数学（天津卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（天津卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。 2．本卷共 12 题，共 36 分。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．图中的三视图所对应的几何体是（　　） A．B．C． D． 3．如图，数轴上，，，四点中，与对应的点距离最近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．下列由两个全等的含角的直角三角板拼成的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (   ) A．   B．   C．   D．   5．2025年1月2日，国家税务总局河南省税务局最新数据显示，契税新政实施首月，全省约有95000户次纳税人申报享受了契税税收优惠，数据“95000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．计算的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 7．化简的结果为（   ） A．x B． C． D． 8．已知函数的图象经过点，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 9．设，是方程的两根，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 10．如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则α的度数为（    ）    A． B． C． D． 11．如图，∠ABC=20°，将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF．若点A，F，E在同一条直线上，则∠AFB的度数是（ ） A．35° B．40° C．45° D．50° 12．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）。 2．本卷共 13 题，共 84 分。 二、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．一个不透明的盒子里装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外其它均相同，现从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，则摸出的两个小球恰好都是白球的概率为 . 14．计算： ． 15．计算：= 16．在平面直角坐标系中，将直线y=-2x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到直线的解析式是 ． 17．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，（1）当点A、E、O三点共线时， ，（2）线段长的最小值为 ． 18．如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段的长等于 ； （2）在如图所示的网格中，在直线的右侧找一点M，使得且，再在线段上找一点F，使，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答过程． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______． 20．（本题8分）2025年春晚节目《秧》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后、节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 a 8 8 线上 7.6 b 7 (1)直接写出a，b，m的值； (2)请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； (3)小明认为线上观众群体对《秧》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 21．（本题10分）如图，已知，是圆内的两条弦，延长，相交于点P． (1)如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点，求证：． 22．（本题10分）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据： ） 23．（本题10分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由C站驶往A地，到达A地后立即原速驶往B地，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，B两地间的距离是　 　千米；客车速度为 （km/h) ； (2)请直接在图2中的括号内填上正确数字； (3)求货车由B地驶往A地过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)直接写出客、货两车出发多长时间，距各自出发地的距离相等。 24．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，是等边三角形．点为轴上一动点，以为边在第一象限作等边，延长交轴于点． (1)求证：； (2)如果点的坐标为，求的值； (3)如图2，点关于轴的对称点是点，连接．在轴点下方取一点，在线段上取一点，且，连接交于点．过点作，垂足为点．请探究的值，并说明理由． 25．（本题10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值； (3)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由． 答案第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（天津卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。 2．本卷共 12 题，共 36 分。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先算乘方，绝对值及括号里面的，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． 故选：B． 2．图中的三视图所对应的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由主视图和左视图、俯视图可判断出此几何体即可． 【详解】解：从俯视图看，有三列，几何体个数分别为3，1，2， 可排除C、D选项， 从主视图看，有三列，几何体个数分别为2，2，1， 再排除A选项， 此几何体只有B选项符合， 故选：B． 【点睛】本题考查三视图问题，关键是由主视图和左视图、俯视图可判断确定几何体的具体形状． 3．如图，数轴上，，，四点中，与对应的点距离最近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】估算出无理数的大小，进而可以求解． 【详解】解：， ， ， ， 点距离此点最近． 故选：B． 【点睛】此题考查了无理数的估算，解题的关键是正确求得无理数的估值． 4．下列由两个全等的含角的直角三角板拼成的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (   ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 5．2025年1月2日，国家税务总局河南省税务局最新数据显示，契税新政实施首月，全省约有95000户次纳税人申报享受了契税税收优惠，数据“95000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；据此即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 6．计算的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】 ． 故选：C． 7．化简的结果为（   ） A．x B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加减，根据分式的减法进行计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 8．已知函数的图象经过点，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，正确判断出反比例函数图象经过的象限是解题的关键． 9．设，是方程的两根，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】首先根据根与系数的关系求得，，然后对所求的式子通分相加，代入求解即可． 【详解】解：，， 则原式． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 10．如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则α的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识．根据直角三角形两锐角互余得，由角平分线的定义得，由线段垂直平分线可得是直角三角形，故可得，据此求解得到的值． 【详解】解：如图，    在中，，， ， 由作图知，是的平分线， ， ∵是的垂直平分线， 是直角三角形， ， ， ∵∠α与∠1是对顶角， ． 