期中复习（易错题60题25个考点）范围：第六章～第八章-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（青岛版）

期中复习（易错题60题25个考点） 范围：第六章-第八章 一．平方根（共2小题） 1．的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 2．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝　 　 ，这个正数是　 　 ． 二．算术平方根（共1小题） 3．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值　 　 ． 三．立方根（共1小题） 4．求下列各式中的x． （1）4x2﹣16＝0 （2）27（x﹣3）3＝﹣64． 四．无理数（共1小题） 5．π、，，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 五．实数大小比较（共1小题） 6．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（　　） A．a2＜a B．aa2 C．a＜a2 D．a＜a2 六．不等式的性质（共2小题） 7．若a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．ac2＞bc2 C．﹣2a＞﹣2b D．a+2＞b+2 8．设“■●▲”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图，那么“■●▲”中质量最大的是（　　） A．▲ B．■ C．● D．无法判断 七．解一元一次不等式（共4小题） 9．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x，则nx﹣m＜0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3 10．对实数m，n定义一种新运算，规定：f（m，n）＝mn+an﹣3（其中a为非零常数）；例如：f（1，2）＝1×2+a×2﹣3；已知f（2，3）＝9，给出下列结论： ①a＝2； ②若f（1，n）＞0，则n＞1； ③若f（m，m）＝2m，则； ④f（n，n）﹣2n有最小值，最小值为3； 以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5． 根据上面的材料回答下列问题： （1）min{﹣1，3}＝　 　 ； （2）当min时，求x的取值范围． 12．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程x+1＝2的解为x＝1，而一元一次不等式2x﹣3＜x的解集为x＜3，不难发现x＝1在x＜3范围内，则一元一次方程x+1＝2是一元一次不等式2x﹣3＜x的“伴随方程”． （1）在①﹣3（x+1）＝9，②2x+3＝5，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3（1+x）＞x﹣4的“伴随方程”的有 　 　 （填序号）； （2）若关于x的一元一次方程3x﹣a＝2是关于x一元一次不等式3（a+x）≥4a+x的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式|a|+|a﹣3|的最大值． 八．一元一次不等式的应用（共2小题） 13．某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个． （1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？ 14．为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元． （1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 九．解一元一次不等式组（共2小题） 15．若不等式组有解，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2 16．解不等式（组）： （1）3y﹣2≤6+7y，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组． 一十．一元一次不等式组的整数解（共2小题） 17．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 18．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 　 　 ． 一十一．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 19．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 一十二．一元一次不等式组的应用（共1小题） 20．在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米． （1）求运往两地的数量各是多少立方米？ （2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地有哪几种方案？ （3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表： A地 B地 C地 运往D地（元/立方米） 22 20 20 运往E地（元/立方米） 20 22 21 在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？ 一十三．勾股定理（共8小题） 21．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（　　） A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2 22．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 23．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（　　） A． B．2018 C． D．1 24．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝　 　 ，OPn＝　 　 （n为自然数，且n＞0） 25．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　 　 ． 26．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s． （1）出发2s后，求MN的长； （2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？ （3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值． 27．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 28．阅读下列材料，并回答问题． 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为　 　 ． （2）如图1，AD⊥BC 于D，AD＝BD，AC＝BE，AC＝3，DC＝1，求BD的长度． （3）如图2，点A在数轴上表示的数是　 　 ，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）． 一十四．勾股定理的证明（共1小题） 29．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 一十五．勾股数（共1小题） 30．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 一十六．平面展开-最短路径问题（共1小题） 31．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是　 　 米．（精确到0.01米） 一十七．三角形中位线定理（共2小题） 32．如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 33．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则EF为　 　 ． 一十八．平行四边形的性质（共6小题） 34．如图，▱ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　） A．30 cm B．60cm C．40cm D．20 cm 35．