第8章 整式乘法与因式分解 综合评价（word练习）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年七年级数学下册（沪科版）

第8章综合评价 (时间：120分钟　　满分：150分) 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．计算3a2·a3的结果是(C) A．4a5　　 B．4a6　　 C．3a5　　 D．3a6 2．计算下列代数式，结果为x5的是(B) A．x2＋x3　　 B．x·x4　　 C．(x2)3　　 D．x10÷x2 3．下列运算正确的是(C) A．3a×2a＝6a　　　　　　 B．a8÷a4＝a2 C．－3(a－1)＝3－3a　　 D．(a3)2＝a9 4．我国微电子研发的28 nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28 nm为0.000 000 028 m，数据0.000 000 028用科学记数法表示为(B) A．2.8×10－10 B．2.8×10－8 C．2.8×10－6 D．2.8×10－9 5．若x＋2y－4＝0，则4y·2x－2的值等于(A) A．4　　 B．6　　 C．－4　　 D．8 6．下列因式分解正确的是(C) A．a3b－ab＝ab(a2－1) B．x2－2x＋4＝(x－2)2 C．－9＋y2＝(3＋y)(y－3) D．4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b) 7．一个三角形的面积为(x3y)2，它的一条边长为(2xy)2，那么这条边上的高为(A) A．x4　　 B．x4　　 C．x4y　　 D．x2 8．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a＋b＝9，ab＝12，则阴影部分的面积为(B) A．21.5　　 B．22.5　　 C．23.5　　 D．24 　　　　 9．248－1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是(B) A．61和63　　 B．63和65　　 C．65和67　　 D．64和67 10．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3－xy2，取x＝20，y＝10，用上述方法产生的密码不可能是(A) A．201010　　 B．203010　　 C．301020　　 D．201030 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．计算：()0＋()－2－|－4|＝__6__． 12．计算：(－ab2)3÷(－0.5a2b)＝__ab5__． 13. 如图，图中大、小正方形的边长分别为a和b，如果a－b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是 __30__． 14．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图①)，此图揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的相关规律(如图②). 　　　(a＋b)0＝1 (a＋b)1＝a＋b (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 … 图①　　　　　　　　　　图②　　　　　　　　　　 例如：(a＋b)0＝1，它只有一项，系数为1； (a＋b)1＝a＋b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，(a＋b)5的展开式共有 _6_项，系数和为_32_. 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算： (1)(－a)2＋a7÷a－(a2)3； 解：原式＝a2 (2)[(a－2b)2＋(a－2b)(2b＋a)－2a(2a－b)]÷2a. 解：原式＝－a－b 16．把下列各式因式分解： (1)ax2＋8ax＋16a； 解：原式＝a(x＋4)2 (2)(x2－5)2＋8(5－x2)＋16. 解：原式＝(x＋3)2(x－3)2 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求a(a＋2)2－a(a－3)(a－1)＋3(5a－2)的值． 解：原式＝8(a2＋2a)－6，因为a2＋2a－8＝0，所以a2＋2a＝8，所以原式＝58 18. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×(－xy)＝3x2y－xy2＋xy (1)求所捂的多项式； (2)若x＝，y＝，求所捂多项式的值． 解：(1)设多项式为A，则A＝(3x2y－xy2＋xy)÷(－xy)＝－6x＋2y－1 (2)因为x＝，y＝，所以原式＝－6×＋2×－1＝－4＋1－1＝－4 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．