精品解析：河南省郑州市二七区2024-2025学年九年级下学期第一次联考数学试题试卷

郑州市二七区2024－2025学年九年级下学期联考试卷 数 学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. 0 B. 2025 C. D. 2. 据《大河报》报道，郑州2024年五一假期接待游客量接近1077.6万人次．1077.6万这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线AC分别交l1， l2，l3;于点A， B， C;直线DF分别交ll，l2，l3;于点D， E，F; AC与DF相交于点H，且AH=4， HB=2， BC=10， 则= ( ) A. B. 2 C. D. 5. 如图，在中，为直径，为弦，为切线，连接．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 2023年杭州亚运会吉祥物为“江南忆”组合，它们分别命名为“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”．如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有“琮琮”图案，一张正面印有“宸宸”图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机一次性抽取两张卡片，则抽出的两张都是“琮琮”卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线的开口方向向下，交轴于正半轴，则抛物线的顶点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，作BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（ ） A. B. C. D. 10. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将代数式去括号，得_________________________． 12. 不等式组的解是___________． 13. 郑州市某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手及两根与垂直且长为1米的不锈钢架杆和（杆子的底端分别为，），且．则所用不锈钢材料的总长度（即，结果精确到米）为_____________米．（参考数据，，） 14. 如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为_____________________． 15. 如图，在矩形中，，，是线段上一动点，以为直角顶点在右侧作等腰直角三角形（点在矩形内部，不含边界），连接，则______，的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程： 17. 某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 35 39 37 40 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： （1）的值是______； （2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； （3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差______．（填“变大”“变小”或“不变”） 18. 如图，在的正方形网格图形中小正方形的边长都为1，线段与的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图： （1）以线段一边画正方形，再以线段为斜边画等腰直角三角形，其中顶点在正方形外； （2）在（1）中所画图形基础上，以点为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形和面积之和，其它顶点也在格点上． 19 某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元，购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． （1）A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 20. 如图，在中，，为线段上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点B． （1）求的度数． （2）请用圆规和无刻度的直尺作的平分线，交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）连接，判断是否为等边三角形．如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 21. （1）先求解下列两题： ①如图（1），点，在射线上，点，在射线上，且，已知，求的度数； ②如图（2），在直角坐标系中，点在轴正半轴上，轴，点，的横坐标都是，且，点在上，且横坐标为，若反比例函数的图象经过点，，求的值． （2）解题后，根据以上两小题的共同点，请简单地写出一条你的收获． 22. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴． （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是的中点，∴为中位线． ∴，．∴． （2） “希望”学习小组受此问题启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 23. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点与点是关于的“函数”的图象上的一对“点”，则  ，  ，  （将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于的函数（是常数）是“函数”吗？如果是，指出它有多少对“点”如果不是，请说明理由； （3）若关于的“函数”（，且是常数）经过坐标原点，且与直线：（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郑州市二七区2024－2025学年九年级下学期联考试卷 数 学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. 0 B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：的相反数是2025， 故选：B． 2. 据《大河报》报道，郑州2024年五一假期接待游客量接近1077.6万人次．1077.6万这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：1077.6万， 故选：C． 3. 如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左面看得到的图形是左视图即可得到答案． 【详解】解：从左面看，可以看到图形分为上下两层，下面一层有两个小正方形，上面一层左边有一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 4. 如图，直线，直线AC分别交l1， l2，l3;于点A， B， C;直线DF分别交ll，l2，l3;于点D， E，F; AC与DF相交于点H，且AH=4， HB=2， BC=10， 则= ( ) A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出AB＝6，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵AH＝4，HB＝2， ∴AB＝AH＋BH＝6， ∵l1∥l2∥l3， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 5. 如图，在中，为直径，为弦，为切线，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，圆周角定理等知识．熟练掌握切线的性质，等边对等角，圆周角定理是解题的关键． 由为切线，可得，由，可得，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：∵为切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 2023年杭州亚运会吉祥物为“江南忆”组合，它们分别命名为“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”．