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE⊥AC，成立的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 37．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH． （1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长； （2）求证：EB＝EH． 38．如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求当t＝2s时，求△AEF的面积； （3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值． 39．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF． ①求证：AB＝DE； ②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长． 一十九．平行四边形的判定与性质（共1小题） 40．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　 　 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 二十．菱形的性质（共1小题） 41．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 二十一．菱形的判定（共1小题） 42．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t． （1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系． 二十二．矩形的性质（共4小题） 43．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 44．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（　　） A． B． C．5 D．7 45．如图，在长方形ABCD中，，AD＝4，E，F分别为AD，BC上的两个动点，且∠EFC＝60°，连接AF、CE，那么AF+CE的最小值为 　 　 ． 46．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE． （1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ （2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由． 二十三．矩形的判定（共1小题） 47．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 二十四．正方形的性质（共12小题） 48．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 49．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 50．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，PB，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD，其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 51．四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E在CD上，连结AF交对角线BD于点H，交DE于点I．若AH＝a，则这两正方形的面积之和为（　　） A．4a2 B．3a2 C．2a2 D．a2 52．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　 　 ． 53．如图，正方形MNKT由8个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，则边AB的长度为 　 　 ． 54．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE；⑤∠AFB+∠AEC＝180°，其中正确的有　 　 （填写序号）． 55．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 56．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N． （1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM＝EN； （2）如图2，若E点不与O点重合： ①EM还等于EN吗？说明理由； ②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由． 57．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN． （1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°， ①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长； ②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值； （2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长． 58．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点．连接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA．连接CF、AF，且AF交CD边于点G，连接PG． （1）求证：∠GCF＝∠FCE． （2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论． 59．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H． （1）求证：BH⊥DE； （2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长． 二十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 60．如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③∠GDE＝45°；④△BGE的周长是一个定值．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题60题25个考点） 范围：第六章-第八章 一．平方根（共2小题） 1．的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 【答案】A 【解答】解：∵， 9的平方根是±3， 故选：A． 2．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝　﹣1　 ，这个正数是　9　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）＝0， 解得：a＝﹣1． 则这个数是（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9． 故答案为：﹣1，9 二．算术平方根（共1小题） 3．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值　406　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵①1； ②3＝1+2； ③6＝1+2+3； ④10＝1+2+3+4， ∴1+2+3+4+…+28＝406． 三．立方根（共1小题） 4．求下列各式中的x． （1）4x2﹣16＝0 （2）27（x﹣3）3＝﹣64． 【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）4x2＝16， x2＝4 x＝±2； （2）（x﹣3）3， x﹣3 x． 四．无理数（共1小题） 5．π、，，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：在π、，，，3.1416，0.中， 无理数是：π，共2个． 故选：B． 五．实数大小比较（共1小题） 6．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（　　） A．