阅读理解： 已知a＋b＝4，ab＝3，求a2＋b2的值． 解：因为a＋b＝4，所以(a＋b)2＝42，即a2＋2ab＋b2＝16. 因为ab＝3，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝10. 参考上述过程解答下列各题： (1)若x－y＝－3，xy＝－2，求x2＋y2和(x＋y)2的值； (2)若m＋n－p＝－10，(m－p)n＝－12，求(m－p)2＋n2的值． 解：(1)因为x－y＝－3，xy＝－2， 所以x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝9－4＝5， 所以(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝5－4＝1 (2)因为m＋n－p＝－10，(m－p)n＝－12， 所以(m－p)2＋n2＝(m－p＋n)2－2(m－p)n＝100＋24＝124 20．如图所示是某环保工程所需要的一种圆柱形空心混凝土管道，它的内径长为d，外径长为D，长为l.设它的实体部分体积为V. (1)用含D，d的式子表示V； (2)当它的内径d＝45厘米，外径D＝75厘米，长l＝3米时，利用分解因式的知识求浇制一节这样的管道大约需要多少立方米的混凝土．(其中π取3) 解：(1)V＝l·[π·2－π·2]＝(D2－d2) (2)当d＝45厘米，D＝75厘米，l＝3米时， V＝(D2－d2)＝(D＋d)·(D－d) ＝×(75＋45)×(75－45)×10－4 ＝0.81(立方米). 答：浇制一节这样的管道大约需要0.81立方米的混凝土 六、 (本题满分12分) 21．观察下列各式发现规律，完成后面的问题： ①1×3＝22－1；②2×4＝32－1；③3×5＝42－1； ④4×6＝52－1；⑤5×7＝62－1；… (1)12×14＝__132－1__，99×101＝__1002－1__； (2)请根据你发现的规律写出第n个等式，并通过计算验证它是否成立； (3)小威家现有一个用篱笆围成的长方形菜园，其长比宽多4米(长、宽均为整数)，为了扩大菜园面积，小威用原来的篱笆围成一个正方形，小威的做法对吗？面积是否扩大了？如果扩大了，扩大了多少？试说明理由． 解：(2)第n个等式为n(n＋2)＝(n＋1)2－1.理由如下： 因为左边＝n2＋2n，右边＝n2＋2n＋1－1＝n2＋2n， 所以左边＝右边．所以第n个等式n(n＋2)＝(n＋1)2－1成立 (3)小威的做法对，面积扩大了，扩大了4平方米．理由：设原长方形菜园的宽为x米，则长为(x＋4)米，原长方形面积为x(x＋4)＝[(x＋2)2－4]平方米，现正方形面积为＝(x＋2)2平方米，所以现面积比原面积扩大了4平方米 七、 (本题满分12分) 22．我们把形如a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2这样的多项式叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值等． 例1：分解因式x2＋2x－3. 原式＝(x2＋2x＋1－1)－3＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1). 例2：求式子2x2＋4x－6(x为任意实数)的最小值． 原式＝2(x2＋2x＋1－1)－6＝2(x＋1)2－8，则当x＝－1时，2x2＋4x－6有最小值－8. 根据阅读材料解决下列问题： (1)利用配方法分解因式：x2－6x－27；(注意：直接写出答案不给分) (2)当x为何值时，多项式－x2－4x＋1有最大值？求出这个最大值． 解：(1)x2－6x－27＝x2－6x＋9－36＝(x－3)2－62＝(x－3＋6)(x－3－6)＝(x＋3)(x－9) (2)－x2－4x＋1＝－(x2＋4x＋4－4)＋1＝－(x2＋4x＋4)＋4＋1＝－(x＋2)2＋5， 因为(x＋2)2≥0，所以－(x＋2)2≤0，即－(x＋2)2＋5≤5，则当x＝－2时，多项式－x2－4x＋1有最大值，最大值为5 八、 (本题满分14分) 23．材料：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636可以转化为指数式62＝36. 根据以上材料，解决下列问题： (1)计算：log24＝__2__，log216＝__4__，log264＝__6__； (2)观察(1)中的三个数，猜测：logaM＋logaN＝__________(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)，并说明理由； (3)已知loga3＝5，求loga9和loga27的值．(a＞0，且a≠1) 解：(2)logaMN　理由如下：设logaM＝x，logaN＝y，则ax＝M，ay＝N，所以M·N＝ax·ay＝ax＋y，根据对数的定义，得x＋y＝logaMN，即logaM＋logaN＝logaMN (3)由loga3＝5，得a5＝3，因为9＝3×3＝a5·a5＝a10，27＝3×3×3＝a5·a5·a5＝a15，所以根据对数的定义，得loga9＝10，loga27＝15 学科网（北京）股份有限公司 $$