故选：C． 11．如图，∠ABC=20°，将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF．若点A，F，E在同一条直线上，则∠AFB的度数是（ ） A．35° B．40° C．45° D．50° 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得∠ABC＝∠EBF＝20°，AB＝BE，∠ABE＝130°，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠E＝25°，再根据三角形的外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF， ∴∠ABC＝∠EBF＝20°，AB＝BE，∠ABE＝130°， ∴∠A＝∠E＝(180°－130°)÷2＝25°， ∴∠AFB＝∠E+∠EBF ＝25°+20° ＝45°， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质以及三角形的内角和及外角性质，熟练运用相关图形的性质解决本题的关键． 12．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题即可． 【详解】解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确； ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴顶点是（1，4）， 故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确； 解方程-x2+2x+3=0， 得x1=-1，x2=3， 故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）。 2．本卷共 13 题，共 84 分。 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．一个不透明的盒子里装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外其它均相同，现从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，则摸出的两个小球恰好都是白球的概率为 . 【答案】 【分析】根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，共有（红，白球1），（红，白球2），（白球1，白球2）三种情况， 其中，摸出的两个小球恰好都是白球的情况为（白球1，白球2）一种， ∴摸出的两个小球恰好都是白球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率，解题关键是牢记概率公式，求出所有等可能的结果数与所求事件包含的结果的数量． 14．计算： ． 【答案】 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂乘法，解题的关键是掌握相关运算法则． 根据幂的乘方、同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．计算：= 【答案】-1 【分析】首先将化为，然后利用积的乘方与平方差公式计算出（1+）2011（1﹣）2011的结果，则问题得解． 【详解】解：（1+）2011（1﹣）2012＝（1+）2011（1﹣）2011（1﹣） ＝[（1+）（1﹣）]2011（1﹣）＝﹣（1﹣）＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算．注意运算方法的选择是解题的关键，此题需要逆用积的乘方公式． 16．在平面直角坐标系中，将直线y=-2x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到直线的解析式是 ． 【答案】y=-2x-2/y=-2-2x 【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，求解即可． 【详解】将直线y=−2x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移一个单位，得到的直线的解析式是：y=−2(x+2)+1+1=−2x−2， 故答案为：y=−2x−2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减． 17．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，（1）当点A、E、O三点共线时， ，（2）线段长的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键． （1）利用正切函数的定义即可求解； （2）证明，推出，，延长到点，使得，连接，证明，推出，当最小时，、、三点共线，据此求解即可． 【详解】解：（1）当点A、E、O三点共线时，是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动， 延长到点，使得，连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当最小时，、、三点共线， ， ∴ ∴线段长的最小值为． 故答案为：． 18．如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段的长等于 ； （2）在如图所示的网格中，在直线的右侧找一点M，使得且，再在线段上找一点F，使，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，同弧或等弧对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）在上取格点G，则，找到格点N，连接，相交于点M，取格点D，连接，则交于点F，根据圆周角定理等知识即可得到点M，F即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），，， ， ， 为圆的直径， 在上取格点G，则，找到格点N，连接，相交于点M， 为正方形， ； 取格点D，连接，则交于点F，连接，可得， 如图，点M，F即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答过程． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法并正确求解是解答的关键． （1）根据一元一次不等式的解法求解即可； （2）根据一元一次不等式的解法求解即可； （3）将（1）（2）中解集表示在数轴上即可，注意端点是实心还是空心； （4）根据数轴得出原不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解不等式②，得， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图： （4）由数轴知，原不等式组的解集为：， 故答案为：． 20．（本题8分）2025年春晚节目《秧》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后、节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 a 8 8 线上 7.6 b 7 (1)直接写出a，b，m的值； (2)请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； (3)小明认为线上观众群体对《秧》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】(1)7.6，7，12 (2)2400人 (3)同意，理由见解析 【分析】本题考查平均数、中位数、统计图等知识点，理解相关知识是解决问题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义即可求得，的值，再结合扇形统计图中所占百分比即可求得的值； （2）利用总人数乘以不低于8分的百分比即可； （3）根据样本容量大更具有代表性即可作答． 【详解】（1）解：现场对《秧》打分样本数据的平均数， 线上评分6分人数为人，线上评分7分人数为人， 线上评分从小到大排列第2500名，第2501名的评分均为7分， ∴线上评分的中位数， 线上评分9分所占百分比，即：， 故答案为：7.6，7，12； （2）线上观众评分不低于8分的总人数为人， 答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人； （3）同意，理由：线上观众群体样本容量大，更具有代表性． 21．（本题10分）如图，已知，是圆内的两条弦，延长，相交于点P． (1)如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图，连接，先证明，再结合等腰三角形的性质证明 ，进一步可得答案； （2）如图，连接，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步结合三角形的外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）可得：， ∵点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．