a2＜a B．aa2 C．a＜a2 D．a＜a2 【答案】A 【解答】解：∵0＜a＜1， ∴设a，2，a2， ∵2， ∴a2＜a． 故选：A． 六．不等式的性质（共2小题） 7．若a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．ac2＞bc2 C．﹣2a＞﹣2b D．a+2＞b+2 【答案】D 【解答】解：A、因为a＞b， 所以a﹣2＞b﹣2，故本选项不合题意； B、因为a＞b， 所以ac2＞bc2（c≠0），故本选项不合题意； C、因为a＞b， 所以﹣2a＜﹣2b，故本选项不合题意； D、因为a＞b， 所以a+2＞b+2，故本选项符合题意． 故选：D． 8．设“■●▲”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图，那么“■●▲”中质量最大的是（　　） A．▲ B．■ C．● D．无法判断 【答案】A 【解答】解：第一个不等式， ■质量＜▲质量， 根据第二个不等式， ●质量＜■质量， 所以●质量＜■质量＜▲质量， 故选：A． 七．解一元一次不等式（共4小题） 9．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x，则nx﹣m＜0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3 【答案】D 【解答】解：由mx+n＞0的解集为x，不等号方向改变， ∴m＜0且， ∴0， ∵m＜0． ∴n＞0； 由nx﹣m＜0得x3， 所以x＜﹣3； 故选：D． 10．对实数m，n定义一种新运算，规定：f（m，n）＝mn+an﹣3（其中a为非零常数）；例如：f（1，2）＝1×2+a×2﹣3；已知f（2，3）＝9，给出下列结论： ①a＝2； ②若f（1，n）＞0，则n＞1； ③若f（m，m）＝2m，则； ④f（n，n）﹣2n有最小值，最小值为3； 以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵f（2，3）＝9， ∴2×3+3a﹣3＝9， 解得：a＝2， 故①正确； ∵f（1，n）＞0， ∴n+2n﹣3＞0， 解得：n＞1， 故②正确； ∵f（m，m）＝2m， ∴m2+2m﹣3＝2m， 解得：m＝±， 故③不正确； 由题意得：f（n，n）﹣2n＝n2+2n﹣3﹣2n＝n2﹣3， ∵n2≥0， ∴n2﹣3≥﹣3， ∴f（n，n）﹣2n有最小值，最小值为﹣3， 故④不正确； 所以，上列结论正确的个数是2个， 故选：B． 11．阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5． 根据上面的材料回答下列问题： （1）min{﹣1，3}＝　﹣1　 ； （2）当min时，求x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）由题意得： 3（2x﹣3）≥2（x+2） 6x﹣9≥2x+4 4x≥13 x， ∴x的取值范围为x． 12．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程x+1＝2的解为x＝1，而一元一次不等式2x﹣3＜x的解集为x＜3，不难发现x＝1在x＜3范围内，则一元一次方程x+1＝2是一元一次不等式2x﹣3＜x的“伴随方程”． （1）在①﹣3（x+1）＝9，②2x+3＝5，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3（1+x）＞x﹣4的“伴随方程”的有 　②③　 （填序号）； （2）若关于x的一元一次方程3x﹣a＝2是关于x一元一次不等式3（a+x）≥4a+x的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式|a|+|a﹣3|的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①﹣3（x+1）＝9， x+1＝﹣3， x＝﹣3﹣1， x＝﹣4； ②2x+3＝5， 2x＝5﹣3， 2x＝2， x＝1； ③， x+5＝2， x＝2﹣5， x＝﹣3； 3（1+x）＞x﹣4， 3+3x＞x﹣4， 3x﹣x＞﹣4﹣3， 2x＞﹣7， x＞﹣3.5， ∴在①﹣3（x+1）＝9，②2x+3＝5，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3（1+x）＞x﹣4的“伴随方程”的有②③， 故答案为：②③； （2）①3x﹣a＝2， 3x＝2+a， x， 3（a+x）≥4a+x， 3a+3x≥4a+x， 3x﹣x≥4a﹣3a， 2x≥a， x， ∵方程3x﹣a＝2是关于x一元一次不等式3（a+x）≥4a+x的“伴随方程”， ∴， 2（2+a）≥3a， 4+2a≥3a， a≤4； ， x﹣1+2＝2x， x﹣2x＝1﹣2， ﹣x＝﹣1， x＝1， ， 3a＜2（a﹣x）， 3a＜2a﹣2x， 2x＜2a﹣3a， 2x＜﹣a， x， ∵方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”， ∴1， ﹣a≤2， a≥﹣2， 综上所述：﹣2≤a≤4， ∴a的取值范围为：﹣2≤a≤4； ②∵﹣2≤a≤4， ∴当a＝﹣2时，|a|+|a﹣3|的值最大，最大值＝|﹣2|+|﹣2﹣3|＝2+5＝7， ∴代数式|a|+|a﹣3|的最大值是7． 八．一元一次不等式的应用（共2小题） 13．某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个． （1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个， 根据题意得：50x+70（60﹣x）＝3400， 解得：x＝40， 60﹣x＝60﹣40＝20， 答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个． （2）设女款书包能买y个，则男款书包（80﹣y）个， 根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800， 解得：y≤40， ∴女款书包最多能买40个． 14．为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元． （1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设原计划篮球买x个，足球买y个， 根据题意得：， 解得：． 答：原计划篮球买40个，足球买20个． （2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个， 根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890， 解得：a≤24.5， 答：篮球最多能买24个． 九．解一元一次不等式组（共2小题） 15．若不等式组有解，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2 【答案】A 【解答】解：因为不等式组有解， 由同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，如图 当k≥2时，无解， 当1＜k＜2时，有解， 当k≤1时，有解， ∴若不等式组有解，则k＜2． 故选：A． 16．解不等式（组）： （1）3y﹣2≤6+7y，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组． 【答案】（1）y≥﹣2，数轴表示见解答； （2）﹣3＜x． 【解答】解：（1）3y﹣2≤6+7y， 3y﹣7y≤6+2， ﹣4y≤8， y≥﹣2， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： （2）， 解不等式①得：x， 解不等式②得：x＞﹣3， ∴原不等式组的解集为：﹣3＜x． 一十．一元一次不等式组的整数解（共2小题） 17．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0， ∵， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则； 解得． 故选：B． 18．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 　5　 ． 【答案】m的值是5． 【解答】解：由二元一次方程组，得 ， ∵二元一次方程组解是正整数， ∴， 解得，m， ∴m＝5或6， m＝5时，x＝3，y＝2， 当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去； ∴m＝5． 