用、代数式求值等知识，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数建立方程，解方程可得的值，再根据立方根的性质即可得的值； （2）将的值代入可得的值，再根据平方根的性质即可得． 【详解】（1）解：∵正数的两个不同的平方根是和， ， 解得， 的立方根为， ， 解得， ． （2）解：由（1）已得：， ∴， ∴的平方根为． 【考点题型十四】无理数的定义（） 【例 4】在 ， ， ，（每两个0之间多一个1）中无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查实数分类，无理数定义等．根据题意可知，，均是无理数，继而得到答案． 【详解】解：∵，，均是无理数， ∴无理数个数有3个， 故选：C． 【变式14-1】下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了对无理数：无限不循环的小数，注意：无理数包括三方面的数：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数．无理数包括三方面的数：①含的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； D、0是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式14-2】在 ，，，， ，0.252552555…(每两个2之间依次多个5)中，无理数有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：， 在，，，， ，0.252552555…(每两个2之间依次多个5)中，，0.252552555…(每两个2之间依次多个5)是无理数共2个； 故选A． 【变式14-3】实数（相邻每个2之间依次多一个1），，其中无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，对含根号的数进行化简是解题的关键． 根据无理数的定义、算术平方根、立方根这个判断即可． 【详解】解：是有理数；是无理数；0是有理数；是有理数；是无理数；（相邻每个2之间依次多一个1）是无理数，是有理数；总共有3个无理数． 故选A． 【考点题型十五】实数的性质（） 【例15】的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】此题主要考查了实数的性质，绝对值与相反数，理解绝对值与相反数的意义是解决问题的关键． 根据绝对值的意义可得出的绝对值，根据相反数的定义可得出的相反数． 【详解】解：的绝对值是：， ∴的相反数是：， 故答案为：，． 【变式15-1】化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查化简绝对值，判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式15-2】的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 【变式15-3】的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【答案】 / 【分析】本题考查了实数、相反数和绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案． 【详解】解：的相反数是，绝对值等于的数是，， 故答案为：，，． 【考点题型十六】实数与数轴（） 【例16】如图，在数轴上点所对应的数为3，，以为圆心，为半径的圆弧交数轴于点，则点在数轴上所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，得到的长度，即可得到点在数轴上所对应的数． 【详解】解：∵，，， ， ， 点在数轴上所对应的数是， 故选：B． 【变式16-1】如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点表示的数为．根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 【详解】解：由条件可知正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故选：B． 【变式16-2】如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理的应用，利用勾股定理求得的长是解题的关键．由勾股定理求得的长，然后根据可求得点A表示的数． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴点表示的数是． 故答案为：． 【变式16-3】如图，数轴上点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 【考点题型十七】无理数的大小估算（） 【例17】估计的值在 （   ） ． A．6与7之间 B．5与6之间 C．4与5之间 D．3与4之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根，利用夹逼法估算即可． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【变式17-1】估计在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，能准确得出一个无理数在那两个整数之间是解本题的关键．根据解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即在之间， 故选：C． 【变式17-2】估计的值在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 【变式17-3】估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先得出，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【考点题型十八】无理数整数部分有关计算（） 【例18】阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为______；的小数部分为______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)3； (2)2 (3) 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件估算无理数是解题的关键； （1）仿照材料计算即可； （2）仿照材料求出，再代入计算即可； （3）求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为3． ，即， 的整数部分为3，小数部分为． 故答案为：3；； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ∴的值是2； （3）解：， ， ， ∵x是整数，且， ， ， ∴的值为． 【变式18-1】若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数估值，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， 故选：C． 【变式18-2】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小和实数的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键． 先估算出的范围，求出的值，再代入求出即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【变式18-3】的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，先估算出，从而即可得出、的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式18-4】设的整数部分为，小数部分为，的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：D． 【考点题型十九】实数的混合运算（） 【例19】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式19-1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．注意有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （1）依次利用平方根以及立方根定义对原式计算，然后再依次计算，即可得到结果． （2）先计算乘方，立方根，化简绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式19-2】计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先开方，再进行加减运算即可； （2）先去绝对值，进行乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式19-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据算术平方根定义和乘方运算法则进行求解即可； （2）根据算术平方根定义，立方根定义，绝对值意义，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$