如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有“琮琮”图案，一张正面印有“宸宸”图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机一次性抽取两张卡片，则抽出的两张都是“琮琮”卡片的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意列表表示等可能的情况，再计算概率即可． 【详解】解：由题意得： 第一张卡片 第二张卡片 琮琮 琮琮 宸宸 琮琮 （琮琮，琮琮） （宸宸，琮琮） 琮琮 （琮琮，琮琮） （宸宸，琮琮） 宸宸 （琮琮，宸宸） （琮琮，宸宸） 根据列表可知共有6种等可能得情况，其中符合题意的情况有2种， ∴抽出的两张都是“琮琮”卡片的概率：， 故选：C． 8. 若抛物线的开口方向向下，交轴于正半轴，则抛物线的顶点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再根据抛物线的顶点坐标公式判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下，交轴于正半轴， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点位于第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，作BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF是菱形，所以可求出BE，AE，进而可求出BC的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， 垂直平分， ， ， 四边形BEDF是菱形， ∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形， ∴∠A=90°，AD=BC，DE=BF，OE=OF，EF⊥BD，∠EBO=FBO， ∴AE=FC．又EF=AE+FC， ∴EF=2AE=2CF， 又EF=2OE=2OF，AE=OE， ∴△ABE≌OBE， ∴∠ABE=∠OBE， ∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°， ∴BE= ＝， ∴BF=BE=， ∴CF=AE=， ∴BC=BF+CF=， 故选B ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°． 10. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形及其实际应用，掌握直角三角形的边角间关系、计算折射率的公式及“同角的余角相等”等知识点是解决本题的关键．先利用互余关系得，再利用直角三角形的边角间关系表示出的正弦值，最后利用折射率公式列式计算即可． 【详解】解：∵折射光线沿垂直边的方向射出， ∴， ∵法线垂直于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将代数式去括号，得_________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是关键．当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“－”号时，去掉括号和前面的“－”号，括号内各项的符号都要变号．据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 不等式组的解是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解不等式组： 解：由①得，； 由②得， 所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知求公共解的原则是解题关键． 13. 郑州市某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手及两根与垂直且长为1米的不锈钢架杆和（杆子的底端分别为，），且．则所用不锈钢材料的总长度（即，结果精确到米）为_____________米．（参考数据，，） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查解直角三角形的应用，根据题意可求出的长，过B作于G，则四边形是矩形，从而求出的长，然后解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：由图可知，台阶有4节，占了3节， ∴米， 过点B作，垂足为G， 可得四边形是矩形， ∴米， ∴米， 在直角三角形中，， ∴米， ∴米， 故答案为：． 14. 如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为_____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质以及等边三角形的判定得出3个等边三角形全等，进而得出阴影部分面积等于面积，求出即可．此题考查了组合图形的面积，关键是得出阴影部分面积等于面积． 【详解】解：记与的交点为点，连接，，，过点作于点， ， ， 是等边三角形， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， 同理可得出是等边三角形且3个等边三角形全等， 阴影部分面积等于面积， ，， 图中阴影部分的面积为：． 故答案为： 15. 如图，在矩形中，，，是线段上一动点，以为直角顶点在的右侧作等腰直角三角形（点在矩形内部，不含边界），连接，则______，的最小值为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】如图所示，过点F作交于点G，作交于点H，证明出，得到，，然后推出，得到是等腰直角三角形，即可求出；然后得到点F在直线上运动，当时，取得最小值，然后解直角三角形求解即可． 【详解】如图所示，过点F作交于点G，作交于点H ∵在矩形中，是线段上一动点，以为直角顶点在的右侧作等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴； ∴ ∴点F在直线上运动 ∴当时，取得最小值 ∴此时 ∴最小值为． 故答案为：1，． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确做出辅助线构造全等三角形． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂、零次幂、余弦值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先去分母，化为整式方程，解出，注意验根，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2）原方程可化为． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． ∴原方程的解是 17. 某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 35 39 37 40 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： （1）的值是______； （2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； （3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差______．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1）39；（2）乙，理由见解析；（3）变小 【解析】 【分析】（1）根据乙同学五次模拟测试成绩的方差公式，可以得出乙同学五次的成绩，再由甲和乙五次成绩之和相等，求出a的值； （2）由于甲乙两人平均成绩相同，所以成绩的方差越小的成绩越稳定，算出甲成绩的方差与乙比较即可； （3）因为第六次的成绩刚好等于平均数，所以不影响整体的平均数，但是在计算方差时会导致方差变小． 【详解】解：（1）由乙同学五次模拟测试成绩的方差公式，可知乙同学的五次成绩分别是：36、38、37、39、40，乙同学五次成绩之和为190， ∵甲和乙的五次成绩之和相等， ∴， 故答案是：39； （2）， 乙的体育成绩更好．因为，，两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，所以乙的体育成绩更好； （3）第六次模拟测试成绩为38分，则平均数，不变， ， 会变小， 故答案：变小． 【点睛】本题考查平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的计算方法． 18. 