由不等式组得x≤6， ∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解， ∴45， 解得，5≤m， ∴m的值是5． 故m的值是5． 一十一．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 19．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 【答案】C 【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1）， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵， ∴可列不等式组为：， 即． 故选：C． 一十二．一元一次不等式组的应用（共1小题） 20．在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米． （1）求运往两地的数量各是多少立方米？ （2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地有哪几种方案？ （3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表： A地 B地 C地 运往D地（元/立方米） 22 20 20 运往E地（元/立方米） 20 22 21 在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x﹣10＝140， 解得：x＝50， ∴2x﹣10＝90． 答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米； （2）由题意可得， ， 解得：20＜a≤22， ∵a是整数， ∴a＝21或22， ∴有如下两种方案： 第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米； C地运往D地39立方米，运往E地11立方米； 第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米； C地运往D地38立方米，运往E地12立方米； （3）第一种方案共需费用： 22×21+20×29+30×20+22×10+39×20+11×21＝2873（元）， 第二种方案共需费用： 22×22+28×20+30×20+22×10+38×20+12×21＝2876（元）， 所以，第一种方案的总费用最少． 一十三．勾股定理（共8小题） 21．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（　　） A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2 【答案】D 【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积． 即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积． ∵G的面积是62＝36cm2， ∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2． 故选：D． 22．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6a2﹣S6， ∴S1+S3（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C． 23．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（　　） A． B．2018 C． D．1 【答案】C 【解答】解：∵OP＝1，OP1，OP2，OP32，OP4， …， 以此类推，OP2018． 故选：C． 24．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝　　 ，OPn＝　　 （n为自然数，且n＞0） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得，OP1； OP2； OP3， … 则OP2018，OPn， 故答案为：；． 25．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　169　 ． 【答案】169． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得， BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2， ∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144， ∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝169； 故答案为：169． 26．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s． （1）出发2s后，求MN的长； （2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？ （3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值． 【答案】（1）MN的长为4cm． （2）出发s后△MNB是等腰三角形． （3）当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形． 【解答】解：（1）当t＝2时，AN＝2t＝4cm，BM＝2t＝8cm． ∵AB＝16cm， ∴BN＝AB﹣AN＝16﹣4＝12（cm）， 在Rt△BPQ中，由勾股定理可得， MN4（cm）， 即MN的长为4cm． （2）由题意可知AN＝2t，BM＝4t， 又∵AB＝16cm， ∴BN＝AB﹣AN＝（16﹣2t）cm， 当△MNB为等腰三角形时，则有BM＝BN， ∴16﹣2t＝4t，解得t， ∴出发s后△MNB是等腰三角形． （3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝20cm， 当点M在AC上运动时，AM＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t， ∴CM＝AC﹣AM＝20﹣（32﹣4t）＝4t﹣12， ∵△BCM为等腰三角形， ∴有BM＝BC，CM＝BC和CM＝BM三种情况： ①当BM＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC，则CECM＝2t﹣6， 在Rt△ABC中，可求得BE； 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝（）2+（2t﹣6）2， 解得t＝6.6或t＝﹣0.6（舍去）， ②当CM＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6， ③当CM＝BM时，则∠C＝∠MBC， ∵∠C+∠A＝90°＝∠CBM+∠MBA， ∴∠A＝∠MBA， ∴MB＝MA， ∴CM＝AM＝10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5， 综上可知，当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形． 27．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，理由见解答； （4）30． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，设直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c． ∴S2π2，S3π（）2，S1π（）2， ∵， ∴S1+S2＝S3； （4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． ∴阴影部分的面积＝直角三角形面积 ∴阴影部分的面积＝5×12÷2＝30． 28．阅读下列材料，并回答问题． 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为　10　 ． （2）如图1，AD⊥BC 于D，AD＝BD，AC＝BE，AC＝3，DC＝1，求BD的长度． （3）如图2，点A在数轴上表示的数是　　 ，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为6、8， 则这个直角三角形斜边长10， 故答案为：10； （2）在Rt△ADC中，AD2， ∴BD＝AD＝2； （3）点A在数轴上表示的数是：， 由勾股定理得，OC， 以O为圆心、OC为半径作弧交x轴于B，则点B即为所求， 故答案为：． 