（本题10分）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据： ） 【答案】(1)调整，使得 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出； （2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． （2）解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 23．（本题10分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由C站驶往A地，到达A地后立即原速驶往B地，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，B两地间的距离是　 　千米；客车速度为 （km/h) ； (2)请直接在图2中的括号内填上正确数字； (3)求货车由B地驶往A地过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)直接写出客、货两车出发多长时间，距各自出发地的距离相等。 【答案】(1)600，100 (2)见解析 (3)y (4)1.5小时或6小时，距各自出发地的距离相等． 【分析】（1）观察图2，可知AC＝120千米，BC＝480千米，AB＝AC+BC＝600千米； （2）分两种情形①设B→C的函数解析式为y＝kx+b，则有，②设C→A的函数解析式为y＝mx+n，则有解方程组即可； （3）设客、货两车出发x小时，距各自出发地的距离相等．分两种情形列出方程即可； （4）分三种情况考虑列出方程即可； 【详解】（1）解：由题意：AC＝120千米，BC＝480千米，AB＝AC+BC＝600千米， 客车的速度为：（120+120+210）÷4.5=100（km/h） 故答案为600，100． （2）解：货车的速度为：600÷10=60（km/h）； 货车到达C地的时间为：480÷60=8（h）， 故括号内填8，如图2； （3）解：①设货车从B到C的函数解析式为y＝kx+b，则有 解得， ∴y＝﹣60x+480， ②设货车从C到A的函数解析式为y＝mx+n，则有 解得， ∴y＝60x﹣480 综上所述，y． （4）解：设客、货两车出发x小时，距各自出发地的距离相等． 由题意客车速度为100千米/小时，货车速度为60千米/小时． 则有240﹣100x＝60x，解得x＝1.5，或100x﹣240＝60x，解得x＝6， ∴客、货两车出发1.5小时或6小时，距各自出发地的距离相等． 【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法、一元一次方程等知识，解题的关键是学会读懂图象信息，学会用数形结合和方程的思想解决问题． 24．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，是等边三角形．点为轴上一动点，以为边在第一象限作等边，延长交轴于点． (1)求证：； (2)如果点的坐标为，求的值； (3)如图2，点关于轴的对称点是点，连接．在轴点下方取一点，在线段上取一点，且，连接交于点．过点作，垂足为点．请探究的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先求出，再根据全等三角形的性质可得，，从而可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差求解即可得； （3）在上取一点，使得，连接，先证出是等边三角形，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （2）解：∵点的坐标为， ∴， 是等边三角形， ， 由（1）已证：， ，， ， ∵轴轴， ∴， ∴， ∴在中，， ． （3）解：，理由如下： 如图，在上取一点，使得，连接， ，，即垂直平分， ∴， 又， ∴， 由（2）可知：，， 由对称性可知：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质、坐标与图形等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键． 25．（本题10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值； (3)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，都是定值，， 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，先结合函数图象判断出，，，，则，，，再利用二次函数与一元二次方程的关系可得，，联立两条直线的解析式可得，代入化简计算即可得； （3）如图（见解析），过点作轴的垂线，交于点，连接，先求出，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，根据平行线的判定与性质可得，根据三角形的外角性质即可得；然后根据等腰三角形的判定可得，，设，，利用勾股定理可得，，最后求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 将代入抛物线得：，即， 将代入一次函数得：， 一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方， 由函数图象可知，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点， ∴点，，的横坐标均大于0， ∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，， ∴，，，，，， 联立，得， ∴，， ∴， 联立，得， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， 由轴对称的性质得：垂直平分， ∴，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上，，都是定值，，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造等腰三角形，熟练掌握旋转和轴对称的性质是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第二次模拟考试（天津卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 13．_________________ 14．__________________ 15.___________________ 16．_________________ 17.（1）__________________ （2）___________________ 18．（1）_________________ （2）______________________________________________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） （1）解不等式①，得 （2） 解不等式②，得 （3） （4） 原不等式组的解集为 20. （8分） 21. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 13．_________________ 14．__________________ 15.___________________ 16．_________________ 17.（1）__________________ （2）___________________ 18．（1）_________________ （2）______________________________________________________ 2025年中考第二次模拟考试（天津卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、解答题（本大题共 7小题，共 66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） （1）解不等式①，得 （2）解不等式②，得 （3） （4）原不等式组的解集为 20. （8分） 21. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（天津卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。 2．本卷共 12 题，共 36 分。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．图中的三视图所对应的几何体是（　　） A．B．C．D． 3．如图，数轴上，，，四点中，与对应的点距离最近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．下列由两个全等的含角的直角三角板拼成的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (   ) A．   B．   C．   D．   5．2025年1月2日，国家税务总局河南省税务局最新数据显示，契税新政实施首月，全省约有95000户次纳税人申报享受了契税税收优惠，数据“95000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．计算的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 7．化简的结果为（   ） A．x B． C． D． 8．已知函数的图象经过点，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 9．设，是方程的两根，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 10．如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则α的度数为（    ）    A． B． C． D． 