如图，在的正方形网格图形中小正方形的边长都为1，线段与的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图： （1）以线段为一边画正方形，再以线段为斜边画等腰直角三角形，其中顶点在正方形外； （2）在（1）中所画图形基础上，以点为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形和面积之和，其它顶点也在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是了解如何根据题意构造直角三角形并利用勾股定理． （1）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质和网格的特点画出图形即可； （2）先计算出新正方形的面积，从而得出边长，根据勾股定理和网格的特点画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：∵新正方形的面积为正方形和面积之和，其它顶点也在格点上． ∴新正方形的面积为：， ∴新正方形的边长为：， 如图：正方形的边长为：， ∴正方形即为所求． 19. 某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元，购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． （1）A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】（1）种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元 （2）当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元； 【小问2详解】 解：购进件种农产品，则购进件种农产品， 根据题意得：， 解得：． 设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则 ，即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时． 答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多． 20. 如图，在中，，为线段上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点B． （1）求的度数． （2）请用圆规和无刻度的直尺作的平分线，交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）连接，判断是否为等边三角形．如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）是等边三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、尺规作角平分线以及等边三角形的判定； （1）连接，根据切线的性质和已知得到，根据等边对等角即可求解； （2）根据作角平分线的方法作图即可； （3）由圆周角定理可得，再结合角平分线可得，即可证明． 【小问1详解】 如图，连接． 线段与相切于点， ． ， ． ， ， ． 【小问2详解】 如图所示，即为的平分线（方法不唯一）． 【小问3详解】 是等边三角形． 证明：如图， 由（1）知， ， ． 又平分，且， ， ， 是等边三角形． 21. （1）先求解下列两题： ①如图（1），点，在射线上，点，在射线上，且，已知，求的度数； ②如图（2），在直角坐标系中，点在轴正半轴上，轴，点，的横坐标都是，且，点在上，且横坐标为，若反比例函数的图象经过点，，求的值． （2）解题后，根据以上两小题的共同点，请简单地写出一条你的收获． 【答案】（1）①；②； （2） 用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法． 【解析】 【分析】（1）① 设，根据等腰三角形性质及三角形外角性质即可求解； ② 根据反比例函数图像与性质即可求解； （2）能总结两小题共同点即可． 【详解】（1） ① 解：， ，， 而，，， 设，则，， 则可得， 则， 即． ② 解：点在反比例函数图像上，设点， ， ， 轴，点D在上，且横坐标1， ， 点也在反比例函数图像上， ， 解得． （2） 解：用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题） 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形性质、三角形外角性质、反比例函数图像与性质，解题关键是学会设未知量并用已知量表达未知量． 22. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴． （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是的中点，∴为中位线． ∴，．∴． （2） “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 【答案】（1）等边对等角， （2）①证明见解析；② （3）或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得；由，得到角相等，进而证得，从而求解； （2）①利用证明即可； ②证明可得出，证明可得出，则点为的中点，利用勾股定理求出，证明，可求出，然后利用三角形面积公式和三角形中线的性质求解即可； （3）分， 两种情况讨论，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，D是的中点， ∴． ∴．（依据：等边对等角） 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴G是的中点， ∴为中位线． ∴，． ∴． 故答案为：等边对等角，； 【小问2详解】 ①证明：∵，， ∴， 又， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴点为的中点． 在中，． ∵是中点，． 与中，∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：当时，过D作于H， 则， ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当时，过D作于H，过M作于G， 则， 又， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的面积是为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形面积的计算的综合应用．明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 23. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点与点是关于的“函数”的图象上的一对“点”，则  ，  ，  （将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于的函数（是常数）是“函数”吗？如果是，指出它有多少对“点”如果不是，请说明理由； （3）若关于的“函数”（，且是常数）经过坐标原点，且与直线：（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1）8；； 8 （2）不是“函数”，理由见解析 （3）直线总经过某一定点，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律，可得、的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得； （2）分和两种情况，当时，设点，与点，是其函数图象的一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与互相矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，它有无数对“点” （3）先将代入得，，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立，可得，，最后根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：关于轴对称， ，， 的坐标为， 把代入是关于的“函数”中，得：， 故答案为，，； 【小问2详解】 解：当时，有， 此时存在关于轴对称的点， 是“函数”，且有无数对“”点， 当时，不存在关于轴对称的点， 若存在，设其中一点，则对称点，， ，与矛盾， 不存在， 不是“函数”； 【小问3详解】 解：过原点， ， 是“函数”， ， ， 联立直线和抛物线得： 即：， ，， 又， 化简得：， ，即， ， 当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题主要考查了关于轴对称的点坐标变换规律，二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用所学的知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$