一十四．勾股定理的证明（共1小题） 29．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵S正方形ABCD＝21， ∴AB2＝21， 设DH＝x， 则AH＝3DH＝3x， ∴x2+9x2＝21， ∴x2， 根据题意可知： AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x， ∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x， ∴S△FGN＝2S△CGN ∵S△AEM＝S△CGN， ∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN， ∴阴影部分的面积之和为： S梯形NGFM（NG+FM）•FG （EM+MF）•FG FE•FG （2x）2 ＝2x2 ． 故选：B． 一十五．勾股数（共1小题） 30．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴当c＝n2+1＝65时，n＝8， ∴x＝63，y＝16， ∴x+y＝79， 故选：C． 一十六．平面展开-最短路径问题（共1小题） 31．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是　2.60　 米．（精确到0.01米） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知，将木块展开， 相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为2+0.2×2＝2.4米；宽为1米． 于是最短路径为：2.60米． 故答案为：2.60． 一十七．三角形中位线定理（共2小题） 32．如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长＝△ABC的周长1，第三个三角形的周长为＝△ABC的周长（）2，第10个三角形的周长＝（）9，故选C． 33．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则EF为　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD平分∠ABC，CG⊥AD，∴∠GAF＝∠CAF，∠AFG＝∠AFC 在△AGF和△ACF中， ， ∴△AGF≌△ACF（ASA）， ∴AG＝AC＝6，GF＝CF， 则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2． 又∵BE＝CE， ∴EF是△BCG的中位线， ∴EFBG＝1． 故答案为：1． 一十八．平行四边形的性质（共6小题） 34．如图，▱ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（　　） A．30 cm B．60cm C．40cm D．20 cm 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD， 又∵OE⊥BD， ∴OE是线段BD的中垂线， ∴BE＝DE， ∴AE+ED＝AE+BE， ∵▱ABCD的周长为60cm， ∴AB+AD＝30cm， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD＝30cm， 故选：A． 35．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE⊥AC，成立的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°， ∵ABBC， ∴AE＝BEBC， ∴AE＝CE，故①正确； ∴∠EAC＝∠ACE＝30° ∴∠BAC＝90°， ∴S△ABCAB•AC，故②错误； ∵BE＝EC， ∴E为BC中点， ∴S△ABE＝S△ACE，故③错误； ∵OA＝OC，AE＝EC， ∴OE⊥AC，故④正确； 故正确的个数为2个， 故选：B． 36．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为 　44　 cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接EF ∵△ADF与△DEF同底等高， ∴S△ADF＝S△DEF， 即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF， 即S△APD＝S△EPF＝17cm2， 同理可得S△BQC＝S△EFQ＝27cm2， ∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝17+27＝44cm2． 故答案为：44． 37．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH． （1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长； （2）求证：EB＝EH． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12， ∴等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC＝12， 又∵AB＝13， ∴Rt△ABF中，AF5； （2）如图，连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE， ∵BE＝BA，BF⊥AC， ∴AF＝FE， ∴BG是AE的垂直平分线， ∴AG＝EG，AP＝EP， ∵∠GAE＝∠ACB＝45°， ∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE＝90°， △APE是等腰直角三角形，即∠APE＝90°， ∴∠APE＝∠PAG＝∠AGE＝90°， 又∵AG＝EG， ∴四边形APEG是正方形， ∴PF＝EF，AP＝AG＝CH， 又∵BF＝CF， ∴BP＝CE， ∵∠APG＝45°＝∠BCF， ∴∠APB＝∠HCE＝135°， ∴△APB≌△HCE（SAS）， ∴AB＝EH， 又∵AB＝BE， ∴BE＝EH． 38．如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求当t＝2s时，求△AEF的面积； （3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）平行四边形ABCD中， ∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm， ∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm， 如图，过点B作BG⊥CD于点G， ∴∠BGC＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C＝60°， 在Rt△BCG中，∠CBG＝30°， ∴CGBCcm， ∴BG（cm）， ∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝69（cm2）． 答：平行四边形ABCD的面积为9cm2； （2）当t＝2s时， AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm， ∵∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， 如图，过点F作FH⊥AE于点H， ∴FHAF（cm）， ∴△AEF的面积为：AE×FH2（cm2）， 答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2； （3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2． ∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时，△AEF的面积为：93（cm2）， 当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，（0＜t≤3），AE＝t cm，AF＝t cm，高为AFt（cm）， ∴tt＝3， ∴t＝23，不符合题意舍去； 当点E在线段AB上运动t秒时，点F在CD上运动t秒，（3＜t≤6）， ∴t3， ∴t＝4，符合题意； 当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，（6＜t＜9）， 如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G， ∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm， ∴AB∥CD， ∴∠E′BG＝∠C＝60°， ∴E′GBE′（t﹣6）（cm），E′H＝1.5（t﹣6）（9﹣t）（cm）， ∴S△AEF＝96（t﹣6）[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]（t﹣3）×1.53， 化简得：t2﹣9t+12＝0， ∴t（不符合题意，舍）或t， 当t时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意． 