11．如图，∠ABC=20°，将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF．若点A，F，E在同一条直线上，则∠AFB的度数是（ ） A．35° B．40° C．45° D．50° 12．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）。 2．本卷共 13 题，共 84 分。 2、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．一个不透明的盒子里装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外其它均相同，现从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，则摸出的两个小球恰好都是白球的概率为 . 14．计算： ． 15．计算：= 16．在平面直角坐标系中，将直线y=-2x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到直线的解析式是 ． 17．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，（1）当点A、E、O三点共线时， ，（2）线段长的最小值为 ． 18．如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段的长等于 ； （2）在如图所示的网格中，在直线的右侧找一点M，使得且，再在线段上找一点F，使，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答过程． (1)解不等式①，得_______； (2)解不等式②，得_______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_______． 20．（本题8分）2025年春晚节目《秧》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后、节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 a 8 8 线上 7.6 b 7 (1)直接写出a，b，m的值； (2)请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； (3)小明认为线上观众群体对《秧》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 21．（本题10分）如图，已知，是圆内的两条弦，延长，相交于点P． (1)如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点，求证：． 22．（本题10分）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据： ） 23．（本题10分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由C站驶往A地，到达A地后立即原速驶往B地，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，B两地间的距离是　 　千米；客车速度为 （km/h) ； (2)请直接在图2中的括号内填上正确数字； (3)求货车由B地驶往A地过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)直接写出客、货两车出发多长时间，距各自出发地的距离相等。 24．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，是等边三角形．点为轴上一动点，以为边在第一象限作等边，延长交轴于点． (1)求证：； (2)如果点的坐标为，求的值； (3)如图2，点关于轴的对称点是点，连接．在轴点下方取一点，在线段上取一点，且，连接交于点．过点作，垂足为点．请探究的值，并说明理由． 25．（本题10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值； (3)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（天津卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B B D C C B D D C C D 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13． 14． 15．-1 16．y=-2x-2/y=-2-2x 17．（1）/；（2）/ 18．（1）；（2）如图，在上取格点G，则，找到格点N，连接，相交于点M，取格点D，连接，则交于点F，根据圆周角定理等知识即可得到点M，F即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．(本小题8分） 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：；（2分） （2）解不等式②，得， 故答案为：；（2分） （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图： （2分） （4）由数轴知，原不等式组的解集为：， 故答案为：．（2分） 20．(本小题8分） 【详解】（1）解：现场对《秧》打分样本数据的平均数， 线上评分6分人数为人，线上评分7分人数为人， 线上评分从小到大排列第2500名，第2501名的评分均为7分， ∴线上评分的中位数， 线上评分9分所占百分比，即：， 故答案为：7.6，7，12；（3分） （2）线上观众评分不低于8分的总人数为人， 答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人；（3分） （3）同意，理由：线上观众群体样本容量大，更具有代表性．（2分） 21．(本小题10分） 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴；（5分） （2）证明：如图，连接， 由（1）可得：， ∵点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴．（5分） 21． (本小题10分） 【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得．（5分） （2）解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为．（5分） 23．（本小题10分） 【详解】（1）解：由题意：AC＝120千米，BC＝480千米，AB＝AC+BC＝600千米， 客车的速度为：（120+120+210）÷4.5=100（km/h） 故答案为600，100．（2分） （2）解：货车的速度为：600÷10=60（km/h）； 货车到达C地的时间为：480÷60=8（h）， 故括号内填8，如图2； （2分） （3）解：①设货车从B到C的函数解析式为y＝kx+b，则有 解得， ∴y＝﹣60x+480，（2分） ②设货车从C到A的函数解析式为y＝mx+n，则有 解得， ∴y＝60x﹣480（2分） 综上所述，y． （4）解：设客、货两车出发x小时，距各自出发地的距离相等． 由题意客车速度为100千米/小时，货车速度为60千米/小时． 则有240﹣100x＝60x，解得x＝1.5，或100x﹣240＝60x，解得x＝6， ∴客、货两车出发1.5小时或6小时，距各自出发地的距离相等．（2分） 24． （本小题10分） 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ．（3分） （2）解：∵点的坐标为， ∴， 是等边三角形， ， 由（1）已证：， ，， ， ∵轴轴， ∴， ∴， ∴在中，， ．（3分） （3） 解：，（1分） 理由如下： 如图，在上取一点，使得，连接， ，，即垂直平分， ∴， 又， ∴， 由（2）可知：，， 由对称性可知：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴．（3分） 25．（本小题10分） 【详解】（1）解：将点，代入抛物线得：， 解得， 则抛物线的解析式为．（2分） （2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 将代入抛物线得：，即， 将代入一次函数得：， 一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方， 由函数图象可知，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点， ∴点，，的横坐标均大于0， ∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，， ∴，，，，，， 联立，得， ∴，， ∴， 联立，得， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得．（2分） （3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， 由轴对称的性质得：垂直平分， ∴，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴，（3分） ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，（2分） 综上，，都是定值，，．（1分） 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$