综上所述，t的值为4或． 39．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF． ①求证：AB＝DE； ②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E， ∵AF＝DF， ∴△ABF≌△DEF， ∴AB＝DE； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠AFB， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝3， ∴AD＝2AF＝6 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3， ∵△ABF≌△DEF， ∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5， ∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10， ∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22． 一十九．平行四边形的判定与性质（共1小题） 40．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　秒或8秒　 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 当5＜t时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm， ∴10﹣t＝30﹣4t， 解得：t； 当t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm， ∴10﹣t＝4t﹣30， 解得：t＝8． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 故答案为：秒或8秒． 二十．菱形的性质（共1小题） 41．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 【答案】D 【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 二十一．菱形的判定（共1小题） 42．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t． （1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系． 【答案】（1）t＝2.5秒或5秒． （2）3m＝2n或m＝3n． 【解答】解（1）①如图1，当点P在BC上时， DQ＝t，PC＝10﹣3t， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴DQ∥PC， 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ＝PC， ∴t＝10﹣3t， ∴t＝2.5（秒）． ②如图2，当点P在BC的延长线上时， PC＝3t﹣10， 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ＝PC， ∴t＝3t﹣10， ∴t＝5（秒）． 综上得，t＝2.5秒或5秒时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形． （2）①如图1，当点P在BC上时， 若四边形PCDQ是菱形， 则DQ＝PC＝CD＝6， ∴nt＝10﹣mt＝6， ∴mt＝4， ∴， ∴3m＝2n． ②如图2，当点P在BC的延长线上时，连接PQ，交CD于E， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴AC8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠ACD＝90°， ∵四边形PCDQ是菱形， ∴PQ⊥CD，CE＝DE，PE＝QE， ∴PQ∥AC， ∴四边形ACPQ是平行四边形， ∴PQ＝AC＝8， ∴QE＝PE＝4， ∴DQ＝PD5， ∴nt＝mt﹣10＝5， ∴m＝3n． 综上得，3m＝2n或m＝3n时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形． 二十二．矩形的性质（共4小题） 43．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC10， ∴AO＝DOAC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12AO×EODO×EF， ∴125×EO5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF， 故选：C． 44．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【解答】解：如图，连接AP、EF， ∵PE⊥AB，PF⊥AD， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°． ∴四边形AEPF为矩形． ∴AP＝EF． ∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值． ∵点P从B点沿着BD往D点移动， ∴当AP⊥BD时，AP取最小值． 下面求此时AP的值， 在Rt△BAD中， ∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8， ∴BD10． ∵S△ABD， ∴AP． ∴EF的长度最小为：． 故本题选B． 45．如图，在长方形ABCD中，，AD＝4，E，F分别为AD，BC上的两个动点，且∠EFC＝60°，连接AF、CE，那么AF+CE的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H，则四边形ABHE是矩形， ∴EH＝AB． ∵∠EHF＝90°，∠EFH＝60°， ∴∠FEH＝30°． ∴EF＝2FH． ∴FH＝1，EF＝2． 设BF＝x，则CH＝4﹣x﹣1＝3﹣x， ∴AF+EC． 欲求AF+EC的最小值，相当于在x轴上 寻找一点P（x，0）， 使得P到M（0，），N（3，）的距离和最小（如图1中）， 作点M关于x轴的对称点F，连接FN， ∵F（0，），N（3，）， ∴直线FN的解析式为yx． 令y＝0，可得x， ∴x时，PM+PN的值最小，此时NF＝AF+EC． 故答案为：． 46．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE． （1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ （2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由． 【答案】（1）当t为3或13时，△ABP和△DCE全等； （2）t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形． 【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等， ∴BP＝CE或AP＝CE， 当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3， 当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13， ∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC， 在Rt△DCE中，CE＝3， ∴DE5， 若△PDE为等腰三角形， 则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE， 当PD＝DE时， ∵PD＝DE，DC⊥BE， ∴PC＝CE＝3， ∵BP＝BC﹣CP＝3， ∴t＝3÷1＝3， 当PE＝DE＝5时， ∵BP＝BE﹣PE， ∴BP＝9﹣5＝4， ∴t＝4÷1＝4， 当PD＝PE时， ∴PE＝PC+CE＝3+PC， ∴PD＝3+PC， 在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2． ∴（3+PC）2＝16+PC2， ∴PC， ∵BP＝BC﹣PC， ∴BP， ∴t1， 综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形． 二十三．矩形的判定（共1小题） 47．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点， ∴ADAB， ∵点E是AC的中点，点F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，EFAB， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分； （2）解：当AFBC时，四边形ADFE为矩形， 理由：∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵AFBC， ∴AF＝DE， 由（1）得：四边形ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE为矩形． 二十四．正方形的性质（共12小题） 48．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 【答案】B 【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（n﹣1）． 故选：B． 49．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； ∵AM平分∠EAF， ∴∠EAM＝∠FAM， 在△AEM和△AFM中， ， ∴△AEM≌△AFM（SAS）， ∴EM＝FM； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°， 设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x， 在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32， 解得x． 故选：D． 50．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，PB，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD，其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解答】解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∵在△APD和△AEB中， ， ∴△APD≌△AEB（SAS）； 故①成立； ∵△APD≌△AEB， ∴∠APD＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE， ∴∠BEP＝∠PAE＝90°， ∴EB⊥ED； 故②成立； 在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1， ∴EP， 又∵PB， ∴BE， ∵△APD≌△AEB， ∴PD＝BE， 故③不成立， 故选：A． 51．四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E在CD上，连结AF交对角线BD于点H，交DE于点I．若AH＝a，则这两正方形的面积之和为（　　） A．4a2 B．3a2 C．2a2 D．a2 【答案】C 【解答】解：延长FE交BD于点N，交AB于点M， 设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC＝a，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BDC＝45°， ∵四边形CEFG是正方形， ∴CE＝EF＝b，∠CEF＝90°， ∴∠CEF＝∠DEM＝90°，∠MEC＝180°﹣∠CEF＝90°， ∴四边形ADEM和四边形BCEM都是矩形， ∴AD＝EM＝a，AM＝DE＝a﹣b，∠AME＝90°，AD∥ME， ∴∠DAF＝∠AFN，∠ADN＝∠DNF， 在Rt△NDE中，∠BDE＝45°， ∴DE＝NE＝a﹣b， ∴FN＝EF+NE＝b+a﹣b＝a， ∴NF＝AD＝a， ∴△ADH≌△FNH（ASA）， ∴AH＝FHAF， ∴AF＝2AH， 在Rt△AMF中，FM＝ME+EF＝a+b， ∴AF2＝AM2+FM2＝（a﹣b）2+（a+b）2＝2a2+2b2， ∴正方形ABCD的面积+正方形CEFG的面积＝a2+b2AF2•（2AH）2＝2AH2＝2a2， 故选：C． 52．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　①②③　 ． 【答案】①②③． 【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ∴矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③． 故答案为：①②③． 53．如图，正方形MNKT由8个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，则边AB的长度为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：将四边形EFGH的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1﹣S2+S3＝8y+x﹣（4y+x）+x＝10，故x+4y＝10， 所以S2＝x+4y＝10， ∴AB． 故答案为：． 54．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE；⑤∠AFB+∠AEC＝180°，其中正确的有　①②③⑤　 （填写序号）． 【答案】①②③⑤． 【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD， ∵CE＝DF， ∴AD﹣DF＝CD﹣CE， 即AF＝DE， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴∠AFB＝∠DEA，AE＝BF，故①正确； ∠ABF＝∠DAE， ∴∠AFB+∠AEC＝∠DEA+∠AEC＝180°，故⑤正确； ∵∠DAE+∠BAO＝90°， ∴∠ABF+∠BAO＝90°， 在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥BF，故②正确； 假设AO＝OE， ∵AE⊥BF（已证）， ∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∵在Rt△BCE中，BE＞BC， ∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾， 所以，假设不成立，AO≠OE，故④错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF＝S△DAE， ∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF， 即S△AOB＝S四边形DEOF，故③正确； 综上所述，正确的有①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 55．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 【答案】（1）证明见解答部分； （2）AF＝5或． （3）MN的长度为或． 【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，∠B＝90°， ∴∠AED＝∠AFB， 在△ABF与△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF＝DE， ∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠CDE＝∠DAF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）． （2）解：∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF＝x， ∴BE＝CF＝4﹣x， ∴△DEF的面积＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF ＝4×44•x（4﹣x）•x4•（4﹣x） ＝8﹣2xx2， ∴yx2﹣2x+8， 解得，x1＝3，x2＝1， ∴AE＝3或AE＝1， ∴AF＝DE＝5或． （3）解：如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF， ∵点M是DE的中点， ∴DM＝ME， ∵AB∥CD， ∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM， ∴△DPM≌△EAM（AAS）， ∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1， 当AE＝3时，BF＝DP＝3， ∴CF＝CP＝1， ∴PF， ∴MNPF； 当AE＝1时，BF＝EP＝1， ∴CF＝CP＝3， ∴PF＝3， ∴MNPF； 综上，MN的长度为或． 56．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N． （1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM＝EN； （2）如图2，若E点不与O点重合： ①EM还等于EN吗？说明理由； ②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在正方形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，且∠OBC＝∠OCD，∠BOC＝90°， ∵∠FOG＝90°， ∴∠BOM＝∠BOC﹣∠MOC＝90°﹣∠MOC，∠CON＝∠FOG﹣∠MOC＝90°﹣∠MOC， ∴∠BOM＝∠CON， 在△OBM和△OCN中， ， ∴△OBM≌△OCN（ASA）， ∴EM＝EN； （2） 过E作EH⊥BC，EG′⊥CD， 由正方形ABCD可知，AC平分∠BCD， ∴EH＝EG′， ∵∠HEG＝360°﹣∠EHC﹣∠EG′C﹣∠HCG′＝90°， ∴∠MEH＝∠NEG′，而∠EHM＝∠EG′N＝90°， ∴△EMH≌△ENG′， ∴EM＝EN； （3）由△EMH≌△ENG′可知，MH＝NG′，而EG′＝HC， ∴MC+NC＝MH+HC+NC＝NG′+EG+NC＝EG′+CG′＝2CG′， ∵CG′EC， ∴MC+NCEC． 答：（1）EM＝EN，（2）EM＝EN，（3）MC+NCEC． 57．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN． （1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°， ①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长； ②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值； （2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长． 【答案】（1）①10． ②4． （2）3． 【解答】解：（1）①在正方ABCD中，∠C＝90°， 在Rt△CMN中，∠C＝90°，CM＝6，CN＝8， ∴， 即MN的长为10． ②如图，延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE， 在正方形ABCD中，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAN+∠DAM＝45°， ∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝45°，即∠EAN＝∠MAN， 在△AEN和△AMN中， ， ∴△AEN≌△AMN（SAS）， ∴EN＝MN， ∵DM：CM＝3：2， 设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC＝5a，MN＝EN＝3a+b． ∴CN＝BC﹣BN＝5a﹣b， 在Rt△CMN中，CN2+CM2＝MN2， ∴（5a﹣b）2+（2a）2＝（3a+b）2， ∴4a（5a﹣4b）＝0， ∵a≠0， ∴5a﹣4b＝0，即， ∴AB：BN的值为4． （2）如图，延长AN、DC交于点E． ∵AB∥DE， ∴∠E＝∠BAN， 在△CEN和△BAN中， ， ∴△CEN≌△BAN（AAS）， ∴EN＝AN， ∵∠AMD＝2∠BAN＝2∠E， ∠AMD＝∠E+∠MAE， ∴∠E＝∠MAE， ∴AM＝EM， ∵AN＝6，AM＝8， ∴EN＝AN＝6，EM＝AM＝8， 设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2， 即82﹣x2＝122﹣（x+8）2， 解得：x＝1， ∴． 58．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点．连接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA．连接CF、AF，且AF交CD边于点G，连接PG． （1）求证：∠GCF＝∠FCE． （2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，过点F作FH⊥BE于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90°，AB＝BC， ∴∠BAP+∠APB＝90°， ∵AP⊥PF， ∴∠APB+∠FPH＝90°， ∴∠FPH＝∠BAP， 在△BAP和△HPF中，∠ABP＝∠PHF， 在△BAP和△HPF中， ， ∴△BAP≌△HPF（AAS）， ∴PH＝AB，BP＝FH， ∴PH＝BC， ∴BP+PC＝PC+CH， ∴CH＝BP＝FH，而∠FHC＝90°． ∴∠FCH＝CFH＝45°， ∴∠DCF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠GCF＝∠FCE； （2）PG＝PB+DG． 证明：如图，延长PB至K，使BK＝DG，连接AK， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABK＝ADG＝90°， 在△ABK和△ADG中， ， ∴△ABK≌△ADG（SAS）， ∴AK＝AG，∠KAB＝∠GAD， 而∠APF＝90°，AP＝PF， ∴∠PAF＝∠PFA＝45°， ∴∠BAP+∠KAB＝∠KAP＝45°＝∠PAF， 在△KAP和△GAP中， ， ∴△KAP≌△GAP（SAS）， ∴KP＝PG， ∴KB+BP＝DG+BP＝PG， 即PG＝PB+DG． 59．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H． （1）求证：BH⊥DE； （2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【解答】（1）证明： ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD， 同理：CG＝CE， ∠GCE＝90°， ∴∠BCD＝∠GCE＝90°， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴∠GBC＝∠CDE， 在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°， ∴∠GBC+∠BEH＝90°， ∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°， ∴BH⊥DE； （2）连接BD， ∵点H为DE中点，BH⊥DE， ∴BH为DE的垂直平分线， ∴BE＝BD， ∵BC＝CD＝1， ∴BD， ∴BE＝BD， ∵CE＝BE﹣BC1， ∴CG＝CE1． 二十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 60．如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③∠GDE＝45°；④△BGE的周长是一个定值．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF， ∴EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE， ∵DA＝DF，DG＝DG， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴AG＝FG，∠ADG＝∠FDG，故①正确； ∴∠GDE＝∠FDG+∠FDE （∠ADF+∠CDF） ＝45°，故③正确； ∵△BGE的周长＝BG+BE+GE，GE＝GF+EF＝EC+AG， ∴△BGE的周长＝BG+BE+EC+AG ＝AB+AC， 是定值，故④正确， ∴正确的结论有①③④， 故选：C． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$